Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Rozner Bence Péter Dszkrét matematka modellek és néhány alkalmazásuk a természettudományokban BSc Szakdolgozat Témavezet : Zemplén András egyetem docens Valószín ségelmélet és Statsztka Tanszék Budapest, 2013
Köszönetnylvánítás Ezúton s köszönöm témavezet mnek, Zemplén Andrásnak a dolgozat gen alapos ellen rzését, segít tanácsat és megjegyzéset, valamnt az R statsztka programcsomag használatában nyújtott segítségét. 2
Tartalomjegyzék 1. Bevezet 4 2. Dszkrét matematka modellek a statsztkus mechankában 5 2.1. A statsztkus mechanka eszköze........................... 5 2.1.1. A Boltzmann-féle egyenlet........................... 5 2.1.2. Fázstér..................................... 6 2.1.3. Louvlle-tétel.................................. 7 2.2. Maxwell-Boltzmann-statsztka............................ 8 2.2.1. Boltzmann-féle eloszlás............................. 10 2.3. Bose-Ensten-statsztka................................ 11 2.3.1. Ferm-Drac-statsztka............................. 13 3. Markov láncok és alkalmazásak 15 3.1. A Markov lánc fogalma és néhány alapvet tulajdonsága.............. 15 3.1.1. A Markov lánc denícója........................... 15 3.1.2. Állapotok osztályozása............................. 18 3.1.3. Vsszatér ség.................................. 19 3.1.4. Markov láncokra vonatkozó határeloszlástétel................ 22 3.2. Az Ehrenfest-modell.................................. 23 3.3. A Bernoull-Laplace-modell.............................. 24 3.3.1. Szmulácók az Ehrenfest modellre...................... 25 3.3.2. Szmulácók a Bernoull-Laplace modellre.................. 26 3.4. Dszkrét dej születés és halálozás folyamatok................... 27 3.4.1. A modellek jellemzése és egy konkrét példa................. 27 3.5. Dszkrét dej elágazó folyamatok........................... 28 3.5.1. A várható érték vselkedése.......................... 29 3.5.2. A khalás valószín sége............................ 30 3.5.3. Szmulácók az elágazó folyamatokra..................... 32 4. Összefoglalás 33 3
1. fejezet Bevezet Jelen dolgozat a természettudományok különböz területen felmerül problémák vzsgálatában megjelen modellek bemutatásával, azok jellegének smertetésével foglalkozk. Els sorban bológa, zka és kéma jelenségek kerülnek áttekntésre, melyek nagyon specálsak abban az értelemben, hogy a valószín ségelmélet és a statsztka módszere nyújtanak elegáns megoldást a felmerül problémákra. A dolgozat két részb l áll, melyek a statsztkus mechankában alkalmazott módszerek, valamnt a Markov láncok lehetséges alkalmazásaval foglalkoznak. Az els rész a termodnamka rendszerek vzsgálatában felmerül statsztkus szemléletet mutatja be. A klasszkus valószín ségszámítás fejezeteb l sokak számára smert a Maxwell-Boltzmann, Ferm-Drac és Bose-Ensten statsztka, melyekr l többen tudják, hogy a zka és a kéma területén felbukkanó problémák megoldására fogalmazták meg ket. A szakdolgozat els dleges célja a statsztkák mögött rejl természettudományos gondolatmenetek bemutatása. Ennél a résznél a zka és kéma eredmények pontos smertetése helyett legnkább az alkalmazott eszközök és gondolatok jellegének smertetése a cél. A termodnamka heursztkus bzonyításaban meg kell engednünk ném matematka pontatlanságot, különben az egyes részletek annyra zavaróan hatnának, hogy elsklana a lényeg a hosszadalmas számolásokban. A dolgozat másodk része a sztochasztkus folyamatok elméletéból jól smert Markov láncok bemutatásával és néhány alkalmazás tárgyalásával foglalkozk. A Markov láncok alapjanak részletes mertetése az Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott matematkus képzésben megjelen változások matt szükséges, ugyans a 2010-ben kezdett évfolyam számára, a korább évekt l eltér en már nem szerepel a 6. szemeszter Sztochasztkus folyamatok tantárgya. A Markov láncok alkalmazása között bemutatunk néhány olyan modellt s, amelyek kapcsolódnak az els részben vázolt problémákhoz. Az egyes fejezetekben tárgyalt modellek egy részéhez szmulácók s tartoznak, amelyek az R statsztka programcsomaggal készültek. A szakdolgozat másodk fejezete els sorban az [1] könyv megfelel részenek felépítését követ, míg a harmadk fejezet a [3] könyv Markov láncokról szóló részén alapszk, kégészítve a [4] jegyzet néhány állításával. 4
2. fejezet Dszkrét matematka modellek a statsztkus mechankában Jelen fejezet felépítése az [1] könyv megfelel fejezetenek szerkezetét követ, kegészítve a [2] jegyzet néhány eredményével. A statsztkus mechanka nagyszámú részecskéb l, atomból vagy molekulából felépül rendszerek energavszonyanak leírásával foglalkozk. Az anyagok atom szerkezetének smeretében a termodnamka jelenségek leírásában eredményesen alkalmazhatók a klasszkus mechanka eredménye. Fgyelembe kell vennünk, hogy a rendszereket alkotó összetev k nagy száma matt szükségszer a valószín ségelmélet és a statsztka módszerenek felhasználása, hszen a molekulák mozgásegyenletenek ntegrálása és a kezdet feltételek meghatározása gyakorlatlag lehetetlen. 2.1. A statsztkus mechanka eszköze 2.1.1. A Boltzmann-féle egyenlet Egy termodnamka rendszer állapotának meghatározásához elegend két adat, a nyomás és a h mérséklet megadása. A termodnamka állapothatározók, mnt például a nyomás, h mérséklet vagy a térfogat által meghatározott állapotot makroállapotnak nevezzük. Ezen állapot mechanka leírásához meg kellene mondan a rendszert alkotó molekulák egy adott pllanatbel helyés mpulzus- (vagy sebesség-) koordnátát. Ezt a mechanka leírást mkroállapotnak nevezzük. A knetkus gázelmélet eredényeb l tudjuk, hogy egy makroállapot a részecskék sebességnégyzetének átlagértékét írja el, ugyans ez adja meg a nyomást és a h mérsékletet. Látható, hogy sok-sok különböz mkroállapot adata ugyanazt a makroállapotot határozzák meg, hszen a sebességnégyzetének átlagértékéb l nem lehet következtetn az egyes molekulák sebességére. Egy tetsz leges makroállapotot jellemezhetünk az t megvalósító mkroállapotok számával, melyet W - vel jelölünk, és termodnamka valószín ségnek nevezzük. A termodnamka megkülönböztetés utal arra, hogy W értéke általában egy nagyon nagy, poztív egész szám, szemben a matematka 5
valószín séggel, melynek értéke mndg 0 és 1 közé esk. Ha a termodnamka valószín séget leosztjuk a rendszer összes mkroállapotanak számával, akkor matematka értelemben vett valószín ségeloszlást kapunk, amely a rendszer makroállapotan van értelmezve. Tapasztalatból tudjuk, hogy egy magára hagyott rendszer állapota az d el rehaladtával stablzálódk, az egyensúly állapothoz tart, pontosabban sztochasztkusan konvergál hozzá. Természetesnek t nk elfogadn azt a megállapítást, mszernt egyensúly állapotnak a lehetséges makroállapotok közül az teknthet, melynek termodnamka valószín sége maxmáls. A termodnamka tárgyalásmód szernt egy zárt rendszer egyensúly állapotát az entrópa maxmuma jellemz, am arra enged következtetn, hogy meghatározott kapcsolatot feltételezzünk az entrópa és a megfelel makroállapot termodnamka valószín sége között. Az alább denícó távolról sem nevezhet az entrópa általános fogalmának. A precíz denícóhoz rengeteg zka és kéma smerettel kellene rendelkeznünk, ez túlmutatna jelen dolgozat kereten. Az alább megfogalmazás csupán az egyensúly állapot karakterzácójának teknthet, am számunkra a legfontosabb. 2.1.1. Denícó. (Entrópa) Legyen adott egy termodnamka rendszer. Entrópának nevezzük az S k log W függvényt, ahol W a rendszer adott pllanatbel makroállapotát megvalósító mkroállapotok száma, és k 1.38 10 23 (Boltzmann-állandó). Az entrópa akkor, és csak akkor maxmáls, ha a rendszer állapota egyensúly. Az S k log W egyenletet Boltzmann-féle egyenletnek nevezzük, amely a legfontosabb összefüggésnek teknthet a statsztkus mechankában. 2.1.2. Fázstér A statsztkus mechanka vzsgálódásanak tárgyát képez, nagyszámú részecskéb l felépül termodnamka rendszerek egyes állapotanak leírása érdekében bevezetjük a fázstér fogalmát, amely a továbbakban különösen hasznos lesz. Gondoljunk egy N 10 23 molekulát tartalmazó termodnamka rendszerre, melyben egy adott molekula f N + darab szabadság fokkal rendelkezk. Ez azt jelent, hogy a rendszer egy állapotának leírásához meg kell adn az állapothatározók értékét az összes molekula szabadság fokara nézve. Ha ehhez még hozzávesszük a kezdet feltételeket s, akkor 2N f darab változó meghatározására van szükség, melyek ráadásul az d függvénye. A továbbakban fázstérnek fogjuk nevezn a 2N f-dmenzós Descartes-féle koordnátarendszert, amelyben a tér egy tetsz leges pontja, egy ún. fázspont reprezentálja egy adott rendszer, adott pllanatbel állapotát. A fázspontok az d függvényében változtatják helyzetüket a fázstéren belül, és egy görbét írnak le, amt fázsgörbének vagy trajektórának neveznek. Ha a fázstér egy r(t) pontja az állapotoknak feleltethet k meg egy adott t R + d pontban, akkor egy {r(t) : t [t 1, t 2 ] R + } fázsgörbe a rendszer állapotváltozásat reprezentálja a [t 1, t 2 ] R + d ntervallumon. Célunk a Louvlle-tétel gazolása, azaz annak bzonyítása, hogy a fázstér egy térfogatelemének nagysága nem változk az d múlásával. Ebb l már adódk, hogy a rendszer mkroállapota egyenl en valószín ek. A kezd állapotnak megfelel fázspontok a fázstér 6
bármely pontjának választhatók, és annak a valószín sége, hogy egy lyen pont valamely el re megadott fázstérbel térfogatelembe esk arányos a térfogatelem nagyságával. Tekntsük azon mkroállapotoknak megfelel fázspontokat, amelyek a rögzített térfogatelemben lév kezd állapotokból következnek. Louvlle tétele szernt ezen fázspontok által meghatározott térfogatelem nagysága egyenl a megadott térfogatelem nagyságáva. Ez azt jelent, hogy a kezd állapotokból elérhet mkroállapotok valószín sége s arányos a térfogatelem nagyságával. Ha fázsteret egyenl nagyság térfogatelemekre, ún. cellákra osztjuk, akkor mnden mkroállapot egyenl en valószín. 2.1.3. Louvlle-tétel A fázstér tetsz leges számú fázspontja egy térfogatrészt határoz meg. Tekntsük egy kválasztott térfogatelem varácóját, azaz a benne lév fázspontok egy nntezmálsan rövd d vel kés bb helyzetét. A térfogatelem nagysága legyen δv f δq 1... δq f δp 1... δp f, ahol q f és p f jelöl a molekulák helyzet- és mpulzusmomentumát. Arra szeretnénk választ kapn, hogy a vzsgált térfogatelem a fázstérbel mozgása során hogyan változtatja meg a nagyságát. Ehhez felhasználjuk a Hamlton-féle kanonkus egyenleteket: k [f] {1, 2,..., f} esetén p k H, q k q k H, p k ahol a pont az d szernt közönséges derváltat jelent, H pedg a mechankában gyakran használt Hamlton-féle függvényt 2.1.2. Denícó. (Hamlton-féle függvény) A Hamlton-féle függvény megadja egy termodnamka rendszer energáját a helyzet- és mpulzuskoordnáták függvényében. A Lagrange-féle függvény sebességek szernt Legendre-féle transzformáltja. A számolások megkönnyítése érdekében tekntsük a fázstérbel térfogatelem nagyságának a logartmusát. d dt log (δv f (t)) d [ dt k1 log Nf Nf k1 δq k (t)δp k (t) d log (δq k δp k ) dt k1 [ Nf δq k + ] δp k. δq k δp k ] 7
A Hamlton-féle kanonkus egyenletek felhasználásával adódk, hogy k [f] esetén d dt (p k + δp k ) H(q k, p k + δp k ) q k d dt (q k + δq k ) H(q k + δq k, p k ). p k Tekntsük a Hamlton-függvény Taylor-sorát a (q k, p k ) pont egy környezetében: p k + δp k H(q k, p k ) 2 H(q k, p k ) δp k... p k p k q k q k + δq k H(q k, p k ) + 2 H(q k, p k ) δq k +... q k q k p k A Hamlton-féle kanonkus egyenletek felhasználásával azt kapjuk, hogy δp k 2 H(q k, p k ) δp k, p k q k δq k 2 H(q k, p k ) δq k. q k p k Tehát a fázstérfogat-elem logartmusára gaz lesz, hogy d dt log (δv f ) Nf [ 2 ] H(q k, p k ) δq k 2 H(q k, p k ) δp k 0. q k p k δq k p k q k δp k k1 A tétel gazolásának utolsó lépésénél feltettük, hogy a Hamlton-függvény másodrend vegyes parcáls derváltja megegyeznek, de ez a gyakorlatban mndg teljesül. 2.2. Maxwell-Boltzmann-statsztka Egy gáz mnden molekulájához tartozk egy fázstér, melyet H nagyságú egyenl részekre osztunk fel. Ha egy N darab molekula által alkotott termodnamka rendszert tekntünk, akkor a fázsteret H N nagyságú cellákra osztjuk fel. Az egyszer ség kedvéért egyatomos molekulákra szorítkozunk, hszen azok mechanka állapotát a helyzet- és mpulzuskoordnátá egyértelm en meghatározzák. Tételezzük fel, hogy az egyes cellák nagysága elegend en kcs ahhoz, hogy ugyanabba a cellába es fázspontok által reprezentált molekulák mechanka tulajdonságat azonosnak teknthessük. Ekkor a cellák a mechanka állapotoknak feleltethet k meg. A klasszkus mechanka eredménye elvben lehet vé teszk a hely- és mpulzuskoordnáták értékének tetsz leges pontosságú meghatározását, tehát a cellák akármlyen kcsnek választhatók. Ismeretes, hogy az mpulzus folytonosan változó mennység, ezért egy-egy cellába akármlyen sok molekulának megfelel fázspont tartozhat. Tegyük fel, hogy a rendszert alkotó részecskék megkülönböztethet ek abban az értelemben, hogy két molekula mpulzuskoordnátának felcserélésevel egy új mkroállapotot kapunk. A továbbakban meghatározzuk egy makroállapot termodnamka valószín ségét. Legyenek a fázscellák C 1, C 2,..., C,..., C r, a bennük lév molekulák száma, azaz a betölt dés számok 8
pedg N 1, N 2,..., N,..., N r, ahol r 1 N N. A molekulák egy eloszlása egyértelm en meghatároz egy makroállapotot. Egy lyen eloszlás a molekulák megkülönböztethet sége matt sok-sok különböz mkroállapottal valósítható meg. Az els cellába N 1 darab molekulát összesen ( ) N N 1 -féle képpen választhatunk k, míg a másodk cellába a maradék (N N 1 ) darab molekulából N 2 darab összesen ( N N 1 ) N 2 -féle képpen választható k s.í.t. Ebb l adódóan ( )( ) ( ) N N N1 N N1... N r 1 W (N 1,..., N,..., N r ).... N 1 Az egyenlet jobb oldalán lév bnomáls együtthatók kfejtésével kapjuk, hogy W (N 1,..., N,..., N r ) N 2 N r N! N 1!N 2!... N!... N r!. A korábban megsmert Boltzmann-egyenlet alapján [ ] r S k log W k log N! log N!. N! A Strlng-formula szernt lm N 1, amb l közvetlenül adódk, hogy log N! 2πN( N e ) N N(log N 1). Feltehet, hogy N, valamnt az N -k értéke kell en nagy ahhoz, hogy a Strlngformula elegend en jó közelítést adjon, hszen a termodnamkában vzsgált rendszerek összetev nek száma 10 23 többszörösével egyenl. Ennek felhasználásával kapjuk, hogy Legyen W N N [ S k N(log N 1) [ k N log N kn r 1 r 1 1 ( )] N (log N 1) r ] (N log N ) 1 N N log N N. annak a valószín sége, hogy egy adott molekula az -edk cellába esk. Célunk az entrópa maxmalzálása. Az elkövetkez vzsgálatank során feltételezzük, hogy a termodnamka rendszerünk deáls gáz. Gondolatban osszuk fel a gázt tartalmazó edényt egyenl nagyságú V térfogatrészekre. Az egyes térfogatrészekben elhelyezked gázmolekulák száma, tehát a gáz s r sége egyértelm en meghatároz egy makroállapotot. Látható, hogy az entrópát megadó függvény nem folytonos, de abban az esetben, ha N értéke nagyon nagy, akkor jó közelítéssel teknthetjük annak. Oldjuk meg a következ széls érték-számítás feladatot: a maxmalzálandó függvény S kn r 1 W log W, a mellékfeltétel pedg r 1 N N r 1 W 1. A fent széls érték-számítás feladatot a Lagrange-féle multplkátor segítségével oldjuk meg. Tekntsük a méllekfeltételek varácóját, szorozzuk meg a Lagrange-féle multplkátorral, amelyet jelöljön λ, majd adjuk hozzá a maxmalzálandó függvény, vagys az entrópa 9
varácójához. Az entrópa varácója δs kn r log W δw kn 1 r 1 W 1 W δw. A mellékfeltételek gyelembevételével azt kapjuk, hogy r δ(s + λ W ) kn 1 r 1 ( log W + 1 λ ) δw 0. kn A fent egyenl ség a δw -k tetsz leges választása mellett csak úgy teljesülhet, ha 1, 2,... esetén log W λ kn 1 W e λ kn 1. Ekkor W állandó 1, 2,... esetén. Látható, hogy a legnagyobb termodnamka valószín - ség makroállapot esetében mnden V nagyságú térfogatrészben ugyananny részecske található, vagys a gáz s r sége állandó. 2.2.1. Boltzmann-féle eloszlás Ebben az alfejezetben egyensúly állapotban lév deáls gázok molekulának hely- és mpulzuskoordnáták szernt eloszlását vzsgáljuk meg. Tételezzük fel, hogy az egyes gázmolekulák energája attól függ, hogy azok melyk cellában helyezkednek el, továbbá a különböz cellákban elehelyezked molekulák energája különböz. Mvel a rendszer zárt, ezért az összenerga (ε) változatlan marad a rendszer állapotváltozása során. Célunk a következ széls érték-számítás feladat megoldása: a maxmalzálandó függvény S kn r 1 W log W, a mellékfeltételek pedg r 1 W ε ε N, lletve r 1 W 1, ahol ε az -edk cellában lév molekula energája. A fent feladatot smét Lagrange-féle multplkátorok segítségével oldjuk meg. Ekkor az entrópa, valamnt a mellékfeltételek varácója δs kn r (log W + 1)δW, 1 r δw 0, (a részecskék száma állandó) 1 r ε δw 0. (a rendszer összenergája állandó) 1 Szorozzuk meg a mellékfeltételek varácóját a Lagrange-féle multplkátorral, majd adjuk hozzá az entrópa varácójához. Ebb l adódóan r r δ(s + λ 1 W + λ 2 ε W ) kn 1 1 r 1 (log W + 1 λ 1 kn λ 2ε kn )δw 0. 10
Legyen λ 1 αkn, valamnt λ 2 βkn. Az új jelölésekkel azt kapjuk, hogy kn r (log W + 1 + α + βε )δw 0. 1 A δw tetsz leges választása mellett a fent egyenl ség akkor teljesül, ha log W (1 + α + βε ) W e (1+α+βε ). Meg lehet mutatn, hogy e 1 α 1, valamnt β 1 r 1 e βε kt, ahol T a rendszer h mérséklete. Ebb l már megkapható a Boltzmann-féle eloszlás: ahol 1, 2,..., r. W e ε kt r, ε 1 e kt 2.3. Bose-Ensten-statsztka Ebben a fejezetben a kvantumelmélet területér l származó problémák megoldására kdolgozott modellekkel foglalkozunk. A Maxwell-Boltzmann-statsztkával ellentéteben a most következ vzsgálódásank során feltételezzük, hogy adott egy N darab azonos részecskét tartalmazó rendszer, melyben az egyes részecskék nem megkülönböztethet ek. Ezáltal a termodnamka valószín ség értelmezése és kszámítása megváltozk. Másk fontos változtatás a fázstér cellákra való felosztásában lesz. Mechanka problémáknál elvben lehet ség van a hely- és mpulzuskoordnáták tetsz legesen pontos meghatározására, de kvantummechankában a híres Hesenberg-féle határozatlanság elv matt erre nncs lehet ség, tehát az egyes cellák nagysága nem választható akármlyen kcsre. Fgyelembe kell vennünk, hogy a fázstér két különböz cellájában lév részecskék felcserélése nem ad új mkroállapotot. Egy makroállapot meghatározásához meg kell adnunk, hogy hány olyan cella van a fázstérben, amelyben pontosan 0, 1, 2,... darab részecske van. Célunk egy tetsz leges makroállapot termodnamka valószín ségének meghatározása, azaz megszámoln N részecske olyan eloszlásanak számát, ahol N 1 darab részecske jut az els energarétegre, N 2 darab a másodkra, s.í.t. (N 1 +N 2 +... N). Ugyanazt a makroállapotot kapjuk, ha az egyes elem cellákban lév részecskék száma változatlan, de a cellákat egymás között felcseréljük. Jelölje Z (k) az -edk energarétegen lév olyan ún. elem cellák számát, amelyben pontosan k darab részecske van. Kérdéses, hogy az -edk réteg esetében, hány darab olyan eloszlás van, ahol az elem cellákban lév részecskék száma azonos, esetleg a cellákat cserélgetjük egymás között? Jelölje Z az -edk energaréteghez tartozó cellák számát. Ekkor ugyanaz az állapot W Z! Z (0) Z (1) Z (2)... Z! n Z(n) 11
módon kapható meg. Az összes energaszntre együtt nézve azt kapjuk, hogy egy makroállapot termodnamka valószín sége W W. A Boltzmann-féle egyenlet segítségével felírható a rendszer entrópája, azaz S k log W k log W k ( log Z! n log Z (n) ). A Strlng-formula alapján S k k ( ( Z log Z Z n Z log Z n ( Z (n) Z (n) log Z (n) log Z (n) ), ) ) Z (n) ahol felhasználtuk, hogy Z n Z(n). Célunk az egyensúly állapot jellemzése. Ekkor az entrópa maxmáls, tehát az entrópa varácója δs k ( ) log Z (n) + 1 δz (n) 0. n Az energarétegekhez tartozó cellák száma változatlan, azaz mnden -re δz 0, továbbá a n n nz(n), míg az összenergae részecskék számára gaz, hogy N Ebb l adódk, hogy δz (n) -re gazak a következ mellékfeltételek, azaz δz (n) 0, nδz (n) δn 0, n n nε δz (n) δe 0. n nε Z (n). Az els mellékfeltételt szorozzuk meg k(log α +1)-gyel, a másodkat kβ-val, a harmadkat pedg kγ-val, majd az összeset adjuk az entrópa varácójához. Ekkor azt kapjuk, hogy ( ) log Z (n) + 1 log α 1 + nβ + γnε δz (n) 0. n Ekkor teljesülne kell mnden -re, hogy log Z (n) log α + nβ + nε γ 0. A fent egyenletet átrendezve kapjuk, hogy Z (n) α e n(β+γε). A továbbakban meghatározzuk α értékét mnden -re. Láttuk, hogy Z Z (n) α e n(β+γε) n n α (1 + e (β+γε) + e 2(β+γε) +... ). Z α 1 e (β+γε ). Ebb l adódk, hogy α Z (1 e (β+γε) ). Az -edk energasznthez tartozó részecskék száma N nz (n) α e n(β+γε). n n 12
Legyen x β + γε. Az mént megállapított összefüggések alapján N α ne nx n α x e nx n α x (1 + e x + e 2x +... ) ( ) 1 α x 1 e x α e x (1 e x ) 2. Vsszahelyettesítés után megkapjuk a Bose-Ensten-statsztkát: N Z e β+γε 1. Meg lehet mutatn, hogy γ 1 kt, ahol T a rendszer h mérséklete. A β értékének meghatározása esetében közelítésre vagyunk utalva. 2.3.1. Ferm-Drac-statsztka Ezen fejezetben olyan rendszerek vzsgálatával foglalkozunk, amelyben a részecskék közül semelyk kett nem lehet azonos állapotban. A Ferm-Drac-statsztka megfogalmazása az ún. elektrongáz tulajdonságanak leírásához köthet. A fémek molekulárs felépítését gyelembe véve látható, hogy egy fém poztív onja között a vezetés elektronok úgy mozognak, mnt egy gáz atomja. Vzsgálatank tárgya tehát olyan rendszerek lesznek, melyekben az alkotó részecskék nem megkülönböztethet k, és szemben a Bose-Ensten-statsztkával, az elem fázscellák egyetlen elektron fázspontját tartalmazhatják. Az utóbb feltétel a kvantumelméletb l jól smert Paul-féle kzárás elv matt fogadható el, mely szernt egy atomban egy adott kvantumállapotban legfeljebb egy darab elektron lehet. A továbbakban célnuk a legvalószín bb eloszlás meghatározása. A részecskék megkülönböztethetetlensége matt a Bose-Ensten-statsztkánál már megsmert gondolatmenetet követve látható, hogy egy makroállapot termodnamka valószín sége W W, ahol W felírható, mégpedg Z! n Z(n)!. A Paul-féle kzárás elv matt W egyszer bb alakban s W Z! Z (0)!Z (1)!. Feladatunk az elektrongáz entrópájának felírása, melyhez a Boltzmann-féle egyenletet felhasználva azt kapjuk, hogy S k log W k log W k ( log Z! n log Z (n)! ). 13
A Bose-Ensten-statsztka smertetése során ugyanez az összefüggés adódott az entrópára. A korábban látott okoskodás alkalmazható tt s, amb l kapjuk, hogy Z (n) α e n(β+γε ), ahol n 0, 1. Az α meghatározása érdekében a Z Z(n) ( ) Z α 1 + e (β+γε ) összefüggésb l adódóan α Z 1 + e (β+γε ). Az -edk energaréteghez tartozó részecskék száma pedg N n nz (n) Z (1) α e (β+γε ) Z e (β+γε ) 1 + e (β+γε ) Z e β+γε. + 1 Szükség van a β és γ multplkátorok smeretére s. A korábbakhoz hasonlóan γ 1 kt. Tehát a Ferm-Drac-statsztka: N Z e β+ε/kt + 1. A β értékének meghatározása esetében közelítésre vagyunk utalva. 14
3. fejezet Markov láncok és alkalmazásak 3.1. A Markov lánc fogalma és néhány alapvet tulajdonsága 3.1.1. A Markov lánc denícója Ezen fejezet eredménye a [3] könyvben, és a [4] jegyzetben s megtalálhatók. Az egyes denícók, valamnt tételek megfogalmazása, továbbá a bzonyítások alapvet gondolatamenete megtalálhatók a megfelel fejezetekben tovább érdekes eredményekkel együtt. A gyakorlatban felmerül alkalmazások során találkozhatunk olyan rendszerrel, amelynek az állapota egy adott pllanatban függ a véletlent l. Ebben az esetben egy sztochasztkus folyamat segítségével vzsgálhatjuk azok d ben változó vselkedését. Számunkra az olyan rendszerek lesznek érdekesek, amelyek dszkrét d pllanatokban változtatják meg az állapotukat, és a vzsgált rendszerek jöv bel fejl dése csak az aktuáls állapottól függ, de a korábbaktól nem. Ha mndezt formálsan s le szeretnénk írn, akkor meg kell határoznunk az állapotok lehetséges halmazát, azon d pontokat, amelyek megadják a vzsgálatok dejét, és az mént denált függetlenség tulajdonságot. Legyen adott egy rendszer, amelynek lehetséges állapota 1, 2,... A rendszer állapotat a t 0, 1,... d pontokban fogjuk megvzsgáln, tehát denáljuk a következ (ξ t ) t N valószín ség változókból álló sorozatot. Abban az esetben, ha a rendszer a t N pllanatban az t állapotban van ξ t t. A korábban említett függetlenség tulajdonság írható úgy, hogy t N esetén P (ξ t t ξ 0 0, ξ 1 1,..., ξ t 1 t 1 ) P (ξ t t ξ t 1 t 1 ), ahol eleve feltesszük, hogy a feltételes valószín ségek mnden esetben értelemesek. A könnyebb érthet ség érdekében nézzük a következ példát, am a Brown-mozgás egy rendkívül egyszer, specáls esetének teknthet. Legyen adott egy részecske, amely a számegyenesen bolyong. Ebben az esetben a rendszer lehetséges állapota a számegyenes pontjaval, tehát egész számokkal reprezentálhatók. Tegyük fel, hogy kezdetben a 0 pontban található a részecske, és egységny d közönként a korább lépéset l függetlenül egyet jobbra, vagy balra lép 1 2-1 2 valószín séggel. Ha egy t N pllanatban az pontban vagyunk, akkor a t + 1-edk pllanatban 1 2-1 2 valószín séggel 15
vagy az 1. vagy az + 1 pontban leszünk. Látható, hogy a részecske jöv bel helyzete csak a jelenleg állapottól függ, de a korábbaktól nem. Legyen (ξ t ) t N Z valószín ség változók egy sorozata. A fent megállapítások értelmében t N esetén P (ξ t t ξ 0 0, ξ 1 1,..., ξ t 1 t 1 ) P (ξ t t ξ t 1 t 1 ), ahol k Z és k 0, 1,..., t. Az lyen, és ehhez hasonló tulajdonsággal jellemezhet valószín ség változókból álló sorozatot Markov láncnak nevezzük. Az egyszer bb szóhasználat érdekében denáljuk egy Markov lánc állapotanak halmazát, amt állapottérnek fogunk nevezn, és I-vel jelöljük. Az állapottér eleme tehát olyan értékek, amelyekhez t N, hogy P (ξ t t ) > 0. A bevezet ben említett megállapítások összefoglalásaként tekntsük a Markov lánc precíz denícóját. 3.1.1. Denícó. Az (Ω, A, P ) valószín ség mez n értelmezett (ξ n ) n N valószín ség változókból álló sorozatot dszkrét paraméter, és dszkrét állapotter Markov láncnak, rövden Markov láncnak nevezzük, ha 0 < n N és 0,..., n esetén P (ξ n n ξ 0 0, ξ 1 1,..., ξ n 1 n 1 ) P (ξ n n ξ n 1 n 1 ). A fent összefüggést Markov tulajdonságnak nevezzük. A Markov láncok pontosabb leírásának megkönnyítése érdekében bevezetünk néhány alapvet denícót. 3.1.2. Denícó. Legyen 0 < n N és n, n 1 I. Ekkor egylépéses átmenetvalószín ségnek nevezzük a P (ξ n n ξ n 1 n 1 ) feltételes valószín séget. Meg lehet mutatn, hogy egy Markov lánc meghatározható a ξ 0 valószín ség változó eloszlása, az ún. kezdet eloszlás, és az egylépéses átmenetvalószín ségek segítségével. Különösen fontos az a specáls eset, amkor az egylépéses átmenetvalószín ségek értéke független n-t l, azaz, j I esetén a P (ξ n n ξ n 1 n 1 ) kfejezés értéke n N esetén ugyanakkora. Ha ez teljesül, akkor 0 < n N-re legyen p j P (ξ n j ξ n 1 ). Ekkor azt mondjuk, hogy a Markov lánc homogén, vagy másnéven d ben staconárus. A továbbakban, ha Markov láncról beszélünk, akkor eleve feltesszük, hogy teljesül a homogentás. Jelölje p P (ξ 0 ) a kezdet eloszlást, ahol I. 3.1.3. Denícó. Legyen 0 < n N. Ekkor n-lépéses átmenetvalószín ségnek nevezzük a p (n) j P (ξ r+n j ξ r ) feltételes valószín séget, ahol r N tetsz leges a homogentás matt. A fent denícót egészítsük k azzal, hogy megállapodás szernt legyen { p (0) 0, ha j, j 1, ha j. 16
Bármely homogén Markov lánc szemléltethet egy rányított gráal, ahol a gráf csúcsa az állapotoknak felelnek meg, az éleket pedg az egylépéses átmenetvalószín ségekkel súlyozzuk. Ebben az esetben egy Markov láncra, mnt sztochasztkus folyamatra úgy gondolhatunk, mnt egy specáls gráfon való bolyongásra. A következ tétel segítségével egyszer síthet az egylépéses átmenetek leírása, és lehet vé válk, hogy könnyedén számoljuk k az n-lépéses átmenetek valószín ségét. 3.1.1. Tétel. (Chapman-Kolmogorov) Legyen 0 n, m N és, j I. Ekkor p (n+m) j k I p (n) k p(m) kj. 3.1.1. Bzonyítás. Ha n 0 vagy m 0, akkor az el z dencó kegészítéseként tett megjegyzés alapján trváls. A tétel bzonyításához szükségünk lesz a teljes valószín ség tételének egy kevéssé smert alakjára. Tegyük fel, hogy a (B k ) k N A teljes eseményrendszer, és C A poztív valószín ség. Ekkor A A-ra P (A C) P (A B k C)P (B k C). Legyen A {ξ r+n+m j}, C {ξ r }, B k {ξ r+n k}, ahol k I. Ekkor p (n+m) j P (A C) P (A B k C)P (B k C) k0 k0 k0 k0 k0 P (ξ r+n+m j ξ r+n k, ξ r )p (n) k P (ξ r+n+m j ξ r+n k)p (n) k p (n) k p(m) kj. A bzonyítás során felhasználtuk, hogy I véges vagy megszámlálható. 3.1.4. Denícó. Legyen Π [0, 1] I I egy olyan mátrx, amelyre (Π),j p j. Ekkor Π 1 -et teknthetjük az egylépéses átmenetvalószín ségek mátrxának. A Chapman-Kolmogorov-tétel alapján az n+m-lépéses átemenetvalószín ségek mátrxa, azaz Π n+m Π n Π m. Indukcóval be lehet látn, hogy Π n Π n 1. Tekntsük a korábban látott Brown mozgás egy módosítását. Az új jelölésenkkel legyen p,+1 p és p, 1 q 1 p, ahol p (0, 1), továbbá tegyük fel, hogy p 0 1. Ebben az esetben, tehát az orgóból nduló, véletlenszer en bolyongó részecske p valószín séggel egységnyt jobbra, lletve q valószín séggel balra lép. Kérdéses a p (2n) 00 lépéses átmenetvalószín ség, ahol n N. A bnomáls eloszlás smeretében könnyedén belátható, hogy p (2n) 00 ( 2n n 17 ) p n q n.
A ξ n valószín ség változó eloszlásának meghatározása érdekében jelölje P n j n N és j I. Könnyen gazolható, hogy P (ξ n j), ahol P (n) j I p (0) p (n) j p p (n) j. I 3.1.2. Állapotok osztályozása 3.1.5. Denícó. Legyen, j I. Ekkor a j állapot elérhet -b l, ha n N, amre p (n) j > 0. Ha a j állapot elérhet -b l, akkor azt j jelöl. 3.1.6. Denícó. Legyen, j I. Ekkor az és j állapotok érntkeznek, ha j és j. Ha az és j állapotok érntkeznek, akkor azt j jelöl. 3.1.2. Tétel. Az állapottéren az érntkezés relácó ekvvalencarelácó, azaz 1. reexív, 2. szmmetrkus, 3. tranztív. 3.1.2. Bzonyítás. Az els két állítás bzonyítása valójában trváls, míg a harmadk állítás a Chapman-Kolmogorov egyenl ség nyílvánvaló következménye. 1. Legyen I. Láttuk, hogy 1 p (0) > 0, tehát denícó szernt. 2. Legyen, j I. Tegyük fel, hogy j, azaz j és j, amb l j következk. 3. Legyen, j, k I. Tegyük fel, hogy j, és j k. Ebb l adódk, hogy j, valamnt j k, azaz n, m N, amre p (n) j p (n+m) k l I > 0, lletve p (m) jk p (n) l p (m) lk p (n) j p(m) jk > 0, > 0. Ebben az esetben amb l azt kapjuk, hogy k. Az érntkezés relácó dszjunkt osztályokra bontja az állapotteret, ahol két állapot pontosan akkor tartozk ugyanazon osztályba, ha érntkeznek. A Markov láncot rreducblsnek nevezzük, ha az állapottér egyetlen osztályból áll, azaz, j I esetén j, beleértve az j esetet s. 3.1.7. Denícó. Legyen I. Ha j I-re, ahol j j, akkor -t lényeges állapotnak nevezzük. 3.1.8. Denícó. Legyen I. Ha nem lényeges, akkor lényegtelen állapotnak nevezzük. 3.1.3. Tétel. Legyen I lényeges állapot. Ekkor j I-re j szntén lényeges állapot. 18
3.1.3. Bzonyítás. Tegyük fel, hogy j, ahol j I. Azt kell megmutatnunk, hogy j lényeges állapot, azaz k I esetén j k-ból k j következk. Ekkor j és j k, valamnt a tranztvtás matt k. Feltevésünk szernt lényeges állapot, azért k-ból k adódk. Azt kaptuk, hogy k és j, tehát k j. Ebb l következk, hogy az érntkezés relácó által partíconált állapottér egy adott osztályán belül mnden állapot lényeges, vagy mnden állapot lényegtelen. 3.1.9. Denícó. Legyen I. Az állapot peródusának nevezzük azon n N számok legnagyobb közös osztóját, amre p (n) > 0.Az állapot peródusát d -vel jelöljük. Egy I állapotot aperodkusnak nevezünk, ha d 1. 3.1.4. Tétel. Legyen, j I. Ekkor j d d j. 3.1.4. Bzonyítás. Belátjuk, hogy j esetén d j d és d d j. Ebb l már d d j adódk. Feltettük, hogy j, tehát n, m N, amre p (m) j > 0, lletve p (n) j > 0. Tegyük fel, hogy s N, amre p (s) > 0. A Chapman-Kolmogorov-egyenl séget felhasználva az alább egyenl tlenségeket kapjuk: p (n+s+m) jj p (n) j p(s) p(m) j > 0 p (n+2s+m) jj p (n) j p(s) p(s) p(m) j > 0. Mvel d j a j állapot peródusa, ezért d j (n + s + m), és d j (n + 2s + m). Ebb l azt kapjuk, hogy d j (n + 2s + m) (n + s + m) s, azaz d j osztója azon n N számoknak, amelyek legnagyobb közös osztója d, tehát d j d. Az és j állapotok felcserélésevel kapjuk, hogy d d j. A tétel következménye, hogy az állapottér egy adott osztályán belül az összes állapot peródusa megyegyezk. Az új fogalamakat és tételeket a már jól smert véletlen bolyongás tovább általánosításával szemléltetjük. Legyen 0 < a N, és tegyük fel, hogy p 0 1, p a,a 1, valamnt p,+1 p, és p, 1 1 p q, ahol p (0, 1). Ez azt jelent, hogy a bolyongást végz részecske az a pontba érkezve többé már nem végez mozgást. Ebben az esetben I {z Z : z a}. Vegyük észre, hogy az érntkezés relácó az állapotteret az I 1 {z Z : z < a} és I 2 {a} dszjunkt osztályokra partíconálja. Az I 1 osztály egy 2 peródusú lényegtelen osztály, míg az I 2 osztály egy aperodkus lényeges osztály. 3.1.3. Vsszatér ség Az el z fejezetben azzal foglalkoztunk, hogy néhány lépés alatt mekkora valószín séggel jutunk el egy adott állapotból egy máskba. Természetes módon vet dk fel a kérdés, hogy m a valószín sége annak, hogy egy adott állapotból ndulva legalább egyszer vsszatérünk a knduló 19
pontba? A továbbakban legyen rögzítve egy I állapot. Az állapotba való vsszatérés valószín ségét jelölje f P ) ( n1 {ξ n } {ξ 0 }. Legyen A n {ξ n }, ahol 0 < n N, tehát f P ( n1 A n A 0 ). Az (A n ) n N+ események sorozatából készítsük el a (B n ) n N+ eseménysorozatot, azaz legyen B 1 A 1, B k A k Ā 1 Ā 2... Āk 1, ahol 2 k N. Vegyük észre, hogy 1 j N választása mellett B B j, továbbá n1 A n n1 B n. Legyen f (n) annak a valószín sége, hogy az állapotból pontosan n lépés után térünk vssza el ször az -be, azaz f (n) P (B n A 0 ) P (A n Ā 1 Ā 2... Ān 1 A 0 ) P ({ξ n } {ξ 1 } {ξ 2 } {ξ n 1 } {ξ 0 }) P (ξ n, ξ 1, ξ 2,..., ξ n 1 ξ 0 ). Az mént bevezetett jelöléseket használva ( f P n1 ) ( A n A 0 P P (B n A 0 ) n1 n1 n1 f (n). B n B 0 ) 3.1.10. Denícó. Legyen I. Ha f 1, akkor az állapotot vsszatér. Ha f átmenet állapotnak nevezzük. 3.1.5. Tétel. Legyen I. Ekkor átmenet n0 p(n) végtelen sor konvergens. 3.1.5. Bzonyítás. A bzonyításhoz felhasználjuk a következ összefüggést, p (n) n r1 f (r) p (n r), ahol 0 < n N. Ennek gazolásához vegyük észre, hogy < 1, akkor A 0 A n n A 0 B r A n. r1 A Markov tulajdonságot khasználva azt kapjuk, hogy P (A 0 B r A n ) P (B r A 0 )P (A n B r A 0 ) P (B r A 0 )P (A n A r )P (A 0 ) f (r) p (n r) P (A 0 ). 20
Tudjuk, hogy A 0 A n {ξ 0 } {ξ n }, amb l P (A 0 A n ) P (A 0 )P (A n ) adódk, azaz P (A 0 A n ) P (A 0 )p (n). A fent megállapítások alapján n n p (n) P (A 0 ) P (A 0 A n ) P (A 0 B r A n ) f (r) p (n r) P (A 0 ), amb l p (n) n r1 f (r) p (n r) Legyen P (x) és x R esetén n0 p(n) adódk. r1 x n, lletve F (x) p (n) x n n r1 r1 n1 f (n) f (r) p (n r) x n. x n, ahol x R. Ekkor 0 < n N Ha fent egyenl ség mnkét oldalán álló kfejezést n 1-t l -g összegezzük, akkor azt kapjuk, hogy n1 p (n) x n n n1 r1 f (r) p (n r) x n. A korább denícók és a hatványsorok Cauchy-szorzása szernt a fent egyenl ség úgy írható, hogy P (x) 1 F (x)p (x) P (x) 1 1 F (x), ahol x < 1. Vegyük észre, hogy P (x) monoton növ, tehát x 1 esetén bármely N N-re N n0 p (n) lm x 1 P (x) n0 p (n). Mvel a fent állítás N N-re gaz, ezért lm x 1 P (x) szntén monoton növ, tehát x 1 esetén bármely N N + -ra N n1 f (n) lm x 1 F (x) n1 f (n), n0 p(n). Látható, hogy F (x) amb l az el bb látott gondolatmenet alapján következk, hogy lm x 1 F (x) korább összefüggésb l az x 1 határátmenettel adódk, hogy azaz n0 p(n) átmenet. lm P (x) lm x 1 1 F (x) p (n) 1 n0 1 n1 f (n) p (n) 1 1 f, n0 x 1 1 n1 f (n) végtelen sor konvergens f < 1, am éppen azt jelent, hogy az állapot 21. A
A tétel nyílvánvaló következménye, hogy I vsszatér n0 p(n) dvergens. 3.1.6. Tétel. Legyen, j I ugyanazon osztály egy-egy állapota. Ha j és j vsszatér, akkor ebb l következk, hogy s vsszatér. 3.1.6. Bzonyítás. Ha j, akkor m 1, m 2 N, hogy p (m 1) j > 0, lletve p (m 2) j Chapman-Kolmogorov-egyenl séget felhasználva adódk, hogy p (m 1+n+m 2 ) p (m 1) j Tegyük fel, hogy j vsszatér állapot. Ekkor a n0 p(n) jj egyenl tlenség alapján a n0 p(n) 3.1.7. Tétel. Legyen f (n) j > 0. A p (n) jj p(m 2) j. végtelen sor dvergens, de az el bb végtelen sor s dvergens, tehát s vsszatér. P (ξ n j, ξ 1 j..., ξ n 1 j ξ 0 ). Ekkor 0 < n N-re p (n) j Továbbá j I és x ( 1, 1) esetén n r1 f (r) j p(n r) jj. P j (x) F j (x)p jj (x). 3.1.7. Bzonyítás. A tétel bzonyítása a korábban megsmert bzonyítás gondolatmenetére épül. 3.1.4. Markov láncokra vonatkozó határeloszlástétel Láttuk, hogy egy Markov lánc bzonyos rendszerek állapotváltozásanak leírására szolgál. Jelen fejezetben azzal foglalkozunk, hogy általában m mondható egy Markov láncról, ha a lépések száma nagyon nagy. Ez nem jelent mást, mnt a p (n) j értékének, tehát az n-lépéses átmenetvalószín ségek meghatározását, ha n. Legyen, j I, és tegyük fel, hogy j átmenet állapot. Láttuk, hogy ekkor a n0 p(n) j végtelen sor konvergens, amb l lm n p (n) j 0 adódk. Tegyük fel, hogy j vsszatér. Ekkor a p (n) j n r1 f (r) j p(n r) jj összefüggés matt elegend megvzsgáln a p (n) jj átmenetvalószín séget, ha n. El ször foglalkozzunk azzal az esettel, amkor j perodkus Ebben az esetben a j állapot peródusa d j > 1, tehát azon n N értékek legnagyobb közös osztója, amelyekre p (n) jj > 0, nagyobb, mnt egy. Ekkor n N-re p (n) jj 0, ha d j n nem teljesül. Teknstük az alább, kétállapotú Markov láncot. Az egylépéses átmenetvalószín ségek mátrxa legyen Π 1 ( p00 p 01 p 10 p 11 ) ( 1 1 1 0 Ebben az esetben p (2n+1) 00 0 és p (2n) 00 1, amb l adódk, hogy lm nf n p(n) 00 0 lm sup p (n) 00 1. n 22 ).
A fent egyel ségekre 0 lm nf n p(n) 00 lm sup p (n) 00 1, n ezért lm n p (n) 00 nem létezk. Legyen (ξ n ) n N egy Markov lánc, és tegyük fel, hogy I állapot, amelynek peródusa d. Ekkor (ξ nd ) n N s Markov lánc, és az állapot aperodkus lesz. Eszernt elegend lesz egy Markov lánc aperodkus állapotat vzsgáln. 3.1.8. Tétel. (Markov láncok ergodkus tétele) Legyen I, és tegyük fel, hogy aperodkus vsszatér állapot. Ekkor lm n p (n) 1 m, ahol m (r) r1 rf. Abban az esetben, ha m (r) r1 rf, akkor legyen 1 m 0. 3.1.8. Bzonyítás. A tétel bzonyítása meglehet sen hosszadalmas, és technka. Egy bzonyítás elolvasható a [4] jegyzetben. Legyen I egy vsszatér állapot. Az el z tétel értelmében lm n p (nd ) d m. A Markov láncok ergodkus tételének tovább következménye, hogy egy rögzített I vsszatér állapot esetén j I és r N mellett ahol f j (r) n1 f (nd +r) j. lm n p(nd +r) j fj(r) d, m 3.1.11. Denícó. Legyen (ξ n ) n N egy Markov lánc. Az olyan ξ 0 kezdet eloszlást, amelyre teljesül, hogy 0 < n N esetén ξ n és ξ 0 eloszlása megegyezk, staconér eloszlásnak nevezzük. 3.2. Az Ehrenfest-modell A most következ két alfejezet eredménye ném kegészítéssel, valamnt történet megjegyzésekkel a [6] oldalon található. Legyen adott két urna A és B, melyekben összesen 0 < N N golyó található, amk meg vannak számozva 1-t l N-g. Jelölje ξ n az A urnában lév golyók számát az n-edk lépésben, ahol egy adott lépésben egyenl valószín séggel kválasztunk egy tetsz leges golyót és áthelyezzük a másk urnába. Ekkor a (ξ n ) n N egy Markov lánc, melynek állapottere I {1, 2,..., N}. Az egylépéses átmenetvalószín ségek pedg ( ) p, 1, N ( N ) p,+1, N ahol 0, 1,..., N. Meg lehet mutatn, hogy a (ξ n ) n N Markov láncnak létezk staconér eloszlása, mégpedg π (π 0, π 1,..., π N ) T, ahol ( ) N (1 ) N. π 2 23
Az Ehrenfest-modell a h tan 2. f tételének egy leegyszer sített szemléltetése. A tétel számos ekvvalens megfogalmazása közül az egyk úgy szól, hogy a zárt rendszerekben végbemen, spontán folyamatok ránya mndg olyan, hogy a rendszert az egyensúly állapothoz vgye közelebb. Vegyük észre, hogy a másodk fejezetben látott Maxwell-Boltzmann statsztka specáls esetét kaptuk, amkor a cellák száma pontosan 2. 3.3. A Bernoull-Laplace-modell Legyen A és B két urna, melyek külön-külön 0 < N N golyót tartalmaznak. Tegyük fel, hogy a 2N golyóból N fehér, és N fekete. Legyen (ξ n ) n N egy sztochasztkus folyamat, amely megadja az A urnában található fekete golyók számát az n-edk lépésben, ahol egy lépés abból áll, hogy egyenl valószín séggel választunk egy-egy golyót mndkét urnából, és felcseréljük ket. Ekkor (ξ n ) n N egy Markov lánc, az állapottér pedg I {1, 2,..., N}. Az egylépéses átmenetvalószín ségek ( ) 2, p, 1 N p, 2 ( N ), N N ( N ) 2, p,+1 N ahol 1, 2,..., N. Meg lehet mutatn, hogy a (ξ n ) n N Markov láncnak létezk staconér eloszlása, amely π (π 0, π 1,..., π N ) T, ahol ( N )( N ) N π ). ( 2N N 24
3.3.1. Szmulácók az Ehrenfest modellre Az alább szmulácók a Markov láncok aszmptotkus vselkedését szemléltetk. A fent modellben leírt lépéseknek megfelel en változk az egyes urnákban lév golyók száma. Az els szmulácó esetében N 100, a lépések száma 50, és a kísérletek száma s 50. A másodk szmulácó esetében a golyók száma változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 100 100. Még ebben az esetben sem észlelhet a lánc aszmptotkus vselkedése. A harmadk szmulácó esetében a golyók száma továbbra s változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 1000 1000. Ekkor már látható, hogy nagyjából a 200. lépés után a Markov lánc vselkedése stablzálódk. 25
3.3.2. Szmulácók a Bernoull-Laplace modellre Az el z alfejezetben látottakhoz hasonlóan megvzsgáljuk a Bernoull-Laplace modell esetében denált Markov lánc aszmptotkus vselkedését. Az els szmulácó esetében N 100, a lépések száma 50, és a kísérletek száma s 50. A másodk szmulácó esetében a golyók száma változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 100 100. Úgy t nk, hogy a lépések száma még mndg nem elegend. A harmadk szmulácó esetében a golyók száma továbbra s változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 1000 1000. Az elvárásanknak megfelel en a Markov lánc stablzálódk. 26
3.4. Dszkrét dej születés és halálozás folyamatok 3.4.1. A modellek jellemzése és egy konkrét példa A szakdolgozat tovább fejezete az [5] oldalon található jegyzet megfelel fejezetere épülnek. Ebben a fejezetben olyan dszkrét modelleket vzsgálunk, amelyek segítségével leírható egy populácó d ben változó egyedszámának változása. Ez egyszer ség kedvéért feltesszük, hogy az egységny d nként bekövetkez változások során vagy eggyel n, lletve csökken a populácó mérete, vagy változatlan marad. Ilyen jelleg modellek széles körben alkalmazhatók, és nem csak a az mént említett folyamat leírására. Hasonló modell kapunk a tönkremenés probléma, a sorbanállás probléma, vagy akár specáls kéma reakcók vzsgálata során s. A születés és halálozás modelleket leírása a következ Markov lánc segítségével történhet. Legyen (ξ n ) nn egy nem feltételenül homogén Markov lánc, melynek állapottere I N vagy I {0, 1, 2,..., N}, ahol 0 < N N. Az egylépéses átmenetvalószín ség b, ha j + 1, d, ha j 1, p j 1 (b + d ), ha j, 0, egyébként, ahol I-re b, d 0 és b + d 1. A gyakorlatban felmerül problémák modellezése során célszer feltenn, hogy b 0 d 0 0, továbbá véges állapottér esetében b N 0. Az egylépéses átmenetvalószín ségek mátrxa 1 d 1 0 0... 0 0 1 (b 1 + d 1 ) d 2 0... 0 0 b Π 1 1 1 (b 2 + d 2 ) d 3... 0......... 0 0... 0 1 (b N 1 + d N 1 ) d N 0 0... 0 b N 1 1 d N Nézzünk meg egy lneárs, megfordítható kéma reakcót. Tegyük fel, hogy adott egy kéma modell, amelyben A és B típusú molekulák vannak, amelyek átalakulhatnak egymásba, azaz A B. A továbbakban az egyszer bb szóhasználat érdekében A, lletve B molekulákról beszélünk. Legyen a rendszert alkotó molekulák száma 0 < N N. Tekntsük a (ξ (A) t ) t N, valamnt a (ξ (B) t ) t N sztochasztkus folyamatokat, amelyek megadják egy rögzített t d pllanatban az A, lletve B típusú molekulák számát. Ekkor t N-re ξ (A) t +ξ (B) t N. Tegyük fel, hogy annak a valószín sége, hogy egy adott t d pllanatban egy tetsz leges A molekula B molekulává alakuljon c 1 (0, 1) R, és hasonlóan annak a valószín sége, hogy egy B molekula A molekulává alakuljon c 2 (0, 1) R. Ekkor annak a valószín sége, hogy adott t d ben a rendszert alkotó A molekulák közül néhány B molekulává alakul c 1 ξ (A) t, és hasonlóan annak a valószín sége, hogy a B 27
molekulák közül néhány A molekulává alakul c 2 ξ (B) t. Látható, hogy annak a valószín sége, hogy adott t d pllanatban nem történk reakcó 1 c 1 ξ (A) t c 2 ξ (B) t. Az egszer ség kedvéért tegyük fel, hogy egy (t, t + 1) d ntevallumon legfeljebb egy reakcó történk. Ekkor a ξ (A) t + ξ (B) t N összefüggés matt a modell teknthet egy 1-dmenzós születés és halálozás folyamatnak, ahol (ξ (A) t ) t N, (ξ (B) ) t N [0, 1,..., N]. Látható, hogy az mént denált sztochasztkus folyamat egy t Markov lánc, melynek állapottere, azaz I {0, 1,..., N}. A Markov lánc kezdet eloszlása ha 0, akkor p 0 c 2 N q 0 0, ha {1, 2,..., N 1}, akkor p c 2 (N ) q c 1, ha N, akkor p N 0 q N c 1 N. 3.5. Dszkrét dej elágazó folyamatok Az elágazó folyamatok a Markov láncok specáls esetének teknthet k. Az lyen folyamatok tanulmányozásában a korábban látottaknál eltér módszerek s skerrel alkalmazhatók. Az elágazó folyamatok kalakulása Francs Galton és Henry Wllam Watson nevéhez köthet. 1873-ban Galton a következ problémát t zte k: legyen adott 0 < N N feln tt fér egy populácóban, akknek különböz családnevük van. Tegyük fel, hogy egy adott generácóban a férak a százalékának pontosan darab ú gyermeke van, ahol 0, 1,..., 5. Kérdéses, hogy 0 < r N generácóval kés bb a családnevek hányadrésze t nk el a populácóból? Legyen adott egy populácó, és jelölje ξ n a populácó méretét egy 0 < n N d pllanatban. Az n-edk d pontban a populácót alkotó egyének egymástól függetelenül, azonos valószín ség eloszlás szernt néhány utódot hoznak létre. Ezt követ en a korább generácóval nem tör dünk. Jelölje ζ n () azt a valószín ség változót, amely megadja, hogy az n-edk lépésben, az -edk egyén hány darab utódot hozott létre. Legyen p (,n) j P (ζ n () j), ahol 0 < j, n N, 1, 2,..., ξ n, tehát p (,n) j megadja, hogy m a valószín sége annak, hogy az n-edk lépésben, az -edk egyén pontosan j darab utódot hoz létre. Tegyük fel, hogy 0 < n N és 1, 2,..., ξ n esetén j1 p (,n) j 1. Az egylépéses átmenetvalószín ségek meghatározásához legyen ξ n k. Ekkor ζ n (1), ζ n (2),..., ζ n (k) független valószín ség változók. Legyen p k,j annak a valószín sége, hogy a populácó mérete k-ról p-re változk. A fent jelöléseket használva azt kapjuk, hogy p k,j P (ξ n+1 j ξ n k) P (ζ n (1) + ζ n (2) + + ζ n (k) j). A fent megállapítások kegészítéseként tegyük fel, hogy { 1, ha j 0, p 0,j 0, egyébként. 28
3.5.1. A várható érték vselkedése A továbbakban feltesszük, hogy a vzsgálat tárgyát képez Markov lánc homogén átmenetvalószín ség, és az egyének által létrehozott utódok számát meghatározó valószín ség változók azonos eloszlásúak. Jelölje ζ egy adott egyén utódanak számát, és µ az utódok számának várható értékét, azaz µ E(ζ) kp k. Tegyük fel, hogy a fent kfejezésben szerepl valószín ségek olyanok, hogy a várható értéket denáló végtelen sor konvergens. Ekkor azt kapjuk, hogy E(ξ n+1 ξ n k) jp (ξ n+1 j ξ n k) j0 k0 jp (ζ 1 + ζ 2 + + ζ k j) j0 E(ζ 1 + ζ 2 + + ζ k ) kµ. A fent gondolatmenet a kezdet eloszlásra alkalmazva adja, hogy E(ξ n+1 ξ 0 ) jp (ξ n+1 j ξ 0 ) j P (ξ n+1 j, ξ n k ξ 0 ) j0 j0 j0 k0 j P (ξ n+1 j ξ 0 )P (ξ n k ξ 0 ) k0 k0 P (ξ n k ξ 0 ) jp (ξ n+1 j ξ 0 ) j0 P (ξ n k ξ 0 )E(ξ n+1 ξ 0 ) k0 P (ξ n k ξ 0 )kµ k0 µe(ξ n ξ 0 ). Ebb l adódóan 0 < n N esetén E(ξ n ) µ n E(ξ 0 ). Könnyedén gazolható, hogy µ < 1 esetén P (ξ n 0) E(ξ n ) µ n E(ξ 0 ) 0, ha n. Jelölje A n azt az eseményt, hogy a populácó az n-edk lépésben már khalt. Ekkor { lm n ξ n 0} A lm 1 A fent összefüggés felhasználásával adódk, hogy n n 1 A lm n A n. P ( lm n ξ n 0) P ( lm n A n) lm n P (A n) lm n P (ξ n 0) 1, 29
tehát µ < 1 esetén a populácó 1-valószín séggel khal, ha n. 3.5.2. A khalás valószín sége Az el z fejezet jelöléset felhasználva jelölje α n (k) annak a valószín ségét, hogy az eredetleg k darab egyént tartalmazó populácó az n-edk lépésben már khalt, azaz α n (k) P (ξ n 0 ξ 0 k). Az el z ekhez hasonlóan legyen α(k) annak a valószín sége, hogy a kezdetben k-méret populácó valaha khal, tehát α(k) lm n a n (k). Az elágazó folyamatok jellegéb l adódóan α(k) α k (1). A továbbakban legyen α α(1). Vegyük észre, hogy α P ( lm n 0 ξ 0 1) n P (ξ 1 k ξ 0 1)P ( lm n 0 ξ 1 k) n k0 p k α k (1) G(α), k0 ahol G a generátorfüggvényt jelöl. Látható, hogy α G(α) egyenletet α 1 esetén fennáll. Kérdéses, hogy van-e más megoldás. A generátorfüggvény konvextásából adódóan a [0, 1] ntervallumon legfeljebb 2 különböz gyöke lehet. Tegyük fel, hogy ξ 0 generátorfüggvényét. Ekkor G n (x) x k P (ξ n k) k0 x k[ ] P (ξ 1 j)p (ξ n k ξ 1 j) k0 j0 j0 [ ] P (ξ 1 j) x k P (ξ n 1 k ξ 0 j). k0 1. Jelölje G n a ξ n Legyen G (n) (x) G(x) G(x) G(x), ahol az egyenl ség jobb oldalán pontosan n darab generátorfüggvény kompozícója áll. Vegyük észre, hogy G n (x) P (ξ 1 j)(g n 1 (x)) j j0 P (ξ 1 j)(g (n 1) (x)) j j0 G(G (n 1) (x)) G (n) (x). Ekkor α n (1) G n (0) G (n) (0), amb l α lm n α n (1) G(α) adódk, tehát α gyöke a kérdéses egyenletnek. 3.5.1. Tétel. Az elágazó folyamat által modellezett populácó khalásának valószín sége egyenl az x G(x) egyenlet legksebb poztív gyökével. 30
3.5.1. Bzonyítás. Tegyük fel, hogy α a legksebb poztív gyöke az α G(α) egyenletnek. Igazoljuk, hogy n N esetén α n (1) α. Ebb l már következk, hogy α lm n α n(1) α. Vegyük észre, hogy n 0 esetén α 0 (1)α, hszen α poztív. n-re vonatkozó ndukcóval adódk, hogy G (n) (0) G(G (n 1) (0)) G(α n 1 ) G(α ) α, ahol felhasználtuk, hogy a generátorfüggvény monoton növ. 31
3.5.3. Szmulácók az elágazó folyamatokra Legyen adott egy populácó, amely 100 családot tartalmaz, eltér családnévvel. Kezdetben mnden család egyetlen egyedb l áll. A szmulácók egy-egy lépésében mnden család néhány utódot hoz létre, majd a kés bbekben korább generácók egyénevel nem tör dünk. Az egyes családok utódanak száma azonos paraméter Posson eloszlású. A továbbakban különböz paraméterek esetén vzsgáljuk meg a khalt családnevek arányának valtozását. Az els szmulácó esetén az utódok száma 0.5 paraméter Posson eloszlású. Mvel a várható érték 1-nél ksebb a populácó 1 valószín séggel khal. A másodk szmulácónál az utódok száma 1-paraméter Posson. A várható érték pontosan 1, tehát arra számítunk, hogy a pupolácó ebben az esetben s khal. A harmadk szmulácónál az utódok száma 2-paraméter Posson. Mvel a várható érték nagyobb, mnt 1, ezért azt várjuk, hogy a populácó nem fog khaln. 32
4. fejezet Összefoglalás Az egyes fejezetekben bemutatott modellek gazolják a valószín ségelmélet módszerek változatos alkalmazhatóságát a természettudományok különböz területen. Látható, hogy látszólag eltér jelleg problémák megoldására hasonló modellek nyújtanak segítséget, ahogy azt a Markov láncok esetében s meggyelhettük. A vzsgált termodnamka rendszerek egyensúly állapotanak jellemzésében bemutatott eszközök a statsztkus zka más területen s hasznosnak bzonyultak, ahol nagy számú részecskéb l felépül rendszerek vzsgálata a cél. A Markov láncok alkalmazhatósága nem merül k a bológa, zka és kéma folyamatok modellezésében, gyakran alkalmazhatók különféle gazdaság problémák megoldására, vagy akár a szerencsejátékok elméletében. Az egyes fejezetekben látott szmulácók a Markov láncok konvergencájának sebességét mutatták be különböz esetekben. 33