186 A trigonometria elemei. VIII.1. Szögek mérése. Az eddigi tanulmányaitok során a szögek mérésére a fokot és annak törtrészeit használtátok.

Hasonló dokumentumok
Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát).

8. Négyzetes összefüggés: mellékmegjegyzés:

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Inczeffy Szabolcs: Lissajoux görbék előállítása ferdeszögű rezgések egymásra tevődésével

MATEMATIKA C 11. évfolyam. 8. modul Goniometria. Készítette: Kovács Károlyné

Ezt már mind tudjuk?

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon dr. Kiss Géza, Budapest

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

7. Kétváltozós függvények

Matematika szintfelmérő szeptember

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Emelt szintő érettségi tételek. 19. tétel: Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon. Irányított szakasz, melynek állása, iránya és hossza van.

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

13. Trigonometria II.

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek.

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

Matematika érettségi emelt 2016 május 3. A mért tömegek között nincs 490 dkg-nál kisebb, tehát az első feltétel teljesül.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

12. Trigonometria I.

12. előadás: Gauss Krüger vetület

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

I. A négyzetgyökvonás

Kettős és többes integrálok

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Szélsőérték feladatok megoldása

az eredő átmegy a közös ponton.

Elemi matematika szakkör

Szögfüggvények értékei megoldás

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

Kidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)

XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny május 13. V. osztály

1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

= és a kínálati függvény pedig p = 60

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

Két statikai alapfeladatról

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

Egybevágóság szerkesztések

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

Másodfokú függvények

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

9. modul Háromszögek, sokszögek

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Halmazok Egész számok

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Átírás:

86 A trignmetria elemei VIII A TRIGNMETRIA ELEMEI VIII Szögek mérése Az eddigi tanulmánaitk srán a szögek mérésére a fkt és annak törtrészeit használtátk Íg a teljes szög mértéke 60 Ez azt jelenti, hg az középpntú kört 60 részre sztjuk és eg résznek megfelelő szög mértékét választjuk egségnek (ez az -s szög) Az -s szög hatvanad részét nevezzük percnek (jelölése ) és az hatvanad részét nevezzük másdpercnek (jelölése ) Íg érvénesek az alábbi átalakítási szabálk: 60 ; 60 A technikában és a katnai méréseknél használnak más mértékegségeket is A matematikában leggakrabban a radián használats, amelet a következőképpen értelmezünk: Értelmezés Annak a középpnti szögnek a mértéke radián ( rad), amelnek a szárai közé eső körív hssza egenlő a kör sugarával Megjegzés Egségni sugarú körön az egségni hsszúságú ívnek megfelelő középpnti szög rad Mivel a kör kerülete R, ezért a 60 -s szögnek rad felel meg Íg az -s szög uganaz, mint a 80 rad szög Ez megadja a két mértékegség közti átszámlást A tvábbiakban a BAC fkban vag radiánban mért mértékét m( BAC ) -vel jelöljük Ha fkkban adjuk meg eg szög mértékét mindig kitesszük a jelet, míg ennek hiána azt jelenti, hg a szög mértéke radiánban van kifejezve Íg a m BAC és m BAC 60 uganazt jelentik VIII Gakrlatk Hán fksak az alábbi szögek? 5 4 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) 6 4 6 90 5 9 Fejezd ki radiánban az alábbi szögek mértékét: a) 0 ; b) 5 ; c) 0 ; d) 5 ; e) 75 ; f) 8 ; g) 7 ; h) 6 ; i) 59

A trignmetria elemei 87 VIII Hegesszögek szinusza, kszinusza, tangense és ktangense A hasnlóság tanulmánzásánál láttátk, hg ha az AB és A B derékszögű hármszögek ( AB B A VIII ábra ma ma ( ) 90 ) hasnlók, akkr Íg A B B A B AB A B B, tehát eg derékszögű hármszögben eg hegesszöggel B B szemben fekvő befgó és az átfgó arána csak a szög mértékétől függ (és A A hegesszöge, akkr nem az ldalak hsszától) Ezt az aránt az AB szinuszának * nevezzük és sin AB -vel jelöljük Tehát, ha eg derékszögű hármszög eg szöggel szemben fekvő befgó sin átfgó Hasnlóan értelmezzük az szög kszinuszát (jelölés ( ctg ): cs ), tangensét ( tg ) és ktangensét szög mellett fekvő befgó cs ; átfgó szöggel szemben fekvő befgó tg ; mellette fekvő befgó szög mellett fekvő befgó ctg szemben fekvő befgó Az előbbi menniségek csak az szög mértékétől függnek, ezért szögfüggvénekként emlegetjük Feladat Fejezzük ki a tg -t és ctg -t a sin és cs segítségével VIII ábra AB A Megldás Az ábra jelölései alapján sin és cs, tehát B B B AB B sin és A B cs AB B sin sin Íg tg és A B cs cs A B cs cs A ctg AB B sin sin Érvénesek tehát a következő összefüggések: sin cs tg, 0, és ctg, 0, cs tg sin Feladat A derékszögű hármszög ldalaira érvénes Pitagrász tétele Vizsgáljuk meg, hg a Pitagrász tétel hgan fgalmazható meg a szögfüggvének segítségével * A szögek szinuszát először Al-Battani (879 98) arab matematikus használta, a jelölés T Fink angl matematikustól származik 58-ból

88 A trignmetria elemei A AB Megldás A VIII ábra jelölései alapján A + AB B (*), tehát + Az B B eddigi értelmezések alapján sin + cs A (*) összefüggést elszthattuk vlna A -tel vag AB -tel is, íg más összefüggésekhez is juthatunk: AB B +, tehát A A A + tg és cs AB B +, tehát AB + ctg sin Az előbbi feladat alapján bármel 0, esetén érvénes az alábbi hárm összefüggés: sin + cs VIII Gakrlatk + tg cs + ctg sin Számítsd ki a következő szögek szögfüggvéneit: a) 0 ; b) 60 ; c) 45 Biznítsd be, hg: cs 90 0, 90 cs sin 90, 0, 90 ; a) sin, ; b) c) tg ctg( 90 ), ( 0, 90 ); d) tg( 90 ) ( 0, 90 ) ctg, Írd át szögfüggvénekre a befgó tételt és a magasság tételt 4 Az A -ban derékszögű ABC 4 hármszögben sin C és az AB befgó hssza l Számítsd ki 5 a többi ldal hsszát és a C szög szögfüggvéneit AB 5 Az ABC derékszögű hármszögben az egik szög a másik kétszerese Menni lehet az arán? BC VIII Feladatk Biznítsd be, hg ha A az ABC hármszög A szögének belső szögfelezője, A ( A (BC)) BA AB akkr A C AC Biznítsd be, hg az ABC hármszög A szögének AA szögfelezőjére igaz az bc A AA cs összefüggés, ahl b AC és c AB b + c Biznítsd be, hg az ABC hegesszögű hármszögben a bcs C + ccs B 4 Biznítsd be, hg a) sin < < tg, 0, ; b) sin, 0, +

A trignmetria elemei 89 5 Biznítsd be, hg ha ab, és létezik a + b > 4 0, úg, hg a sin + bcs >, akkr VIII Összeg és különbség trignmetrikus függvénei Feladat Fejezd ki a sin( + ) -t és cs( + ) -t az és szögfüggvénei segítségével,, 0, és + 0, Megldás Szerkesszük meg az ABC derékszögű hármszöget, amelben ( m ACB ) 90 és VIII ábra m D ( BAC) Az AB átfgóra szerkesszük meg az ABD derékszögű hármszöget, amelben ( m ABD ) 90 és m( BAD ) (lásd a mellékelt F B ED AE ábrát) Íg a DAC mértéke +, tehát és aránkat kellene AD AD A E C kiszámítanunk, ahl E a D pnt AC -re eső vetülete Ha AC r, akkr az ABC -ben BC r tg és AB r r AD és BD AB tg tg cs cs cs cs De AE AC EC és EC FB BD cs( FBD) BDcs BDsin Íg cs( ) cs cs sin sin sin r AB, tehát az ABD -ben cs r sin sin tg sin r cs cs cs sin sin r AE cs cs + és AD r cs cs + DE BC + BF r tg + BDcs tg + tg AD AD AD cs cs ( ) Az előbbi ábra jelölései alapján sin sin + cs cs sin cs + cs sin cs cs DE tg + tg tg + és AE tg tg

90 A trignmetria elemei AE tg tg ctg ctg ctg ctg ctg( + ) DE tg + tg + ctg + ctg ctg ctg Az előbbiek alapján kijelenthetjük a következő tételt: Tétel Bármel,, + 0, esetén cs cs cs sin sin ( + ) sin ( + ) sin cs + cs sin tg tg + tg tg tg ( + ) ctg ( + ) Feladat Számítsuk ki sin( ) -t és cs( ) szögfüggvénei segítségével, ha,, 0, -t az és 90 ctg ctg ctg + ctg Megldás Az ABC hármszögben AB r, m ABC és A B m ( BAC) Felvesszük a D (BC) és E (AC) pntkat úg, hg VIII 4 ábra m ( DAB) és ( m DEA ) 90 Íg m( DAC ED r ) és sin ( ) De AD, AD cs r BD r tg, BC r tg és AC Az ECD derékszögű hármszögben m ECD cs tehát ED DC cs ( BC BD) cs r( tg tg ) cs Ebből következik, hg ( tg tg ) r cs sin sin sin( ) cs cs sin cs cs sin r cs cs cs Hasnlóan r CDsin AE AC ED ( ) cs cs cs cs sin ( tg tg ) AD AD r cs cs cs sin sin cs sin cs cs cs cs cs cs + sin sin cs cs cs sin cs + sin sin cs cs cs cs + sin sin - E C D,

A trignmetria elemei 9 sin sin cs cs sin ( ) sin cs cs sin tg cs cs tg tg cs( ) cs cs + sin sin sin sin + tg tg cs cs + cs cs + + tg tg ctg ctg ctg ctg + ctg( ) tg( ) tg tg ctg ctg ctg ctg Érvénes tehát a következő tétel: 4 Tétel Ha, 0, és >, akkr sin sin cs cs sin cs ( ) cs cs + sin sin tg tg ctg ctg + tg( ) ctg ( ) + tg tg ctg ctg 5 Feladat Az előbbi összefüggések segítségével vezessünk le képletet a következő kifejezésekre (feltételezzük, hg minden eges összefüggésben lan tartmánban van amelben a kifejezések értelmezettek) a) sin ; b) cs ; c) tg ; d) ctg ; e) sin ; f) cs ; g) tg ; h) Megldás A tétel összefüggéseibe sin + sin cs + cs sin sin cs a) sin cs cs( + ) cs sin sin cs b) cs sin ; i) -et helettesítve az a), b), c) és d) pntknál kapjuk: (A másdik két eredmént a sin + cs összefüggés felhasználásával kaptuk) tg tg c) tg tg( + ) d) ctg( + ) ctg ctg ctg ( sin cs ) e) sin sin + sin cs + cssin cs + sin sin ( + ) ( + sin ) ( 4sin ) cs( + ) cs sin sin ( cs ) cs ( cs ( cs ) cs ( 4cs ) 4cs cs sin cs sin sin sin f) cs cs cs tg + tg tg + tg tg g) tg tg( + ) tg tg tg tg tg h) A b) pntban levezetett egenlőségek alapján sin sin 4sin sin ( sin cs ) tg tg tg + cs cs cs cs cs sin Innen cs és sin

9 A trignmetria elemei Az előbbiek alapján érvénes a következő tétel: 6 Tétel Tetszőleges 0, esetén sin sin cs, ha 0, ; cs cs sin sin cs, ha 0, ; tg tg, ha 0, ; tg ctg ctg, ha 0, ; ctg sin sin 4sin, ha 0, ; cs 4cs cs, ha 0, ; tg tg tg ha 0, ; tg + cs cs cs sin 7 Alkalmazásk Számítsuk ki a 5 -s szög és a 0 mértékű szög szögfüggvéneit Megldás sin5 cs5 tg5 0 cs0 6 sin ; 4 + 0 + cs0 + 6 cs ; 4 + sin5 ; cs5 + 45 cs45 sin 0 sin ; + 45 + cs45 + cs 0 cs ;

A trignmetria elemei 9 sin 0 tg 0 cs 0 + Számítsuk ki a 75 -s szög szögfüggvéneit Megldás 75 sin( 45 + 0 ) 6 + sin sin 45 cs0 + cs45 sin 0 + ; 4 cs75 cs ( 45 + 0 ) cs45 cs0 sin 45 sin 0 sin 75 6 + tg75 + D cs75 6 M ο ο P Megjegzés Látható, hg sin 75 cs5 és cs 75 sin5 Az ABCD négzet belsejében vegük fel az M pntt úg, hg A mm BC mmcb 5 legen Biznítsuk be, hg az MAD egenlő ldalú VIII 5 ábra ( ) Biznítás A feltételek alapján az MBC egenlő szárú, tehát az MAD is az Ha N és P az M pnt BC illetve AD szakaszkra eső vetülete és l a négzet ldalának hssza, akkr MN tg5, tehát l l l MN ( ) és íg MP l l + Tehát NC MP l l tg( MDP ), innen m( M DA ) 60 Eszerint az MAD egenlő ldalú PD 4 Az ABC derékszögű hármszög AB és AC befgóján vegük fel az M és N pntkat Biznítsuk be, hg AB AM + AC AN BC MN (*) Biznítás A biznítandó egenlőtlenséget elsztjuk BC MN -nel és jelöljük az NMA és CBA C szögek mértékét -val és β -val AB AM AC AN N VIII 6 ábra Íg (*) + BC MN BC MN cs cs + sin β sin cs β Mivel A M β B β 6 4 ; cs ( 0, ) 0, esetén, következik, hg az egenlőtlenséget igazltuk 5 Határzzuk meg a 4 irracinális egenlet eg pzitív megldását Megldás Az cs jelöléssel a cs 4cs cs sin cs sin egenlethez jutunk Ennek eg megldása a egenlet megldása, amelre,, 0, 8 C N B

94 A trignmetria elemei + Tehát az eredeti egenlet eg megldása az cs cs 0 8 6 Számítsuk ki a 8 -s, 7 -s és 54 -s szögek szögfüggvéneit VIII 7 ábra Megldás Tekintsük azt az ABC hármszöget, amelben A m ABC m ACB 7 (VIII7 ábra) Íg m BAC 6 és a C B D 7 7 6 uganakkr ( ) CD ( D ( AB)) szögfelezője két egenlő szárú hármszögre bntja az 6 ( ) 7 ABC -et ( m D CA m DAC és m BDC m DBC ) BD BC Az ABC és CDB hasnlósága alapján BC AC AD BD AB AD AB AD C Tehát ha, akkr, AB BC BC AD BD BC AD (felhasználtuk, hg AD BC és AC AB ) BC AC AB 6 6 A fentiek alapján + 0, tehát BC 5 De cs 7 sin8 AB 4 és íg sin 7 + cs8 5 4 0 4 + 5 AC 5+ Hasnlóan sin54 cs6 AD és 4 0 5 sin 6 cs54 4 A 7 Számítsuk ki az r és R sugarú külső érintő körök VIII 8 ábra B közös érintői által bezárt szög szinuszát az r és R függvénében Megldás A VIII8 ábra jelöléseit használjuk Ekkr R + r és C R r, tehát R C r C R r AB C ( R + r) ( R r) Rr Íg sin és R + r C cs 5 * Rr 4 R r Rr, tehát sin sin cs R + r R + r * Eukleidész Elemek című művének IV könvében a 0 tulajdnság

A trignmetria elemei 95 VIII4 Összegnek szrzattá és szrzatnak összeggé való alakítása * A és 4 tételek alapján ha a ( + ) sin cs cs sin és sin( ) sin cs cs sin sin +, egenlőségek megfelelő ldalait összeadjuk illetve kivnjuk egmásból, akkr a következő aznsságkhz jutunk: ( + ) + sin( ) sin cs és sin ( ) sin( ) cs sin sin Az + a és b jelöléssel a + b és a + b a b sin a + sinb sin cs és a b, tehát Hasnló összefüggéseket igazlhatunk a kszinuszkra is Ha a cs + (*) a + b a b sin a sinb cs sin ( + ) cs cs sin sin és cs ( ) cs cs + sin sin egenlőségek megfelelő ldalait összeadjuk, illetve kivnjuk egmásból, akkr a következő aznsságkhz jutunk: ( + ) + cs( ) cs cs és cs( + ) cs( ) sin sin cs Az + a és b jelölés segítségével a + b a b cs a + csb cs cs és a + b a b a + b a b cs a csb sin sin csb csa sin sin (**) alakba írhatjuk A (*) egenlőségek a szrzat összeggé alakítását, míg a (**) egenlőségek az összeg szrzattá alakítását mutatják VIII4 Megldtt feladatk Alakítsuk szrzattá a következő összeget: sin + sin + sin z sin + + z + Megldás sin + sin sin cs és + + z + z + + z z + + sin z sin( + + z) cs sin cs z + sin * Mindvégig feltételezzük, hg a megjelenő szögek a 0, intervallumban vannak

96 A trignmetria elemei Tehát sin + sin + sin z sin( + + z) + + sin cs cs z + + z + z + + + z z + s sin sin sin 4sin sin sin Számítsuk ki az S cs a + cs( a + r) + cs( a + r) + + cs( a + nr) és S sin a + sin( a + r) + sin( a + r) + + sin( a + nr) összegeket r Megldás A ( k + ) r ( k ) r cs a + kr sin sin a + sin a + egenlőség alapján r sin S r r r r sin a + sin a + sin a + sin a + + 5r r n + r n r + sin a + sin a + + + sin a + sin a + A sin( + kr) Tehát n + r r sin a + sin a sin ( n + ) ( k ) r ( k + ) r r nr cs a + r a sin cs a + cs a + egenlőség alapján r sin S r r r r cs a cs a + + cs a + cs a + + r 5r n r n + r + cs a + cs a + + + cs a + cs a + r n + r n + r nr cs a cs a + sin sin a + ( n + ) r nr ( n + ) r nr sin cs a + sin sin a + S és S r r sin sin

A trignmetria elemei 97 VIII5 Trignmetrikus függvének Látható, hg az eddigi összefüggések mindegikénél külön figelmet igénelt, hg a szögek a 0, intervallumban legenek Ahhz, hg a sin, cs, tg és ctg kifejezéseket értelmezzük a 0, intervallumn kívüli értékekre is, jó vlna, ha az eddigi összefüggések érvénben maradnának * Éppen ezért vizsgáljuk meg, hg mi történne, ha az eddigi összefüggésekbe tetszőleges és értékeket helettesítenénk Világs, hg ha a sin ± sin cs ± cs sin, cs( ± ) cs cs sin sin és sin + cs egenlőségek érvénesek tetszőleges és értékek esetén, akkr ebből következik, hg a többi összefüggés is igaz (persze, ha a törtek nevezője nem nulla) Íg a sin sin cs cs sin, cs( ) cs + sin, 0 sin + sin 4 4 cs 4 + cs 4 sin 4 4 +, cs + cs cs sin sin 0 4 4 4 4 4 4 egenlőségek alapján sin 0 0, cs 0, sin és cs 0 egenlőségeknek teljesülniük kellene Uganakkr sin + sin cs + cs sin cs és cs + cs cs sin is kellene teljesüljön Ez csak akkr lehetséges, ha bármel sin sin, esetén sin sin + cs sin sin( ), cs cs + sin cs cs( ) Hasnló módn az előbbi egenlőségek alapján, esetén: sin sin( ) és cs cs( ) ; * Ez az elgndlás a permanencia elv -ként ismeretes

98 A trignmetria elemei, sin Belátható, hg íg sin 0 és cs esetén: sin és cs( ) ( ) cs cs is szükséges és tvábbá ( ) sin sin + valamint cs + is kellene teljesüljön Tehát lépésenként (a matematikai indukció módszerével) értelmeznénk a sin és cs kifejezéseket tetszőleges esetén illetve a tg és ctg kifejezést minden lehetséges értékre Íg megkapnánk a valós számk halmazán értelmezett szinusz, kszinusz, tangens és ktangens függvént Erre a kiterjesztésre szükségünk van, hisz nagn egszerű gakrlati prblémák vezetnek bnlult függvéntani kérdésekhez a trignmetrikus függvénekkel kapcslatban Az előbb vázlt értelmezés eléggé nehézkes, ezért bemutatunk eg egszerűbb módt, amel teljesíti az összes eddig felsrlt igént Ehhez szükségünk lesz a trignmetrikus körre VIII5 A trignmetrikus kör A síkban felvesszük az krdinátarendszert 5 Értelmezés Azt az középpntú, egségsugarú kört, amelen értelmezünk eg pzitív iránt (az óramutatók járásával ellentétes), trignmetrikus körnek nevezzük VIII 9 ábra Minden valós számnak megfeleltethetünk eg pntt a trignmetrikus körön a következőképpen: I ha [ 0, ), akkr az számnak az a B pnt felel meg a körön, A amelre az AB körív mértéke (pzitív körüljárási iránban) II ha [ 0, ), akkr létezik és egértelműen meghatárztt a q és az r [ 0, ) valós szám, amelre q + r Ebben az esetben az -nak azt a B pntt feleltetjük meg, amelre az AB körív mértéke (pzitív iránban) r 5 Megjegzés Ez a megfeleltetés nem kölcsönösen egértelmű Bármel valós számnak pntsan eg pnt felel meg a körön, de a kör minden pntja végtelen sk valós számhz tartzik Például azt a B pntt, amelre az AB körív pzitív iránban mért mértéke, az összes + k alakú valós számhz rendeljük hzzá Ha a számegenest felcsavarnánk a kör kerületére úg, hg az rigó az A pntba kerüljön, akkr éppen ezt a megfeleltetést kapnánk 5 Gakrlat Ábrázld a trignmetrikus körön a következő valós számk képét: 5 5 7 5 7 0,,,, 4,,,,,,,,,,,,,,,, 4 8 6 6 4 6 6 7 5,,,, 4 6 4 6 54 Értelmezés Tekintsük az valós számnak megfelelő M pntt a trignmetrikus körön Az valós szám szinuszán az M pnt rdinátáját és a kszinuszán az M pnt abszcisszáját értjük

A trignmetria elemei 99 55 Megjegzések Az értelmezés és a trignmetrikus kör illetve a valós számegenes M közti megfeleltetés alapján ha tetszőleges valós szám, akkr sin sin sin( k ) és cs cs( k ) A cs Ha M (, ) az első negedben van, akkr M MM cs M és sin MM, M M VIII 0 ábra tehát az eddig használt értelmezéshez jutunk Ha,, akkr az M (, ) pnt szerinti N szimmetrikusának krdinátái, és ( AN ) cs sin sin N( ) m, tehát cs és VIII ábra M M M, M(, ) sin N-, cs A cs( ) VIII ábra 4 Ha, AN, akkr az ( ) M, pntnak az szerinti szimmetrikusa N, és m Íg cs cs( ) és sin( ) sin 5 Végül ha,, akkr az M (, ) pnt szerinti szimmetrikusa N(, ) és m AN Íg cs és sin sin ( ) cs VIII ábra sin() cs N(-,- ) A cs() sin( ) N,- A cs cs VIII4 ábra M(, ) sin sin M(, ) Az előbbi összefüggések alapján tetszőleges [ 0, ] valós szám szinusza és kszinusza visszavezethető valamilen ( -tól függő) 0, -beli szög szinuszára vag kszinuszára Ezeket az összefüggéseket nevezzük az első negedre való visszavezetés képleteinek

cs00cs60 00 A trignmetria elemei VIII5 Megldtt gakrlatk Számítsuk ki a következő számk vag szögek szinuszát és kszinuszát: 5 a) 0 ; b) ; c) 0 4 ; d) ; e) 00 ; f) 6 Megldás a) 0 90 + 0, ( 90 0 ) sin0 sin sin 60, cs0 cs( 90 0 ) cs60 sin 0 M VIII 5 ábra cs0 0 sin 60 60 N cs60 5 b) +, tehát 6 5 sin sin + sin sin és 6 6 5 cs cs 6 6 5 ( uganaz, mint a 50 -s szög) 6 5 6 M cs50 VIII 6 ábra 60 sin 50 0 sin0 N cs0 c) 0 80 + 0, tehát sin 0 sin 0 és cs 0 cs0 4 4 d) +, tehát sin sin és 4 cs cs e) 00 70 + 0, tehát sin 00 sin 60 és cs00 cs60 5 5 f) + + + + ( 70 + 75 ), tehát 6 sin + 6 sin és cs cs 4 4 Számítsuk ki a következő számk szinuszát és kszinuszát: 0 0 a) ; b) ; c) ; d) 570 4 cs 0 M sin 0 VIII 7 ábra 0 sin 60 sin00 0 sin 0 0 VIII 8 ábra N cs0 60 N M

A trignmetria elemei 0 Megldás 0 VIII 9 ábra 60 60 60 45 60 45 0 0 0 0 a) + + +, tehát sin sin és cs cs b) 5 + 4 + +, tehát sin sin 4 4 4 4 4 c) 0 4 + tehát cs cs d) 570 60 + 50, tehát sin 0 sin sin sin ( 570 ) sin50 és ( 570 ) VIII5 Gakrlatk és feladatk Számítsd ki az alábbi értékeket: a) sin + ; b) sin ;c) sin + ; d) 6 g) 00 sin ; h) Számítsd ki cst -t, ha 00 cs ; i) sin k, k a) sin t és t, ; 5 0 cs ; e) és cs cs 4 4 0 és cs cs cs50 54 57 cs ; f) cs ; 6 6 ; j) cs( k + ), k ; k) ( k + ) Számítsd ki sin t -t, ha sin, k 5 7 a) cs t és t, 4 ; 0 5 9 b) sin t és t, ; b) cs t és t, 5 ; 4 5 6 + 47 9 c) sin t és t, c) cs t és t 9, 4 7 4 A trignmetrikus kör segítségével határzd meg azkat az valós számkat, amelekre: a) sin 0 ; b) sin ; c) cs 0 ; d) cs ; e) sin ;

0 A trignmetria elemei f) cs ; g) sin cs ; h) sin + cs ; i) sin cs 4 5 5 a) Biznítsd be, hg sin + sin + sin + sin + sin 0 * b)határzd meg azkat a k számkat, amelekre 4 k sin + sin + sin + sin + + sin 0 6 Biznítsd be, hg sin + cs, 7 Hasnlítsd össze a sin és sin kifejezéseket, ha, 0, és < Általánsítás 8 Hasnlítsd össze a cs és cs kifejezéseket, ha, 0, és < Általánsítás 9 Biznítsd be, hg sin + sin, 8 * 0 Biznítsd be, hg ha sin + cs, akkr sin n n + cs, n 8 8 * Biznítsd be, hg sin n < nsin, n és 0, esetén 4 + 8 + 8 ldd meg az 5 sin egenletet a valós számk halmazában + Az E sin + cs kifejezés esetén keresd meg azt a legkisebb, nullától különböző pzitív T számt, amelre E + T E 4 Biznítsd be, hg ha a, b > 0 és 0,, akkr a bsin cs a b VIII5 Trignmetrikus szögek tangense és ktangense 5 Értelmezés Tetszőleges esetén értelmezzük a sin tg, ha cs 0 és a cs cs ctg, ha sin 0 sin kifejezéseket 5 Feladat Szerkeszd meg 0, esetén a tg és ctg értékeket a trignmetrikus kör segítségével

A trignmetria elemei 0 Megldás A C(0,) körön N ctg felvesszük az M (, ) pntt úg, P hg m ( AM ) legen, ahl B M M tg A ( 0, ) A szinusz és a kszinusz értelmezésében fnts vlt, hg a kör MM sugara A tg egenlőség M A M alapján nem látható a tg, de ha VIII 0 ábra lan törttel fejeznénk ki, amelnek a nevezője, akkr meglenne a kért ábrázlás Emiatt például jbb lenne, ha az A szakasz kerülne a nevezőbe Ezt úg érhetjük el, ha eg lan derékszögű hármszöget szerkesztünk, amelnek az egik hegesszöge uganaz az, a mellette fekvő befgó pedig A Ehhez az A -ban érintőt húzunk a körhöz és M -et AN meghsszabbítjuk amíg metszi ezt az érintőt az N pntban Ekkr tg AN A Hasnló módn a B ( 0, ) pntban húztt érintő és az M egenes P metszéspntjára igaz a ctg BP egenlőség M N tg ctg P VIII ábra értelmezhető Hasnlóan { k k } B M Belátható, hg 0, esetén is az N és P pntnak az AM és BP tengeleken számlt sin cs krdinátája éppen a illetve a cs sin érték (ha létezik) Ha k ± k, akkr cs 0 és M párhuzams az A -ban húztt érintővel, ezért ezekre az értékekre a tg nem esetén sin 0 és M párhuzams a B -ben húztt érintővel, tehát a ctg nem értelmezhető ezekre az értékekre Az eddigiek alapján az M -nek az A illetve B pntban húztt érintőkkel való metszéspntjainak rdinátája valamint abszcisszája éppen tg illetve ctg VIII54 A trignmetrikus függvének tulajdnságai Az értelmezés alapján ( ) ( ) sin + sin,, cs + cs, Ezek az összefüggések a szinusz és kszinusz függvének peridikusságát fejezik ki mindkét függvén periódusa

04 A trignmetria elemei Az előbbiek alapján ha az M pnt krdinátái (, ), akkr az szerinti N szimmetrikusának krdinátái (, ), VIII ábrán a sin :[ 0, ] grafikus képe látható Mivel a szinuszfüggvén páratlan aznnali, hg a sin :[, ] grafikus képe a VII4 ábrán látható ) VIII ábra M, sin tehát a szinusz és kszinusz értelmezése alapján cs ( ) cs és sin( ) sin A Íg a cs : függvén párs és a sin : függvén páratlan sin( ) sin N, ( -) A fentiek alapján elégséges a szinusz és a kszinusz függvének grafikus képét a [ 0, ] intervallumn megszerkeszteni, mert a [, 0] intervallumhz tartzó rész a szinusz esetén ennek szerinti szimmetrikusa, míg a kszinusz esetén szerinti szimmetrikusa A következő táblázat alapján a 0 / 6 / 4 / / / / 4 5 / 6 sin 0 / / / / / / 0 Ezek alapján sin ( + ) sin tg + tg, \ ( k+ ) k és cs( + ) cs cs ( + ) cs + ctg, \ { k k } sin( + ) sin ctg cs cs(-, tehát a tg : \ ( k + ) k R és ctg : \ { k k } függvének is peridikusak és eg periódusuk A trignmetrikus körről lelvasható, hg a tg és ctg függvéneknek már is periódusa, azaz ( + ) tg, tg ( ) ctg ctg \ k+ k és +, \ { k k } Sőt belátható az is, hg a sin és cs függvének legkisebb pzitív periódusa a és a tg illetve ctg függvének legkisebb pzitív periódusa a Ezeket a perióduskat nevezzük főperiódusknak A peridicitást is felhasználva a sin : függvén grafikus képét a VIII5 ábrán készítettük el

A trignmetria elemei 05 6 4 VIII ábra 5 4 6 - VIII 4 ábra 5 4-4 5 A cs sin + VIII 5 ábra egenlőség alapján a kszinusz függvén grafikus képe megkapható a szinusz függvén grafikus képéből, ha ezt balra tljuk el az vektr mentén (VIII6 ábra) 5 - -szel párhuzams 5 hsszúságú VIII 6 ábra A grafikus kép alapján látható (és biznítható a trignmetrikus kör segítségével), hg a sin : [, ] és cs : [, ] függvének nem injektívek, nem mntnk és szürjektívek Mindkét függvén értelmezési tartmána leszűkíthető úg, hg bijektív függvénekhez jussunk Íg például a sin :, [, ] és a cs : [0, ] [, ] leszűkítések bijektívek A szinusz és kszinusz függvének tulajdnságai alapján érvénesek a tangens és ktangens függvének következő tulajdnságai is: A tangens függvén

06 A trignmetria elemei a) páratlan: tg( ) tg, \ ( k+ ) k ; b) a, intervallumn növekvő; c) peridikus és főperiódusa A övetkező táblázatba fglalt értékeket ábrázltuk, majd összekötöttük eg görbe vnallal Íg a tg :, függvén grafikus képéhez jutttunk VIII 7 ábra (VIII7 ábra) tg 4 6 8 tg : \ + k függvén grafikus képe a VIII8 ábrán látható ct g : \ k k A peridicitás alapján a ( k ) 0 8 0 Hasnló meggndlásk alapján a { } 6 4 4 6 8 8 6 4 függvén grafikus képe VIII9 ábrán látható 5 5 VIII 8 ábra VIII 9 ábra VIII55 Gakrlatk Ábrázljuk grafikusan a következő függvéneket: a) f :, f + sin ; b) f :, f cs ; c) f :, f sin ; d) f :, f cs ;

A trignmetria elemei 07 e) f :, sin ; f) f f : \ k+ k, f tg ; g) f :, f cs + ; h) f :, f sin( ) A grafikus képek segítségével ldjuk meg a következő egenlőtlenségeket: a) sin > cs ; b) cs > tg VIII56 A trignmetrikus összefüggések kiterjesztése tetszőleges szögekre A szögfüggvének eddigi tulajdnságai alapján vizsgáljuk meg, hg a sin( ) sin cs cs sin összefüggés igaz-e tetszőleges, esetén A peridicitás alapján feltételezhetjük, hg, [0, ] A szinusz függvén páratlansága miatt feltételezhetjük, hg > (Ellenkező esetben a sin ( ) sin( ) ( sin cs cs sin ) sin cs cs sin egenlőségek alapján jutnánk a heles összefüggéshez) A következő esetek vizsgálata szükséges:, és 0, ;, és 0, ;, és 0, ; 4, és, ; 5, és, ; 6, és, ; 7, és, ; 8, és, ; 9, és, Mivel,, következik, hg 0, valamint cs cs( ), tehát sin cs cs sin sin cs + cs sin és tudjuk, hg sin sin( ) sin( + ) sin( ( ) ) sin( ) (A, 0, értékekre alkalmaztuk az összeg szinuszára vnatkzó képletet)

08 A trignmetria elemei Mivel,, következik, hg 0, cs cs, tehát és tudjuk, hg sin( ) sin, sin cs cs sin sin( ) cs + cs( ) sin cs( ) cs sin( ) sin( + ) sin( ( ) ) sin( sin ) Hasnlóan igazlható a többi esetben is a kívánt egenlőség A tárgalandó esetek nag száma miatt eg rövidebb utat is vázlunk P N Legen 0 < < β < és M ( cs, sin ) illetve N ( cs β, sin β ) két pnt a trignmetrikus körön (tulajdnképpen az és β valós A számknak megfelelő pntk) Mérjük fel az m( A P) β szöget pzitív trignmetrikus iránban, ekkr belátható, hg a P pnt krdinátái ( cs ( β ), sin( β )) Az MN és AP M VIII 0 ábra szögek kngruenciája alapján (mindkettő mértéke β ) [AP] [MN], mint kngruens körívekhez tartzó húrk De az analitikus gemetriából tudjuk, hg ( ) + ( ) ( cs cs β ) + ( sin sin β ) MN M N M N cs cs cs β + cs β + sin sin sin β + sin β ( cs cs β + sin sin β ) és AP ( cs( β ) ) + sin ( β ) ( β ) cs( β ) + + sin ( β ) cs( β ) β β cs Tehát, mivel a fenti két menniség egenlő, aznnal következik, hg cs β cs cs β + sin sin () β A cs függvén párssága alapján β esetén is igaz egenlőséghez jutunk és a peridicitás alapján következik, hg () igaz,, esetén helett -t helettesítve, kapjuk: ( β + ) cs β cs( ) sin( ) sin β cs cs β sin sin β cs + Ez utóbbi egenlőségbe β helett β -t helettesítve a cs β + cs β cs sin β sin sin β cs cs β sin egenlőséghez jutunk, de cs β + cs ( β ) sin( β sin ( β ) sin β cs cs β sin ), tehát

A trignmetria elemei 09 Ha ebben az egenlőségben helett -t helettesítünk, akkr a sin ( β + ) sin β cs + cs β sin egenlőséghez jutunk Íg az eddig bevezetett trignmetrikus összefüggések igazak tetszőleges valós számkra is, amenniben a bennük szereplő kifejezések értelmezettek 56 Feladat Fejezzük ki a sin, cs és tg kifejezéseket a tg segítségével (természetesen, ahl létezik) Megldás A feladat megldása srán használni fgjuk a t tg jelölést A tg tg tg egenlőség alapján t tg A tg tg t egenlőség alapján sin sin cs sin cs sin cs cs tg t sin sin cs sin + cs tg + t sin + cs + cs t sin sin A tg egenlőségből következik, hg cs t t + cs tg t + t t (Ez utóbbi levezetés csak akkr érvénes, ha tg 0, de können ellenőrizhető, hg az egenlőség igaz bármilen esetén, ha a Érvénesek tehát az alábbi egenlőségek: tg értelmezett) ahl sin tg t és cs 0 t + t t + t t, t cs tg

0 A trignmetria elemei VIII56 Megldtt gakrlatk Számítsuk ki tg, sin és cs értékét, ha 4cs + sin 5 0 Megldás Az előbbi összefüggések alapján a t t egenértékű a 4 + 5 0 + t + t 9t 6t + 0 tg t jelöléssel a feladatbeli egenlőség egenlőséggel, amel a 4( ) + 6t 5( + t ) 0 egenlethez vezet, ennek pedig az egetlen megldása a 4 sin és cs 5 5 Számítsuk ki a sin ( + ) értékét, ha tg 4 és tg 8 Megldás Az előbbi egenlőségek alapján sin, 7 cs 4 5, tehát ( ) VIII56 Gakrlatk t t, tehát 5 cs, 7 8 4 5 sin + sin cs + cs sin + 7 5 7 5 85 Számítsd ki: a) sin 4 cs6 + cs4 sin6 ; b) cs5 cs9 sin 5 sin 9 ; tg + tg c) ; d) tg tg sin9 cs9 b Biznítsd be, hg acsϕ + bsinϕ a + b sin( ϕ +ϕ 0 ), ahl tgϕ 0 a Számítsd ki a cs ( a b) értékét, ha sin a + sin b és cs a + csb 4 Számítsd ki a a ± b, a ± b, tg a ± b kifejezések értékét, ha sin cs tg sin és 5 a) sin a, sin b és a, b 0, ; b) sin a, cs b és a, b, ; 5 4 c) csa, csb és a, b, ; d) cs a, sin b, a, b, 7 7 5 5 5 Hzd egszerűbb alakra a következő kifejezéseket: sin( + ) + sin( ) cs( + ) + sin sin a) ; b) ; sin + sin cs sin sin ( ) ( ctg a + ctg b) ( ctg a + ctgb) tg a + tg b c) tg a + tgb,

A trignmetria elemei 6 Számítsd ki az E sin cs + sin + 4cs kifejezés értékét, ha, 7 Fejezd ki cs + cs a és sin + sin b függvénében a következő kifejezéseket: a) cs ( + ) ; b) cs ( ) ; c) sin ( + ) ; d) ( ) 8 Biznítsd be, hg ha sin + sin sin( + ) és k k akkr tg tg sin sin és 5 + egetlen esetén sem, 9 Számítsd ki az E acs + bsin cs + csin kifejezés helettesítési értékét, ha b tg és a c a c 0 Biznítsd be a következő egenlőségeket: cs5 + sin 5 sin 78 + cs78 a) ; b) cs5 sin 5 cs sin ; c) sin 0 cs0 cs40 ; d) sin 0 sin 40 sin 60 sin 80 ; 8 0 sin 0 cs5 + cs0 sin 5 cs56 sin46 + sin 6 sin 04 e) ; f) cs5 cs0 sin 5 sin0 cs cs8 cs0 sin5 Számítsd ki a következő kifejezések értékét: a) cs 0 cs40 cs60 cs80 ; b) sin 6 sin sin8 cs4 ; c) tg 0 tg 40 tg 60 tg80 ; d) tg tg tg tg89 ; 5 7 5 7 e) sin + sin + sin + sin ; f) sin + sin + sin + sin 8 8 8 8 8 8 8 8 sin a + sin a + sin5a + sin 7a + sin 9a Írd egszerűbb alakba az E kifejezést csa + csa + cs5a + cs7a + cs9a Biznítsd be a következő aznsságkat: sinsin β γ + sin βsin γ + sinγ sin β 0,, β, γ ; a) b) sin( β + γ ) sin cs β csγ + cs sin β csγ + cs sin + β sin β + γ sinsinγ + sin βsin + β + γ, β, γ ; c) + cs β sinγ sin sin β sin γ,, β, γ 4 Vezess le eg képletet cs( + β + γ ) -ra 5 Biznítsd be, hg ha + + z, akkr: z z a) sin + sin + sin z 4cs cs cs ; b) cs + cs + csz + 4sin sin sin ;

A trignmetria elemei c) sin + sin + sin z 4sin sin sin z ; d) cs + cs + csz 4cs cs cs z ; e) tg + tg + tg z tg tg tg z, ha,, z ( k + ) k ; z z f) ctg + ctg + ctg ctg ctg ctg, ha,, z { k k } ; z z g) tg tg + tg tg + tg tg, ha,, z {( k + ) k } ; h) ctg ctg + ctg ctg z + ctg z ctg,, z k k, ha { } sin + sin + 6 Biznítsd be, hg ha, [0, ], akkr sin 7 Biznítsd be, hg bármel, esetén a) cs cs + sin sin ; cs ; sin + + cs sin + cs sin + cs sin + sin 4 4 ; b) ( ) + cs ( + ) [ + cscs] c) ( ) ( ) ( )( ) + d) ( k ) ( ) k k + sin + + cs ; e) cs + ( k + ) ( ) sin 8 Biznítsd be, hg,, z esetén sin cs + sin cs z + sin z cs 9 Biznítsd be, hg tetszőleges ABC hármszögben érvénesek az alábbi egenlőtlenségek ( A, B és C a hármszög szögeinek mértéket jelöli): A B C a) cs A + cs B + csc ; b) sin sin sin ; 8 c) cs A cs BcsC ; d) sin/ A + sin B + sin C ; 8 A B C A B C e) cs cs cs ; f) tg tg tg ; A B C g) tg + tg + tg 5 0 Biznítsd be, hg sin sin sin 4 4 4 8 9 Biznítsd be, hg bármel, esetén cs + cs + cs( + ) 4

A trignmetria elemei sin cs Biznítsd be, hg az E +, k + kifejezés értéke nem függ -től tg ctg 4 Számítsd ki a következő összegeket: n n n a) tg + tg + tg + + tg ; b) sin + sin + sin + + sin ; n sin sin sin c) + + + ; d) + + + ; n sin a sin 4a sin a cs 0cs cscs cs n cs e) + + + cs + cs cs + cs5 cs + cs( n + ) 4 Biznítsd be, hg 5 7 9 a) cs + cs + cs + cs + cs ; 4 6 8 0 b) cs + cs + cs cs + cs 4 6 n 5 Számítsd ki a cs + cs + cs + + cs összeget n + n + n + n + 6 Számítsd ki a következő szrzatkat: n a) cs cscs4cs ; b) + + + + ; n cs cs cs4 cs n c) cs cs cs cs n + n + n + n + n