Fizikai Szemle MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

Átírás

1 Fizikai zele MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT A Matheatikai és Teészettudoányi Étesítõt az Akadéia 88-ben indította A Matheatikai és Physikai Lapokat ötvös Loánd 89-ben alapította LXII évfolya 4 szá 0 ápilis A LORNTZ-INGA Loentz kédése az I olvay-konfeencia észtvevôihez 863-ban a 5 éves nst olvay belga vegyész kidolgozta az ipai szódagyátás technológiáját és hatalas vagyona tett szet De ne csak a szóda édekelte Loentz szeint Belgiunak ez a legneeslelkûbb állapolgáa élyen eg volt óla gyôzôdve, hogy a teészet és a tásadalo tövényszeûségeinek alaposabb egiseése az ebeiség boldogulását segíti elô olvay jelentôs összegeket áldozott a tudoánya Többek között pszichológiai, szociológiai, kéiai intézeteket alapított 9-ben W H Nenst javaslatáa Büsszelben összehívta az I Nezetközi olvay-konfeenciát, aelyen a ko legnevesebb fizikusa (közöttük H Poincaé, M Planck, W Wien, A oefeld, Ruthefod, A instein) vett észt, és a további olvay-kongesszusok szevezését illió fank alaptôkével létehozott Nezetközi Fizikai Intézete bízta 9 aa az idôszaka esett, aiko a fizika élységes de int késôbb kideült, endkívül teékeny válságban volt Loentz, a konfeencia elnöke, bevezetôjében azt ona, hogy a essze vagyunk a szellei kielégültségnek attól az állapotától, aelyet a fizikai elélet húsz, vagy aká csak tíz évvel ezelôtt nyújtani tudott Ne szabadulhatunk attól a gondolattól, hogy zsákutcába keültünk: a égi eléletek egye kevésbé képesek eloszlatni a hoályt, aely inden oldalól köülvesz Majd így folytatta: Planck esszéje az enegiakvantuokól»valóságos fénysugá«ebben a ködben, és ost az a feladat, hogy olyan echanikát dolgozzunk ki, aelybôl Planck felfedezése következényként adódik Mint jól tudjuk, Planck úgy tua egagyaázni a fekete sugázás spektuát, ha feltételezte, hogy a haonikus lineáis oszcilláto enegiája csak a h ν h ω kvantu egész száú többszööse lehet Planck a Kichhoff-tételnek abból a következényébôl indult ki, hogy a hôésékleti sugázás spektua független az üeg falának anyagi inôségétôl, ezét legegyszeûbb lehetôségként a falat inden fekvencián egy-egy elektoosan töltött haonikus oszcillátoal helyettesítette Haskó Péte PT léleti Fizika Tanszék A lineáis haonikus oszcilláto egyik legegyszeûbb példája a ateatikai inga Loentznek ez szöget ütött a fejébe és a következô kédéssel fodult a konfeencia észtvevôihez: A ateatikai inga köfekvenciája Planck szeint az enegiája csak h ω egész száú több- szööse lehet, vagyis n h ω-val egyenlô n 0,, ellett Máost, ha az inga fonalát a két ujjunkkal összecsippentve az inga hosszát folyaatosan csökkentjük, akko az ω köfekvencia folyaatosan nô Hogyan képzelhetô el, hogy eközben az enegiája állandóan h ω egész száú többszööse aad? instein, aki isete P henfest idevágó unkáit, kapásból válaszolt Loentz kédésée: a echanika tövényei szeint a hossz lassú növelésével vagy csökkentésével az enegia úgy változik, hogy az /ω hányados közben állandó aadjon; a folyaat soán tehát Planck képlete folyaatosan évényes lesz ugyanazzal az n étékkel Loentz ezekkel a szavakkal nyugtázta instein agyaázatát: z a endkívül eglepô eedény egoldja az általa felvetett pobléát Általában is az enegiakvantuok hipotézise édekes kédésekhez vezet inden olyan esetben, aiko a fekvencia önkényesen változtatható A konfeencia jegyzôkönyve szeint senki se vetette fel, i van akko, ha ω-t gyosan változtatjuk: indenkit lenyûgözött az a tény, hogy a klasszikus echanika a lassú változás esetében ilyen csodálatos haóniában van az enegiakvantu-hipotézissel Mai iseeteink fényében instein válasza a kvantuechanika a is évényes fontos tételének elsô egfogalazása: aiko egy fizikai endsze hatáozott kvantuállapotban van és közben lassan változtatjuk egy vagy több paaéteét, a endsze folyaatosan egaad az ugyanazokkal a kvantuszáokkal jellezett állapotában Ha a paaéteek az eedeti étéküke állnak vissza, a endsze is visszakeül eedeti állapotába: a köfolyaat soán nincs unkavégzés ω g l HRAKÓ PÉTR: A LORNTZ-INGA 09

2 Aiko azonban a változás gyos, a endsze közben gejed Ha például eedetileg alapállapotban volt, akko hiába állítjuk vissza a paaéteek koábbi étékét, bizonyos valószínûséggel gejesztett állapotban aad vissza Az /ω állandóságának igazolása Az /ω állandóságának igazolásához azt kell egutatnunk, hogy ezen aány idôdeiváltja nullával egyenlô Az olyan echanikai endszeek esetében, aelyek enegiája a K kinetikus és az U potenciális enegia összegével egyenlô, és csak U tatalazza a változó paaétet, az idôdeiváltja az U () képlet alapján száítható ki A bal oldalon teljes deivált áll, et száításba kell venni inden okot a koodináták és a sebességek egváltozását csakúgy, int a külsô köülényekét ai az enegia étékét egváltoztathatja A teljes idôdeiváltat a szokásoknak egfelelôen gyakan fogjuk ponttal jelölni A jobb oldalon a paciális idôdeivált jelzi, hogy itt csak az eplicit idôfüggés (vagyis a köülények idôbeli változása) veendô figyelebe Az () agában foglalja az enegiaegaadás tételét, aely azt ondja ki, hogy aiko a köülények idôben állandók, a endsze enegiája ne változik gy szabadsági fok esetében, aiko U(), az () igazolása különösen egyszeû: et ezét U U U U F U Lineáis haonikus oszcillátoa U D, D, U, () ahol D a diekciós állandó, aely ost függ az idôtôl Ha ez a függés olyan gyenge, hogy a ezgés T peiódusa alatt a D egváltozása elhanyagolhatóan kicsi, akko a () egyenletet a t idôpont köül átlagolhatjuk az éppen aktuális T(t) peiódusidôe Az ezalatt egy teljes peiódust változik, és a négyzetének az átlaga a ozgás t-beli A(t) aplitúdó négyzetének felével egyenlô: A Az átlagolás után ezét () a (t) 4 D(t) A (t) (3) képletbe egy át, aelyben (t) az enegia átlaga a t pillanat köüli egy peiódusnyi idôintevallua Miko a D változása olyan lassú, hogy egy peiódus alatt eltekinthetünk tôle, (t) ugyanúgy függ A (t)-tôl, int aiko a D konstans: (t) D(t) A (t) Mivel D ω, ezét konstans -nél a köfekvencia is gyengén függ az idôtôl, és így D ωω, valaint A D ω zt a két képletet (3)-ba íva az ω ω összefüggése jutunk, aely az / ω állandóságát kifejezô d ω 0 aány idôbeli képlettel ekvivalens Az I / ω aányt henfest instein javaslatáa adiabatikus invaiánsnak nevezte el zt a teinológiát (és az I jelölést) használjuk általában a dinaikai ennyiségekbôl képzett olyan kifejezéseke, aelyek a endsze paaéteeinek lassú változtatásako egtatják állandó étéküket A ateatikai ingáa áttéve azt látjuk, hogy az inga φ gφ (4) lengési enegiájának indkét tagja függ az inga hoszszától, aely a feladat lassan változó paaétee, és így ( φ gφ) φ φ gφ A ozgásegyenlet ost L K, ahol L φ a pedület (ipulzusnyoaték), K gsinφ gφ pedig a fogatónyoaték A φ -t szozó záó- jele a ozgásegyenletbôl ost ne nullát, hane az φ gφ φ képletet kapjuk nnek következtében φ gφ (5) 0 FIZIKAI ZML 0 / 4

3 A gondolatenet további észe ugyanolyan, int a lineáis haonikus oszcillátoé Ha a lengés aplitúdója Φ, akko az enegiája gφ Az egy peiódusa töténô átlagolás eedénye pedig A feltevés szeint az ebe olyan lassan húzza (vagy engedi) a kötelet, hogy teljesül az adiabatikusság feltétele: az inga egy lengési peiódusa alatt a kötélhossz változása elhanyagolhatóan kicsi A kötéleô egy peiódusa töténô átlagolását (9) alapján könnyen elvégezhetjük, et a jobb oldalon fellépô átlagokat a (6)- ban á kiszáítottuk szeint következésképpen g, (0) φ Φ g és φ ω Φ, (6) dw gd d () et, int tudjuk, ω Mindezt behelyettesítve az átlagolt (5) foulába, az képlete jutunk, aely alakba íható át és az szozat adiabatikus inva- ianciáját fejezi ki A (7) alapján az adiabatikus állandósága azonban egyenétékû az / ω hányados adiabatikus invaianciájával zt kellett igazolnunk d g 0 (7) Az adiabatikus invaiáns és az enegiaegaadás Képzeljünk el egy fonálingát, aely a ennyezetôl lóg le, és a szál egy lyukon keesztül felegy a padlása, ahol egy ebe tatja Tegyük fel, hogy az ebe elkezdi nagyon lassan felfelé húzni (vagy lefelé engedni) az ingát Mekkoa ΔW unkát végez, iközben az inga fonálhossza -ôl -e változik? Aiko az inga hossza -ôl ( +d)-e változik, az ebe által végzett unka dw d (8) -el egyenlô Az a kötéleô nagysága, pozitív szá Mivel az inga lengésben van, a kötéleôhöz az gcosφ súlyeôn kívül az φ centifugális eô is jáulékot ad: φ gcosφ g φ gφ (9) A ΔW kiszáításához ezt a képletet kell integálni - tôl -ig A lengés egy peiódusa átlagolt enegiája azonban függ -tôl, ezét az integáláshoz isenünk kell az () függvényt Adiabatikus esetben az szozat állandósága az integálást valójában tiviálissá teszi A () ekko ugyanis dw gd d alakban íható, aelynek integálja Δ W g Az a folyaat soán ne változik, ezét helyettesíthetjük aká Aiko / -vel szozódik az elsô, aiko pedig vel, aká gyel / -gyel, a ásodik lehetôséget választjuk Így Δ W g z a képlet biztosan koekt, et az enegiaegaadást fejezi ki az ingából és a kötelet húzó ebebôl álló endszee a Föld nehézségi eôteében zzel deonstáltuk, hogy a ateatikai ingánál adiabatikus invaianciája összhangban van ezzel a tétellel A csigainga A csigainga olyan állócsiga, aelynek kötélvégei fonálingává vannak kiképezve ( ába) z egy háo szabadsági fokú endsze, aelynek a helyzetét a két inga α, α kitéése, valaint a csiga ϕ elfodulási szöge jellezi z utóbbi helyett azonban célszeûbb a ξ () A csigainga észletes ateatikai elélete a Kettôs adiabatikus inga cíû dolgozatoban található eg a honlapoon (hasko co/pete) Koábban ezt az édekes objektuot tudoáso szeint ég ne tanulányozták HRAKÓ PÉTR: A LORNTZ-INGA

4 Aiko az adiabatikusság teljesül, a endsze integálhatóvá válik z az enegiaképlet alapján látható be A csigainga enegiája háo tagot tatalaz: a két inga lengése, valaint az ingadozás enegiáját (a potenciális enegiával ne kell töôdnünk, et konstans: g( + )g 0 ): R α α g α (α << ) (4) g α (α << ) (5) a a K ξ Θϕ L 0 ξ, (6) ahol Θ a csiga tehetetlenségi nyoatéka, és ába A csigainga változó használata, aellyel, így fejezhetô ki: 0 ( 0 ( ξ), ξ) (3) Az 0 az és az félösszege, aely állandó éték A ϕ és a ξ között a ϕ 0 R ξ Adiabatikus közelítésben azonban L I I I / 0 ξ I / 0 ξ Θ R I ξ I ξ, (7) (8) képlet adja eg a kapcsolatot, aely a nyilvánvaló d d Rdϕ következénye A endsze ne integálható, egyetlen ozgásintegálja az enegia, ezét aa kell száítanunk, hogy a ozgása kaotikus Csak annyit lehet óla ondani, hogy a nyugali állapota közöbös egyensúlyi helyzet: a legkisebb lökése a kötél leszalad a csigáól Tegyük fel azonban, hogy bizonyos kezdôfeltételekhez tatozó ozgás soán a csiga fogása olyan lassú ( ξ olyan kicsi), az ingák lengése pedig olyan gyos, hogy az, fonálhosszak változása adiabatikusnak tekinthetô bben az esetben a ξ ingadozni fog egy iniális és aiális éték között z abból következik, hogy az I zekben a képletekben az I, I ennyiségek konstansok, aelyeket a kezdôfeltételek hatáoznak eg A endsze enegiájáa ebben a közelítésben tehát az K ξ + (ξ) képletet nyejük, aely egy -szabadsági fokú objektu ozgását íja le az (ξ) effektív potenciálban ( ába) ába Az ingadozás effektív potenciálja I ξ I ξ (9) adiabatikus invaiáns állandósága iatt (6) következtében a centifugális eô annál kisebb, inél hoszszabb a szál: Aiko például nô, akko az ingáa ható centifu- gális eô csökken, a ingáa ható pedig nô, és ez a tendencia a csiga fogásiányának egfodulásához vezethet kko az ingák lengése stabilizálja a endszet φ I 3/ * FIZIKAI ZML 0 / 4

5 0,65 0,60 0,04 0,605 0,600 0, ,03 0,0 0,590 0,585 0,0 3 ába A ξ ingadozása (ω /ω ) Az ilyen típusú feladatok indig egoldhatók A függôleges tengely pontján keesztül páhuzaost ajzolunk a vízszintes tengellyel z a ξ in és a ξ a pontokban etszi az (ξ) göbét nnek következtében az adott enegián az ingadozás a ξ in ξ ξ a tatoányban fog töténni Az ingadozás peiódusidejének felét úgy száíthatjuk ki, hogy az L 0 képletet egoldjuk -e és integáljuk az ingadozás tatoányáa: T L 0 ξ a ξ in dξ (0) Mint látjuk, az ingadozás annál lohább, inél nagyobb az L paaéte, aelyet eiatt a endsze lohaságának nevezhetünk Az adiabatikus közelítés annál jobb, inél lassúbb az ingadozás, vagyis inél nagyobb az L A lengések köfekvenciája az ingadozás következtében folyaatosan nô és csökken valailyen konstans ω és ω éték köül zeket az étékeket is a kezdôfeltételek hatáozzák eg Az adiabatikussághoz az kell, hogy ezek sokkal nagyobbak legyenek, int az ingadozás Ω π T dξ (ξ) köfekvenciája Aiko az adiabatikusság feltételei teljesülnek, az inga valóban peiodikus ingadozásokat végez a (0) által eghatáozott peiódusidôvel A 3 ábán 3 a folytonos göbe a pontos ozgásegyenlet alapján töténô száítás eedénye, aelye szoosan illeszkednek az adiabatikus közelítés pontjai A vízszintes tengelyen s ω 0 t a dienziótlanított idô (ω 0 (g / 0 ) / ) Mint látható, az ingadozás tényleg peiodikus és a peiódus egegyezik a (0)-ból száítható étékkel A göbe csipkézettsége az ingák lengésének következénye Az adiabatikus közelítés ezt kisiítja Azt 3 zt és a következô gafikonokat a lábjegyzetben idézett dolgozatoból vette át 0, ába A ξ ingadozása (ω /ω ) vánánk, hogy az ingadozás szigoú peiodikussága, aely egy közelítô eljáás, az adiabatikus appoiáció következénye, az idô elôehalaával fokozatosan elolik, de a pontos ozgásegyenletek nueikus egoldásában ennek sei jele Választhatók azonban olyan kezdôfeltételek, aelyeknél szintén elváható volna az adiabatikusság teljesülése, a pontos ozgásegyenletek egoldása égse peiodikus Ilyen esete vonatkozik a 4 ába, aelyen szintén a folytonos göbe a pontos egoldás, a pontok pedig az adiabatikus közelítés A agyaázat valószínûleg az ω /ω aányban keesendô A 4 ába esetében ez az aány -gyel egyenlô és ez azt sugallja, hogy ezonáns kölcsönhatás léphet fel a két inga között, aely elontja az ingák I, I adiabatikus invaiánsainak idôbeli állandóságát A észletesebb analízis azt bizonyítja, hogy ebben az esetben az ingadozásnak egfelelô idôskálán lassú lebegés jön léte a két invaiáns között (lásd az 5 ábá t, aelyek dienziótlanított invaiánsoka vonatkoznak) Aiko ω /ω, az ingák kölcsönhatása úgy látszik ne vezet az adiabatikus invaiánsok sziszteatikus változásához Összefoglalva egállapíthatjuk, hogy az inga ozgása, az elôzetes váakozással ellentétben, ne indig kaotikus, et adott paaéteek ellett a kezdôfeltételek bizonyos tatoányában a két adiabatikus invaiáns két új ozgásállandó szeepét tölti be az enegia ellett Noha ezek bizonyos ételeben csak közelítôen ozgásállandók, ezt a funkciójukat a váhatónál sokkal sikeesebben teljesítik Édekes lenne eghatáozni e tatoány hatáait a fázistében 0,75 0,50 0,5 0,00 0,5 0,50 0,75 5 ába Az adiabatikus invaiánsok lebegése (ω /ω ) I I HRAKÓ PÉTR: A LORNTZ-INGA 3