TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár
A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású szerkezeti elemet véges számú kicsiny, de geometriailag meghatározott elembıl (végeselemekbıl) felépített modellel helyettesítjük. A végeselemek csak a csomópontjaikban kapcsolódnak egymáshoz. Az elem csomópontjaiban ható terhelés (F e ) és az elem csomópontjainak elmozdulása (u e ) közötti összefüggés: F e = K e u e Ezt kiterjesztve a teljes szerkezetre: F = K u Az ismeretlen u csomóponti elmozdulásokra lineáris egyenletrendszert kapunk. Megoldása a szerkezeti elem alakváltozási állapotát adja, ennek ismeretében a feszültségek számíthatók.
A végeselem módszer lényege Egy alakatrész 3D-s végeselem modellje. Az elemtípus 4 csomópontos tetraéder elem
A végeselem módszer lényege A peremfeltételek és a terhelésmodell
A végeselem módszer lényege A számítás elsıdleges eredménye az elmozdulás-mezı, amibıl számíthatók a rugalmas alakváltozások és feszültségek.
A végeselem módszer lényege Egy alakatrész 3D-s végeselem modellje. Az elemtípus 2 csomópontos kvadratikus hexaéder elem
A végeselem módszer lényege A számítás elsıdleges eredménye az elmozdulás-mezı, amibıl számíthatók a rugalmas alakváltozások és feszültségek.
A végeselem módszer lényege A számítás elsıdleges eredménye az elmozdulás-mezı, amibıl számíthatók a rugalmas alakváltozások és feszültségek. Diploma.cdb 5.cdb
A végeselem módszer kialakulása Három tudományterület szintézise: a) szerkezetanalízis b) variáció számítás c) közelítı módszerek A fentieken túl a számítástechnika
A végeselem módszer kialakulása - zerkezetanalízis XIX. század közepe. Rácsos és gerenda szerkezetek erı elmozdulás kapcsolatrendszere, mátrix-számítás alapjai Erıvel és nyomatékkal terhelt tartó alakváltozása és terhelése közötti kapcsolat: f 3 2 l l = F + M l 2 l ϕ = F M 3EI 2EI 2EI + EI u = R F A kapcsolatot az R rugalmassági mátrix teremti meg.
A végeselem módszer kialakulása - zerkezetanalízis Erıvel és nyomatékkal terhelt tartó terhelés elmozdulás kapcsolata (elmozdulás-módszer) K a merevségi mátrix, ami az R rugalmassági mátrix inverze. F = K u ahol K = R -1 12EI1 F 3 L M u 6EI1 2 L i 6EI1 2 L F j M 4EI1 L i j ϕ
A végeselem módszer kialakulása - zerkezetanalízis Egy síkbeli gerendaszerkezet (keretszerkezet) csomópontjainak szabadságfokai: u elmozdulás ϕ elfordulás (A hoszirányú elmozdulás elhanyagolható) Nézzük a szerkezet j-ik elemének j és k végpontjában ható terhelések és elmozdulások közötti összefüggést:
A végeselem módszer kialakulása - zerkezetanalízis Nézzük a szerkezet j-ik elemének j és k végpontjában ható terhelések és elmozdulások közötti összefüggést: u j ϕ j uk ϕ k az e index az elemre utal F e = K e u e
A végeselem módszer kialakulása - zerkezetanalízis Az elemi merevségi mátrix csak a geometriai és mechanikai jellemzıktıl függ. Az elemre felírt merevségi egyenlet kiterjeszthetı az egész szerkezetre: ahol F = K u F a szerkezet csomópontjaiban ható terhelések oszlopvektora, u a szerkezet csomópontjainak elmozdulás oszlopvektora, K a szerkezet merevségi mátrixa. A módszer a számításokat n ismeretlenes, n egyenletbıl álló lineáris egyenletrendszer megoldására vezeti vissza. n a rendszer szabadságfokainak száma (síkbeli esetben 2 x csomópontszám megfogások) Az ismeretlen elmozdulások meghatározhatók: u = K -1 F
zerkezetünk terhelésvektora, elmozdulás-vektora és a merevségi mátrix, illetve -tól eltérı elemei A végeselem módszer kialakulása - zerkezetanalízis A F B = ϕ 1 u2 ϕ 2 u3 ϕ 3 ϕ 4 Az ismert elmozdulásokhoz (1. pont 1. elmozdulás-összetevıje és 4. pont 1. elmozdulásösszetevıje) tartozó sorokat és oszlopokat törülhetjük, itt nem az F e = K e u e összefüggés szerinti, hanem az elıírt elmozdulás lép fel.:
A végeselem módszer kialakulása - zerkezetanalízis F = ϕ1 u2 ϕ 2 u3 ϕ 3 ϕ 4 6 egyenletbıl álló egyenletrendszer marad a 6 ismeretlen elmozdulás meghatározására.
A végeselem módszer kialakulása - Variációszámítás XVIII. sz. eleje. Függvénykapcsolat: y = f(x) x független változók halmaza {A} a függvény értelmezési tartománya; y függı változók halmaza {B} a függvény értékkészlete. Funkcionál: Az {A} halmaz elemei függvények, a {B} halmaz elemei valós számok A leggyakoribb funkcionál egy határozott integrál: I( y ) = b L( x,y,y )dx a
A végeselem módszer kialakulása - Variációszámítás Annak a függvénynek a megkeresése amelyen egy határozott integrál szélsı értéket (minimum, vagy maximum) vesz fel. A módszer mérnöki (pl. rugalmasságtani) problémák megoldására alkalmas lenne, mivel: A szerkezet terhelés alatt olyan alakot vesz fel, amellyel a teljes potenciális energia minimum! Probléma: b I( y ) = L( x, y, y )dx a A funkcionál extrémum (szélsı érték) kereséséhez levezetett differenciálegyenlet (Euler Lagrange féle differenciálegyenlet) általában nem megoldható.
A végeselem módszer kialakulása Közelítı módszerek XX. század eleje: a variációszámítás közelítı módszerei Ritz, Rayleigh, Timosenko, Bubnov, Galjorkin stb. Egy mőszaki probléma megoldásához nem szükséges ismerni a tényleges matematikai függvényt, elég azt egy ismert függvénnyel helyettesíteni, amelyik az eredetit jól megközelíti. Lényege: Az I funkcionált egy jellegre elıre ismert próbafüggvénnyel írjuk fel, amely a peremfeltételeket kielégíti. Az Euler-Lagrange differenciálegyenlet megoldása helyett direkt megoldási eljárást alkalmazunk.
A végeselem módszer kialakulása Közelítı módszerek Pl. legyen a helyettesítı (próba -) függvény polinom: y = a + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + Könnyen differenciálható, integrálható. Direkt megoldás: A helyettesítı függvény a, a 1, a 2, a 3 konstansait úgy kell meghatározni, hogy a funkcionál minimumot adjon. Közelítés pontossága: a polinom tagok száma Probléma: a próbafüggvényeknek ki kell elégíteniük a peremfeltételeket a módszer alkalmazhatósága az egyszerő geometriájú alkatrészekre szőkül el. A végeselem módszer lényege: A variációszámítás közelítı módszerét nem az egész alkatrészre, hanem csak a geometriailag jól meghatározott végeselemekre alkalmazzuk: a permfeltételek kielégítése nem jelent nehézséget.
A végeselem módszer A modellt kicsiny, geometriailag meghatározott elemekre (végeselemekre) bontjuk, ezek csak a csomópontjaikban kapcsolódnak egymáshoz. Az eljárás további fı lépései: az elem merevségi mátrixának meghatározása; F e = K e u e a szerkezet merevségi mátrixának számítása; F = Ku a terhelések és peremfeltételek felvétele; a lineáris egyenletrendszer megoldásával az elmozdulás-mezı meghatározása; alakváltozások és feszültségek számítása
Végeselemes szerkezetanalízis A VE modellezés: 1. Matematikai modell geometriai modell terhelési modell anyagmodell peremfeltételek 2. Végeselem modell elemek (elemtípus, elemméret) csomópontok
A szerkezetelemzés folyamata A meghatározandó jellemzık: maximális feszültség, átlagos feszültség Pontossági követelmények; elızetes számítások (terhek, anyagjellemzık ) Koncepcionális modell készítése elemtípusok választása hálóstruktúra szimmetria feltételek peremfeltételek 2D-s megoldás lineáris megoldás Kiinduló modell elkészítése: hálóterv, peremfeltételek, terhelések, anyagjellemzık zámítás (VEM) Eredmények elemzése (deformációk: jó a modell? Feszültségek: finomítás?) Finomított modell készítése zámítás (VEM), eredmények elemzése (esetleg újabb finomított modell), eredmények összefoglalása.