Az inga mozgásának matematikai modellezése

Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 1 / 12

Az alapelv L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 2 / 12

Az inga L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 3 / 12

Az ingára ható erő L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 4 / 12

Erő komponensei L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 5 / 12

Newton Másodrendű differenciálegyenlet L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12

Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12

Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12

Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a a = dv dt = d 2 s dt 2 F = ms L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12

Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a a = dv dt = d 2 s dt 2 F = ms s = l ϕ a = l ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 6 / 12

Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12

Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározása L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12

Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározása Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos, akkor L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12

Matematikai inga Mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Feladat: a ϕ(t) függvény meghatározása Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos, akkor a mozgásegyenlet: k - súrlódási tényező ml ϕ = mg sin ϕ kl ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 7 / 12

További lehetőségek - a helyzet fokozódik" Egyensúlyozó állán egy rúddal: L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 8 / 12

Modell: csak síkban mozoghat a rúd, L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12

Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egy periodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat: L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12

Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egy periodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat: F ml ϕ = m(g + ω 2 a cos ωt) sin ϕ kl ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12

Modell: csak síkban mozoghat a rúd, a fölfüggesztési pontra egy periodikus, függőleges, vagy vízszintes irányú erő hat: F V ml ϕ = m(g + ω 2 a cos ωt) sin ϕ kl ϕ ml ϕ = mg sin ϕ kl ϕ + m(ω 2 a cos ωt) cos ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 9 / 12

Segway L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 10 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": ml ϕ = mg sin ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": ml ϕ = mg sin ϕ GOND L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. ml ϕ = mg sin ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, a linearizált egyenlet L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ = mgϕ, L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Jósoljunk! Sem közegellenállás, sem megütés": GOND Nem tudjuk megadni ϕ(t)-t. Hogyan tovább? ml ϕ = mg sin ϕ Kicsi szögekre: sin ϕ ϕ, a linearizált egyenlet ml ϕ = mgϕ, amit meg tudunk oldani. L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 11 / 12

Segít a számítógép! Különböző programcsomagok használatával kísérletezhetünk", segíthetjük a sejtés kialakítását. L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 12 / 12

Segít a számítógép! Különböző programcsomagok használatával kísérletezhetünk", segíthetjük a sejtés kialakítását. http://illustrations.marin.ntnu.no//structures/dynamics/ pendulum/index.html L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 12 / 12

Segít a számítógép! Különböző programcsomagok használatával kísérletezhetünk", segíthetjük a sejtés kialakítását. http://illustrations.marin.ntnu.no//structures/dynamics/ pendulum/index.html A gép forog az alkotó pihen." L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08. 12 / 12