p-adikus lineáris csoportok reprezentációi
|
|
|
- Dénes Bognár
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 p-adikus lineáris csoportok reprezentációi Zábrádi Gergely zger@cs.elte.hu febr. 26.
2 Bevezetés p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Motiváció f (x) Z[x] irreducibilis. Hogy bomlik fel f modulo p? (2 p prím)
3 Bevezetés p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Motiváció f (x) Z[x] irreducibilis. Hogy bomlik fel f modulo p? (2 p prím) Legegyszerűbb példa: x 2 d x 2 (mod p) p d ( ) d x 2 d (x b)(x + b) (mod p) (b 0) = 1 p ( ) d x 2 d irreducibilis (mod p) = 1. p
4 Bevezetés p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Motiváció f (x) Z[x] irreducibilis. Hogy bomlik fel f modulo p? (2 p prím) Legegyszerűbb példa: x 2 d x 2 (mod p) p d ( ) d x 2 d (x b)(x + b) (mod p) (b 0) = 1 p ( ) d x 2 d irreducibilis (mod p) = 1. p Ha d = 2 ɛ q 1... q r, akkor a kvadratikus reciprocitást használva ( ) d = p ( 2 p ) ɛ r i=1 ( ) qi p = ( 1) ɛ(p2 1)/8 r i=1 ( 1) (p 1)(q i 1)/4 ( ) p q i. Így (p 2d esetén) x 2 d felbonthatósága F p fölött csak p mod (4d)-tól függ.
5 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re?
6 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program.
7 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter).
8 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter). Mihez rendeltük ezt hozzá?
9 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter). Mihez rendeltük ezt hozzá? A Galois-csoport egy karakteréhez!
10 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter). Mihez rendeltük ezt hozzá? A Galois-csoport egy karakteréhez! Milyen Galois-csoport? Milyen karakter? Polinomról volt szó...
11 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}.
12 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}. Hogyan látszik Gal(F /Q)-n f (x) felbonthatósága mod p?
13 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}. Hogyan látszik Gal(F /Q)-n f (x) felbonthatósága mod p? O F = {β F : m β (x) Z[x]} az F alg. egészeinek gyűrűje. (p) = k i=1 pe i i prímideálokra való felbontás O F -ben.
14 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}. Hogyan látszik Gal(F /Q)-n f (x) felbonthatósága mod p? O F = {β F : m β (x) Z[x]} az F alg. egészeinek gyűrűje. (p) = k i=1 pe i i Pl. Q( d)-ben: prímideálokra való felbontás O F -ben. (p) = p 2 1 p d x 2 d x 2 (mod p); ( ) (p) = p 1 p 2 d p = 1 x 2 d (x b)(x c) (mod p); (p) = (p) prím ( ) d p = 1 x 2 d irred. mod p.
15 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p).
16 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1.
17 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1. Gal(F /Q) p1 véges sok p-től eltekintve ciklikus. Kitüntetett generátor: Frob p, melyre Frob p (β) β p (mod p 1 ). p 1 választása: konjugáltság.
18 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1. Gal(F /Q) p1 véges sok p-től eltekintve ciklikus. Kitüntetett generátor: Frob p, melyre Frob p (β) β p (mod p 1 ). p 1 választása: konjugáltság. A konkrét példánkban: d F p Frob p ( d) ( d) p d (mod p 1 ) Frob p ( d) = d Frob p -t az 1-be viszi a Gal(Q( d)/q) {±1} karakter. Itt p kivételes p 4d.
19 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1. Gal(F /Q) p1 véges sok p-től eltekintve ciklikus. Kitüntetett generátor: Frob p, melyre Frob p (β) β p (mod p 1 ). p 1 választása: konjugáltság. A konkrét példánkban: d F p Frob p ( d) ( d) p d (mod p 1 ) Frob p ( d) = d Frob p -t az 1-be viszi a Gal(Q( d)/q) {±1} karakter. Itt p kivételes p 4d. Tehát x 2 d mod p felbonthatóságának leírása a {Gal(Q( d)/q) karakterei} {(Z/4dZ) karakterei} megfeleltetésen múlik. N.B. Q( d) Q(µ 4d ) (lásd később).
20 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Problémák:
21 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik.
22 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen.
23 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások:
24 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások: Változó f és F helyett Gal(Q/Q) = lim F Gal(F /Q) abszolút Galois-csoport: egyetlen objektum. Q: az algebrai számok teste, Gal(Q/Q) pedig Q automorfizmuscsoportja.
25 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások: Változó f és F helyett Gal(Q/Q) = lim F Gal(F /Q) abszolút Galois-csoport: egyetlen objektum. Q: az algebrai számok teste, Gal(Q/Q) pedig Q automorfizmuscsoportja. Karakterek helyett nem felt. 1-dimenziós reprezentációk.
26 Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások: Változó f és F helyett Gal(Q/Q) = lim F Gal(F /Q) abszolút Galois-csoport: egyetlen objektum. Q: az algebrai számok teste, Gal(Q/Q) pedig Q automorfizmuscsoportja. Karakterek helyett nem felt. 1-dimenziós reprezentációk. Inverz limeszt veszünk: Ẑ := lim N (Z/NZ) = = {(a N ) N : a N (Z/NZ), a N a M (mod M) ha M N}. Kínai maradéktétel Ẑ = p Z p, ahol Z p = lim r Z/p r Z és megérkeztünk...
27 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz)
28 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0.
29 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0.
30 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése.
31 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N.
32 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N. Teljes (ultra)metrikus tér: x + y p max( x p, y p ).
33 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N. Teljes (ultra)metrikus tér: x + y p max( x p, y p ). A zárt egységgömb Z p := {x Q p : x p 1} egy részgyűrű, melyben a nyílt egységgömb pz p = {x Q p : x p < 1} az egyetlen maximális ideál. Z p /pz p = Fp a p elemű test, és Z p = lim r Z/p r Z.
34 A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N. Teljes (ultra)metrikus tér: x + y p max( x p, y p ). A zárt egységgömb Z p := {x Q p : x p 1} egy részgyűrű, melyben a nyílt egységgömb pz p = {x Q p : x p < 1} az egyetlen maximális ideál. Z p /pz p = Fp a p elemű test, és Z p = lim r Z/p r Z. Q Q p Gal(Q p /Q p ) Gal(Q/Q)
35 Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}.
36 Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek.
37 Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek. Ẑ = GL 1 (Ẑ) kommutatív többdim. irred. reprezentációk. Langlands ( 1967): { n dim Galois-reprezentációk } { GL n repr.-k. }?
38 Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek. Ẑ = GL 1 (Ẑ) kommutatív többdim. irred. reprezentációk. Langlands ( 1967): { n dim Galois-reprezentációk } { GL n repr.-k. }? Megjegyzés: Ẑ = p Z p. Rögzítve a p-t ( lokálisan p-nél ) elég GL n (Z p )-t vizsgálni.
39 Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek. Ẑ = GL 1 (Ẑ) kommutatív többdim. irred. reprezentációk. Langlands ( 1967): { n dim Galois-reprezentációk } { GL n repr.-k. }? Megjegyzés: Ẑ = p Z p. Rögzítve a p-t ( lokálisan p-nél ) elég GL n (Z p )-t vizsgálni. Galois-oldalon: Gal(Q/Q) helyett Gal(Q p /Q p ) reprezentációi. Megengedjük Gal(Q p /Q p ) olyan reprezentációit is, amiknek a képe nem véges GL n (Z p ) (kompakt) helyett GL n (Q p ) (nem kompakt).
40 Reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Az általános lineáris csoport GL n (Q p ) := {A Q n n p : det A 0} csoport. Definíció G := GL n (Q p ) reprezentációja: (V, π) rendezett pár, V : vektortér (valamilyen K test felett); π : GL n (Q p ) GL(V ) csoporthomomorfizmus.
41 Reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Az általános lineáris csoport GL n (Q p ) := {A Q n n p : det A 0} csoport. Definíció G := GL n (Q p ) reprezentációja: (V, π) rendezett pár, V : vektortér (valamilyen K test felett); π : GL n (Q p ) GL(V ) csoporthomomorfizmus. G egy topologikus csoport folytonos reprezentációk: V egy topologikus vektortér, és G V V ; (g, v) π(g)v V folytonos.
42 Reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Az általános lineáris csoport GL n (Q p ) := {A Q n n p : det A 0} csoport. Definíció G := GL n (Q p ) reprezentációja: (V, π) rendezett pár, V : vektortér (valamilyen K test felett); π : GL n (Q p ) GL(V ) csoporthomomorfizmus. G egy topologikus csoport folytonos reprezentációk: V egy topologikus vektortér, és G V V ; (g, v) π(g)v V folytonos. Példa (tautologikus reprezentáció) V = Q n p, π : GL n (Q p ) GL n (Q p ) az identitás.
43 Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Milyen reprezentációk vannak?
44 Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk)
45 Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon.
46 Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció.
47 Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció. Sima reprezentációk (klasszikus) Langlands-program
48 Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció. Sima reprezentációk (klasszikus) Langlands-program V általában végtelen dimenziós, viszont a K test topológiája mégsem játszik szerepet:
49 Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció. Sima reprezentációk (klasszikus) Langlands-program V általában végtelen dimenziós, viszont a K test topológiája mégsem játszik szerepet: Definíció A (V, π) egy sima reprezentációja GL n (Q p )-nek, ha folytonos úgy, hogy V -t a diszkrét topológiával látjuk el.
50 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan?
51 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt.
52 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra.
53 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra. Hogy néz ki g egy U környezete?
54 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra. Hogy néz ki g egy U környezete? Például U = {h GL n (Q p ): g 1 h I (mod p k )}, ahol I az egységmátrix. Ez egy nyílt részcsoport egy mellékosztálya és π(h)w = v = π(g)w π(g 1 h)w = w.
55 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra. Hogy néz ki g egy U környezete? Például U = {h GL n (Q p ): g 1 h I (mod p k )}, ahol I az egységmátrix. Ez egy nyílt részcsoport egy mellékosztálya és π(h)w = v = π(g)w π(g 1 h)w = w. Tétel Tehát egy (V, π) reprezentáció pontosan akkor sima, ha minden v V vektor stabilizátora G-ben egy nyílt részcsoport.
56 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Példa sima reprezentációra K test a diszkrét topológiával, H G zárt részcsoport (pl. a felsőháromszög-mátrixok részcsoportja), és V = C c (G/H, K) (lokálisan konstans kompakt tartójú függvények). (π(g)f )(g 0 H) := f (g 1 g 0 H) ha f V és g, g 0 G.
57 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Példa sima reprezentációra K test a diszkrét topológiával, H G zárt részcsoport (pl. a felsőháromszög-mátrixok részcsoportja), és V = C c (G/H, K) (lokálisan konstans kompakt tartójú függvények). (π(g)f )(g 0 H) := f (g 1 g 0 H) ha f V és g, g 0 G. A fenti példa nem más, mint H triviális reprezentációjának az indukált reprezentációja: ind G H (1 H).
58 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Példa sima reprezentációra K test a diszkrét topológiával, H G zárt részcsoport (pl. a felsőháromszög-mátrixok részcsoportja), és V = C c (G/H, K) (lokálisan konstans kompakt tartójú függvények). (π(g)f )(g 0 H) := f (g 1 g 0 H) ha f V és g, g 0 G. A fenti példa nem más, mint H triviális reprezentációjának az indukált reprezentációja: ind G H (1 H). Tétel (Harris és Taylor 2001, Henniart 2000) Ha l p, akkor létezik egy kölcsönösen egyértelmű természetes megfeleltetés: { } { } GLn (Q p ) irreducibilis Gal(Qp /Q p ) n-dim.. sima reprezentációi reprezentációi Q l felett
59 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek
60 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <.
61 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. (mod p)}
62 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. Mit jelent az, hogy természetes megfeleltetés? (mod p)}
63 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. Mit jelent az, hogy természetes megfeleltetés? L-függvények (és ε-faktorok) megegyeznek a két oldalon. (mod p)} A megfeleltetés megjelenik bizonyos geometriai objektumok (Shimura-varietások) kohomológiájában.
64 Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. Mit jelent az, hogy természetes megfeleltetés? L-függvények (és ε-faktorok) megegyeznek a két oldalon. (mod p)} A megfeleltetés megjelenik bizonyos geometriai objektumok (Shimura-varietások) kohomológiájában. A tétel igaz Q p helyett F /Q p véges bővítésre is. Ez az ún. lokális Langlands-megfeleltetés.
65 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról?
66 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat...
67 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.)
68 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.) E elliptikus görbéhez l-adikus Galois-reprezentáció (l p prím): V l (E) := Q l Zl lim E[l n ]. dim Ql V l (E) = 2. Invariánsok: a p (E) := Tr(Frob p V l (E)) Z Z l. Modularitás (L-üggvények egyezése): f = n=0 a n(f )q n moduláris forma, melyre a p (f ) = a p (E) ( p-re).
69 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.) E elliptikus görbéhez l-adikus Galois-reprezentáció (l p prím): V l (E) := Q l Zl lim E[l n ]. dim Ql V l (E) = 2. Invariánsok: a p (E) := Tr(Frob p V l (E)) Z Z l. Modularitás (L-üggvények egyezése): f = n=0 a n(f )q n moduláris forma, melyre a p (f ) = a p (E) ( p-re). Stratégia: Modulo l megfeleltetés: olyan f moduláris forma kell, amire a p (f ) a p (E) (mod l).
70 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.) E elliptikus görbéhez l-adikus Galois-reprezentáció (l p prím): V l (E) := Q l Zl lim E[l n ]. dim Ql V l (E) = 2. Invariánsok: a p (E) := Tr(Frob p V l (E)) Z Z l. Modularitás (L-üggvények egyezése): f = n=0 a n(f )q n moduláris forma, melyre a p (f ) = a p (E) ( p-re). Stratégia: Modulo l megfeleltetés: olyan f moduláris forma kell, amire a p (f ) a p (E) (mod l). Próbáljuk meg a Galois -reprezentációt és a moduláris formát is egyszerre felemelni 0-karakterisztikába.
71 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l).
72 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele.
73 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele. Felemelés 0-karakterisztikába: mely objektumoknak van az adott modulo l redukciójuk (mindkét oldalon)? Majd ezt a két halmazt megfeleltetni egymásnak.
74 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele. Felemelés 0-karakterisztikába: mely objektumoknak van az adott modulo l redukciójuk (mindkét oldalon)? Majd ezt a két halmazt megfeleltetni egymásnak. Különböző lokális feltételek: Szükség van az l = p esetre is!
75 Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele. Felemelés 0-karakterisztikába: mely objektumoknak van az adott modulo l redukciójuk (mindkét oldalon)? Majd ezt a két halmazt megfeleltetni egymásnak. Különböző lokális feltételek: Szükség van az l = p esetre is! Modulo p és a p-adikus Langlands-program (Breuil 2000-es évek): { } Gal(Qp /Q p ) n dim -s F p r (ill. K/Q p véges) reprezentációi { } GLn (Q p ) F p r (ill. K)? feletti reprezentációi
76 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira:
77 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés:
78 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken.
79 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken. Lokálisan analitikus reprezentációk lokálisan konvex vektortereken.
80 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken. Lokálisan analitikus reprezentációk lokálisan konvex vektortereken. Definíció GL n (Q p ) egy K feletti Banach-tér reprezentációja: (V, π) pár; V egy K feletti vektortér, : V R 0 norma, amire nézve teljes, és π : GL n (Q p ) GL(V ) folytonos.
81 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken. Lokálisan analitikus reprezentációk lokálisan konvex vektortereken. Definíció GL n (Q p ) egy K feletti Banach-tér reprezentációja: (V, π) pár; V egy K feletti vektortér, : V R 0 norma, amire nézve teljes, és π : GL n (Q p ) GL(V ) folytonos. Példa Banach-tér reprezentációra B GL n (Q p ): felsőháromszög-mátrixok részcsoportja. V = {f : G/B Q p folytonos} a sup-normával (G/B kompakt).
82 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett
83 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök:
84 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök: Mod p: V megengedhető V GLn(Zp) <. Áttérve a duálisra V GL n(z p) <. V diszkrét V kompakt. Nakayama lemma V végesen generált modulus F p [[GL n (Z p )]] = lim k F p [GL n (Z/p n Z)] felett.
85 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök: Mod p: V megengedhető V GLn(Zp) <. Áttérve a duálisra V GL n(z p) <. V diszkrét V kompakt. Nakayama lemma V végesen generált modulus F p [[GL n (Z p )]] = lim k F p [GL n (Z/p n Z)] felett. Megengedhető Banach-tér reprezentáció: V = Hom ct K (V, K) végesen generált modulus K Zp Z p [[GL n (Z p )]] felett.
86 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök: Mod p: V megengedhető V GLn(Zp) <. Áttérve a duálisra V GL n(z p) <. V diszkrét V kompakt. Nakayama lemma V végesen generált modulus F p [[GL n (Z p )]] = lim k F p [GL n (Z/p n Z)] felett. Megengedhető Banach-tér reprezentáció: V = Hom ct K (V, K) végesen generált modulus K Zp Z p [[GL n (Z p )]] felett. Lok. anal. reprezentációk duálisa: D(G, K) disztribúcióalgebra felett modulus.
87 p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi febr / 18 Köszönöm szépen a figyelmet!
Direkt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések
Direkt esz, inverz esz, végtelen Galois-bővítések Az alábbi jegyzetben a direkt eszt, az inverz eszt, testek algebrai lezártjának létezését, ill. a végtelen Galois-csoportokat tekintjük át. Nem minden
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Mi is (és mire is jó) egy tiszta Hodge-struktúra?
Mi is (és mire is jó) egy tiszta Hodge-struktúra? Szabó Szilárd Egyenletrendszerek megoldásai, így áttételesen az algebrai varietások vizsgálata a matematika egyik legrégebbi problémája. A számelmélet
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem
Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.
Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Algebrai számelmélet jegyzet
Algebrai számelmélet jegyzet Zábrádi Gergely 2017. május 2. Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 1.1. Miről szól az algebrai számelmélet? Régen és most.............. 1 1.1.1. Diofantikus approximáció, transzcendenciaelmélet............
Csoportok II március 7-8.
Csoportok II 2014 március 7-8. 1. Mellékosztályok 2. Lagrange tétele 3. Kompatibilis osztályozás, kongruenciareláció 4. Normálosztó, faktorcsoport 5. Konjugálás 6. Homomorfizmus, homomorfiatétel 7. Permutációcsoportok
Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások
Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások BBTE, Magyar Matematika es Informatika Intézet Tegezek Meghatározás Egy Q tegez egy irányított multigráf (két csomópont között több irányított él is
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Gy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
Kvantumszimmetriák. Böhm Gabriella. Szeged. Wigner Fizikai Kutatóközpont, Budapest november 16.
Kvantumszimmetriák Böhm Gabriella Wigner Fizikai Kutatóközpont, Budapest Szeged 2017. november 16. Kvantumszimmetriák I. A kvantumtérelmélet axiomatikus megközelítése II. A DHR-kategória III. Szimmetria
Lie-csoportok. 1. Folytonos csoportok 1 FOLYTONOS CSOPORTOK. Kontinuum számosságú csoportok esetén elemek jellemzése valós paraméterek
1 FOLYTONOS CSOPORTOK Lie-csoportok 1. Folytonos csoportok Kontinuum számosságú csoportok esetén elemek jellemzése valós paraméterek (koordináták) segítségével. Topologikus (folytonos) csoport: olyan csoport,
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
![13.1.Állítás. Legyen 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste](/thumbs/50/27013842.jpg "13.1.Állítás. Legyen 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste")
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz
Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok
Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok Ivanyos Gábor MTA SZTAKI BME Matematikai Modellalkotás szeminárium, 2013 szeptember 24. Kvantum bit Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-áramkörök
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Az általános (univerzális) algebra kialakulása,
Néhány hasonló tétel. Az általános (univerzális) algebra kialakulása, néhány eredménye. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. május 8. A csoportelméleti homorfiatétel. Legyen G, H két csoport, ϕ: G
Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Waldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül
1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )
Csoportelmélet ( A csoportaxiómák nem tartalmaznak ellentmondást mert az { } csoportot alkot. Fizika felépítése: fizikai valóság fizikai modellek matematikai modellek (átjárhatók reprezentációk (áttranszformálhatók
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
µ: U U U folytonos leképezés, µ ( α, β ) az α és β paraméter-vektorú csoportelemek szorzatának paraméter-vektora
1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-0 Lie-csoportok 1. Folytonos csoportok Kontinuum számosságú csoport elemek jellemzése valós paraméterekkel (koordinátákkal): g(α 1,..., α n )= g( α) G α U R n U paraméter-tartomány
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Lineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
![1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1](/thumbs/88/116339870.jpg "1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1")
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Csoportreprezentációk az
Csoportreprezentációk az összefonódottság-elméletben PhD tézisfüzet Vrana Péter Témavezető: Dr. Lévay Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Elméleti Fizika Tanszék (2011) Előzmények Az összefonódottság
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.
MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT 2015. ÁPRILIS 26. 1. Lineáris algebra, csoportok definíciója 1.1. Feladat. (Közösen megbeszéltük) Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre
Egész pontokról racionálisan
Egész pontokról racionálisan Tengely Szabolcs 2008. április 16. Intézeti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai görbék Algebrai görbék Legyen f Q[X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév)
ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév) Ismétlés 0. feladat O Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre (a) ϕ-nek 1-dimenziós a képtere; (b) ϕ-nek nincsen sajátértéke;
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
![és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?](/thumbs/71/64945307.jpg "és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?")
3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós
Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Algebra és számelmélet blokk III.
Algebra és számelmélet blokk III. 2008/2009 tavasz Károlyi Gyula órái alapján Molnár Attila 2. óra 2009. március 10. 1. Generált, normális és karakterisztikus részcsoportok 1.1. Definíció (Generált részcsoport).
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
![1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).](/thumbs/92/110111081.jpg "1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).")
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
Testek március 29.
Testek 2014. március 29. 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések [Sz] V/3, XIII/1,2; [F] III/1-7 (+ előismeretek!) Definíció Ha egy nemüres halmazon
Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
Szubkonvex becslések automorf L-függvényekre
Szubkonvex becslések automorf L-függvényekre és alkalmazásaik Harcos Gergely Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet http://www.renyi.hu/ gharcos/ 2012. február 14. Magyar Tudományos Akadémia Áttekintés
3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
TÖRTénet EGÉSZ pontokról
TÖRTénet EGÉSZ pontokról Tengely Szabolcs 2008. március 21. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai Algebrai Elliptikus Legyen f É [X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
SE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék