Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1
Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás függvény x(t) = e at alakú. Hasonló alakú megoldást kapunk akkor is ha x(t) R n és A R n n. Az ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x 0 homogén diff. egyenlet megoldása: x(t) = e At x 0, 2015 2
Állapotgyenletek megoldása ahol az e At exponenciális mátrixfüggvényt a következőképpen értelmezzük: e At = I + At + A2 t 2 2! + A3 t 3 3! +..., az e at = 1+at +a 2 t 2 /2!+... hatványsorral való analógia alapján. 2015 3
Állapotgyenletek megoldása Diagonál reprezentációknál e A dt alakja igen egyszerű. Legyen A d R 2 2, ekkor e A dt = eλ 1t 0 0 e λ 2t. 2015 4
Állapotgyenletek megoldása Az inhomogén ẋ = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) egyenlet megoldása a következő: x(t) = e At x 0 + y(t) = c T x(t). t 0 e A(t τ) bu(τ)dτ 2015 5
Állapotgyenletek megoldása Ebből a konvolúciós integrálból közvetlenül látható, hogy a rendszer súlyfüggvényét az állapottér reprezentáció ismeretében a következőképp kapjuk: g(t) = c T e At b. 2015 6
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 7
Állapot visszacsatolás Adott egy rendszer n-dimenziós (A,b,c T ) állapottér reprezentációja: ẋ = Ax + bu y = c T x. A rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = det(si A) = s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0. Cél: módosítsuk a rendszer dinamikáját az x(t) állapot visszacsatolásával, azaz legyen a bemenőjel u = k T x + r, 2015 8
Állapot visszacsatolás ahol: r(t) egy külső referencia jel, k T a visszacsatolás erősítési tényezőinek sorvektora: [ ] k T = k n 1... k 0. 2015 9
Állapot visszacsatolás A visszacsatolt (zárt) rendszer blokkdiagramja: 2015 10
Állapot visszacsatolás Behelyettesítve a bemenőjel alakját az állapotegyenletbe, a zárt rendszer állapotegyenlete a következő lesz: ẋ = Ax + b( k T x + r), ẋ = ( A bk T) x + br, y = c T x, amiből a zárt rendszer karakterisztikus polinomjára azt kapjuk, hogy ā(s) = det(si A+bk T ) = s n +ā n 1 s n 1 +...+ā 1 s+ā 0. 2015 11
Állapot visszacsatolás Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a k erősítés megfelelő megválasztásával a zárt rendszer karakterisztikus polinomja tetszőlegesen beállítható, ha az (A,b,c T ) rendszer irányítható. Mivel minden irányítható állapottér reprezentáció irányítható alakra hozható, tegyük fel, hogy a rendszert irányítható alakra hoztuk: ẋ c = A c x c + b c u y = c T c x c. 2015 12
Állapot visszacsatolás Ekkor az ẋ c = ( A c b c k T c ) xc + br egyenletben A c b c k T c = = a n 1... a 1 a 0 1 1 0 0 0 [ ] k 0..... cn 1... k c0 = 0... 1 0 0 (a n 1 + k cn 1 )... (a 1 + k c1 ) (a 0 + k c0 ) 1 0 0, 0.... 0... 1 0 2015 13
Állapot visszacsatolás amiből következik, hogy ā(s) = det(si A c + b c k T c ) = s n + (a n 1 + k cn 1 )s n 1 +... + (a 1 + k c1 )s + (a 0 + k c0 ), tehát a zárt rendszer karakterisztikus polinomjának ā i, (i = 0,...,n 1) együtthatóit előírva ehhez a k vektor elemei meghatározhatók: ā i = a i + k ci = k ci = ā i a i, i = 0,...,n 1. 2015 14
Állapot visszacsatolás Ha a zárt rendszer pólusait előírjuk, akkor rögzítjük a p 1,..., p n pólusokat, amiből az ā(s) karakterisztikus polinomot ā(s) = (s p 1 )... (s p n ) alakban számítjuk. 2015 15
Állapot visszacsatolás Ezzel az eljárással az irányíthatósági alakra vonatkozó k T c erősítés vektort tetszőlegesen előírt ā(s) karakterisztikus polinomhoz meg tudjuk határozni. Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy T c nemszinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható. 2015 16
Állapot visszacsatolás Az irányíthatósági alakban jelöljük A c és b c -vel az állapotdinamikai egyenlet mátrixait. A tervezés ebben az irányíthatósági alakban történik. A tervezett kc T erősítést azonban vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére! A visszatranszformálás összefüggése: k T = k T c T c 2015 17
Állapot visszacsatolás Az állapot visszacsatolás tervezési lépései: 1. A rendszer irányíthatóságának ellenőrzése 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomjának számítása: a(s) = det (si A) 3. A T c irányíthatósági alakba transzformáló mátrix meghatározása 2015 18
Állapot visszacsatolás 4. Az új p i pólusok előírása, a szabályozott rendszer karakterisztikus polinomjának kiszámítása: ā(s) = (s p 1 )... (s p n ) 5. Az irányíthatósági alakra vonatkozó erősítések számítása: k ci = ā i a i 2015 19
Állapot visszacsatolás 6. A kapott erősítés vektor visszatranszformálása az eredeti állapottérbe: k T = k T c T c 7. A zárt, szabályozott rendszer időtartományi viselkedésének elemzése 2015 20
Inverz inga egyszerűsített modellje Az inverz inga egy M tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, melynek m tömege a rúd középpontjába van redukálva. 2015 21
Az inverz inga mint dinamikus rendszer súlyfüggvényének és átviteli függvényének levezetéséhez a Newton mozgásegyenletekből indulunk ki, amelyeket az M és m tömegekre írunk fel. 2015 22
Példa: Inverz inga szabályozása pólusallokációval Az inverz inga u bemenőjele (horizontális erő) és θ kimenőjele (szögelfordulás) közötti átviteli függvény. θ(s) = 1/Ml s 2 a 0 U(s), ahol M a kocsi tömege m az inga tömege a 0 = (M + m)g Ml g l > 0, l az inga hossza. A rendszer pólusai: p 1,2 = ± a 0. Az inverz inga instabil, de ha irányítható, akkor pólusallokációval stabilizálhatjuk. 2015 23
Az inga irányíthatósági állapottér reprezentációja: A c = 0 a 0 1 0, b c = 1 0, irányíthatósági mátrixa: C 2 (A c,b c ) = 1 0 0 1, tehát rangc 2 (A c,b c ) = 2, így az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. Megjegyzés: az a rendszer, aminek létezik irányíthatósági állapottér reprezentációja, eleve irányítható! 2015 24
Legyen l = 9.81m, ekkor a(s) = s 2 a o = s 2 1 és írjuk elő, hogy a zárt rendszernek két valós pólusa legyen, pl. p 1 = 1 és p 2 = 2! A ā(s) = (s + 1)(s + 2) = s 2 + 3s + 2, így ā 1 = 3, ā 0 = 2. Az állapot erősítés tehát: k 1 = ā 1 a 1 = 3, k 0 = ā 0 a 0 = 2 ( 1) = 3. 2015 25
Ellenőrzésképpen a visszacsatolt rendszer karakterisztikus egyenlete: det ( si A c + b c k T) = det s 1 + 3 3 = 1 s 0 0 = det s + 3 2 = s 2 + 3s + 2, 1 s a zárt rendszer pólusai tehát valóban stabilak és p 1 = 1, p 2 = 2. 2015 26
Az inverz inga összetett mechanikai modellje: z = m M g θ + 1 M u θ = (M + m)g θ 1 M l M l u Válasszuk meg az állapotvektort és a rendszer kimenetét a következő módon: x = [ ] T z ż θ θ y = z 2015 27
Így az inverz inga állapotdinamikai és megfigyelési egyenletei: ż z θ θ = 0 1 0 0 0 0 m M g 0 0 0 0 1 0 0 (M+m)g Ml 0 z ż θ θ + 0 1 M 0 1 Ml u y = [ 1 0 0 0 ] z ż θ θ 2015 28
Helyettesítsük be az M = 2kg, m = 0, 1kg és l = 0, 5m paramétereket! A = 0 1 0 0 0 0 0,4903 0 0 0 0 1 0 0 20,594 0 b = 0 0,5 0 1 c T = [ ] 1 0 0 0 2015 29
Az irányíthatósági mátrix: 0 0, 5 0 0, 4903 0, 5 0 0, 4903 0 C = 0 1 0 20, 594 1 0 20, 594 0 2015 30
1. det(c) = 96,1714 0 tehát az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = s 4 20,594s 2, pólusai pedig: 0, 0, 4.5381, 4.5381 2015 31
3. Az irányíthatósági alakba vivő transzformációs mátrix: 1 0 20,594 0 T c = (C T ) 1 0 1 0 20,594 T = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 T c = 0 0, 102 0 0, 051 0, 102 0 0, 051 0 2015 32
4. Tervezés kétféle pólus konfigurációra: p 1 = [ 5 5 2 + 3,46i 2 3,46i] p 2 = [ 4,5381 4,5381 2 2] ā 1 (s) =s 4 + 14s 3 + 80,9716s 2 + 259,716s + 399,29 ā 2 (s) =s 4 + 13,0762s 3 + 60,8992s 2 + 118,6822s + 82,3774 2015 33
5. Erősítések irányíthatósági alakban: k T c 1 = [14 101,5656 259,716 399,29] k T c 2 = [13,0762 81,4932 118,6822 82,3774] 6. Erősítések visszatranszformált alakban: k T 1 = [ 40,7160 26,4835 121,9236 27,2418] k T 2 = [ 8,4001 12,1022 85,6932 19,1273] 7. Elemzés időtartományban, az 1. másodpercben Dirac δ gerjesztést adva a rúd szögsebességére ( pöckölés ): 2015 34
A rúd θ szögelfordulása az első esetben: 0.5 0.4 0.3 θ rúd szögelfordulás [fok] 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Idõ [sec] 2015 35
A kocsi z elmozdulása az első esetben: 10 8 z kocsi elmozdulás [mm] 6 4 2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Idõ [sec] 2015 36
A rendszer bemenetének alakulása az első esetben: 30 25 20 Bemenet [N] 15 10 5 0 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Idõ [sec] 2015 37
A rúd θ szögelfordulása a második esetben: 0.6 0.5 0.4 θ rúd szögelfordulás [fok] 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Idõ [sec] 2015 38
A kocsi z elmozdulása a második esetben: 8 6 z kocsi elmozdulás [mm] 4 2 0 2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Idõ [sec] 2015 39
A rendszerbemenet alakulása a második esetben: 20 15 Bemenet [N] 10 5 0 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Idõ [sec] 2015 40
Látható, hogy a második esetben kisebbek a túllendülések mind θ-t, mind z-t tekintve és a rendszer bemenetének maximális értéke is kisebb (ahogy a k T erősítés vektor elemei is kisebbek). Ez annak köszönhető, hogy a komplex konjugált pár helyett csak a valós részeket használtuk a második esetben és a valós pólusokat is közelebb helyeztük el a 0-hoz. 2015 41
Jól megfigyelhető az is, hogy a komplex konjugált pár lengőrendszert jelent. Az első esetben minden jellemző több lengésen keresztül áll csak be zérus értékűre. Ezzel szemben a második esetben a csak valós pólusok egyszeri lengés után aszimptotikus beállást eredményeznek. 2015 42