. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló 0 0. Tudjuk, hogy =. Háy olya pozitív osztója va az számak, amely kisebb -él és em osztója -ek? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; kezdők, I-II. kategória,. forduló. Melyek azok az N pozitív egész számok, amelyekek prímtéyezős felbotásába csak a és a hatváyai szerepelek, és N összes osztójáak a száma harmadrésze N osztói számáak? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló 5. Melyek azok a pozitív egész számok, amelyekek darab pozitív osztójuk va? KöMaL, 1995. április, C.9. 6. Va-e olya égyzetszám, amelyek ugyaayi k + 1 alakú pozitív osztója va, mit k + alakú? KöMaL, 000. március, B.57. 7. Tekitsük azokat a természetes számokat, amelyek osztóiak számát megkapjuk úgy, hogy a prímtéyezős felbotásukba szereplő prímszámok szorzatából kivojuk a hatváykitevők szorzatát. Ilye például a 5 és a 600 is. Bizoyítsuk be, hogy végtele sok ilye szám va. KöMaL, 000. február, B.. 8. Az pozitív egész számot egzotikusak evezzük, ha osztható a pozitív osztóiak számával. Bizoyítsuk be a következő állításokat: a) Ha egy egzotikus szám páratla, akkor ez a szám égyzetszám. b) Végtele sok egzotikus szám va. KöMaL, 01. október, B.651. 9. A pozitív egész szám osztóit agyság szerit övekedve felírtuk, az első volt az 1. A sorredbe a hatodik lett a 5. Keressük meg azt a legkisebb értéket, amire ezek teljesülek. OKTV 011/01; II. kategória,. forduló 10. Egy egész számak két prímosztója va. Osztóiak száma 6, osztóiak összege 8. Melyik ez a szám? KöMaL, 009. október, C.1001. 11. Melyek azok a pozitív egészek, amelyekek potosa égy pozitív osztójuk va, és ezek összege 8? OKTV 006/007; II. kategória, 1. forduló 1
1. Egy téglatest mide éléek mérőszáma egész. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek és az egyik csúcsba befutó élek hosszáak mérőszámait összeadva 000-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? KöMaL, 000. jauár, C.567. 1. Egy téglatest éleiek mérőszámai egészek. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek, és az egy csúcsból kiiduló élek hosszáak mérőszámait összeadva 01-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/015; haladók, I. kategória,. forduló 1. Melyek azok az a, b, c egész számok, amelyekre teljesül az alábbi egyelőség? ab + bc+ ca= b+ c+ abc OKTV 005/006; I. kategória, 1. forduló + 15. Melyek azok az természetes számok, amelyekre + 1 prímszám? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló 16. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím? OKTV 01/01; II. kategória, 1. forduló 17. Bizoyítsa be, hogy 9 darab egymást követő egész szám égyzetéek összege a) em lehet prímszám, b) em lehet égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 009/010; haladók, II. kategória, 1. forduló 18. Bizoyítsa be, hogy!+ 007 egyetle pozitív egész szám eseté sem prímszám, és em is égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 007/008; haladók, II. kategória, 1. forduló 19. Bizoyítsa be, hogy 5 008 + összetett szám. 0. Mutassa meg, hogy 65 6 + 6 összetett szám. KöMaL, 009. március, C.98. KöMaL, 010. február, B.. 1. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek fele egy egész szám égyzete, ötöde pedig egy egész szám harmadik hatváya? Kalmár László Matematikaversey országos dötője 1998; 6. osztályosok verseye. Háy N pozitív egészre teljesül, hogy N 5 egy egész szám hetedik, N 7 pedig egy egész szám ötödik hatváya? OKTV 01/01; III. kategória, 1. forduló. Adjuk meg azokat az egymást követő egész számokat, amelyekek az összege 100. KöMaL, 005. május, C.811.. Háyféle módo állítható elő a 008 éháy (egyél több) egymást követő pozitív egész szám összegekét? OKTV 008/009; I. kategória, 1. forduló
5. Háyféleképpe kaphatuk összegül 000-et, ha éháy darab (legalább kettő) közvetleül egymást követő pozitív egész számot aduk össze? OKTV /000; I. kategória,. forduló 6. Háyféleképpe írható fel egymás utá következő pozitív egész számok összegekét? KöMaL,. december, B.. 7. Háyféleképpe bothatjuk fel az 1995-öt egymás utá következő pozitív páratla számok összegére? KöMaL, 199. október, Gy.95. 8. Ha A = 1111111111 és B =111111, akkor meyi A és B legagyobb közös osztója? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló 9. Meyi a 187 és a 1111 számok legagyobb közös osztója? 0. Meyi a legagyobb közös osztója a 1 1 és a 11 11 számokak? 1. Melyik az a legagyobb egész, amelyre + 10 osztója az + 100 számak?. Háy olya természetes szám va, amelyre + 016 osztható ( +1) -gyel?. Mely 1-él agyobb egész számok lehetek két egymást követő + alakú szám közös osztói? OKTV 01/015; III. kategória, 1. forduló. Va-e olya 199-mal osztható szám, amelyek utolsó égy számjegye 199? Varga Tamás Matematikaversey 199/199; 7. osztályosok verseye [átfogalmazott feladat] 5. Adja meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amellyel az -et megszorozva a kapott szám utolsó égy jegye 001. KöMaL, 000. március, C.576. 6. Egy hatjegyű számot úgy lehet hárommal szorozi, hogy az első jegyét hárommal csökketjük, és a végére íruk egy hármast. Melyik ez a szám? KöMaL, 007. jauár, C.880. 7. Godoltam egy hatjegyű számot. Az első számjegyét letöröltem és átírtam a végére, így az eredeti szám háromszorosát kaptam. Melyik számra godoltam? KöMaL, 006. szeptember, B.9. 8. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek utolsó számjegye 6, és ha az utolsó helyről a 6-os számjegyet az első helyre tesszük miközbe a többi számjegy változatla marad, akkor a szám -szeresét kapjuk? Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1991; 5. osztályosok verseye Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, 196
II. Megoldások 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak? Megoldás: A égyzetszám osztókba a prímkitevők párosak. A kitevője 0,, vagy 6 lehet; a kitevője 0, vagy ; az 5 kitevője 0 vagy ; a 7 kitevője 0 vagy. Így a égyzetszám osztókba a kitevők megválasztására = 8 lehetőség va.. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló Megoldás: A p prímszámokak va potosa két pozitív osztójuk: 1 és p. A p prímek égyzetéek, Ezek miatt = p és 1= q p -ek va potosa három pozitív osztójuk: 1, p és +, ahol p és q prímszámok. Az és + 1 számok egyike páros, azaz p és páros prím va, ez a. Ha p =, akkor = és + 1=, ám ics olya q prímszám, amelyre p. q, és így p és q egyike páros. Egyetle = q. Ha q =, akkor q = = + 1, így =, azaz p =. Ez megoldás, és ez az egyetle megoldás. + 01= + 01= 015= 5 1 1. Az + 01= 015-ek = 8 osztója va. 0 0. Tudjuk, hogy =. Háy olya pozitív osztója va az számak, amely kisebb -él és em osztója -ek? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; kezdők, I-II. kategória,. forduló 60 0 Megoldás: = osztóiak száma 61 1= 501. Az szám egyik osztója az. A többi 500 osztó úgy sorolható osztópárokba ( ab= ), hogy a és b közül az egyik kisebb 500 mit. Így az számak = 150 -él kisebb pozitív osztója va. Eze 150 osztó közül el kell hagyuk azokat, amelyek osztói -ek is, azaz az szám összes osztóját, kivéve magát az számot. Ezek száma: 1 1 1= 650. A keresett osztók száma: 150 650= 600.. Melyek azok az N pozitív egész számok, amelyekek prímtéyezős felbotásába csak a és a hatváyai szerepelek, és N összes osztójáak a száma harmadrésze N osztói számáak? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló a b Megoldás: Az N szám prímtéyezős alakja N =. Az osztók számára feálló feltétel szerit ( )( ) ( 1)( b+ 1) a + 1 b+ 1 =. Ie a ab + b+ = ab+ b+ 1 egyelethez jutuk, azaz ab a b = 0.
Keressük az egyelet megoldásait a pozitív egészek körébe. Ha lehet, érdemes az összeget szorzattá alakítai. ab a b+ 1=, azaz ( a 1 )( b 1) =. Ha a 1, b 1, akkor két lehetőség va: 1 = és 1=, így a megoldások a =, b= és a =, b=. Két olya N szám va, amely megoldása a feladatak: N = = és N = = 1. 5. Melyek azok a pozitív egész számok, amelyekek darab pozitív osztójuk va? KöMaL, 1995. április, C.9. Megoldás: Egy pozitív szám osztóit párokba tudjuk állítai úgy, hogy egy-egy pár szorzata magát a számot adja. Például 1 eseté az osztópárok: ( 1, 1), (, 6), (, ). (Négyzetszá-, párba.) mok eseté az egyik osztópárba a két osztó ugyaaz, pl. 16 eseté a ( ) A szorzat téyezői közül az egyik értéke legfeljebb, külöbe midkét téyező agyobb lee -él, és a szorzatuk agyobb lee -él. Ezek szerit d( ), ahol ( ) d jelöli az szám osztóiak számát. A feladat szerit most d ( ) =, és mit tudjuk,. Ebből az egyelőtleségből, azaz 16 adódik. egész szám, azaz páros, és 16, ezért elegedő az =,, 6, 8, 10, 1, 1 és 16 számokat elleőrizi. Csak a 8 és a 1 megoldása a feladatak. 6. Va-e olya égyzetszám, amelyek ugyaayi k + 1 alakú pozitív osztója va, mit k + alakú? KöMaL, 000. március, B.57. Megoldás: Egy szám osztóiak száma potosa akkor páratla, ha a szám égyzetszám. Ez például következik az osztók párokba állításából. Az osztópárokba az osztó és a társosztó szorzata magát a számot adja. Ha a szám égyzetszám, akkor az osztók párba állításáál egyetle osztóak, a szám égyzetgyökéek em jut (tőle külöböző) pár, így az osztók száma valóba páratla. Legye a keresett égyzetszám N. Eek páratla számú osztója va, és ha ezek az osztók csak k + 1 és k + alakúak leéek, akkor em lehete ugyaayi midegyikből. Legye N = a alakú, ahol a pozitív egész szám, pedig -mal em osztható pozitív egész. Ekkor N a =, és N k + 1 alakú és k + alakú osztói együttese éppe az osztóit adják. Ezek száma páratla lévé, a k + 1 és k + alakú osztók száma szükségképpe külöböző. 7. Tekitsük azokat a természetes számokat, amelyek osztóiak számát megkapjuk úgy, hogy a prímtéyezős felbotásukba szereplő prímszámok szorzatából kivojuk a hatváykitevők szorzatát. Ilye például a 5 és a 600 is. Bizoyítsuk be, hogy végtele sok ilye szám va. KöMaL, 000. február, B.. 5
Megoldás: Mely számokál legegyszerűbb kiszámoli a prímtéyezős felbotásukba szereplő prímszámok szorzatáak és a hatváykitevők szorzatáak külöbségét? Akkor, ha ez a szám egy prímek a hatváya. Tekitsük egy páratla prímszámot, legye ez p = k+ 1, és vizsgáljuk a p számot. A p szám osztóiak száma + 1. A p szám prímtéyezős felbotásába egyetle prím szerepel, ez p = k+ 1, és ha ebből kivojuk a hatváykitevők szorzatát, azaz -et, akkor ( k+ 1) = k+ 1-et, az osztók számát kapjuk, tehát = k. k Azt kaptuk, ha p = k+ 1 prímszám, akkor a p számra kiszámolva a prímtéyezős felbotásába szereplő prímszámok szorzatáak és a hatváykitevők szorzatáak külöbségét, k megkapjuk a p szám osztóiak számát. Mivel végtele sok páratla prímszám va, ezért végtele sok, a feladat feltételéek eleget tevő természetes szám va. 8. Az pozitív egész számot egzotikusak evezzük, ha osztható a pozitív osztóiak számával. Bizoyítsuk be a következő állításokat: a) Ha egy egzotikus szám páratla, akkor ez a szám égyzetszám. b) Végtele sok egzotikus szám va. KöMaL, 01. október, B.651. d ( ) miatt ( ) Megoldás: a) Ha egy egzotikus szám páratla, akkor d páratla, tehát égyzetszám. [Jól ismert és korábba láttuk, hogy egy szám osztóiak száma potosa akkor páratla, ha a szám égyzetszám.] b) Sokféle kostrukcióval igazolható az állítás. Néháy ezekből: 1 Az = számok egzotikusak, és ezek száma végtele. Az = p p 1 számok egzotikusak, ahol p prímszám, hisze az osztók száma p. A prímszámok száma végtele, így az egzotikus számok száma is végtele. Az = 8p számok egzotikusak, ahol p prímszám, hisze az osztók száma 8. A prímszámok száma végtele, így az egzotikus számok száma is végtele. Az = 9 p számok egzotikusak, ahol p prímszám, hisze az osztók száma 9. A prímszámok száma végtele, így az egzotikus számok száma is végtele. Az = 6 pq számok egzotikusak, ahol p és q külöböző, -ál agyobb prímszámok. d ( ) = 6, tehát egzotikus, és végtele sok ilye szám va. 9. A pozitív egész szám osztóit agyság szerit övekedve felírtuk, az első volt az 1. A sorredbe a hatodik lett a 5. Keressük meg azt a legkisebb értéket, amire ezek teljesülek. OKTV 011/01; II. kategória,. forduló Megoldás: Legye az első hat osztó 1= d 1 < d < d < d < d5 < d6 = 5. Ezek között szerepel az 5 és a 7 is. (Hisze 5= 5 7, 5, és az 5 és a 7 prímek, tehát 5 és 7 is osztója - ek.) Az első hat osztó között ott lehet-e a? Ha, akkor az 5-él kisebb osztói között ott va a 10 és a 1 is. Ekkor az 1,, 5, 7, 10, 1 mid osztók, ez pedig hat darab 5-él kisebb osztó. Ami em lehet, hisze csak öt darab 5-él kisebb osztó va. Tehát a em osztója - 6
ek. Ugyaígy, ha az osztók között va a, akkor az 1,, 5, 7, 15, 1 is osztók, tehát a sem osztója -ek. Ezek szerit d =, d 7. d és 5 5 = d vagy 7-él agyobb és 5-él kisebb prím, vagy olya összetett szám, melyek midegyik prímtéyezője 5. Ez utóbbi csak a 5 lehet. A legkisebb számot keressük. Ha a két legkisebb prím lesz a hiáyzó két osztó, akkor az 5, 7, 11, 1 számok legkisebb közös többszöröse, ami az 5005. Ha a két hiáyzó osztó közül az egyik a 5, a másik a 11, akkor a 5, 7, 11 számok legkisebb közös többszöröse, ami az 195. A keresett szám az 195. 10. Egy egész számak két prímosztója va. Osztóiak száma 6, osztóiak összege 8. Melyik ez a szám? KöMaL, 009. október, C.1001. Megoldás: A keresett szám prímtéyezős alakja: ( + 1 )( b+ 1) = 6 a, így az a és b kitevők 1 és, = p q. osztói 1, p, p, q, pq, p q ; összegük: ( 1+ p + p )( 1+ q) = 8. 1 p+ p + értéke = em lehet osztója 8-ak. Csak = A keresett szám: = = 1. a b = p q. Az osztók száma 6, tehát p eseté 7; p= -ra 1; és p= 5 -re már 1, ez agyobb 8-ál, így p lehet megoldás, ekkor ( 1 + )( 1+ ) = 8 + q, q =. 11. Melyek azok a pozitív egészek, amelyekek potosa égy pozitív osztójuk va, és ezek összege 8? OKTV 006/007; II. kategória, 1. forduló Megoldás: Legye a keresett szám. A égy osztó között va az 1 és az, és a másik két osztó a és b, 1 < a < b<, ahol a= p, b= p, és p prímszám, vagy a és b külöböző prímek. Ha a= p és b = p (p prímszám), akkor 1+ p + p + p = 8. Elleőrzés mutatja, hogy eek az egyeletek ics megoldása a prímek körébe. p = vagy eseté a bal oldali összeg kisebb 8-él, míg p= 5 -re és agyobb prímekre az összeg agyobb 8-él. Ha a és b külöböző prímek, akkor 1 + a + b+ = 1+ b+ ab= ( 1+ a)( 1+ b) = 8. (Felhaszáltuk, hogy ab=.) Ezek szerit a 8-et kell két egész szám szorzatakét felíri. A lehetséges szorzatok (az osztópárok alapjá): 8= = 8= 1= 6 1= 7 1, és az ie adódó a és b értékek csak egy esetbe leszek prímek, ezek a = 5 és b = 1. Tehát egy ilye szám va, az = 5 1= 65. 1. Egy téglatest mide éléek mérőszáma egész. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek és az egyik csúcsba befutó élek hosszáak mérőszámait összeadva 000-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? KöMaL, 000. jauár, C.567. Megoldás: A téglatest élei a, b, c. A feltétel szerit abc + ab+ bc+ c b+ c= 000. 7
Keressük az egyelet megoldásait a pozitív egészek körébe. Ha lehet, érdemes az összeget szorzattá alakítai. Növeljük meg midkét oldalt 1-gyel: abc + ab+ bc+ c b+ c+ 1= 001. Ekkor a bal oldal szorzattá alakítható: ( a + 1 )( b+ 1)( c+ 1) = 001. 001= 9, és midhárom téyező prímszám. Ezért az élek hosszai, azaz a, b, c értékei csak,, 8 lehetek (valamilye sorredbe). 1. Egy téglatest éleiek mérőszámai egészek. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek, és az egy csúcsból kiiduló élek hosszáak mérőszámait összeadva 01-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/015; haladók, I. kategória,. forduló Megoldás: A feladat megoldása azoos az előzővel, csak 000 helyett 01-gyel számoluk. Ha a téglatest élei a, b, c, akkor az előző megoldás alapjá ( a + 1 )( b+ 1)( c+ 1) = 015. Mivel 015= 5 1 1, és midhárom téyező prímszám, így az élek hosszai csak, 1, 0 lehetek (valamilye sorredbe). 1. Melyek azok az a, b, c egész számok, amelyekre teljesül az alábbi egyelőség? ab + bc+ ca= b+ c+ abc OKTV 005/006; I. kategória, 1. forduló Megoldás: Az ab + bc+ ca= b+ c+ abc egyelet megoldásait keressük az egészek körébe. Ha lehet, érdemes az összeget szorzattá alakítai: abc ( ab+ bc+ ca) + ( b+ c) = 0, abc ( ab+ bc+ ca) + ( b+ c) 1= 1, és itt a bal oldal szorzattá alakítható: ( a 1)( b 1)( c 1) = 1. A bal oldalo álló szorzat téyezői 1, 1, 1 vagy 1, 1, 1 (ezek tetszőleges sorredbe). Így az egyelet a, b, c megoldásai: a = 0, b= 0, c= 0; a =, b=, c= 0 ; a =, b= 0, c= és a = 0, b=, c=. + 15. Melyek azok az természetes számok, amelyekre + 1 prímszám? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló Megoldás: + + 1= + 1= 6 + 1, és a 6 mide pozitív egész kitevős hatváya 6-ra végződik, ezért 6 + 1 utolsó számjegye 5, ha > 0. Az 5-re végződő számok oszthatók 5-tel, és pozitív egész -ekre 6 + 1 agyobb 5-él, tehát ez a szám össze- tett szám. Ha = 0, akkor 6 + 1= 5, és ez prímszám. + Tehát egy olya természetes szám va, amelyre + 1 értéke prímszám, és ez a 0. 8
16. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím? OKTV 01/01; II. kategória, 1. forduló Megoldás: Ha p és q midegyike páratla prím, akkor p+ q páros összetett szám, ezért ilye esetbe em találuk megoldást. p és q midegyike em lehet páros prím, azaz, mert ekkor p + q=, és ez sem prím. Ezek miatt p és q egyike páros (azaz ), és a másik páratla. Nézzük azt az esetet, ha p =. Ha q =, akkor a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím, ezek a számok 5, 11, 9, 8. Ha q >, akkor két lehetőség va: q = k+ 1 vagy q = k+, ahol k természetes szám. Az első esetbe p+ q osztható -mal és agyobb -ál, így összetett szám. A második esetbe p+ q lesz -mal osztható összetett szám. Nézzük azt az esetet, ha q =. Ha p =, akkor a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím, ezek a számok 5, 7, 11, 19. Ha p >, akkor most is két lehetőség va: p = k+ 1 vagy p = k+, ahol k természetes szám. Az első esetbe p+ q osztható -mal és agyobb -ál, így összetett szám. A második esetbe szám. q p+ q lesz -mal osztható összetett Azt kaptuk, hogy a feladat feltételeiek két ( p, ) számpár felel meg, a (, ) és a (, ). 17. Bizoyítsa be, hogy 9 darab egymást követő egész szám égyzetéek összege a) em lehet prímszám, b) em lehet égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 009/010; haladók, II. kategória, 1. forduló Megoldás: a) Ha páratla sok egymást követő egész számot vizsgáluk, akkor érdemes a középső számot választai sarokkőek. Jelölje a 9 darab egymást követő egész szám közül a középsőt. Ekkor az ( ), ( ), ( ), ( 1) ( + ) számok összege 9 + 60. ( + 0),, ( + 1), ( + ), ( + ), 9 + 60=, és ez em lehet prímszám, mert két 1-él agyobb egész szám szorzata. b) Tegyük fel, hogy N = 9 + 60 értéke valamely -re égyzetszám. N osztható -mal, és feltevésük szerit égyzetszám, ezért 9-cel is oszthatóak kell leie, ami em teljesül. Ugyais a 9 + 60 összeg első tagja osztható 9-cel, míg a második tag em, így az összeg sem osztható 9-cel. Ez az elletmodás bizoyítja a feladat állítását. 18. Bizoyítsa be, hogy!+ 007 egyetle pozitív egész szám eseté sem prímszám, és em is égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 007/008; haladók, II. kategória, 1. forduló Megoldás: 007 osztható -mal, és! is osztható -mal, ha, így ezekre az -ekre!+ 007 egy -mal osztható, -ál agyobb szám, tehát összetett szám. = 1 eseté!+ 007 értéke 008, = eseté 009, és midkettő összetett ( 008= 100, 009= 7 87 ). Beláttuk, hogy!+ 007 értéke egyetle pozitív egész szám eseté sem lesz prímszám. 9
Ha 5, akkor az! szám osztható 10-zel, így 0-ra végződik. Emiatt ekkor az!+ 007 szám utolsó számjegye 7, így ez em lehet égyzetszám, mivel a égyzetszámok csak 0, 1,, 5, 6 és 9 számjegyekre végződhetek. = 1,,, eseté!+ 007 értéke redre 008, 009, 01, 01, ám ezek egyike sem égyzetszám, mert = 196, 5 = 05 és 6 = 116. Vizsgálataik azt mutatják, hogy!+ 007 egyetle pozitív egész szám eseté sem lesz égyzetszám. 19. Bizoyítsa be, hogy 5 008 + összetett szám. KöMaL, 009. március, C.98. Megoldás: Az állítást igazolhatjuk úgy, hogy belátjuk: az 5 008 + szám osztható valamely em túl agy m számmal (például -mal), de em láti ilye osztót. Egy másik lehetőség a bizoyításra, hogy az 5 008 + számot szorzattá alakítjuk. Ez a szám a + alakú, és a + = ( a + ) a = ( a + ) ( a) = ( a + )( a ) 50 008 100 50 100 50 a = 5, így 5 = ( 5 + 5 + )( 5 5 + ) Most +, és itt midkét téyező 1-él agyobb, ezzel beláttuk az állítást. Megjegyzés: Az a + = ( a + )( a ) a b = ( a + ab+ b )( a ab+ b ), illetve az + azoosság Sophie Germai (1776 181) evéhez kötődik (Sophie Germai-azoosság).. 0. Mutassa meg, hogy 65 6 + 6 összetett szám. KöMaL, 010. február, B.. Megoldás: A feladat hasoló az előzőhöz. A 65 6 + 6 szám a + 6 alakú. a + 6= ( a + 8) 16a = ( a + 8) ( a) = ( a + 8)( a 8) 6 16 16 Ezért 65 6= ( 65 + 65 + 8)( 65 65 + 8) + két 1-él agyobb szám szorzata, azaz összetett szám. Megjegyzés: Gyakorlásul lássuk be, hogy az 10 10 + 10, 1 0 + 10 számok összetett számok.. 1. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek fele egy egész szám égyzete, ötöde pedig egy egész szám harmadik hatváya? Kalmár László Matematikaversey országos dötője 1998; 6. osztályosok verseye Megoldás: Ha bízuk abba, hogy a keresett szám em olya agy, akkor kereshetjük így is a megoldást: A keresett szám páros (hisze a fele égyzetszám), és 5-szöröse egy köbszámak. Ezért a köbszám páros. A köbszám 5-szöröséek a fele égyzetszám, így ha a prímtéyezőkre figyelük, akkor látjuk, hogy a köbszám osztható 5-tel. A páros köbszámok közül az 10
első 5-tel osztható a 10 = 1000. Eek 5-szöröséek a fele 500, és ez 50-ek a égyzete. Ezek alapjá a keresett szám az 5000. Oldjuk meg úgy is, hogy a szokásos eszköztárat haszáljuk. A keresett szám N. A feltételek szerit N = m, N = 5, ahol, m pozitív egész szám. a b Ezek miatt N osztható -vel is, 5-tel is: N = 5 M, ahol M relatív prím -höz, 5-höz és a b a, b 1. A szám fele N = 1 5 M égyzetszám, ezért a 1 és b páros és M égyzet- a b 1 szám. A szám ötöde N = 5 M köbszám, ezért a és b 1 osztható -mal és M köbszám. A legkisebb a szám, amely osztható -mal és a 1 páros, az a =. A legkisebb b szám, amely páros és b 1 osztható -mal, a b =. M -re az a megszorító feltétel, hogy égyzetszám és köbszám is, és azt várjuk, legye a lehető legkisebb. Szerecsére a legkisebb pozitív egész ilye: M = 1. Ezek miatt a keresett szám N = 5 = 5000.. Háy N pozitív egészre teljesül, hogy N 5 egy egész szám hetedik, N 7 pedig egy egész szám ötödik hatváya? OKTV 01/01; III. kategória, 1. forduló 7 5 Megoldás: A keresett szám N. A feltételek szerit N = 5, N = 7k, ahol és k pozitív a b egészek. Ezek miatt N osztható 5-tel is, 7-tel is: N = 5 7 M, ahol M relatív prím 5-höz a b és 7-hez, és a, b 1. A szám ötöde N = 5 1 7 M hetedik hatváy, ezért a 1 és b is a b 1 osztható 7-tel, és M hetedik hatváy. A szám hetede N = 5 7 M ötödik hatváy, ezért a és b 1 is osztható 5-tel, és M ötödik hatváy. Az a kitevő osztható 5-tel és a 1 osztható 7-tel, ilye szám például az a = 15. A b kitevő osztható 7-tel és b 1 osztható 5-tel, ilye szám például a b = 1. 5 Az M számról tudjuk, hogy ötödik hatváy és hetedik hatváy is, tehát M = m, ahol m pozitív egész. Így végtele sok olya számot találtuk (és vaak még ezektől külöböző számok is), 15 1 5 amely teljesíti a feladat feltételeit, ezek N = 5 7 m, ahol ( m, 5) = 1, hisze végtele sok olya m természetes szám va, amelyre ( m, 5) = 1 teljesül. (Az ( m, 5) = 1 feltétel elhagyható.). Adjuk meg azokat az egymást követő egész számokat, amelyekek az összege 100. KöMaL, 005. május, C.811. Megoldás: Legye a vizsgált darab egymás utái szám: a + 1,, K,. Ekkor ( 1 ) ( ) ( ) ( + 1 ) + + K + = 100, = 100, ( + 1) = 00. Ha páros, akkor ( a + + 1) páratla; páratla, akkor ( a + + 1) páros. és ( a + + 1) külöböző párosságú, ezért az osztó-társosztó párokba az egyik osztó páratla (a másik osztó páros lesz, hisze a szorzatuk 00). A 00 páratla osztói 1, 5 és 5; ezek társosztói 00, 0 és 8. A lehetséges megoldások: = 1, 5, 8, 5, 0, 00. Az ezekhez a + 1 értékek: 100, 18, 9, 8, 17, 99. tartozó ( ) 11
A feladat megoldásai: Az db egymást követő egész szám összege 100. 1 100 5 18, 19, 0, 1, 8 9, 10, 11, 1, 1, 1, 15, 16 5 8, 7, 6,, 6, 7, 8, 9, 10,, 16 0 17, 16,, 16, 17, 18, 19, 0, 1, 00 99, 98,, 98, 99, 100. Háyféle módo állítható elő a 008 éháy (egyél több) egymást követő pozitív egész szám összegekét? OKTV 008/009; I. kategória, 1. forduló Megoldás: Legyeek az egymást követő pozitív egész számok: a + 1,, K,, a 0,. Ekkor ( 1 ) + ( ) + K + ( ) = 008, ( + 1 ) = 008, ( + 1) = 016. A két téyező külöbsége ( a + + 1) = 1 páratla, ezért a két téyező egyike páros, a másik páratla. A 016 prímtéyezős felbotása: 016= 51. Így az ( + 1) = 016 bal oldala kétféleképpe lehet egy páros és egy páratla (1-él agyobb) szám szorzata: 16 51 és 51 16, tehát két esetet kell vizsgáli. Ha = 16, akkor a + + 1= 51, a + 17= 51, a = 117. Megtaláltuk a 008 egyik előállítását: 118 + 119+ 10+ K + 1= 008. Ha = 51, akkor a + + 1= 16, a + 5= 16, a = 118. Most is találtuk olya egymást követő számokat, melyek összege 008: ( 117 ) + ( 116) + ( 115) + K + 1= 008, csak most em teljesül, hogy az összeadadók midegyike pozitív szám. Tehát a 008 számot csak egyféleképpe tudjuk egyél több egymás utái pozitív egész összegekét előállítai. 5. Háyféleképpe kaphatuk összegül 000-et, ha éháy darab (legalább kettő) közvetleül egymást követő pozitív egész számot aduk össze? OKTV /000; I. kategória,. forduló Megoldás: A feladat hasoló az előzőhöz. Legyeek az egymást követő pozitív egész számok: a + 1,, K,, a 0,. Ekkor ( 1 ) + ( ) + K + ( ) = 000, ( + 1) = 000, és mit tudjuk, a két téyező egyike páros, a másik páratla. 5 A 000 prímtéyezős felbotása: 000= 5. A 000 páratla osztói 1, 5, 5 és 15. Ezek miatt az ( + 1) = 000 egyelőség bal oldalá álló lehetséges szorzatok: 1 000, 5 800, 5 160, 15, 000 1, 800 5, 160 5, 15. 1
Mid a yolc szorzat alapjá találuk éháy egymást követő egész számot, melyek összege 000. Ezekbe az esetekbe az egymást követő egész számok száma: = 1, 5, 5, 15, 000, 800, 160, illetve ; és az egymást követő egész számok közül az első: 000, 98, 68, 6,, 97, 67, 7. Eze megoldások közül éháyat kizáruk a feladat feltételei miatt. = 1 eseté egyetle számból áll az összeg, így ez a feladatak em megoldása. Kizárjuk az előzőek közül azokat, amikor em csak pozitív számokat aduk össze. Három megoldás maradt: = 5 eseté 98 + 99+ 00+ 01+ 0= 000, = 5 eseté 68 + 69+ 70+ K + 9= 000, és az = esethez tartozó 7 + 8+ 9+ K + 78= 000. 6. Háyféleképpe írható fel egymás utá következő pozitív egész számok összegekét? KöMaL,. december, B.. Megoldás: A szám agy szám, ézzük meg helyette kisebb számra, hogy az háyféleképpe áll elő egymást követő pozitív egész számok összegekét. Vizsgáljuk meg, háyféleképpe áll elő az 5 egymást követő egész számok összegekét. A pozitív számok körébe két megoldás va: 5= 5 és + = 5. Midegyikek va még egy párja. 5= 5 párja: (( ) + ( ) + ( ) + ( 1) + 0+ 1+ + + ) + 5= 5, + = 5 párja: (( 1 ) + 0+ 1) + + = 5. Az 5 egymást követő egész számok összegekét -féle módo állítható elő. Azt látjuk, hogy ha az számot előállítjuk egymást követő egész számok összegekét az összes lehetséges módo, akkor az előállítások párokba redezhetők. Egy pozitív összeadadókból álló előállításhoz tartozik egy olya összeg, amelybe va emegatív összeadadó is. (Ugyais, ha a pozitív összeadadókból álló összegbe a legkisebb összeadadó a, akkor az összeget egészítsük ki az ( a 1), ( a ), K, ( a 1) számokkal.) Ha az összegbe va empozitív összeadadó, akkor a agyság szerit egymás utá következő számokból elhagyható az első éháy úgy, hogy az elhagyottak összege ulla, és a megmaradó összeadadók pozitívak.) Tehát az egész számok körébe törtéő előállításokak a fele olya, amely összegekbe csak pozitív egészek vaak. Háyféleképpe írható fel egymás utá következő egész számok összegekét? Legyeek az egymást követő egész számok: a + 1,, K,. Ekkor ( 1 ) + ( ) + K + ( ) =, ( + 1) =. Mivel prímszám, így -ek 000 osztója va, és bármely osztó-társosztó párba az egyik osztó páros, a másik páratla, így mide osztóhoz tartozik egy megoldás, azaz éháy egymást követő egész szám, amelyek összege. Ezért 000-féle módo lehet megadi éháy egymást követő egész számot, amelyek összege. Ahogya láttuk, az esetek fele olya, amikor az összeadadók pozitív számok. Tehát 000 = 000 olya összeg va, melybe az összeadadók egymást követő pozitív egészek, és az összeg értéke. 1
7. Háyféleképpe bothatjuk fel az 1995-öt egymás utá következő pozitív páratla számok összegére? KöMaL, 199. október, Gy.95. Megoldás: Legyeek az egymás utá következő pozitív páratla számok: a +, a +,,, ahol a 1 páratla szám. Ekkor ( ) + ( ) + K + ( ) = 1995, ( + 1 ) = 1995, ( + 1 ) = 1995. Ayiféle felbotás va, aháyféleképpe az 1995-öt két egész szám szorzatára bothatjuk. Az a kérdés, háy olya pozitív egész va, amely osztója 1995-ek. 1995= 5 7 19, így 1995 osztóiak száma = 16. Ezért az 1995-öt 16-féleképpe bothatjuk fel egymás utá következő páratla számok öszszegére. Eze összegek között ics olya, melyek a legkisebb tagja az 1, hisze az 1,, 5,..., k 1 számok összege égyzetszám ( = k ), és az 1995 em égyzetszám: = 196, ( ) 5 = 05. Így az előző feladat megoldásába tapasztaltak szerit mide pozitív összeadadókból álló összeg kiegészíthető egatív tagokkal (pl. a, 5, 7 számok összege ugyaayi, mit a 1, 1,, 5, 7 számok összege). Ugyaakkor a egatív számokat tartalmazó összegből elhagyható éháy tag úgy, hogy az elhagyottak összege ulla, és a megmaradó összeadadók pozitív számok. Ezek szerit a 16-féle felbotás felébe, azaz 8 esetbe teljesül az, hogy az összegek tagjai pozitív számok. Azt kaptuk, hogy az 1995-öt 8-féleképpe bothatjuk fel egymás utá következő pozitív páratla számok összegére. (Ezek között va egy 1-tagú összeg is.) 8. Ha A = 1111111111 és B =111111, akkor meyi A és B legagyobb közös osztója? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló Megoldás: Ha d osztója mid a két számak, akkor osztója a két szám külöbségéek is. A B= 1111000000, tehát d 1111000000. A d osztó páratla, em osztható 5-tel és osztója 1111000000 -ak, így d 1111. Mivel d 111 111 és d 1111, ezért d osztója a két szám külöbségéek is. 111 111 1111= 110 000, így d 110000. A d osztó páratla, em osztható 5-tel és osztója 110000 -ek, így d 11. Így a d közös osztó osztója a 11-ek, ezért d = 1 vagy d = 11. A 11-es oszthatósági szabály miatt 11 osztója A -ak és osztója B -ek is. Az A és B számok legagyobb közös osztója 11. 9. Meyi a 187 és a 1111 számok legagyobb közös osztója? Megoldás: Ha d osztója mid a két számak, akkor osztója a két szám külöbségéek is. 1111 187= 7. A keresett közös osztó páratla és osztója 7-ek. 7= 17, ezért a keresett legagyobb közös osztó osztója a 17-ek: vagy 1, vagy 17. Elleőrzés mutatja, hogy a 17 osztója midkét számak, így az előzőek szerit ez a legagyobb közös osztó. Megjegyzés: A két szám prímtéyezős felbotása: 187= 1700+ 17= 17 100+ 1 = 17 és 1111= 17 10. ( ) 101 1
0. Meyi a legagyobb közös osztója a 1 1 és a 11 11 számokak? Megoldás: Az a a kifejezést szorzattá alakítjuk: a a= a a 1 = a a 1 1 = a 1 a 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Így 1 1= 11 1 1 és 11 11= 10 11 1. 10, 1 =, ezért a 10 11 1 és 11 1 1 számok legagyobb közös osztója 11 1= 1. ( ) 1 1. Melyik az a legagyobb egész, amelyre + 10 osztója az + 100 számak? Megoldás: + 10 osztója az + 10 = ( + 10) ( + 10 ) ( + 100) = 10 100 Osztója 10( 10) = 10 + 100 -ak is. + -ek is, ezért osztója ( 10 + 100) ( 10 100) = 100+ 100 -ek, így -ak. Osztója 100 ( + 10) = 100+ 1000 -ek, emiatt ( 100 + 1000) ( 100+ 100) = 900 -ak is. +10 osztója 900-ak, tehát + 10 900, 890, és az = 890 teljesíti is az + 10 + 100 oszthatóságot: 890 10= 900 ( 900 10) + 100= 900 10 + 100= 900A 900 + és 890 100= ( 900 10) + 100 +, továbbá A, azaz 890+ 10 890 + 100.. Háy olya természetes szám va, amelyre + Megoldás: 016 + = k( + 1) 016 osztható ( +1) -gyel?, > 0 015 = k + 1 + 1 = k 1 + 1, és +1 1. A 015= 5 1 1 számak = 8 pozitív osztója va, így + 1-ek összese 8 külöböző értéke lehet, emiatt 8 olya természetes szám va, amelyre 016 + oszt- +1 -gyel. ható ( ) k egész, emiatt ( ) ( ) ( )( ). Mely 1-él agyobb egész számok lehetek két egymást követő + alakú szám közös osztói? OKTV 01/015; III. kategória, 1. forduló Megoldás: Legye d > 1 olya szám, amely osztója valamely -re az + és az számokak. Ekkor d osztója a külöbségükek is, osztója + 1-ek. ( + 1) + Ezért d osztója ( + ) ( + 1)( 1) = 1 -ak is, tehát d csak 1 lehet, ha találuk erre példát. A 1 6 + = 9 és 1 7 + = 5 oszthatóságok mutatják, hogy va két olya szomszédos + alakú szám, amelyek osztója a 1. A keresett 1-él agyobb közös osztó egyedül a 1 lehet. 15
. Va-e olya 199-mal osztható szám, amelyek utolsó égy számjegye 199? Varga Tamás Matematikaversey 199/199; 7. osztályosok verseye [átfogalmazott feladat] Megoldás: 199-mal osztható számot keresük, azaz 199 egyik többszörösét. Így ézve a feladatot, az a kérdés, mivel szorozzuk meg az 199-at, hogy a szorzat 199-re végződjö. Írjuk fel a várható szorzást! A szorzó utolsó jegye 8 lesz, mert a szorzat csak így végződhet -re. A második részletszorzatak 5-re kell végződie, mert így lehet a tízesek helyé az eredméybe 9 és így tovább. Ezutá a szorzó utolsó előtti jegyét tudjuk meghatározi, majd az azelőttit és így tovább. Az így kapott szorzat: 199 858= 968199. Tehát va olya 199-mal osztható szám, amelyek utolsó égy számjegye 199, a legkisebb ilye szám a 968199. 5. Adja meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amellyel az -et megszorozva a kapott szám utolsó égy jegye 001. KöMaL, 000. március, C.576. Megoldás: A feladat hasoló az előzőhöz. Kezdjük el az írásbeli szorzást! Ismerjük a szorzadót és a szorzat utolsó számjegyeit. A szorzat utolsó jegye 1, és ezt csak úgy kaphatjuk, ha a szorzó utolsó számjegye 9. Ezutá a szorzó utolsó előtti jegyét tudjuk meghatározi, majd az azelőttit és így tovább. Az így kapott szorzat: 5999= 1199 001. Tehát az 5999 a legkisebb pozitív egész, amelylyel az -et szorozva a kapott szám utolsó jegye 001. 6. Egy hatjegyű számot úgy lehet hárommal szorozi, hogy az első jegyét hárommal csökketjük, és a végére íruk egy hármast. Melyik ez a szám? KöMaL, 007. jauár, C.880. Megoldás: A keresett hatjegyű számot írjuk 100 000 b alakba, ahol a 9, a b pedig ötjegyű egész szám. A szöveg szerit: 16
( 100 000a + b) = 1000 000 ( a ) + 10b +, ie 999997 700 000a b= = 8571 100000a. 7 Csak a = eseté kapuk b -re ötjegyű pozitív egész számot: b = 8571. Így a keresett hatjegyű szám 8571, és valóba 8571= 18571. Másképp is megoldhatjuk. Kövessük az írásbeli szorzás lépéseit. Egy most még ismeretle hatjegyű számot -mal szorozva a szorzat -ra végződik. Ezért a szorzadó csak 1-re végződhet, így lesz a szorzat utolsó jegye. Tudjuk, hogy a szorzat utolsó jegye (a -as) előtt a szorzadó számjegyei sorakozak (kivéve a szorzadó első számjegyét), így a szorzadó 1-es számjegyét a szorzat -as számjegye elé írjuk. A szorzat utolsó előtti jegye úgy lesz 1-es, ha a szorzadó utolsó előtti jegye 7. Ezt a 7-est beírjuk a szorzatba is. A szorzás lépéseit így folytatva sorra felgögyölítjük a számjegyeket. (Eek lépéseit látjuk az ábráko.) 7. Godoltam egy hatjegyű számot. Az első számjegyét letöröltem és átírtam a végére, így az eredeti szám háromszorosát kaptam. Melyik számra godoltam? KöMaL, 006. szeptember, B.9. Megoldás: A feltételek szerit: abcdef = bcdefa. Legye A= bcdef, ekkor ( 100 000a + A) = 10A+ a, azaz 99 999a = 7A, A= 857a. A legfeljebb ötjegyű szám. Így az a (emulla) értéke 1 vagy lehet (-ál már hatjegyű számot kapák). Ha a = 1, akkor a godolt szám 1857, ha pedig a =, akkor A = 857 = 8571, ekkor a godolt szám 8571. Köye elleőrizhetjük, hogy ezek a számok megfelelek a követelméyekek. 17
8. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek utolsó számjegye 6, és ha az utolsó helyről a 6-os számjegyet az első helyre tesszük miközbe a többi számjegy változatla marad, akkor a szám -szeresét kapjuk? Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1991; 5. osztályosok verseye Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, 196 Megoldás: A feltételek szeriti írásbeli szorzást az ábra mutatja. A befestett keretbe midkét helye ugyaaz a szám áll. Kezdjük el az írásbeli szorzást. A szorzat utolsó jegye, és mit tudjuk, a szorzadóba is ugyaazok a számjegyek állak, tehát ezt a -est a szorzadóba a 6-os elé írjuk. Ezt a két lépést ismételjük: kiszámoljuk a szorzat következő számjegyét, majd ezt a számjegyet leírjuk a szorzadóba is. Ezeket a lépéseket látjuk az ábráko. Addig folytatjuk az eljárást, amíg a szorzadóba fel em bukka a 6-os számjegy úgy, hogy az akkori szorzásál em keletkezik átvitel. Megtaláltuk a keresett számot: 1586. Oldjuk meg a feladatot egyelet segítségével is. A feltételek szerit: abck pq6 = 6abcK pq. Legye A= abck pq, ekkor ( 10 A+ 6) = 6 10 + A, ahol az A számjegyeiek száma. ( 10 ) A, 9A = 6 10, vagyis 1 = 10 8 A =. Eek a törtek az értéke 1 egész szám. Keressük a legkisebb olya pozitív egész számot, amelyre 1 10. Kezdjük el vizsgáli a 6, 96, 996, 9996, 99996, számokat, keressük az első 1-mal osztható számot. 5 ( 10 ) 99996= 1 769, így A = = 769= 158. 1 A keresett legkisebb szám 10 A + 6= 1586. Ha em a legkisebb számot keressük, akkor megkapjuk a további megoldásokat a 1586 szám többszöri egymás utá írásával: 15861586, 158615861586, 18