Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Készítette Csákvári Ágnes
Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztál Modulkapcsolódási pontok Kétismeretlenes egenletre vezető problémák felvetése, az összefüggések felírása két egenlettel. A kétismeretlenes egenlet megoldáshalmazának ábrázolása. Az egenletrendszer két egenlete megoldáshalmazának ábrázolása, a két halmaz közös részének keresése. Kétismeretlenes egenletet kielégítő számpárok felírása következtetés segítségével. Az egenletmegoldás algebrai megoldása helettesítéssel. Kétismeretlenes egenletrendszer megoldása grafikusan. A grafikus megoldás vizsgálata alapján a megoldhatóság feltételeinek megállapítása. Szöveges feladatok megoldása. Eredméneik ellenőrzése. Ajánlott óraszám: 15, a modulban kidolgozott órák száma: 6 tanóra 10. szakiskolai évfolam Tágabb körnezetben: Fizika, hétköznapi szituációk, szakmai számítások Szűkebb körnezetben: Függvénábrázolás, egenletmegoldás. Megoldáshalmaz. Egenes egenlete. Állítások igazsághalmaza. Szöveges feladatok megoldása. Ajánlott megelőző tevékenségek: Függvénábrázolás, elsőfokú egismeretlenes egenlet megoldása. Szöveges feladatok megoldása. Ajánlott követő tevékenségek: Másodfokú egenletek. Számításos geometriai feladatok.
Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 3 A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: Egenletek megoldása, a megoldás ellenőrzése. Függvénérték számítása. Menniségi következtetés: A fizikában és a matematikában előforduló összefüggések szemléltetése értéktáblázattal, illetve grafikonon. Becslés: Kétismeretlenes egenletrendszer grafikus megoldása. Következtetések az egik változó ismeretében a szóba jöhető másik változóra. Eredmének becslése, ellenőrzése. Szöveges feladatok, metakogníció: Szöveges feladatok alapján matematikai modellalkotás. Szöveges feladat esetén szöveges válasz megfogalmazása. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Kétismeretlenes egenletrendszer grafikus megoldása. Szöveges feladatok megoldása, értéktáblázat, grafikon készítése uganahhoz a feladathoz. Két egenes. Két változó fogalmának megismerése. Induktív, deduktív következtetés: Konkrét elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszer megoldása helettesítéses módszerrel, majd az elv általánosítása, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása. TÁMOGATÓ RENDSZER Táblázatok, 1.1 fóliamelléklet, 1. 1.6 kártakészletek, 1.7 és 1.8 ablakcsomagok, számológép.
Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 4 A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA: 1. óra: Lineáris függvén ismétlése. óra: Elsőfokú egismeretlenes egenletek megoldásának ismétlése 3. óra: Kétismeretlenes egenlet 4. óra: Kétismeretlenes egenletrendszer grafikus megoldása 5. óra: Kétismeretlenes egenletrendszer megoldása behelettesítő módszerrel 6. óra: Kétismeretlenes egenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok MODULVÁZLAT Lépések, tevékenségek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gűjtemén I. Lineáris függvén ismétlése 1. Csoportalakítás: A tanár eg-eg asztalon elhelezi a hozzárendelési Számolás 1. kártakészlet utasításokat, valamint szétosztja az értékpárokat. A tanulók ah- hoz az asztalhoz ülnek, amelnél a hozzárendelési utasítást kielégíti az értékpár.. Lineáris függvének ábrázolása (ismétlés) Induktív következtetés 1.1 fóliamelléklet 3. Feldarabolt négzetek módszere: Kombinatív gondolkodás, rendszerezés 1.3 kártakészlet A tanár minden csoportnak odaadja az 1.3 kártakészletet. Összetartozó négest alkot eg hozzárendelési utasítás, a neki megfelelő grafikon, meredekség valamint az tengellel való metszéspont és a függvén zérushele. 4. Feladatmegoldás szakértői mozaik módszerrel Számlálás, deduktív következtetés, kombinatív gondolkodás 1. 4. feladat
Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 5 II. Elsőfokú egismeretlenes egenletek megoldásának ismétlése 1. Grafikus és algebrai megoldás átismétlése Rendszerezés, kombinatív gondolkodás, 1.,. mintapélda szövegértés, induktív gondolkodás, számlálás, számítás, becslés. Dominójáték: egenletmegoldás Kombinatív gondolkodás, számolás 1.4 kártakészlet; 5. - 6. feladat III. Kétismeretlenes egenlet 1. Mintapéldák megbeszélése, algebrai és grafikus megoldás Szövegértés, számolás, kombinatív gondolkodás. Gakorlás párban: Szövegértés, számolás, kombinatív gondolkodás 3., 4., 5., 6. mintapélda 7., 8., 9. feladat IV. Kétismeretlenes egenletrendszer grafikus megoldása 1. Kártajáték négfős csoportokban: Feladat: az értékpárok beírása az ablak megfelelő rubrikáiba Számolás, kombinatív gondolkodás. Frontális megbeszélés után gakorlás Rendszerezés, kombinatív gondolkodás, számlálás, számítás, becslés, szövegértés 1.5 kártakészlet; 1.7 ablak 7., 8. mintapélda; 10., 11., 1. feladat V. Kétismeretlenes egenletrendszer megoldása behelettesítő módszerrel 1. A behelettesítő módszer megbeszélése Szövegértés, kombinatív gondolkodás, induktív következtetés, számolás, számítás 9., 10. mintapélda. Feladatmegoldás szakértői mozaikkal Számolás, számítás, deduktív következtetés 13., 14., 15., 16. feladat 1.6 kártakészlet
Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 6 VI. Kétismeretlenes egenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok (1 óra) 1. Mintapélda közös megbeszélése rendszerezés, kombinatív gondolkodás, számlálás, számítás, becslés, szövegértés. Feladatmegoldás szakértői mozaikkal rendszerezés, kombinatív gondolkodás, számlálás, számítás, becslés, szövegértés 3. Gakorlás párban kombinatív gondolkodás, számolás, számítás, szövegértés 11. mintapélda 17., 18., 19. feladat; 1.8 ablakcsomag 0., 1.,., 3. feladat
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 7 I. Lineáris függvének Módszertani ajánlás:a tanulók négfős csoportokat alkotnak. A csoportalakításhoz az 1. kártakészletet használják. A kártakészletben a koordinátasík pontjai, illetve függvének hozzárendelési utasításai találhatóak. A tanár eg-eg asztalon elhelezi a hozzárendelési utasításokat, valamint szétosztja az értékpárokat. A tanulók ahhoz az asztalhoz ülnek, amelnél a hozzárendelési utasítást kielégíti az értékpár. 1. kártakészlet Módszertani megjegzés: A tanár frontálisan átismétli a lineáris függvén definícióját és ábrázolását. Írásvetítő használatához a következő anag megtalálható az 1.1 fólia mellékleten. A lineáris függvén fogalma, tulajdonságai (ismétlés) a a b
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 8 Azokat a függvéneket, ameleknek grafikonja egenes, lineáris függvéneknek nevezzük, és az a a b képlettel adjuk meg, ahol a a függvén grafikonjának meredeksége, b pedig az tengellel való metszéspont. koordinátája. Ha a 0, akkor az a b a b hozzárendelést kapjuk, melet konstans függvénnek nevezünk. Ekkor a függvén képe az tengellel párhuzamos egenes. Ha a 0, akkor ez a lineáris függvén elsőfokú. a a, ha a > 0 a a, ha a < 0 Ha a > 0, akkor a függvén növekvő, vagis növekvő értékekhez növekvő függvénértékek tartoznak. Ha a < 0, akkor a függvén csökkenő, vagis növekvő értékekhez csökkenő függvénértékek tartoznak. Általában: Minden a a függvén egenes aránosságnak tekinthető, amelben az aránosság ténezője a. A függvénábrázoláskor a azt mutatja meg, hog eg egségni jobbra haladás esetén hán egséget megünk az tengel mentén pozitív a esetén felfelé, negatív a esetén lefelé. Módszertani megjegzés: a tanár minden csoportnak odaadja az 1.3 kártakészletet. A tanulók véletlenszerűen húznak a csomagból 4-4 kártát. Feladatuk nég összetartozó kárta begűj-
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 9 tése úg, hog egmáshoz nem szólhatnak, egmáshoz nem núlhatnak át. Felesleges kártájukat elhelezik az asztal közepén, és a szükséges kártákat is csak onnét vehetik fel. Összetartozó négest alkot eg hozzárendelési utasítás, a neki megfelelő grafikon, meredekség, valamint az tengellel való metszéspont és a függvén zérushele. 1.3 kártakészlet Módszertani megjegzés: Az alábbi feladatok tanórai feldolgozását szakértői mozaik módszerrel ajánljuk. Alakítsunk ki négfős csoportokat! Minden csoportban mindenki kap egeg kártát. A kártákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnebb, a D pedig a legnehezebb. Ezután eg munkacsoportot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt húztak. A munkacsoportok megoldják a kapott feladatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz, ahol megbeszélik mind a nég feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt nolc tanulót, és mindegiküktől eg feladat ismertetését kéri a táblánál. (De kiválaszthat néget is, és két feladat ismertetését is kérheti a táblánál.) Ajánlás: 1.a),b);.a),c); 3.a),b);.4.a),c).
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 10 Feladatok A jelűek feladata: 1. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvéneket! a) a ; < 3; 1 b) a ; egész szám; 3 c) a 3 ; természetes szám; d) a 3; 4 < < 5. Megoldási útmutató: ezek a függvének elemi úton ábrázolhatók. B jelűek feladata:. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvéneket! a) a ; egész szám; b) a 4; természetes szám; c) a 3 ; 4 < < 1; d) a 1; 0 5. Megoldási útmutató: ezek a függvén elemi úton ábrázolhatók. a) Az értelmezési tartomán az egész számok halmaza. b) Az értelmezési tartomán a természetes számok halmaza. c) Az értelmezési tartomán a 4-nél nagobb és 1-nél kisebb valós számok halmaza. d) Az értelmezési tartomán a 0-nál nem kisebb és 5-nél nem nagobb valós számok halmaza.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 11 C jelűek feladata: 3. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvéneket! a) 1 5 a ; b) a 3 5 ; c) a 5 1; d) a 1, 5. 3 3 Megoldási útmutató: ezek a függvének elemi úton ábrázolhatók. D jelűek feladata: 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvéneket! 4 1 3 a) a ; b) a ; c) a ( 3 4) ; d) a 1. 3 Megoldási útmutató: a függvének a kijelölt műveletek elvégzése után elemi úton ábrázolhatók. a) a ; b) 3 a 1 ; c) a 3 4 ; d) a 1. 1 3
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 1 II. Elsőfokú, egismeretlenes egenletek (ismétlés) Mintapélda 1 m Eg kerékpáros kezdősebessége 4,7, és sebessége egenletesen csökken másodpercenként s m m 0,4 -mal. Hán másodperc múlva lesz 3,1 a sebessége? s s Grafikus megoldás: A kerékpáros sebességét t idő elteltével a következő képlettel határozhatjuk meg: v ( t) 0,4t 4,7. Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a t a 0,4t 4, 7 függvént. A v tengel 3,1 értékénél húzzunk párhuzamost a t tengellel. Ez a párhuzamos valahol metszi a függvén grafikonját. Ezt a metszéspontot a t tengelre vetítve látható, hog 4 másodperc múlva éri el a kerékpáros a 3,1 s m sebességet. Algebrai megoldás: A kerékpáros pillanatni sebességét a 4,7 0,4t képlettel határozhatjuk meg. Azt a t értéket keressük, amikor a fenti kifejezés 3,1 -del egenlő. Az egenlet megoldásának lépései: 1. lépés: A célunk az, hog az egenlet egik oldalára a számok kerüljenek, a másik oldalára pedig az ismeretlent tartalmazó kifejezések. Megjegzés: A lépések közben összevonásokat is végezhetünk.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 13 4,7 0,4t 3,1 / 4,7 0,4t 1,6. lépés: Meghatározzuk t értékét úg, hog t egütthatójával elosztjuk az egenlet mindkét oldalát. 0,4t 1,6 / : 0,4 t 4 A megoldás során a mérlegelvet alkalmaztuk, melnek lénege, hog amilen műveletet végzünk az egenlet egik oldalán, azt a műveletet az egenlet másik oldalán is végrehajtjuk. Mérlegelv: Szabad az egenlet mindkét oldalából uganazt a kifejezést kivonni vag mindkét oldalhoz hozzáadni. Szabad az egenlet mindkét oldalát uganazzal a 0-tól különböző értékű kifejezéssel szorozni vag osztani. Az egenlet megoldásakor figeljünk arra is, hog az ismeretlen milen értékekre értelmezett. Esetünkben a szövegkörnezetből derül ki, hog a t változó értéke a pozitív valós számok halmazán (R ) értelmes. A kapott érték (t 4) megfelel ennek a feltételnek. Ellenőrizzük, hog ténleg jó-e az eredmén! Helettesítsük be az eredeti egenletbe! Ellenőrzés: Bal oldal: 4,7 0,4 4 4,7 1,6 3,1. Jobb oldal: 3,1. A jobb és a bal oldal megegezik, azaz a megoldás heles. Mintapélda 8 4 15 Oldjuk meg a következő egenletet a valós számok halmazán! 3 3 6 8 4 15 3 Közös nevezőre hozunk (a közös nevező 6). 3 6 ( 8 4) 15 3 6 6 / 6 Ügeljünk arra, hog az egész tagokat is megszorozzuk!
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 14 ( 8 4) 3 6 ( 15) A törtvonal zárójelet helettesít! Bontsuk fel a zárójelet mindkét oldalon, és végezzük el a kijelölt műveleteket! 16 48 18 15 Vonjuk össze a jobb oldalon a számokat. 16 48 3 / 16 48 3 18 48 3 / 48 18 45 / :18,5 Ellenőrzés: (,5) 8 4 0 4 4 Bal oldal:. 3 3 3 (,5) 15 5 15 10 5 9 5 4 Jobb oldal: 3 3 3 3. 6 6 6 3 3 3 3 A két oldal értéke megegezik, tehát a megoldás jó. Feladatok Módszertani megjegzés: Dominójáték: A tanulók - 4 fős csoportokban játszanak. A tanár minden csoportnak odaadja az 1.4. kártakészletet. Húznak eg-eg dominót, és letesznek eget az asztal közepére. A dominókon elsőfokú egenletek találhatók. Azok az egenletek kerülhetnek egmás mellé, ameleknek uganaz a megoldása. Ha valakinek nincs megfelelő dominója, amit letehetne, akkor húz eget a csomagból. Az ner, akinek hamarabb elfog az összes dominója. A legügesebb csoportot külön jutalmazhatjuk. Aki nem szeretne dominózni, az például páros csoportmunkában is megoldhatja a dominókon szereplő egenleteket. Ezek az egenletek az 5. és 6. feladatokban nehézségi fokuknak megfelelően szétválogatva is megtalálhatóak. 1.4 kártakészlet
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 15 A kirakás irána: 5. Oldd meg a következő egenleteket a valós számok halmazán! a) 4 3 5, b) k 1 7 k 3 ; c) ( z 1) 9 z 3 ; d) 3 1; e) 7k 3 7 3k ; f) 1,3 0,3 9 ; k ; 18c 10 h) 7c 3c 5 ; i) 7 b 3 7 b 15 ; j) 4,7 0,4v 0,3v 1,9v. g) 7 4 6k 10 ( 6 3) 3 3 3 a) ; b) k ; c) z ; d) ; e) k 0,4; f) 3; g) k ; 13 10 47 h) c ; i) b 5; j) v. 13 6 6. Oldd meg a következő egenleteket a valós számok halmazán! 1 3 a) 5 4 ; b) 9 3m 5 4m m 3 4m ; 8 c) 0,9 ( 0,5 1,4 ) 0,8z 0,5z 0,9z 1 z ; d) 1 5 e) 3,75 3 0,7t 0,6t t 4 7a 5 3a 1 3 ; 10 5 5 ; f) 3( 1) ( ) 10 4( 3) g) 7,k 1,k 5, 7,3,4 0,1( 5k 1), 5k ; ;
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 16 h) 5 ( c ) 4( 18 c) 3; i) 3 ( 1 3) ; j) 3 5 19 13 7. 6 4 1 a) ; b) m 1, 7 ; c) z 0, 4 ; d) a 3 ; e) t 3 ; f) 3 ; g) k 0, ; h) c 5 ; i) ; j) 1, 7. 13
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 17 III. Kétismeretlenes egenlet 1. Kétismeretlenes egenlet megoldása Mintapélda 3 Eg téglalap alakú víztároló köré 30 m hosszú korlátot tettek, hog elkerüljék a balesetet. Mekkorák lehetnek a víztároló oldalai? Jelöljük a víztároló oldalait a-val és b-vel! A feladat szövege alapján a következő egenletet írhatjuk fel: a b 30 Ez eg kétismeretlenes egenlet, melnek megoldása közben olan a és b számpárokat keresünk, amelek a feladat szövege alapján értelmesek, és visszahelettesítve az egenlőségbe a megfelelő helekre, teljesül az egenlőség. Például: ha a 1, akkor b 8. A keresgélést segíti, ha az egenletből kifejezzük az egik változót a másik felhasználásával: a b 30 / a b 30 a / : 30 a b b 15 a A feladat szövege szerint oldalhosszt keresünk, ezért a is és b is csak pozitív valós szám lehet. Készítsünk táblázatot! a 0, 1 3 4 6,8 7 b 14,8 14 13 1 11 8, 8 Végtelen sok ilen megoldáspárt tudunk felírni. 19 11 1 14 14,99 3 1 0,01 Mintapélda 4 A piacon túktojást és fürjtojást árulnak. A túktojás darabja 0 Ft, a fürjtojásé 40 Ft. Mennit vehetünk az egik és mennit a másik fajtából, ha összesen 300 Ft-unk van tojásra?
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 18 A túktojások darabszámát jelölje, a fürjtojásokét. A feladat szövegének értelmében mindkét érték csak nem negatív egész szám lehet. (Előfordulhat, hog egikből nem veszünk eg darabot sem.) Az darab túktojásért 0 forintot fizetünk, az darab fürjtojásért 40 forintot, de öszszesen 300 Ft-ot költünk. A következő egenletet írhatjuk fel: 0 40 300 Fejezzük ki -t az változó segítségével: 0 40 300 / 0 40 300 0 / : 40 300 0 40 40 15 1 Készítsünk értéktáblázatot! 1 3 5 7 9 11 13 15 7 6 5 4 3 1 0 Mintapélda 5 Oldjuk meg az előző feladatot úg, hog a túktojás 3 Ft-ba kerül! Az egenletet az előző feladathoz hasonlóan írjuk fel. 3 40 300 300 3 40 40 Készítsünk értéktáblázatot! 0 1 3 4 5 6 7 30 77 54 31 08 185 16 139 4 40 40 40 40 40 40 40 8 9 10 11 1 13 14 116 93 70 47 4 1 40 40 40 40 40 40 40 Ha 15-nél nagobb, akkor már negatív szám lesz, ezért ennek a feladatnak nincs megoldása.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 19 Az a b kétismeretlenes egenlet (a, b valós számok) megoldásán azt értjük, hog keressük azt az (; ) számpárt, amelnek tagjait a megfelelő ismeretlenek helébe írva teljesül az egenlőség. Az egenlet értelmezési tartomána olan számpárokból áll, amelek szóba jöhetnek az egenlet megoldásaként. A megoldások száma lehet véges sok vag végtelen sok, illetve az is lehet, hog nincs megoldás.
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 0 Kétismeretlenes egenlet grafikus megoldása Mintapélda 6 Ábrázoljuk grafikonon a 3. és a 4. mintapéldában kapott táblázatok alapján a megoldásokat! 3. mintapélda esetén: 4. mintapélda esetén: A megoldást jelentő pontpárok eg egenesen helezkednek el. Az egenes minden pontjának koordinátái kielégítik az egenletet. Ha eg pont nincs az egenesen, akkor koordinátái nem megoldásai az egenletnek sem. Uganazt a grafikont kapjuk, mintha a megfelelő értelmezési tartománon ábrázoltuk volna 15 1 az a 15, illetve az a függvéneket. Az 15 illetve az 15 1 egenleteket az egenes egenletének nevezzük. Az a b egenlet az egenes egenlete. Az egenletben a az egenes meredeksége, b az tengellel való metszéspont. Ha b, akkor az egenes párhuzamos az tengellel, ha a, akkor az origón halad át. Feladatok Módszertani megjegzés: Gakorlás párban: A páros tagjai különböző feladatokat kapnak. Miután megoldották feladataikat, kicserélik füzeteiket, és kijavítják a megoldást, majd megbeszélik a javítást. Ajánlás: 7. és 8. feladat. 7. Vásároltam 645 forintért 3 kg paprikát és 5 kg paradicsomot. Mennibe kerülhetett 1 kg paradicsom és 1 kg paprika? 3 5 645 19 0,6 (értéktáblázat készítése).
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 1 8. Eg egenlő szárú háromszög kerülete 3 egség. Mekkorák lehetnek az oldalai? 3 3. 9. Eg kétjegű szám számjegeinek összege 13. Melik lehet ez a szám? 13 13 (értéktáblázat készítése).
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató IV. Kétismeretlenes egenletrendszer grafikus megoldása Eddig olan feladatokkal találkoztunk, melekben egetlen ismeretlen menniség értékét kellett meghatározni eg darab egenlet segítségével. Most olan példákat látunk, ahol két ismeretlen menniség értékét keressük, két egenlet segítségével. Módszertani ajánlás: Kártajáték: Közösen felírják a két egenletet, majd a tanulók négfős 6 1 csoportokban dolgoznak tovább. A két egenlet:. Az egenletek értelmezési tartomána a pozitív egész számok halmaza. A tanár minden csoportnak kiosztja az 1.5 kárta- 6 készletet és az 1.7 ablakot. A tanulók szétosztják egmás között a kártákat. Feladat: az értékpárok beírása az ablak megfelelő rubrikáiba. Minden értékpár csak eg helen szerepelhet. 1.5 kártakészlet: 1.7 ablak: 1.7 ablak kitöltve:
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 3 Mintapélda 7 Eg varrónő ruhára és szoknára kapott megrendelést, összesen 0 darabra (legalább egeteget mindkettőből el kell készítenie). A szoknát 000 Ft-ért, a ruhát 3000 Ft-ért készíti el. Hán ruhát és hán szoknát varrt meg, ha a megrendelő 5 000 Ft-ot fizetett? Jelöljük -szel a ruhák, -nal a szoknák számát. és csak pozitív egész szám lehet, hiszen a megrendelő a félig megvarrt ruhát/szoknát nem fogadja el, és mindkettőből legalább eget kér. Összesen 0 darabot varrt. Nézzük meg, hogan lehet felbontani a 0-at két egész szám összegére: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 9 8 7 6 5 4 3 1 A fenti összefüggést az 0 egenlettel írhatjuk föl. A táblázatban fölsorolt számpárok pedig az egenletet kielégítő számpárok. A kifizetett összeggel kapcsolatban is felírhatunk hasonló egenletet: 000 3000 5000. Ezt az egenletet a következő számpárok elégítik ki: Megjegzés: Haladjunk végig a pozitív egész számokon. Ezek legenek lehetséges értékei. 1,, 3,... számokat behelettesítve a fenti egenletbe, megkapjuk értékeit. Csak azokat az (;) párokat írjuk be a táblázatba, amelekben is pozitív egész.
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 4 4 6 8 10 1 14 16 3 0 17 14 11 8 5 A két táblázatban van eg azonos számpár, mégpedig az 1 és 8. Ez azt jelenti, hog ez a számpár a két egenlet közös megoldása. Megjegzés: választhattuk volna azt az utat is, hog behelettesítjük az első egenlet lehetséges megoldásait a másodikba. Összefoglalva: A megoldást két egenlet segítségével kaptuk meg: 0 000 3000 5000 A kapcsos zárójellel összekapcsolt egenletek összetartoznak, egenletrendszert alkotnak, amelben két ismeretlen szerepel. Az elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszer megoldásakor olan számpárt keresünk, amel mindkét egenletnek megoldása. A továbbiakban megismerkedünk néhán módszerrel, amelek általánosabb feladatok megoldásában segíthetnek. Először a grafikus, majd a behelettesítő módszert tanuljuk meg alkalmazni. Korábban láttuk, hog a kétismeretlenes egenlet megoldásait jelentő értékpárokat koordináta-rendszerben ábrázolva, azok eg egenesen helezkednek el. Ez a grafikus megoldási módszer alapja. Grafikus módszer: Ábrázoljuk azt a két egenest, amelnek egenleteiből áll a megoldandó egenletrendszer. A két egenes metszéspontjának koordinátái adják az egenletrendszer megoldáspárját. Mintapélda 8 Oldjuk meg grafikusan a következő egenletrendszereket, ahol és tetszőleges valós számok! a) 1 5 b) 1 3 c) ( 1) 1 1
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 5 a) Alakítsuk át az egenleteket úg, hog egik oldalon csak az álljon! 1 5 A két egenlet eg-eg egenes egenlete. Ábrázoljuk ezt a két egenest koordináta-rendszerben. Közös pontjuk koordinátái mindkét egenes egenletét kielégítik. Az egenletrendszer megoldását tehát a közös pont koordinátái adják. A két egenlet közös megoldása, vagis az egenletrendszer megoldása az 1 és 3 számpár. Ellenőrizzük a megoldást, helettesítsünk vissza az eredeti egenletekbe! Első egenlet: Második egenlet: ( 1) 3 1 3 5 ( 1) b) Alakítsuk át az egenleteket úg, hog egik oldalon csak az álljon! 1 6 E két egenlettel meghatározott egenesek meredeksége azonos, csak az tengellel vett metszéspontjuk különbözik. Az egenesek párhuzamosak, nincs közös pontjuk. Tehát az eredeti egenletrendszernek sincs megoldása. c) Az előzőekhez hasonlóan most alakítsuk át mindkét egenletet úg, hog csak az maradjon az egik oldalon!
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 6 Feladatok Mindkét esetben uganazt az egenletet kaptuk. Ez azt jelenti, hog a két egenesnek végtelen sok közös pontja van, íg az eredeti egenletrendszernek is végtelen sok megoldása van. A lineáris egenletrendszernek vag eg, vag végtelen sok megoldása lehet. Az is előfordulhat, hog nincs megoldás. 10. Oldd meg grafikusan a következő egenletrendszereket! Helettesítsd be az egenletrendszerbe a kapott értékpárokat! a) 3 b) 1 a) 1; ; b) ; 0 c) 3 4 1 c) az egenletrendszer átrendezve: nincs megoldás. d) az egenletrendszer átrendezve: végtelen sok megoldás van. d) 3 11. A piacon előszezonban a paprikát is és a paradicsomot is darabra árulják. Összesen 7 darab zöldséget vásároltunk, 460 Ft értékben. Hán paprikát és paradicsomot vettünk, ha a paprikának 60 Ft, a paradicsomnak 80 Ft darabja? A paprika darabszámát -szel, a paradicsomét -nal jelöljük. 7; 60 80 460. 5 darab paprikát és db paradicsomot vásároltunk. 1. Két munkás eg óra alatt 18 munkadarabot állít elő. Mennit készítenek el különkülön óránként, ha az egikük kétszer annit állít elő, mint a másikuk? A kevesebbet előállító darabot állít elő 1 óra alatt. 18; Az egik munkás 6, a másik 1 darabot állít elő.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 7 V. Kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása behelettesítő módszerrel Először próbálgatással oldottunk meg egenletrendszert. Ez akkor működik jól, ha a keresett értékpárra konkrét megszorításokat teszünk, például eg ilen lehetséges megszorítás az, hog csak pozitív egész számok esetén van értelme a feladatnak, és az ismeretlenek nem lehetnek nagobbak eg konkrét számnál. A grafikus megoldás is csak akkor használható jól, ha a megoldás olan szám, amel pontosan leolvasható a koordinátatengelekről. Ezek a módszerek nem alkalmazhatóak minden esetben. Viszont a grafikus megoldás alapelve, hog fejezzük ki az -t az egenletekből, eg olan módszer alapötletét adja, amelnek segítségével általánosan is meg tudunk oldani problémákat. Ez lesz a behelettesítő módszer. Mintapélda 9 A ló és az öszvér egmás mellett bandukoltak nehéz teherrel a hátukon. A ló panaszkodni kezdett elviselhetetlenül nehéz terhére. Miért panaszkodsz? mondta neki az öszvér. Hiszen ha eg zsákot átveszek a hátadról, akkor az én málhám kétszer olan nehéz lesz, mint a tied. Ha azonban te vennél át eg zsákot az én hátamról, akkor a te málhád még mindig csak olan nehéz lenne, mint az eném. Vajon hán zsákot vihetett a ló és hánat az öszvér? Fordítsuk le a szöveget a matematika nelvére! A ló hátán lévő zsákok száma: Az öszvér hátán lévő zsákok száma: ha eg zsákot átveszek a hátadról (ekkor a ló 1 hátán eggel kevesebb málha lesz) akkor az én málhám 1 kétszer olan nehéz lesz, mint a tied 1 ( 1) Ha azonban te vennél át eg zsákot az én 1 hátamról akkor a te málhád 1 még mindig csak olan nehéz lenne, mint az 1 1 eném (uganolan nehéz lenne, mint az eném)
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 8 Két egenletet kaptunk, két ismeretlennel: ( 1) 1 1 1 (Figeljünk arra, hog ha két ismeretlenünk van, akkor a megoldáshoz két egenletre van szükség.) Az eg ismeretlent tartalmazó egenletet már meg tudjuk oldani. Szükségünk lenne olan módszerre, amelnek segítségével a két egenletből eget, és a két ismeretlenből is ege olat kapunk, amelben már csak eg ismeretlen van. Ismerkedjünk meg a behelettesítő módszerrel! 1. lépés: Valamelik egenletből kifejezzük az egik ismeretlent. Ez azt jelenti, hog úg rendezzük át az egenletet, hog az egik oldalon csak az ismeretlen betűjele maradjon. Minden szám és a másik ismeretlen kerüljön át a másik oldalra. Megjegzés: Átrendezéskor számíthatunk zárójelfelbontásra, egütthatóval történő osztásra, törtes egenlet esetén közös nevezőre hozásra, majd a közös nevezővel történő beszorzásra. Célszerű úg választani a kifejezendő ismeretlent és az egenletet, hog a kifejezés minél egszerűbb legen.. lépés: Behelettesítünk a másik egenletbe. Jelen esetben helébe beírjuk az előző lépésben kapott kifejezést. 3. lépés: Egismeretlenes egenletet kaptunk. Ezt most már meg tudjuk oldani. 4. lépés: Visszahelettesítjük értékét az 1. lépésben kapott egenletbe. Ezáltal megtudjuk értékét. { 1 ( 1) 3 3 5 5 7
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 9 5. lépés: Válasz. A ló 5, az öszvér 7 zsákot cipelt. 6. lépés: Ellenőrzés, Ha az öszvér eg zsákot átvesz a ló szövegbe történő helettesítéssel. hátáról, akkor a ló hátán 4, az öszvér hátán pedig 8 zsák lesz. Ekkor az öszvér málhája valóban kétszer olan nehéz lesz, mint a lóé. Ha a ló venne át eg zsákot az öszvér hátáról, akkor a ló hátán 6, és az öszvér hátán is 6 zsák lenne. Vagis a málhájuk uganolan nehéz. Most következzen eg összetettebb kétismeretlenes egenletrendszer! Mintapélda 10 Oldjuk meg a 3 6 15 7 1 0 kétismeretlenes egenletrendszert! 1. lépés: Valamelik egenletből kifejezzük az egik ismeretlent. Igazából mindeg, hog melik egenletet és melik ismeretlent választjuk. Viszont a számolásra fokozottan figeljünk. Tipp: jelen esetben az egütthatókat figelembe véve célszerű az első egenletet választani. Azon belül pedig fejezzük ki -et (- vel könnű osztani)... lépés: Behelettesítünk a másik egenletbe. Az alsó egenletben helére írjuk az első lépésben kapott kifejezést. FONTOS! Ügeljünk arra, hog helébe eg összeg fog kerülni, amit megszorzunk 15-tel. Ezért az első lépésben kapott kifeje- 6 3 3 1,5 / : 15 (3 1,5) 7 1 0
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 30 zést behelettesítéskor tegük zárójelbe! 3. lépés: Megoldjuk az egismeretlenes egenletet. ( 3 1,5 ) 7 1 0 15 /zárójel- felbontás 45,5 7 1 0 /összevonás 44 15,5 0 / 44 15,5 44 / :15,5,84 4. lépés: Visszahelettesítjük értékét az 1. lépésben kapott egenletbe. Ezáltal megtudjuk értékét. 5. lépés: Ellenőrzés. A kapott és értékeket visszahelettesítjük az egenletekbe. FONTOS! Mivel századokra kerekített értékekkel számoltunk, ezért századni eltérés még elfogadható. Ha pontos eredméneket kívánunk meg, akkor törtekkel, és ne tizedestörtekkel számoljunk. (,84) 1, 6 3 1,5 1. egenlet: bal oldal: 3 ( 1,6) 3 (,84) 6 ez megegezik a jobb oldalon szereplő értékkel.. egenlet: bal oldal: 15 ( 1,6) 7 (,84) 1 18,9 19,88 1 0,0 a jobb oldal értéke 0. Módszertani megjegzés: Minden csoportban osszunk ki A, B, C, D jelű kártákat, differenciálva a tanulók képességei szerint, valamint a csoportok kapjanak sorszámokat is. Szétválnak a csoportok az A, B, C, D jelek szerint, az azonos betűsök dolgoznak most egütt. A tanár a 13., 14., 15. és 16. feladatokból kijelöl eget-eget. Ha elkészültek a csoportok, mindenki visszameg a saját csoportjába, és a többieknek elmondja a feladatának a megoldását. A csoporton belül összekeverik az A, B, C, D jelű kártákat, mindenki húz eget. A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoportszámát és betűjelét kihúzza a tanár.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 31 1.6. kártakészlet: Feladatok: A jelűek feladata: 13. Oldd meg a következő egenletrendszereket, majd ellenőrizz! a) 3 1 b) 3 7 c) 5 3 d) 1 1 a) 9; 3; b) 4; 3; c) 5; 10; d) ; 3. B jelűek feladata: 14. Oldd meg a következő egenletrendszereket, majd ellenőrizz! a) 3 4 5 4 b a b a b) n m n m 4 6 3 4 c) 3 5 5 3 f e f e d) 11 3 8 l k l k a) a 8; b ; b) m 3; n ; c) e 3; f 4; d) k 5; l. C jelűek feladata: 15. Oldd meg a következő egenletrendszereket, majd ellenőrizz! a) 1 18 7 13 6 5 b) 7 5 6 4 3 4
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 3 c) 0 46 6 4 0 15 9 d) 64 6 3 6 5 a) 5; ; b) 0,5; 6; c) 10,5; 3 ; d) 3 38 ;, 3 14. D jelűek feladata: 16. Oldd meg a következő egenletrendszereket, majd ellenőrizz! a) 3 1 5 1 3 b) ( ) 4,5 8 1,5 c) ( ) ( ) ( ) 10 3 : 5 5 1,5 4 a) 0,5; 0,5; b) 0,75; 0,75; c) 5; 1.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 33 VI. Kétismeretlenes egenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok Módszertani megjegzés: Az 11. mintapélda közös feldolgozása után a tanulók párban dolgoznak. A tanár kiválasztja az órán megoldandó két szöveges feladatot (ajánlás: 17. és 19. feladat), felváltva kiosztja az ehhez tartozó ablakokat az 1.8 ablakcsomagból. 1.8 ablakcsomag Eg csoporton belül a tanulók felosztják egmás között a részfeladatokat, kitöltik az ablak rubrikáit. Ha elkészültek, két-két, különböző feladatot megoldó csoport kicseréli egmás ablakait, és ellenőrzik, kijavítják a megoldásokat, vag a tanár feladatonként kiválaszt eg tanulót, aki a táblára írja a megoldást. A 0. 3. feladatok egszerűbbek az előbbieknél. Házi feladatnak vag differenciált foglalkozáshoz ajánlott. Mintapélda 11 Jancsi bankszámlát szeretne nitni. Az első bank éves számlafenntartási díja 3000 Ft, de havonta tranzakció (pénz felvétele, egenleg lekérdezése, utalás, stb.) ingenes, minden további tranzakció 70 Ft. A második banknál az éves számlafenntartási díj 1300 Ft, de minden tranzakció 170 Ft. Melik bankot érdemes választania, ha az első hónapban 5 tranzakció tör-
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 34 ténik? Az első hónapban hán tranzakció esetén érdemes az első bankot választani és mikor a másodikat? Az első hónapban hán tranzakció esetén fizetne uganannit mindkét banknak? Válaszaidat indokold! Értéktáblázat készítése: Elsők bank Tranzakciók száma. 1 3 5 10 15 16 17 Díj (Ft) 3000 3000 3070 310 3560 3910 3980 4050 Második bank Tranzakciók száma. 1 3 5 10 15 16 17 Díj (Ft) 1470 1640 1810 150 3000 3850 400 4190 Egenletek: Első bank: 3000 ( ) 70, ha 3 Második bank: 1300 170 Grafikon készítése: Szöveges válasz: Az első hónapban 5 tranzakció esetén a második bankot célszerű választani, mert itt csak 150 Ftot kell fizetnie, míg az első banknál 310 Ftot. Az első hónapban kb. 15,6 tranzakció esetén kellene uganakkora díjat fizetnünk mindkét banknál. A tranzakciók száma csak természetes szám lehet, ezért 15 ill. annál kevesebb tranzakció esetén a második bankot érdemes választani, 16 vag annál több tranzakció esetén pedig az elsőt. Útmutató a 17. 19. feladatok megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat! Töltsd ki az értéktáblázatokat, írd fel az egenletrendszert, készíts grafikont a feladatokhoz!
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 35 Feladatok 17. Reggel a munkahelemre villamossal és busszal egaránt mehetek. A villamos azonnal indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megek, akkor a 4 km-es út 5 percbe telik, a busszal csak 17 perc. Melikkel menjek, hog minél hamarabb beérjek? Menni idő alatt tesz meg a busz ill. a villamos 1 km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Villamos (km) 0 0,5 1 3 4 5 t(perc) Busz (km) 0 0,5 1 3 4 5 t(perc) Megoldás Értéktáblázat kitöltése: Villamos (km) 0 0,5 1 3 4 5 t (perc) 0 3,15 6,5 1,5 18,75 5 31,5 Busz (km) 0 0,5 1 3 4 5 t (perc) 8 10,15 1,5 16,5 0,75 5 9,5 Hozzárendelési szabál meghatározása: t 6,5 t 4,5 8 Ábrázolás grafikonnal Szöveges válasz: Mindeg, hog villamossal vag busszal megek, mert uganakkorra fogok beérni a munkahelemre.
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 36 A villamos 1 km-t 6,5 perc alatt tesz meg, míg a busz csak 4,5 perc alatt. 18. A soltvadkerti nári táborba a csoport néhán tagja biciklivel meg, a többiek autóbusszal. A táv 100 km, a biciklisták 5 km/h sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola elől. A busz 9-kor indul uganerről a helről, de 80 km-t tesz meg óránként. Melik csapat ér le hamarabb? Hán órával később ér le a másik? Hán km megtétele után és hán órakor éri utol az egik a másikat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Bicikli s (km) 0 0 40 60 70 80 100 t (ó; perc) Autóbusz s (km) 0 0 40 60 70 80 100 t (ó; perc) Megoldás Értéktáblázat kitöltése: Bicikli s (km) 0 0 40 60 70 80 100 t (ó; perc) 7ó 7ó 48p 8ó 36p 9ó 4p 9ó 48p 10ó 1p 11ó Autóbusz s (km) 0 0 40 60 70 80 100 t (ó; perc) 9ó 9ó 15p 9ó 30p 9ó 45p 9ó 5,5p 10ó 10ó15 p Hozzárendelési szabál meghatározása: Bicikli Autóbusz sebesség (v) 5 km/h 80 km/h indulás időpontja: 7 ó 9 ó az indulás óta eltelt idő(t) t t út(s) s 5t s 80(t )
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 37 Az út idő grafikon elkészítéséhez használt hozzárendelési utasítások: t s 5 7 s s, illetve t 7 9. 80 80 Ábrázolás grafikonnal Szöveges válasz: Az autóbusszal utazók érnek le hamarabb. A 3 biciklizők órával később érkeznek meg. 4 Az autóbusszal utazók kb. 70 km megtétele után, 10 óra előtt érik utól a biciklistákat. 19. Kati könvtárba szeretne beiratkozni. A heli könvtárban 500 Ft az éves tagsági díj, és minden kölcsönzés 150 Ft. A központi könvtárban 100 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha eg éven keresztül havonta 8 könvet szeretne kikölcsönözni, akkor melik könvtárba érdemes beiratkoznia? Eg évben hán könvet kölcsönözzön ki, hog uganannit fizessen? Hán könv kölcsönzése esetén érdemes a heli, illetve a központi könvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Heli könvtár Könv(db) 0 1 5 7 8 9 Összeg(Ft) Központi könvtár Könv(db) 0 1 5 7 8 9 Összeg(Ft)
Matematika A 10. szakiskolai évfolam Tanári útmutató 38 Megoldás Értéktáblázat kitöltése: Heli könvtár Könv(db) 0 1 5 7 8 9 Összeg(Ft) 500 650 800 150 1550 1700 1850 Központi könvtár Könv(db) 0 1 5 7 8 9 Összeg(Ft) 100 150 1300 1450 1550 1600 1650 Hozzárendelési szabál meghatározása: k a könvek darabszáma, ö a k könv kölcsönzésének összköltsége. ö 500 150 k ö 100 50 k Ábrázolás grafikonnal Szöveges válasz: Ha eg éven keresztül minden hónapban 8 könvet szeretne kikölcsönözni, akkor a. könvtárba érdemes beiratkoznia, mert íg csak 6000 Ft-ot kell fizetnie, míg az 1.-ben 14900 Ft-ot. Eg év alatt 7 könv kölcsönzése esetén fog uganannit fizetni. Ha ennél kevesebbet akar kölcsönözni, akkor válassza az első könvtárat, ha többet, akkor a másodikat. 0. Mekkorák a 15 m kerületű téglalap oldalai, ha a két oldal különbsége 3 m? A keresett oldalakat jelölje és. A két egenlet: 15 ; 3. A megoldás: 9; 6.
1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Tanári útmutató 39 1. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelikről tudjuk, hog az egik szöge 8 -os, a másik két szögeközül pedig az egik 4 -kal kisebb a másiknál? A keresett két szöget jelölje β és γ. Ekkor γ β 4 és 180 8 β γ. A megoldások: β 70 ; γ 8.. Két munkás 500 alkatrészt állít elő naponta. Mennit készítenek külön-külön, ha az egik 0%-kal többet készít, mint a másik? A két munkás külön-külön és db alkatrészt készít. Az egenletek: 550 és 1,. A megoldások: 50; 300. 3. Ha eg kétjegű szám számjegeit felcseréljük, akkor eggel kisebb számot kapunk, mint az eredeti szám fele. Ha az eredeti számot és a számjegek felcserélésével kapottat összeadjuk, akkor 77-et kapunk. Számítsuk ki az eredeti számot! Az eredeti szám számjegeit jelölje a és b. 10a b Az egenletek: 10b a 1, illetve 10a b 10b a 77. Az eredeti szám: 5.