TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 13 Kényszeezgése, ezonancia Gyaolatilag is igen fontos eset az, aio egy ezgése épes endsze ezgései valailyen ülső, peiodius hatás (énysze űödése özben zajlana le Az ilyen ezgéseet szeben a oábban tágyalt szabad ezgéseel ényszeezgésene nevezi A ülső énysze soféle lehet, itt a legegyszeűbb esetet vizsgálju, aio a ülső hatás étée időben szinusz vagy oszinusz függvény szeint változi Kényszeezgés echaniai ezgő endszeben A ényszeezgés jellegzetességei, a ezonanciafevencia A legegyszeűbb eset egy pontszeűne teinthető test ényszeezgése, ait egy egyszeű íséleti elendezéssel odellezhetün KÍSÉRLET: A ísélet vázlata az ábán látható A ét függőleges ugó özött elhelyezedő töeget az egyensúlyi helyzetéből itéítve és elengedve a töeg szabad ezgése jön léte Kényszeezgést úgy tudun egvalósítani, hogy az ábán látható excente fogatásával az R udat és így az alsó ugó végét peiodiusan fel-le ozgatju Ezáltal a endszee áényszeítjü a úd végéne ezgését, és az töeg ényszeezgést végez A ugóhoz éintett súlódó testtel a ezgést csillapítani is tudju Ha az excente szögsebességét, vagyis a ényszeezgés (öfevenciáját növeljü, ao jól egfigyelhető, hogy ezdetben az töeg ezgéséne aplitúdója icsi, ajd egye nő, és soszoosan eghaladja a ezgető úd végéne aplitúdóját Egy bizonyos szögsebességnél az aplitúdóna axiua van, a szögsebesség további növelésével az töeg ezgéséne aplitúdója csöen, és igen nagy szögsebességenél gyaolatilag á nincs ezgés Jól egfigyelhető a csillapítás hatása is: inél eősebben szoítju a ugóhoz a csillapító testet, annál isebb lesz a axiális aplitúdó Ha a csillapítás icsi, ao a axiális aplitúdó a töegpont szabad ezgéséhez özeli fevencián övetezi be Hasonló íséletet végezhetün el egy toziós ezgést végző testtel
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 14 KÍSÉRLET: Az alábbi ábán látható, ézből észült, fogatható oonga (az ábán feete egy spiálugó van szeelve, ai iatt a oong az egyensúlyi helyzetéből (az ábán a utató M helyzete való itéítéso szabad toziós (fogási ezgésbe jön Kényszeített toziós ezgést itt is egy excentees egoldással az R úd segítségével tudun létehozni A csillapítást itt az E eletoágnes ágneses eőteével tudju szabályozni, aely a ozgó ézoongban övényáaoat elt, és ezzel féezi a oong ozgását, vagyis csillapítja a ezgést Az excente fevenciájána növelésével itt is az előző íséletben á tapasztalt jellegzetességeet találju: az aplitúdó függ a énysze fevenciájától, és egy bizonyos fevenciánál axiua van A csillapítás növelése csöenti a axiális aplitúdót, is csillapításnál a axiu itt is a oong szabad ezgéséne fevenciája özelében van Bá a észletee vonatozóan evés infoációt ad, egyszeűsége és szeléletessége iatt édees egnézni ég az alábbi, ingáal egvalósított íséletet is KÍSÉRLET: Közös fonála felfüggesztün ülönböző hosszúságú, önnyű ingáat (ües öö, és egy nagyobb töegű ingát (A, aelyne hosszúsága tehát lengési fevenciája egegyezi a többi inga egyiével (B Ha a nehéz A ingát lengésbe hozzu, ao az a ötél özvetítésével eglengeti a többi ingát is Azt tapasztalju, hogy jelentős aplitúdóval csa az azonos hosszúságú B inga leng, vagyis az, aelyne a sajátfevenciája egegyezi a ényszeítő inga fevenciájával A B A fenti ísélete özös tanulsága az, hogy a ezgése ényszeített endsze aplitúdója függ a énysze fevenciájától, és axiua van a endsze sajátfevenciája özelében A axiu léte azt utatja, hogy egy bizonyos a endsze adataitól függő fevencián a endsze ezonál a ülső ényszee, ezét ezt a jelenséget ezonanciána nevezi Eze után nézzü eg, hogy hogyan lehet a ezonancia jelenségét a fiziai tövénye segítségével ételezni
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 15 Az egyszeűség edvéét tegyü fel, hogy egy csillapodó ezgést végző töegponta egy F F sint ülső ényszeítő (gejesztő eő hat Eo ozgásegyenlete így ódosul: d x( t dx( t Dx( t + F sint Az töeggel osztva és alalazva a csillapodó ezgésnél használt jelöléseet, a itéés időfüggését egadó x(t függvénye az alábbi egyenletet apju: d x( t dx( t F + β + x( t sint Az egyenlet ég a csillapodó ezgés egyenleténél is bonyolultabb, de a tapasztalato alapján itt is egpóbálhatju italálni a egoldást A tapasztalat szeint egy ilyen endsze egy bonyolult beezgési folyaat után a gejesztő eő fevenciáján ezeg, a gejesztő eő tehát áényszeíti a endszee a fevenciáját A beezgési folyaat oa az, hogy ha egy endszet az egyensúlyi helyzetéből iozdítun, indig elindul a endsze sajátezgése is, ai összetevődi a ényszeezgéssel A sajátezgés azonban a csillapítás iatt egy idő után elhal, és csa az állandósult ényszeezgés aad Mateatiailag ez azt jelenti, hogy az egyenlet általános egoldása ét ezgést leíó függvény összege lesz, aelyene egyie az egyszeű csillapodó ezgés fevenciáját, a ási pedig a gejesztő eő fevenciáját tatalazza A beezgési folyaat elhalása után a töegpont haonius ezgést végez a gejesztő eő öfevenciájával, tehát a itéés időfüggését haonius függvénnyel íhatju le Ilyen lehet például az x( t Asin( t ϕ függvény Itt egyelőe iseetlen a ezgés A aplitúdója, továbbá a ezgő endszeés a gejesztő eő ezgése özötti ϕ fázisülönbség (a fázisszög negatív előjele azét célszeű, et a ezgés általában ési a gejesztő eőhöz épest Az iseetlen állandóat ugyanúgy hatáozhatju eg, int a csillapodó ezgés esetén tettü: a feltételezett egoldást behelyettesítjü a ezgés diffeenciálegyenletébe, és egvizsgálju, hogy ez az elített ennyisége ilyen étéeinél lesz valóban egoldás A száolást a deiválta iszáításával ezdjü: dx( t A cos( Kt ϕ d x( t A sin( Kt ϕ F Behelyettesítés és a b jelölés bevezetése után az alábbi egyenletet apju A sin( t ϕ + βa cos( t ϕ + Asin( t ϕ bsin t K K
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 16 Az t ϕ ülönbség szögfüggvényeit ezután iset tigonoetiai összefüggése segítségével olyan alaa hozzu, hogy indenütt a sin t és a cos t jelenjen eg: A sinkt + A cost + βa coskt + + βa sinkt + A sinkt A cost b sint Rendezés után az egyenlet az alábbi alaot ölti: ( A + βa A cos t ( A βa A + b sint Mivel az egyenletne indig teljesülnie ell, az időfüggő észe együtthatóina ell nullána lenni, azaz A + βa A A + βa + A b A fenti egyenletendsze lehetőséget ad a eesett ét iseetlen (A és ϕ eghatáozásáa A ϕ fázisszögne csa egy szögfüggvénye (tgϕ hatáozható eg (úgy hogy az 1 egyenletet elosztju -vel, az A aplitúdó ezután hosszabb száolással özvetlenül egapható a egyenletből A száolást itt ne végezzü el, a végeedényt alább egadju A száolásból ideül, hogy a fent feltételezett x( t Asin( t ϕ ifejezés csa ao egoldása az egyenletne, ha az aplitúdó és a fázisülönbség is függ az ényszefevenciától, az alábbi ódon A A( β tgϕ F ( K + 4β A apott eedény első tanulsága az, hogy a gejesztő eő öfevenciáját változtatva, változi a ezgés A aplitúdója (ez egyezi a íséleti tapasztalatoal Az aplitúdó a öfevencia csöentéseo az F F A( étéhez tat, ai D ugóállandó esetén egfelel az F eő által D oozott sztatius itéésne Az igazi édeesség azonban ao deül i, ha észletesebben is egvizsgálju az aplitúdó fevenciafüggését egadó fenti A függvényt A énysze fevenciájána növeléseo az aplitúdó előszö növeszi, ajd igen nagy fevenciáon nullához tat (utóbbi anna a övetezénye, hogy a töeg á ne épes övetni az eő változásait A függvény vizsgálatából ideül, hogy az aplitúdóna egy bizonyos öfevenciánál axiua van (ába, ai egybevág a íséleti tapasztalatoal A ezonancia jelensége tehát a fiziai tövénye segítségével szászeűen is leíható, és felajzolható az aplitúdó fevenciafüggését egadó göbe, ait ezonanciagöbéne-, a axiális A( ( F /D, β >β 1 β 3 >β 3 1 β 1
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 17 aplitúdóhoz tatozó öfevenciána egfelelő f fevenciát pedig a π endsze ezonanciafevenciájána nevezi A ísélete azt utatjá, hogy ha a β csillapítás icsi, ao az aplitúdó igen eedeen változi a ezonancia helyénél (a ezonancia éles, a ezonancia a endsze sajátfevenciája özelében övetezi be (, és a ezgés aplitúdója igen nagy lehet A csillapítás növelésével csöen a ezonanciafevencia, csöen az aplitúdó axiua, és a ezonanciagöbe laposabbá váli (ez is látszi a fenti ábán Mindezeet a tapasztalatoat száítással is alátáaszthatju Az aplitúdófüggvény axiuához tatozó öfevenciát a ateatiából iset ódon, a da( d összefüggésből aphatju eg A száolás eedénye az, hogy ezonancia az β 1 öfevenciánál (vagyis az f β fevenciánál van A fenti π összefüggéseből látszi, hogy a β csillapítás növeléseo a ezonanciafevencia a száításo szeint is csöen Az aplitúdó axiuát a ezonanciafevencia behelyettesítésével apju: F F Aax A( 4 ( + 4β 4β + 4β ( β F 4 4β 4β β F β Kis csillapításnál β <<, ezét ilyeno az aplitúdó axiua özelítőleg az F Aax β ifejezéssel adható eg, vagyis az aplitúdó axiuát (adott ényszeeőnél lényegében a csillapítás hatáozza eg A csillapítás növelésével az aplitúdó-axiu csöenthető, ha viszont a csillapítást csöentjü, ao az aplitúdó-axiu nő Ez az oa anna, hogy is csillapítású ezgő endszeeet a ezonanciafevencián ezgetve igen nagy ezgési aplitúdó alaulhat i, ai bizonyos eseteben hasznos, de néha atasztófához is vezethet Hasznos a ezonancia pl ao, ha egy gyenge ezgést aaun feleősíteni, pl azét, hogy egéjü a fevenciáját A ezonancia áos lehet ezgő vagy fogó alatészeet tatalazó gépenél, hiszen a nagy aplitúdójú ezgés a gép defoációjához vagy töéséhez vezethet Ezét ügyelni ell aa, hogy a fogás vagy ezgés fevenciája a gép ezonanciafevenciáitól 1 távol legyen A ezonancia áos hatásána talán legeghöentőbb esete az észa aeiai Tacoa folyó felett átívelő völgyhíd összeolása a széllöése által oozott ezonancia iatt 1 Kiteje testene több ezonanciafevenciája van
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 18 A ényszeítő eő és a ezgés özötti ϕ fázisülönbsége apott π β tgϕ π/ összefüggésből látszi, hogy a fázisszög függ a gejesztő eő fevenciájától Adott csillapításnál a fevenciát csöentve tg ϕ és egyúttal ϕ is nullához tat, vagyis lassú ényszenél a endsze ég szinte ésedele nélül övetni tudja a ényszet, a fevencia növeléseo azonban a endsze egye jobban leaad a ényszetől: tg ϕ és ϕ π növeszi, -nál ϕ, a fevencia további növeléseo pedig a fázisülönbség π-hez tat (ába Utóbbi esetben a endsze és a énysze ellentétes fázisban ezeg, ai a íséletenél is egfigyelhető A ezonanciafevenciát egadó összefüggésből látszi, hogy a fenti egoldás ne lehet évényes, ha a csillapítás olyan nagy, hogy fennáll a β > feltétel, hiszen eo a ezonanciafevenciáa épzetes étéet apun, ai fiziailag ne lehetséges A észletes ateatiai elezés azt utatja, hogy ilyeno nincs ezonancia, hane az aplitúdó a fevencia növelésével onoton csöen A sebességezonancia A ényszeezgést végző töegpont itééséne eghatáozása után önnyen egaphatju a sebessége vonatozó összefüggést is: dx( t π vx( t A( cos( t ϕ v sin( t ϕ + Itt bevezettü v ( A( sebességaplitúdót, aely szintén függ a énysze fevenciájától: F v( ( + 4β Ha ezt a függvényt a F v( ( + 4β alaba íju, ao ögtön látszi, hogy axiua van az öfevencián (itt van iniua a nevezőne A v sebességaplitúdó tehát a endsze sajátfevenciáján a legnagyobb Ezt a jelenséget gyaan sebességezonanciána nevezi A félété-szélesség A ezonanciagöbéből látható, hogy a ezonanciafevencia özelében a endsze aplitúdójána növeedése és csöenése ne egy eghatáozott fevencián
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 19 övetezi be, hane egy fevenciaintevalluban Enne a fevenciaintevalluna a szélessége a endsze adataitól függ, és igen fontos szeepet játszi Rezonancia útján töténő fevenciaéésnél pl az a jó, ha a éőűsze csa egyetlen fevenciáa de legalábbis csa egy nagyon szű fevenciaintevallua eagál, vagyis a ezonanciagöbe éles Ha viszont ne aaun jelentős beezgéseet, ao a széles, lapos göbe a ívánatos Ez indoolja egy olyan ennyiség bevezetését, ai a ezonancia élességét, a göbe alaját jellezi Mivel a ezonancia soán a ezgő töeg enegiája is változi, és ez a változás a ezgő töeg és a önyezet özötti enegiaátadást jellezi, a ezonancia szepontjából igen fontos a ezgő töeg enegiájána a énysze fevenciájától 1 1 való függése Ez a függés az E ( v ( DA ( összefüggésből apható eg: 1 F E( v( ( + 4β A függvény vizsgálatából egállapítható, hogy a ezgő töeg enegiája a itéés aplitúdójához hasonlóan szintén ezonanciaszeűen függ a énysze fevenciájától Az összefüggésből látszi, hogy a töegpont enegiája az öfevencián legnagyobb Eo a ezgési enegia étée F Eax E( 8β Az enegia-ezonanciagöbe szélességét, vagyis a ezonancia élességét úgy szoás jelleezni, hogy az E ax agasságú ezonanciagöbén (ába egadjá anna a E( ét öfevenciána ( 1 és a ülönbségét, ahol a függvény étée E ax E ax / Ezt a Δ f 1 Δ f 1,5E öfevencia-tatoányt a ezonanciagöbe ax félété-szélességéne nevezi A félété-szélességet eghatáozó ét öfevencia-étéet az 1 1 E( E( egyenletből száíthatju i Kis csillapításnál ( β << ebből azt apju, hogy 1 β és + β, aiből a félété-szélesség Q ~ Δ f 1 β Látható, hogy a félété-szélesség annál isebb, inél isebb a β csillapítás, illetve inél nagyobb a endsze Q ~ jósági tényezője (Ebből az összefüggésből az is látható, hogy a jósági tényező a félété-szélességgel a Q ~ alaba íható Ezt Δ f
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat azét édees egelíteni, et néha ezt az összefüggést használjá a jósági tényező bevezetésée Ha a csillapítást ifejezzü a endsze adataival, ao a félété-szélessége azt apju, hogy Δ f Megjegyezzü, hogy ugyanezt az eedényt apju, ha az aplitúdóezonancia göbéjéne szélességét az A ax / éténél száítju i Enne az az oa, hogy az enegia aányos az aplitúdó négyzetével, így az enegia- és az aplitúdó axiális étéei özött fennáll az E összefüggés (c egy állandóenne egfelelően az / ax ca ax c ( Aax /,5cAax A ax,5 Eax enegia-aplitúdóna felel eg aplitúdóété Paaetius ezonancia Egy endszeben ne csa úgy növelhető a ezgés aplitúdója, hogy egy ülső hatással özvetlenül a ezgés aplitúdóját növeljü eg, hane úgy is, hogy a ezgő endsze egy paaéteét peiodiusan változtatju Ez töténi pl ao, ha egy inga hosszát egfelelő üteben változtatju A elléelt ábán látható elendezésben az inga fonala egy csigán van átvetve, így a fonál hossza az F vég eghúzásával illetve visszaengedésével önnyen változtatható Nyilvánvaló, hogy ez a beavatozás ne özvetlenül a itéést változtatja, hiszen a létehozott elozdulás aa eőleges (A F l' l itéés özvetlen változtatása az lenne, ha az inga töegét változatlan fonálhossz ellett inden peiódusban eglönén 1 3 az éppen atuális ozgásiányban 4 A íséletezés soán ideül, hogy az inga is lengéseit csa ao tudju növelni, ha a fonál hosszát egfelelő üteben változtatju, például az inga szélső helyzetében visszaengedjü, egyensúlyi helyzetében pedig eghúzzu Az inga hosszváltozásaina enetét az ábán láthatju, ahol az egyás utáni lépéseet egszáoztu Mivel ilyeno a iválasztott paaéte (itt az inga hossza peiodius változásána az inga lengési fevenciájához ell igazodnia, ez tulajdonéppen a ezonancia egy sajátos esete, ait paaetius ezonanciána nevezne A onét esetben aól van szó, hogy a fonál eghúzásao és visszaengedéseo az inga töegén ellentétes előjelű unát végzün Mivel pedig az egyensúlyi helyzetben a fonáleő nagyobb, a fonál eghúzásao végzett a ezgő töeg enegiáját növelő una nagyobb, int a visszaengedésnél végzett ellenező előjelű a töeg enegiáját csöentő una Eiatt a fonál hosszána változtatásao a ezgési enegia és így az aplitúdó is nő A paaéte változtatásána fevenciája ebben az esetben étszeese a endsze sajátfevenciájána, hiszen egy peiódusban étsze húzzu eg- és engedjü vissza a fonalat A paaetius ezonancia ási példája a hintázás Anélül, hogy a hintázás echaniájána bonyolult észleteibe beleennén, egállapíthatju, hogy itt a testhelyzetün (pontosabban a töegözéppontun helyzeténe egfelelő üteben
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 1 töténő változtatásával a endsze pedületét változtatju peiodiusan, ai szintén a ezgési enegia növeedését eedényezi (A itéés özvetlen változtatása itt az az eset, aio a hintán ülő ne ozog, hane a hinta itéését egfelelő üteű, a pálya éintőjéne iányába utató löéseel ívülől növeljü eg A ét esetben az a özös, hogy a endsze egy paaéteéne egfelelő üteű változtatásával növelni tudju a ezgési enegiát