A fluxióelmélet Nézzük miről is szól valójában ez a fluxióelmélet. Newton elméletének első zseniális meglátása az, hogy vegyük alapul az időt, mint változót és minden mást ennek függvényében írjunk le. Tehát az általános iskolából ismert betűkavalkád, a megtett út (s), a sebesség (v), a gyorsulás (a), az erő (F) és még sorolhatnánk, mind az időnek egy függvénye. Ezzel sikerül a sokféle változó mennyiséget az időtől függő rendszerbe fűzni. A másik zseniális elem a fluens és a fluxió fogalma. Fluensnek nevezte az időtől függő fizikai mennyiségeket, fluxiónak pedig ezeknek a mennyiségeknek a nagyon pici idő alatt történő megváltozását. Egy magas torony tetejéről leejtett kő által megtett utat például az y(x)=5x függvény írja le. Ha itt x helyére behelyettesítünk, mondjuk -t, akkor megkapjuk mekkora utat tesz meg a kő másodperc alatt: y()=5 =0 vagyis a megtett út 0 méter. Ez az y=5x a fluens. Most lássuk mi a fluxió. Ezt Newton x -tal és y -tal jelölte és a következőket mondta. Az eredeti összefüggés y=5x és ha itt x-et egy nagyon picikét megnöveljük, akkor y is egy nagyon picikét megnő (mint utóbb, majd 100 évvel később kiderült, ez az állítás egyáltalán nem természetes és csak folytonos függvényekre igaz). A nagyon picike megnövelést így jelölte, hogy x 0 és y 0. Itt most álljunk meg és tisztázzunk két fontos dolgot. Az egyik, hogy ez voltaképpen egy szorzás, x meg van szorozva nullával. Mielőtt azonban azt mondanánk, hogy hát akkor a szorzat eredménye is nulla, itt jön a másik fontos dolog, mégpedig az, hogy ezek a nullák skizofrén nullák. Ez azt jelenti, hogy ha akarom nulla, ha akarom egy nagyon picike szám. Ez valóban kissé furcsán hangzik; a kor matematikusai az ilyen skizofrén nullákat el is nevezték infinitezimálisoknak és maguk is tisztában voltak azzal, hogy itt valami nem stimmel.
Az ezekkel folytatott számolások végeredményei azonban minduntalan stimmeltek, így aztán a könyörtelen logika világából való jogos száműzetés helyett különös kegyelmet adtak a skizofrén nulláknak. Nos, ez volt az egyik Newtont gyötrő kétely, ami miatt várt a publikálással. Úgy érezte, előbb el kell még rendeznie a skizofrén nullák ügyét, és csak azután állhat elő művével. Sajnos azonban ennek az ügynek a tisztázásához még 100 évre és Leibniz jól eltalált jelöléseire volt szükség. Lássuk Newton gondolatmenetét a skizofrén nullákkal. Az eredeti összefüggés y=5x ha pedig x-et egy picikét megnöveljük, akkor y is picikét nő: y y 0 5( x x 0) Most ebben az utóbbiban felbontjuk a zárójelet a középiskolából ismert ( a b) a ab b azonossággal: y y 0 5( x xx 0 x 0 ) és felbontjuk a zárójelet: y y 0 5x 10xx 0 5x 0 Mivel y=5x ezért ezt behelyettesítjük a bal oldalon y helyére. 5x y 0 5x 10xx 0 5x 0 Ekkor 5x mindkét oldalon megjelent. Levonjuk hát mindkét oldalból. y 0 10xx 0 5x 0
Most pedig bűvészmutatványok kezdődnek. Először osztunk a minden tagban megtalálható skizofrén nullákkal, melyek most éppen nagyon pici számot jelentenek: y 10xx 5x 0 Aztán azt mondjuk, hogy lám-lám, az utolsó tag nullával van szorozva, és nulla szorozva bármivel az nulla, így az utolsó tagot elhagyjuk. y 10xx Mindenki átérezheti Newton gyötrelmeit, hiszen amit tettünk, voltaképpen csalás legalábbis annak tűnik. Egyik pillanatban még komoly matematikai számításokat végzünk olyan tagokkal, amelyek mindegyikére rávághatnánk, hogy nulla, majd a számításaink végén, aki még továbbra is nulla azt elhagyjuk. A kapott eredmény mégis tökéletes. Mit is kaptunk valójában? y 10xx Amit ha x -tal leosztunk, akkor azt kapjuk, hogy y 10x x A számláló az út nagyon picike megváltozása, a nevező az idő nagyon picike megváltozása. A kapott eredmény tehát a nagyon picike út osztva a megtételéhez szükséges idővel. Kezd rémleni? Megtett út osztva megtett idő, másként Δs/Δt az általános iskolából: amit kaptunk, nem más, mint a kő sebessége. A kő sebessége 10x, tehát képesek vagyunk bármely pillanatban megmondani, milyen gyorsan esik a kő: másodperc elteltével például 0 m/s.
Mindez Leibniz jelöléseivel a következő módon nézne ki. y=5x az eredeti függvény és Leibniznél Δx és Δy jelenti a picike (vagy éppen nem is olyan picike) növekedést. Ekkor y 10 x x x És most jön a csalás, amikor Leibniz kicseréli a Δx-et dx-re. Az eddigi Δx egy pici növekedés volt, a dx viszont egy leheletnyi növekedés, annyira pici, hogy az utolsó tagban ki se írjuk: dy dx 10 x 100 évnek kellett eltelnie, mire Leibniz terminológiáját követve Cauchy elő tudott állni azzal, hogy mi is történik a végén ezzel a Δxel. Azt mondta Cauchy, hogy maga a Δx sosem nulla, mindig egy létező picike szám, vagyis bármikor oszthatunk vele, ám tart a nullához: x 0. A dy/dx pedig már maga a határérték, amit akkor kapunk, ha x 0. Vagyis miközben Δx tart a nullához, a Δy/ Δx hányados tart a dy/dx hányadoshoz: y dx és 10x x 10x x dy Ha pedig az egyenlőség bal oldala dx/dy-hoz, jobb oldala 10x-hez tart, nos akkor ők maguk is egyenlők: dy 10x dx
Ezt nevezzük ma differenciálhányadosnak, másként az y függvény deriváltjának. Jelenleg használatos jelöléseinkkel y 5x és deriváltja y 10x vagy másként 10x dx dy Cauchy kétségkívül hatalmasat alkotott, amikor logikailag rendbe tette azt, amit előtte nagy matematikusok nem volt képesek (lásd második keretes írás). Ám maga az eszme, és a módszer a fizikai világ matematikai úton történő leírására Newton érdeme. Maradjunk tehát a newtoni eszménél, de az időközben kényelmesebbé vált jelölésekkel. A történetnek ugyanis még koránt sincs vége, sőt most kezdődik igazán. Eddig azt láttuk, hogy a fluensek közötti összefüggésekből hogyan kapunk fluxiók közti összefüggéseket. A test által megtett idő-út függvény deriváltja az idő-sebesség függvényt adja meg. Amit eddig csináltunk az az volt, hogy egy általános érvényű egyenletből levezettünk egy adott pillanatra érvényes összefüggést. A toronyból ledobott kőnek az idő-út függvénye alapján meghatároztuk egy adott pillanatban a kő sebességét. A dolog megfordításával viszont egy adott pillanatra vonatkozó összefüggésből képesek leszünk felírni az általános érvényű egyenletet. Vagyis valóra válhat az emberiség nagy álma: a tapasztalt megfigyelésekből felírhatók a világot mozgató nagy egyenletek. Ez a fordított irány milliószor izgalmasabb, mint az eddigi és sajnos sokkal nehezebb is.
Előző példánknál maradva, most tegyük fel, hogy azt tudjuk, a zuhanó kőre, mint minden testre gravitációs erő hat. Ez az erő folyamatosan gyorsítja a követ. Másodpercenként a jól ismert 9,81 m/s a sebesség növekedése, amit a könnyebb számolás miatt vegyünk 10-nek. A fordított feladatban pedig célunk a kő mozgását leíró általános egyenletet megalkotni, vagyis, hogy hol lesz a kő x szekundum elteltével. Tudjuk, hogy minden másodpercben a sebesség növekedése 10 m/s, tehát szekundum alatt 0 m/s lesz a kő sebessége, 3 szekundum alatt meg 30 m/s és x szekundum alatt pedig 10x m/s. A kő pillanatnyi sebessége tehát 10x. Ezek után megpróbáljuk felírni a fluxiók közti összefüggést, vagyis azt, hogy az időnek egy picike megváltozása során mi történik a megtett úttal. dy azt a picike utat jelenti, amit a kő a dx picike idő alatt tesz meg. Ha a kő pillanatnyi sebessége mondjuk 5m/s lenne, akkor a picike út az s=vt képlet alapján dy=5dx lenne. De mivel a kő pillanatnyi sebessége nem 5, hanem 10x ezért a picike út dy=10xdx. Felírtunk tehát egy egyenletet a fluxiók közti összefüggéssel. Célunk egy olyan egyenlet megalkotása, amely a fluensek közti összefüggést írja le. A fluensből fluxió mai szóhasználatunkkal a deriválás segítségével lett. Ha képesek vagyunk megfordítani a deriválást, akkor képesek vagyunk a vissza irányra és éppen erre van most szükségünk. A deriválás megfordítására már Newton és Leibniz is képes volt és ezt mai szóhasználattal határozatlan integrálásnak nevezzük, amire azóta is Leibniz jelölését használjuk és íme néhány ilyen határozatlan integrál, amit az elsőéves egyetemistáknak és főiskolásoknak rémálmaikból felkeltve is tudniuk kell: 3 x dy y x x dx c x dx c 3 Nincs más dolgunk, mint a dy=10xdx egyenlet mindkét oldalát integrálni: dy 10 xdx
A határozatlan integrálokra vonatkozó összefüggések alapján x dy y és 10 x dx 10 c Így azt az egyenletet kapjuk, hogy x y 10 c 5x c Ez pedig nem más, mint a kő mozgását leíró y=5x +c idő-út egyenlet, ahol a c egy tetszőleges konstans, ami a torony magasságától függ. Newton célja az volt, hogy olyan egyenleteket alkosson, amelyekben különböző fizikai mennyiségek fluensei és fluxiói szerepelnek, leírva ezzel a köztük fennálló összefüggéseket. Mai szóhasználattal ezek olyan egyenletek, amelyekben függvények és azok különböző deriváltjai szerepelnek. Ezeket az egyenleteket ma differenciálegyenleteknek nevezzük. A differenciálegyenletekben az ismeretlenek különböző függvények, az egyenlet megoldása pedig azt jelenti, hogy ezeket az ismeretlen függvényeket meghatározzuk. A példánkban szereplő dy=10xdx összefüggés tehát maga is egy differenciálegyenlet, aminek megoldása a kő mozgását leíró y=5x +c függvény. A kőre természetesen a gravitáción kívül más erő is hat. Például a korábban már említett közegellenállás. De hatással van rá az éppen aktuális hőmérséklet is, hiszen ha a földfelszín meleg, akkor felfelé áramló légtömegek is lassítják a kő mozgását. Szintén hatással lehet a kőre, hogy fúj-e a szél vagy sem. És itt kezd a dolog elbonyolódni két okból is. Egyfelől sosem lehetünk biztosak benne, hogy nem felejtettünk-e ki még valamit a kőre ható tényezők közül, így sosem lehetünk teljesen biztosak benne, hogy a kő mozgását leíró általános modellünk tökéletes. Másrészt, ha az időn kívül újabb ismeretleneket hozunk be a kő mozgását leíró egyenletbe, akkor annak megoldása hihetetlenül nehézzé válhat.
Amíg csak egyetlen változónk volt, az idő, addig a differenciálegyenlet megoldása is egyváltozós függvény volt. Ezeket a differenciálegyenleteket közönséges differenciálegyenletnek nevezzük, és legtöbbjüket viszonylag könnyen képesek vagyunk megoldani. Hogyha azonban újabb változókat hozunk a rendszerbe, mint a hőmérséklet vagy a szél, akkor a differenciálegyenletben szereplő függvények többváltozósak lesznek. Ezeket a differenciálegyenleteket parciális differenciálegyenletnek nevezzük és megoldásuk gyakran kimondottan problémás. Ezeknek a megoldását már jóformán sosem úgy kell elképzelni, mint ahogyan az iménti két egyenletet megoldottuk, vagyis nem elég hozzá papír és ceruza. A megoldás numerikusan történik igen komoly számítógépek segítségével.