Két péda ineárisan vátozó keresztmetszetű rúd húzása Eőző dogozatnkban meynek címe: Hámos rúd húzása szintén egy vátozó keresztmetszetű, egyenes tengeyű, végein P nagyságú erőve húzott rúd esetét vizs - gátk Most két oyan esetet részetezünk, meyekben ismert, zárt aakú képetekke is, majd nmeriksan is kiszámítjk a rdak megnyúását Ettő azt várjk, hogy nö - vekszik a nmeriks integráásba vetett bizaom, i csökken az ettő vaó ódzkodás Ehhez tekintsük az ábrát is! Péda: Csonkakúp aakú rúd húzása [ ] ábra Az ábra jeöéseive a kör keresztmetszet sgara az x koordináta függvényében: r r rx r ( x) = r + x ( ) A megfeeő keresztmetszeti terüet: A x = π r x ; ( ) ( ) ( ) most ( ) és ( ) - ve: r r A( x) = π r A húzófeszütség nagyságának aakása a rúd hossza mentén: N ( x) P σ ( x) = = A( x) r r π r ( 3 ) ( 4 ) A rúd megnyúása:
0 0 0 ( x) dx σ = dx = ε dx = dx = dx E ( ) P dx ( ) E A( x) N x = = dx = E A x 0 0 P P dx = dx E = A 0 ( x) E π 0 r r r, tehát: = I 0 r E r π ( 5 ) r + x P dx P = E π Az integráás: r r d r x dx + I = = ; r 0 r r r 0 r r ( 6 ) r r most az r r = r heyettesítésse: I d r r = = r r r r, = = = = = = ( 7 ) majd ( 6 ) és ( 7 ) - te: r r I = = r r r r r r eztán ( 5 ) és ( 8 ) - ca:, ( 8 )
3 = P E π r r ( 9 ) Az r = r = r 0 speciáis esetben azt kapjk, hogy P P = =, E π r E A 0 0 ( 9*) ami az áandó keresztmetszetű húzott rúd megnyúásának ismert képete Most fevesszük az acé anyagú rúdra az aábbi adatokat: ~ P = 0 kn, ~ E =, 0 /, ~ = 00, ( A ) ~ r =, ~ r = Majd ( 9 ) és ( A ) - gye: P 0000 N 00 = = = 0,0076, E π r r, 0 π 0, π tehát: 0,076 mm ( E ) Most gyanezekke az adatokka evégezzük a nmeriks integráást ábra ábra
4 Ennek eredménye: I = 50 ( / ) ( 8 / ) A megnyúás ( 5 ) és ( 8 / ) - gye: P 0000 N = I = 50 = 0,007579 0,076 mm, E π, 0 π megegyezésben ( E ) - gye A húzófeszütségek nagyságának aakása ( 4 ) aapján 3 ábra: Megjegyzések: ábra M A rúdban az x = 0 koordinátájú végkeresztmetszetben ébred a egnagyobb húzófeszütség, meynek nagysága 3,83 kn /, ami ényegesen kisebb az acé anyagú rúdra megadott 8 kn / nagyságú arányossági határná, így számításnk érvényes M Enné a feadatná cészerű az x koordinátát a szabad végtő mérni, mert ekkor kényemesebb a számoás
5 Péda: Vátozó széességű tégaap keresztmetszetű rúd központos húzása [ ] Ehhez tekintsük a 4 ábrát is! 4 ábra A keskenyedő derékszögű négyszög keresztmetszetű, t = konst vastagságú rdat egy P erő terhei, a 4 ábra szerint A rúd széessége ineáris törvény szerint vátozik a b szabad végi mérettő a b befogott végi méretig Meghatározandó a rúd δ megnyúása Az ábrához hasonóan az x koordinátát a rúd szabad végétő mérve a keresztmetszet széessége az x koordináta függvényében: b b b( x) = b + x ( 0 ) A keresztmetszeti terüet függvénye: b b A( x) = t b( x) = t b ( ) A húzófeszütség függvénye: N ( x) P σ ( x) = = A( x) b b t b ( ) A megnyúás kifejezése: N ( x) P dx P δ = dx = = J, E A 0 ( x) E t b 0 b b E t + x ( 3 ) aho:
6 J b b d b x = = = dx + J ; b 0 b b b b 0 b b b b x + b + x ( 4 ) bevezetve a v új vátozót: b b v b x = + ; ( 5 ) ezze és ( 4 ) - gye: v dv v b = = n n = n = n ; v v v b J v v ( 6 ) most ( 4 ) és ( 6 ) - ta: b J = n, b b b ( 7 ) majd ( 3 ) és ( 7 ) - te: P b δ = n, E t b b b ( 8 ) egyezésben a [ ] - ben megadott végeredménnye Adatok: ~ P = 50 kn, ~ E =, 0 /, ~ t = ; ~ = 00, ( A ) ~ b = 0, ~ b = 5 Az aábbiakban eőször ( ) aapján a húzófeszütség ábráját áítjk eő 5 ábra A rúdban a egnagyobb húzófeszütség az x = 0 koordinátájú keresztmetszetben ébred, meynek nagysága 0 kn /, ami kisebb, mint a rúd anyagára megadott 8 kn / arányossági határ Eztán meghatározzk a megnyúást, eőször ( 8 ) aapján, ( A ) - ve is:
7 5 ábra 6 50000 N 00 0 5 0 n 7 0 5 5 5, 0 δ = n = n = 0, 033,, 0 tehát: δ 0,33 mm ( E ) Majd ( 4 ) szerint kiszámítjk a J integrát 6 ábra: 6 ábra
8 Az áráró eovashatóan: J = 3,869 ( 4 / ) Most ( 3 ) és ( 4 / ) - gye: P 50000 N δ = J = 3,869 = 0, 033, E t, 0 tehát: P 50000 N δ = J = 3,869 = 0,033 = 0,33 mm, E t, 0 megegyezésben ( E ) - ve Ezze kitűzött feadatainkat megodottk átjk, hogy a nmeriks integráás mindkét esetben könnyen és gyorsan szogátatta a számszerűen pontos eredményt A részetesen tárgyat két feadat közös vonása, hogy ismeretes a zárt aakú képette adott megnyúás - végeredmény Azt kívántk megmtatni, hogy a számtaan, sokka bonyotabb integrandszhoz tartozó eseteg zárt aakban meg sem adható vég - eredmények keresésének erőtetése heyett nagyon ajánható a nmeriks integráás akamazása, akár a mindennapi mnka szintjén is Ezt a ehetőséget már az eőző dogozat feadatáva kapcsoatban is kihasznátk Igaz, ennek eőfetétee egy köny - nyen hasznáható szoftver megéte Az átank évek óta hasznát Graph - ró e - mondhatjk, hogy hasznáata viszonyag egyszerűen megtanható, és korábban reményteennek tartott feadatok sorát odottk meg vee Errő az érdekődő Ovasó saját maga is meggyőződhet, honapnk böngészéséve Irodaom: [ ] J P Den Hartog: Strength of Materias Dover Pbication, Inc, New York, 977, 5 ~ 6 o [ ] S P Timoshenko ~ James M Gere: Mechanics of Materias orosz kiadás: MIR, Moszkva, 976, 53 o Sződiget, 04 febrár 4 Összeáította: Gagóczi Gya mérnöktanár