Matematikai segéet Takács Gábor 5. ecember 5.. Legenre-poinomok A Legenre-fée ifferenciáegyenet x P.. Megoás hatványsor aakban + νν + P Mive az egyenet másorenű, két ineárisan függeten megoása étezik. Keressük a [, ] intervaumon reguáris megoásokat a következő aakban: Beheyettesítve: P x x α n c n x n { α + nα + n cn x α+n [α + nα + n + νν + ] } c n x α+n n Együtthatók: Ezért x α : αα c x α : αα + c x α+j : α + j + α + j + c j+ [α + jα + j + νν + ]c j j N c j+ α + jα + j + νν + c j α + j + α + j + és vagy csak páros, vagy csak páratan hatványok forunak eő. Két eset van: c : α vagy α c : α vagy α A másoik ehetőség min a két esetben paritást vát, a függeten esetek tehát az α váasztássa eőának: jj + νν + c j+ c j j + j + Mive c j+ c j ha j
minkét sor ivergá x -ben, kivéve, ha véges sok tag után terminának. Ez akkor ehetséges, ha ν N és ekkor paritásátó függően a páros vagy a páratan sor terminá. Ezt a megoást a következőképpen normájuk: P és -efokú Legenre poinomnak nevezzük, jee P x Megjegyzés: az r, θ, φ gömbi koorinátákban feírt Lapace-egyenet megoásakor az x jeentése x cos θ Az x ± pontokbei reguaritás megköveteése azt jeenti, hogy a megoási tartomány a θ poárszögben a tejes [, π] intervaum. Amennyiben ez nem követemény p. a csúcshatás tárgyaásáná, megengehető, hogy tetszőeges vaós szám egyen, vaamint ha egyik pontban sem szükséges a reguaritás, akkor minkét ineárisan függeten megoás szóba jöhet iyenkor a megoások nem poinomok. Az paraméter anaitikusan akár a kompex síkra is kiterjeszthető. Mive az egyenetnek szimmetriája, ezért az paraméter funamentáis tartománya.. Ortogonaitás A Legenre poinomok ortogonáisak: és ˆ ˆ ˆ ˆ P x Re x P x + + P x P x x P x + + P xp x P x [ + + ] x P x P x x P x ˆ P P + + P xp x + + P xp x azaz ˆ P xp x Mive minen x n hatvány eőá a Legenre poinomok ineáris kombinációjaként, ezért egyben tejes függvényrenszert is akotnak. Ráaásu mive az x n hatványt náa nem nagyobb fokú Legenre-poinomokka ehet kifejezni, ezért ˆ x n P x > n
azaz a Legenre-poinomok pont az eemi hatványokbó Gram-Schmit ortogonaizációva képzett bázis a [, ] intervaumon négyzetesen integráható függvények terében. Normájuk ezeket a függvényeket a P fetétee..3. Rorigues formua A fentiekbő következik a Rorigues formua: P x! x Bizonyítás: eőször is -szeres parciáis integráássa ˆ + x n x > n tehát minenképpen igaz, hogy P x x mive utóbbi egy -efokú poinom, ami minen náa kisebb fokszámú poinomra ortogonáis a [, ] intervaumon. Expicit számítássa eenőrizhető, hogy! x x Bizonyítás:! x x! x x + x n! n x n n x + n n x Ebbő csak az n tag a járuékot x -né, azaz! x x! x + x! x +!.4. Generátorfüggvény x A Lapace-egyenet átaános megoása azimutáis szimmetria esetén x Φr, θ A r + B r P cos θ A Gx, x x x 3
is megoja a Lapace egyenetet ha x x : x x x Legyen x e z és x r <, ekkor az r -ban vett reguaritás miatt B és azaz t cos θ jeöésse és a t pontban x e z A x P cos θ A r P t tr + r r A r A Átjeöve a vátozókat, ezze beáttuk, hogy a Legenre poinomok generátorfüggvénye.5. Normáás Most már csak t P x xt + t N ˆ ke. Inujunk ki a generátorfüggvénybő: xt + t Minkét oat integráva Eemi integráássa Fehasznáva. hogy aóik, hogy ˆ ˆ P x t k t P xp k x k xt + t N k t k k xt + t t og + t t og t og + t N k t k k t n n n n tn n n k k + tk azaz a Legenre-poinomok tejes ortogonaitási reációja ˆ P xp x + δ 4
.6. Függvények kifejtése Legyen f egy a [, ] intervaumon négyzetesen integráható függvény. Ekkor fx c P x aho c + ˆ + P xfx. Asszociát Legenre függvények Az asszociát Legenre-egyenet x P + aho kihasznáva az egyenet szimmetriáját a transzformációra, egyen ν... Szinguáris pontok [νν + m ν ν x Ennek az egyenetnek x ± szinguáris pontjai. Átírva a vátozót és a megoást x ξ ξ ξ ξ ξp ξ ξ + [ νν + ξ ξ m ] P P x ξ α n c n ξ n ] P 3 aakban keresve α ± m aóik. Ebbő csak a pozitív eője efogaható a reguaritás miatt. Ezek szerint P x x m/ ha x. Ugyanez a gonoatmenet heyettesítésse azt aja, hogy ha x. x + ξ P x + x m/ 5
.. Ansatz és rekurzió Ezért keressük a megoást a következő aakban: P x x m/ px 4 Legyen m > és fejtsük ki a p függvényt: px n c n x n Ekkor azt kapjuk, hogy [ nn x n mm + + n + m νν + x n] c n azaz n c n+ mm + + n + m νν + c n n + n + Ez a rekurzió m -ra visszaaja -t, ahogy ez e is várható. Megint van egy páros és egy páratan megoás, ameyek egymástó függetenek. A reguaritáshoz x ±-ben megint az ke, hogy a sor termináójon; ez akkor történik meg, ha a fenti rekurzióban a számáó, ami két esetben ehetséges: n m ν n ν m Ekkor a másoik ehetőség vezethet terminááshoz, amihez az ke, hogy ν N és m Ekkor a megfeeő paritású hatványokbó áó px egy m-e fokú poinom..3. Megoás eőáítása a Legenre-poinomokka Expicit beheyettesítésse eenőrizhető, hogy a P m x x m/ m P x m megoja az asszociát Legenre-egyenetet. Bizonyítás: ifferenciájuk e a Legenre-egyenetet m-szer m m x P + + P azaz p m x m P m x m m x p m x x P x xp + + P x +m P mx+m +m x P +m x mm P m m x x +m P +m x P mxm m x + + P m m x ami egy m-efokú poinom megoja az m + x pm x + [ + mm + ] p m x 6
egyenetet. Másfeő a 4 Ansatzot az asszociát Legenre-egyenetbe heyettesítve az aóik, hogy az ott szerepő px függvény megoja az x px m + x px egyenetet. Ebbő következik, hogy a normáást egynek váasztva px p m x m P m x + [ + mm + ] px 5 hiszen a rekurzió szerint a 5 egyenetnek normáás erejéig egyeten oyan megoása van, ami m-efokú poinom..4. Kiterjesztés m < -ra P m x x m/ m P x x m/ m! +m x Ez kiterjeszthető arra az esetre, ha m. Azonban mive 3 csak m -et tartamazza, P m x és P m x ugyanazt az asszociát Legenre-egyenetet oja meg, aminek tujuk, hogy normáás erejéig csak egy véges fokú poinom megoása van. Ezért ez a két függvény nem ehet függeten egymástó; köztük fenná a P m m m! x + m! P m x reáció. Bizonyítás: mive nem ehetnek függetenek, ezért P m x c m P m x és csak c m értéke a kéréses. Ez az egyenet kiírva azaz m +m +m x m/! m x c m x m/! +m x m m x c m x m +m +m x A két oaon a egmagasabb fokú tag együtthatója meg ke egyezzen: m m x c m x m +m +m x és itt már expicite e tujuk végezni a eriváást:... + m + x +m c m m... m + x +m azaz amibő az áítás következik.! + m! c m m! m! 7
.5. Az asszociát Legenre-függvények aapvető tuajonságai. P m x P x. P m x, m >. Ez egyszerűen következik abbó, hogy P m x x m/ m P x x m/ m! és egy -efokú poinom -né magasabb erivátja nua. 3. Ortogonaitás ˆ + P m xp m x +m +m x ha. A bizonyítás ugyanúgy megy, ahogy a P Legenre poinomokná áttuk. 4. Normáás ˆ + Bizonyítás: Ezt beírjuk az integrá aá ˆ + P m m + m! m! P m xp m x + + m! m! P m m + m! x m! P m x xp m x ˆ + m! m x +m! +m x Most m-szer parciáisan integráunk, a kiintegrát rész a határon minig : + m! m! ˆ + ˆ + + m! P x m! + m! + m!! x! x Ennek következménye 3. Gömbfüggvények ˆ + P m xp m x + + m! m! δ 3.. Definíció + m! Y m θ, φ 4π + m! P m cos θe imφ 8
3.. Ortonormátság ˆ Bizonyítás: azaz Fehasznáva, hogy ΩY m θ, φ Y m θ, φ δ δ mm Ω sin θθφ cos θφ ˆ ΩY m θ, φ Y m θ, φ ˆ + m! + m! ˆ π P m 4π + m! 4π + m xp m! x ˆ π φe im m φ azt kapjuk, hogy ˆ ΩY m θ, φ Y m θ, φ + m! 4π + m! + m! 4π + m! φe im m φ πδ mm ˆ + m! 4π + m! πδ mm + m! 4π + m! πδ mm P m xp m x + m! + m! δ 3.3. Tejesség δ δ mm Ha aott a gömbfeüeten egy fθ, φ négyzetesen integráható függvény, azaz ˆ Ω fθ, φ < akkor kifejthető gömbfüggvények szerint fθ, φ f m m f m Y m θ, φ m ˆ ΩY m θ, φ fθ, φ Ez mit is jeent? m ˆ fθ, φ Ω Y m θ, φy m θ, φ fθ, φ m ˆ ˆ cos θ m φ Y m θ, φy m θ, φ fθ, φ m azaz m Y m θ, φy m θ, φ δcos θ cos θ δφ φ m Ez fejezi ki azt, hogy a gömbfüggvények renszere tejes. 9
3.4. Aíciós téte P cos γ 4π + m Y mθ, φ Y m θ, φ aho γ a θ, φ és a θ, φ poárszögekke jeemzett irányok közötti szög. 4. Besse-függvények A Besse-fée ifferenciáegyenet J x + x J x + ν Jx 4.. Hatványsor megoás x Jx x α n c n x n α ±ν c k 4kk + α c k c k A megoást feírhatjuk a gamma-függvény Γx segítségéve. A stanar inuó normáás ekkor t t x e t Γx + xγx ΓxΓ x π sin πx Γn n! n Z + a k a Ha ν / N, akkor a két függeten megoás α Γα + k k+α k!γk + α + J ν x J ν x ν k ν k k k k!γk + ν + k k 6 k!γk ν + ezek a sorok minen x C-re abszoút konvergensek. Azonban, ha ν m N J m x m J m x
Ezt úgy ojuk meg, hogy efiniájuk a Neumann-függvényt N ν x J νx cos πν J ν x sin πν J ν és N ν minig bázist akot; N ν -nek akkor is van imesze, ha ν m Z. A Besse-egyenet megoásának egy másik bázisát aják az ún. Hanke-függvények Az összes iyen függvényre igaz, hogy H ν, x J ν x ± in ν x Ω ν x + Ω ν+ x ν x Ω νx Ω ν x Ω ν+ x Ω νx aho Ω ehet J, N vagy H,. Bizonyítás: a 6 sorbó expicit számítássa átható, hogy xν J ν x x ν J ν x x ν J ν x x ν J ν+ x Evégezve a eriváást a fenti formuákban kapjuk, hogy azaz A két egyenetet összeava és kivonva ν x J νx + J νx J ν x ν x J νx + J νx J ν+ x J ν x ν x J νx + J νx J ν+ x ν x J νx J νx J ν x + J ν+ x ν x J νx J ν x J ν+ x J νx innen peig N ν és H ν, efinícióját hasznáva ez utóbbiakra is következik az áítás. A Besse-függvények eőáíthatók a következő integráa: J ν x Bizonyítás: fejtsük sorba az exponenciáist ν ˆ + t ν / e ixt t ν > / πγ ν + ν ˆ + t ν / ixt n t πγ ν + n! n ix n ν ˆ + t ν / t n t n! πγ ν + n
A ˆ + t ν / t n t integrá, ha n páratan. Ha peig n s, akkor Ugyanakkor és Γ/ π, ezért ˆ + Ezt beírva, az integráunk t ν / t s t ˆ + ˆ + t ν / t s t u ν / u s / t Γν + /Γs + / Γs + ν + Γs + / s + /s /.../Γ/ Γs + / s! π s s! ν ˆ + ν t ν / e ixt s s t πγ ν + s!γs + ν + s J ν x Expicit számoássa átható továbbá, hogy aho J ν x N ν x γ im n ν Γν + { π og x + γ ν ν ν n k Γν π x k og n.577... az Euer-Mascheroni áanó. Nagy x-re peig J ν x x πx cos νπ π 4 N ν x x πx sin νπ π 4 Ez utóbbit a móosított Besse-függvények segítségéve igazojuk. 4.. Móosított Besse-egyenet Y x + x Y x + ν Y x Ennek megoásai a móosított Besse-függvények I ±ν x, aho I ν x ν k i ν J ν ix x k k!γk + ν +
aho, ha ν nem egész, akkor a következőképpen ke érteni a kompex hatványt: i ν e i π ν Ha ν m egész, akkor I m I m és a másik függeten megoás K m x im ν m K ν x K ν x π I ν x I ν x sin νπ Expicit számoássa N ν és H ν efinícióját hasznáva átható, hogy itt a kompex hatvány értéke Ezekre a függvényekre a rekurziós reációk K ν x π iν+ H ν ix i ν+ e i π ν+ xν I ν x x ν I ν x x ν I ν x x ν I ν+ x ν x I νx + I νx I ν x ν x I νx + I νx I ν+ x ietve I ν x I ν+ x ν x I νx I ν x + I ν+ x I νx xν K ν x x ν K ν x x ν K ν x x ν K ν+ x ν x K νx + K νx K ν x ν x K νx + K νx K ν+ x K ν x K ν+ x ν x K νx K ν x + K ν+ x K νx bizonyítás mint J-re. Az I n móosított Besse-függvényekre átvihető a J n Besse-függvények integrá eőáítása: I ν x i ν J ν ix ν ˆ + t ν / e xt t x >, ν > / πγ ν + 3
Másrészt igazoható, hogy π K ν x Γ ν t ν / e xt t x >, ν > / ν + Ez utóbbit úgy tujuk beátni, hogy megmutatjuk, hogy P ν x x ν t ν / e xt t kieégíti a móosított Besse-egyenetet: ezért x P ν x + xp νx + ν P ν x [ x ν+ xt ν+/ n + ] tt ν / e xt t x ν+ Nagy és pozitív x-re heyettesítsünk [ t ν+/ e xt] t t P ν x A ν I ν x + B ν K ν x ekkor t + u x ν / u P ν x x ν+ x + u e x u u x ν / ˆ u x ν+ e x + u ν / u x x ν / e u u ν / ˆ x ν+ e x u ν / e u u x ν / e x x / e x Tehát Γν + /x ν+ x P ν x x Mive I n x hatványsorában az összes együttható pozitív, ezért I n x a végteenhez tart, ha x. Ebbő következik, hogy A ν, azaz P ν x B ν K ν x B ν onnan számítható ki, hogy megnézzük a két oa visekeését x körü. Ekkor ismét a heyettesítést hasznáva t + u x P ν x x ν t ν / e xt t ν / u x ν+ x + u e x u u x x ν e x + x ν / u ν e u u u x ν u ν e u u Γνx ν 4
Másrészt I n hatványsorát és K n efinícióját hasznáva ezért tehát De ezért K ν x Γνν x ν B ν Γν Γν ν Γν ν π ΓνΓν + / B ν ν π Γν + / Tehát K ν x B ν P ν x π Γ ν t ν / e xt t ν + 4.3. A Besse-függvények aszimptotikus visekeése Fehasznáva, hogy nagy x-re P ν x Γν + /x ν+ x ν / e x azt kapjuk, hogy Viszont ezért nagy x-re Viszont K ν x π x e x K ν x π iν+ H ν ix H ν x πx eix ν+/π/ J ν x Re H ν x K ν x Im H ν x ezért nagy x-re J ν x N ν x x πx cos νπ π 4 x πx sin νπ π 4 5
4.4. Néhány hasznos integráformua móosított Besse-függvényekke. A Cserenkov-sugárzás kiszámításáná hasznájuk, hogy e isx s s + K t és a fentiekben kiszámot aszimptotikus visekeést: π K x e x + O/x x. A szinkrotron sugárzás kiszámításakor fehasznátuk az [ x sin x 3 ξ + 3 ] x3 [ cos 3 ξ összefüggéseket. 3 K /3 x x + 3 x3 ] 3 K /3 x 3. A szinkrotron sugárzás spektrumának frekvencia szerinti kiintegráásához peig a következő formua jön jó: πγ +α x α K ν x Γ +α ν Γ +α + ν 4Γ + α aho Re α + ν > és pontosabban ennek α esete: Re α ν > ξξ K ν ξ π 4ν 3 cos πν aho Re ν < 3 amibő a frekvenciaintegrááshoz szükséges formuák a következők: 4.5. A Besse-függvények gyökei A egyenetnek végteen sok megoása van: ξξ K /3 ξ 5π 44 ξξ K /3 ξ 7π 44 J ν x x νn n,,... J ν aszimptotikáját fehasznáva, az origótó távo fekvő gyökök értéke x νn nπ + ν π 6
4.6. Egy fontos integrá Amennyiben akkor J ν ξa Eőször is J n megoja a Besse-egyenetet, ezért x [J ν ξx] a [J ν+ξa] így azaz ahonnan x J νξx + x J νξx + ξ x ν J ν ξx J νξx x x J νξx J νξx + x J νξx + ξ x ν J ν ξx + ξ x ν J ν ξx ξ xj ν ξx ξ xj ν ξx x J νξx + ξ x ν J ν ξx ξ xj ν ξx a J νξx + ξ a ν J ν ξa xa + ν J ν Na most egyfeő nemnegatív ν-re másfeő így Viszont νj ν J ν ξa xj ν ξx ξ a J νξx xa J ν+ x ν x J νx J νx ahonnan azaz Innen ξj ν+ ξx ν x J νξx J νξx J νξx ν xa a J νξa ξj ν+ ξa ξj ν+ ξa x [J ν ξx] a [J ν+ξa] 7
4.7. A Besse-függvények ortogonaitása ρ ρ J νx νn ρ/a + ρ ρ Jx νnρ/a + ρ ρ ρ ρ Jx νnρ/a + x ρ νn a ν x ρ νn a ν J ν x νn ρ/a J ν x νn ρ/a Szorozzuk ezt be ρ Jx νn ρ/a-va, integrájuk ki és integrájunk parciáisan az eső tagban: [ ] [ ] ρρ ρ Jx νnρ/a ρ Jx νn ρ/a + ρρ J ν x νn ρ/a x ρ νn a ν J ν x νn ρ/a Cseréjük meg n-et és n -t: + A két egyenetet egymásbó kivonva [ ] [ ] ρρ ρ Jx νn ρ/a ρ Jx νnρ/a ρρ ρ J ν x νn ρ/a x νn a ν J ν x νn ρ/a a x νn x νn ρρj ν x νn ρ/aj ν x νn ρ/a amibő az eőbb igazot formuát fehasznáva kapjuk, hogy ρρj ν x νn ρ/aj ν x νn ρ/a a [J ν+x νn ] δ nn 4.8. Besse-Fourier sor és tejesség Bármey ν-re, a J ν x νn ρ/a n N függvények tejes ortogonáis renszert akotnak a [, a] intervaumon. négyzetesen integráható az ρρ fρ < érteemben, akkor f feírható fρ f n J ν x νn ρ/a n Ha egy f függvény aakban, aho az ortogonaitási reációt fehasznáva Tehát azaz fρ n f n [J ν+ x νn a] ρ ρ n ρρj ν x νn ρ/afρ [J ν+ x νn ] J νx νn ρ/aj ν x νn ρ /afρ [J ν+ x νn ] J νx νn ρ/aj ν x νn ρ /a ρ δρ ρ 8
4.9. Hanke transzformáció Ha végteen féegyenest veszünk, azaz a akkor a x νn a huámszámok besűrűsönek és foytonossá vának a és között; egyen az ennek megfeeő vátozó jee k. Ekkor az ortogonaitási reáció határesete a következő aakú esz: Ha f-re igaz, hogy véges, akkor a következő aakba írható: aho az F ν k Hanke-transzformát ρρj ν kρj ν k ρ k δk k fρ F ν k ρρ / fρ k kf ν kj ν kρ ρ ρfρj ν kρ Ez a Fourier transzformáció megfeeője a féegyenesen, és minen ν > / esetére efiniát. 9