Elektromosságtan. II. Általános áramú hálózatok. Magyar Attila

Hasonló dokumentumok
Elektrotechnika- Villamosságtan

Elektrotechnika- Villamosságtan

Átmeneti jelenségek egyenergiatárolós áramkörökben

Villamosságtan szigorlati tételek

25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel.

Elektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei. Magyar Attila

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Hálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén. Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Differenciálegyenlet rendszerek

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

2.Előadás ( ) Munkapont és kivezérelhetőség

SZINUSZOS ÁRAMÚ HÁLÓZATOK Számítási feladatok

ALAPFOGALMIKÉRDÉSEK VILLAMOSSÁGTANBÓL 1. EGYENÁRAM

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -

Tranziens jelenségek rövid összefoglalás

4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta)

1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása

Elektrotechnika. 1. előad. Budapest Műszaki Főiskola Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Kar Mechatronikai és Autechnikai Intézet

1 kérdés. Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK. Váltakozóáramú hálózatok

Elektromosságtan. III. Szinuszos áramú hálózatok. Magyar Attila

Orvosi jelfeldolgozás. Információ. Információtartalom. Jelek osztályozása De, mi az a jel?

Mátrix-exponens, Laplace transzformáció

Differenciálegyenletek

12.A 12.A. A belsı ellenállás, kapocsfeszültség, forrásfeszültség fogalmának értelmezése. Feszültséggenerátorok

Elektrotechnika 1. előadás

3. előadás Stabilitás

Jelek és rendszerek 1

Tételek Elektrotechnika és elektronika I tantárgy szóbeli részéhez 1 1. AZ ELEKTROSZTATIKA ALAPJAI AZ ELEKTROMOS TÖLTÉS FOGALMA 8 1.

Egyszerű áramkörök árama, feszültsége, teljesítménye

Elektrotechnika 9. évfolyam

Elektrotechnika 11/C Villamos áramkör Passzív és aktív hálózatok

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

TARTALOMJEGYZÉK. Előszó 9

Fizika A2E, 9. feladatsor

évfolyam. A tantárgy megnevezése: elektrotechnika. Évi óraszám: 69. Tanítási hetek száma: Tanítási órák száma: 1 óra/hét

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

7. L = 100 mh és r s = 50 Ω tekercset 12 V-os egyenfeszültségű áramkörre kapcsolunk. Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének 63 %-át?

EGYFÁZISÚ VÁLTAKOZÓ ÁRAM

Gingl Zoltán, Szeged, :14 Elektronika - Hálózatszámítási módszerek

Fizika A2E, 8. feladatsor

HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI. 9. Gyakorlat

2. Ideális esetben az árammérő belső ellenállása a.) nagyobb, mint 1kΩ b.) megegyezik a mért áramkör eredő ellenállásával

differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek december 13.

Elektrotechnika példatár

Matematika III. harmadik előadás

Gingl Zoltán, Szeged, szept. 1

FIZIKA II. Egyenáram. Dr. Seres István

Bevezetés a méréstechnikába és jelfeldolgozásba. Tihanyi Attila április 17.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

Differenciálegyenletek

Számítási feladatok a 6. fejezethez

3. Lineáris differenciálegyenletek

y + a y + b y = r(x),

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

Az elektromágneses indukció jelensége

TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

Elektromos áramerősség

Hurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:

Bevezető fizika (infó), 8. feladatsor Egyenáram, egyenáramú áramkörök 2.

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Differenciálegyenletek

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA

1. Egy lineáris hálózatot mikor nevezhetünk rezisztív hálózatnak és mikor dinamikus hálózatnak?

Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

Irányításelmélet és technika I.

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

1. Feladat. 1. ábra. Megoldás

Fizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

Vezetők elektrosztatikus térben

Hobbi Elektronika. Bevezetés az elektronikába: Ohm törvény, Kirchoff törvényei, soros és párhuzamos kapcsolás

Nemlineáris programozás 2.

MÉRÉSI GYAKORLATOK (ELEKTROTECHNIKA) 10. évfolyam (10.a, b, c)

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t

Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval

Differenciaegyenletek

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi

Oszcillátorok. Párhuzamos rezgőkör L C Miért rezeg a rezgőkör?

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra

Átírás:

Elektromosságtan II. Általános áramú hálózatok Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010. március 22.

Áttekintés Alaptörvények 1 Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Források Ellenállás Kondenzátor Tekercs 2 Hálózati egyenletek 3 Lineáris időinvariáns hálózatok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 2 / 59

Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Időben állandó mennyiségek nagybetűvel, időben változók pedig kisbetűvel (pillanatérték) i = i(t) u = u(t) p = p(t) φ = φ(t) Önkényesen megválasztott referenciairány is tartozik a mennyiségekhez i(t) 0, ha t t 1 i(t) < 0, ha t > t 1 Amikor i(t) > 0, az áram valódi iránya a referenciairánnyal egyező, ha pedig i(t) < 0, a valódi irány a referenciairánnyal ellentétes Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 3 / 59

Kirchoff-törvények Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál (Kirchoff csomóponti törvénye) Bármely csomópontra az áramerősségek előjeles összege minden pillanatban nulla: i k (t) = 0 (Kirchoff huroktörvénye) k Bármely hurok mentén a feszültségek előjeles összege nulla minden időpontban: u k (t) = 0 k Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) A pillanatnyi teljesítmény pozitív, ha u és i referenciairánya egyező, negatív, ha ellentétes. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 4 / 59

Pillanatnyi teljesítmény Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Míg az időben állandó teljesítmény pozitív, vagy negatív a teljes idótartományban, addig az időben változó teljesítmény bizonyos tartományokon lehet pozitív, másutt pedig negatív. A kétpólus időnként teljesítményt ad le, máskor teljesítményt vesz fel I. időtartomány: t t 1 u > 0, i > 0, p = u i > 0 fogyasztó II. időtartomány: t 1 < t t 2 u > 0, i < 0, p = u i < 0 termelő III. időtartomány: t 2 < t u < 0, i < 0, p = u i > 0 fogyasztó Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 5 / 59

Források Alaptörvények Források Feszültségforrás: olyan kétpólus, amelynek feszültségét - az áramtól függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség: u(t) = u V (t). Áramát a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Pl. u V (t) = A sin(ωt + ϕ) Áramforrás: olyan kétpólus, melynek áramát - a feszültségtől függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. Árama a forrásáram: i(t) = i A (t). Az áramforrás feszültségét a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Aktív kétpólus: forrást és belső ellenállást tartalmaz (feszültségés áramgenerátor) A generátor forrásfeszültsége, ill. forrásárama az üresjárási feszültség, ill. rövidzárási áram Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 6 / 59

Ellenállás Alaptörvények Ellenállás A kétpólus ellenállás, ha bármely u(t) és i(t) időfüggvény esetén u(t) = f (i(t)), vagy i(t) = h(u(t)), t. Homogén lineáris ellenállás esetén u(t) = R i(t), illetve i(t) = G u(t), ahol R, illetve G a rezisztív kétpólus rezisztanciája, illetve konduktanciája. Ha R = R(t), illetve G = G(t), akkor idővariáns az ellenállás, egyébként időinvariáns. Az ellenállás pillanatnyi teljesítménye: { i f (i) p = u i = u h(u) Lineáris ellenállás esetén p = u i = R i 2 = G u 2. Lineáris időfüggő ellenállás esetén p = u i = R(t) i 2 = G(t) u 2. Rezisztív hálózatok alapegyenletei: i k = 0 minden csomópontra, u k = 0 minden hurokra k u k = f k (i k ), vagy i k = h k (u k ) k minden ellenállásra Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 7 / 59

Kondenzátor Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátor, vagy kapacitív kétpólus: kapcsolat található a kétpólus feszültsége, és áramának idő szerinti integrálja között. Töltés és áram kapcsolata: t i(t) = dq(t), illetve t q(t) = i(τ)dτ = q(t 0 ) + i(τ)dτ t 0 Töltés mértékegysége: [q] = A s = coulomb = C Kondenzátor karakterisztikája q = f (u), vagy u = h(q) lineáris esetben q = C u, vagy u = D q, ahol C = kapacitás: [C] = C V = As V = farad = F, D = elaszticitás: [D] = V C = V As Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 8 / 59

Alaptörvények Kondenzátor karakterisztikája Kondenzátor Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 9 / 59

Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátor feszültsége és árama Lineáris időinvariáns kondenzátor: q(t) = C u(t), deriválva mindkét oldalt i(t) = C du(t) ebből u(t) = u(t 0 ) + 1 t i(τ)dτ C t 0 Lineáris időfüggő kondenzátor: i(t) = d dc(t) [C(t) u(t)] = u(t) = 1 t C(t) Nemlineáris kondenzátor: i = dq = dq(u(t)) = dq(u) du du u(t) + C(t) u(t) t 0 i(t ) + C(t 0) C(t) u(t 0) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 10 / 59

Alaptörvények Kondenzátor teljesítménye Kondenzátor Teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) = u(t) q(t) A [t 0, t] időintervallumban végzett munka: t t q(t) w(t 0, t) = p(τ)dτ = u(τ) dq(τ) t 0 t 0 dτ dτ = u(q )dq q(t 0 ) ha az u(q) skalárértékű függvény, akkor w(t 0, t) megadja a kondenzátor energiájának megváltozását Mivel u(q = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a kondenzátor által tárolt energia w(t) = q(t) 0 u(q )dq Lineáris időinvariáns kondenzátor esetén q = C u, azaz dq = C du, és w(t) = 1 2 Cu2 (t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 11 / 59

Alaptörvények Alaptörvények Kondenzátor Homogén kapacitív hálózat: csak forrásokat és kondenzátorokat tartalmaz (Kapacitív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény: Huroktörvény deriváltja: i k = 0 k k du k Karakterisztika: i k = C k du k = 0 Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I i, U du, G C Időben állandó feszültségkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel ezekre du = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 12 / 59

Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes kondenzátor Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok: du 1 C = C 1 + C 2, = du 2 = du Kapacitív áramosztó: i 1 = C 1 i C 1 + C 2 Kapacitív töltésosztó: u 1 = u 2 = u, q 1 = C 1 C 1 + C 2 q Kapacitív áramderivált osztó: di 1 = C 1 di C 1 + C 2 Sorosan kapcsolt kondenzátorok: C = C 1 C 2, i 1 = i 2 = i Kapacitív feszültségderivált osztó: du 1 = C 2 du C 1 + C 2 Kapacitív feszültségosztó: q 1 = q 2 = q, u 1 = C 2 u C 1 + C 2 di 1 = di 2 = di Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 13 / 59

Tekercs Alaptörvények Tekercs Induktív kétpólus, vagy tekercs: jelalaktól független kapcsolat van az árama és feszültségének idő szerinti integrálja között Mágneses fluxus és feszültség kapcsolata: u(t) = dψ(t), illetve t t Ψ(t) = u(τ)dτ = Ψ(t 0 ) + u(τ)dτ t 0 Fluxus mértékegysége: [Ψ] = V s = weber = Wb Tekercs karakterisztikája Ψ = f (i), vagy i = h(ψ) lineáris esetben Ψ = L i, vagy i = Γ Ψ, ahol L = induktivitás: [L] = Wb A = Vs = henry = H, A Γ = reciprok induktivitás: [Γ] = A Wb = A Vs Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 14 / 59

Tekercs karakterisztikája Alaptörvények Tekercs Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 15 / 59

Alaptörvények Tekercs feszültsége és árama Tekercs Lineáris időinvariáns tekercs: Ψ(t) = L i(t), deriválva mindkét oldalt u(t) = L di(t) ebből i(t) = i(t 0 ) + 1 t u(τ)dτ L t 0 Lineáris időfüggő tekercs: u(t) = d dl(t) [L(t) i(t)] = i(t) = 1 t L(t) Nemlineáris tekercs: i(t) + L(t) di(t) t 0 u(τ)dτ + L(t 0) L(t) i(t 0) u = dψ = dψ(i(t)) = dψ(i) di di Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 16 / 59

Tekercs teljesítménye Alaptörvények Tekercs Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) = i(t) dψ(t) A [t 0, t] időintervallumban végzett munka: t t Ψ(t) w(t 0, t) = p(τ)dτ = i(τ) dψ(τ) dτ = i(ψ )dψ t 0 t 0 dτ Ψ(t 0 ) ha az i(ψ) skalárértékű függvény, akkor w(t 0, t) megadja a tekercs energiájának megváltozását Mivel i(ψ = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a tekercs által tárolt energia w(t) = Ψ(t) 0 i(ψ )dψ Lineáris időinvariáns tekercs esetén Ψ = L i, azaz dψ = L di, és w(t) = 1 2 Li 2 (t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 17 / 59

Alaptörvények Alaptörvények Tekercs Homogén induktív hálózat: csak forrásokat és tekercseket tartalmaz (Induktív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény deriváltja: Huroktörvény: k u k = 0 Karakterisztika: u k = L k di k k di k = 0 Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I di, U u, R L Időben állandó áramkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel ezekre di = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 18 / 59

Alaptörvények Tekercs Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes tekercs Párhuzamosan kapcsolt tekercsek: L = L 1 L 2, u 1 = u 2 = u Induktív áramderivált osztó: di 1 = L 2 di L 1 + L 2 Induktív áramosztó: Ψ 1 = Ψ 2 = Ψ, i 1 = L 2 i L 1 + L 2 Sorosan kapcsolt tekercsek: di 1 L = L 1 + L 2, = di 2 = di Induktív feszültségosztó: u 1 = L 1 L 1 + L 2 u Induktív fluxusosztó: i 1 = i 2 = i, Ψ 1 = L 1 L 1 + L 2 Ψ Induktív feszültségderivált osztó: du 1 = L 1 du L 1 + L 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 19 / 59

Áttekintés Hálózati egyenletek 1 Alaptörvények 2 Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények Az egyenletek teljes rendszere Kezdeti és kiindulási értékek A hálózat regularitása és rendszáma Az állapotváltozók 3 Lineáris időinvariáns hálózatok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 20 / 59

Kirchoff-törvények Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények A csomóponti és hurokegyenletek érvényesek általános áramú hálózatokra is (A Kirchoff-egyenletek teljes rendszere) r i k = 0, r = n c csomópontra k=1 m u k = 0, k=1 m = b r hurokra ahol n a csomópontok száma, c az összefüggő komponensek száma, b az ágak száma, az egyenletek száma összesen m + r = b. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 21 / 59

Hálózati egyenletek Az egyenletek teljes rendszere Az egyenletek teljes rendszere Ha a hálózat b ágat tartalmaz, akkor az ismeretlenek száma 2b: b feszültség és b áram. A Kirchoff-törvények b számú egyenletet szolgáltatnak, a hiányzó b egyenletet az ágtörvények adják. A Kirchoff-törvényekből és az ágtörvényekből származó egyenletek alkotják együtt az egyenletek teljes rendszerét. Feszültségforrás: Áramforrás: Ellenállás: lineáris időinvariáns: u k = u Vk i k = i Ak u k = R k i k vagy i k = G k u k lineáris időben változó: u k = R k (t)i k vagy i k = G k (t)u k nemlineáris: u k = f k (i k ) vagy i k = h k (u k ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 22 / 59

Hálózati egyenletek Az egyenletek teljes rendszere Az egyenletek teljes rendszere Kondenzátor: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: i k = C k du k i k = d [C k(t)u(k)] = C k du k + dc k u k nemlineáris: Tekercs: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: nemlineáris: i k = dq k vagy q k = f k (u k ) vagy u k = h k (q k ) vagy i k = C k (u k ) du k u k = L k di k u k = d [L k(t)i(k)] = L k di k + dl k i k u k = dψ k vagy Ψ k = f k (i k ) vagy i k = h k (Ψ k ) vagy u k = L k (i k ) di k Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 23 / 59

Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Kezdeti és kiindulási értékek Kezdeti érték: u(+0) = lim u(t), t > 0 t 0 i(+0) = lim i(t), t > 0 t 0 Kiindulási érték: u( 0) = lim u(t), t < 0 t 0 i( 0) = lim i(t), t < 0 t 0 Korlátos mennyiségeket tételezünk fel: kondenzátor töltése és tekercs fluxusa. Ez azt jelenti, hogy kezdeti és kiindulási értékük megegyezik. q(+0) = q( 0), Ψ(+0) = Ψ( 0) Különben dq dψ = i, és = u miatt végtelen áramok és feszültségek jelennének meg Ebből u C (+0) = u C ( 0) és i L (+0) = i L ( 0) is teljesül (Összefoglalva) A q(t), Ψ(t), illetve u C (t) és i L (t) függvényeknek folytonosnak kell lenniük, nem lehet ugrás t = 0-ban. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 24 / 59

Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek A t = 0 időpillanatban a kondenzátor egy u C ( 0) forrásfeszültségű feszültségforrásnak tekinthető A t = 0 időpillanatban a tekercs egy i L ( 0) forrásáramú áramforrásnak tekinthető A t = +0 időpillanatban a hálózat olyan egyenáramú hálózattal helyettesíthető, amely a kondenzátorokat és tekercseket helyettesítő fiktív forrásokon és az u V (+0) forrásfeszültségű és i A (+0) forrásáramú valódi forrásokon kívül csak ellenállásokat tartalmaz. Spec. eset: u C ( 0) = 0 és i L ( 0) = 0, ekkor a kondenzátor rövidzárral (u C (+0) = 0), a tekercs pedig szakadással (i A (+0) = 0) helyettesíthető. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 25 / 59

Példa Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 26 / 59

Példa Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Kiindulási értékek Kezdeti értékek: u 3 ( 0) = R 4 R 2 + R 4 U A, i 5 ( 0) = u 3 (+0) = u 3 ( 0), 1 R 2 + R 4 U A i 5 (+0) = i 5 ( 0) Kondenzátor áramának és az R 2 (= 1 G 2 ) ellenállás feszültségének kiindulási és kezdeti értékei: u 2 ( 0) = i 3 ( 0) = 0 R 2 R 2 +R 4 U A u 2 (+0) = u v (+0) u 3 (+0) = U B R 4 R 2 +R 4 U A i 3 (+0) = G 2 u 2 (+0) i 5 (+0) = G 2 (U B U A ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 27 / 59

Hálózati egyenletek A hálózat regularitása és rendszáma A hálózat regularitása és rendszáma Reguláris hálózat: korlátos gerjesztések esetén minden változó korlátos marad véges időkre. Egyenáramú hálózatok esetében ez azt jelenti, hogy feszültségforrások nem alkothatnak hurkot, áramforrások pedig vágatot Általános áramú hálózatok esetében pedig azt, hogy a hálózat nem tartalmazhat csak feszültségforrásokból és kondenzátorokból álló (V+C) hurkot, illetve csak áramforrásokból és tekercsekből álló (A+L) vágatot: Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 28 / 59

Hálózati egyenletek A hálózat regularitása és rendszáma Reguláris hálózat gráfjában mindig található normál fa: olyan fa, amelyben a feszültségforrásoknak és a kondenzátoroknak megfelelő ágak faágak, az áramforrásoknak és tekercseknek megfelelő ágak pedig kötőágak. Reguláris hálózat N rendszáma az energiatárolók számával egyezik meg: N = b C + b L ahol b C a hálózatban található kondenzátorok száma, b L a hálózatban található tekercsek száma. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 29 / 59

Az állapotváltozók Hálózati egyenletek Az állapotváltozók A hálózat a környezetéből érkező hatásokra (e 1,..., e P gerjesztések) reagál (y 1,..., y M válaszokat ad) A gerjesztések a forrásfeszültségek és forrásáramok, a válaszok pedig a minket érdeklő feszültségek és áramok. Állapotváltozók (x 1,..., x N ): belső változók, amelyek valamely t 1 időpillanatbeli x 1 (t 1 ),..., x N (t 1 ) értékére 1 a t 1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében bármely t 2 -beli állapot (t 2 > t 1 ) meghatározható 2 a t 1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében meghatározhatók a rendszer válaszai Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 30 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók Az állapotváltozók elsőrendű differenciálegyenleteknek tesznek eleget: x i (t) = ϕ i (x 1, x 2,..., x N ; e 1, e 2,..., e P ; t), i = 1, 2,..., N A válaszok az állapotok és a gerjesztések, valamint az idő függvényeként fejezhetők ki: y j (t) = γ j (x 1, x 2,..., x N ; e 1, e 2,..., e P ; t), j = 1, 2,..., N Mátrix-vektoros alak: e = e 1 e 2. e P, y = y 1 y 2. y M dx = ϕ(x, e, t) y = γ(x, e, t), ahol, x = x 1 x 2. x N, ϕ : RN RP R RN γ : R N R P R R M Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 31 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók Mivel e ismert, csak x és t a független változók. A hálózat állapottér modellje: dx = f (x, t), állapotegyenlet y = g(x, t), kimeneti egyenlet Ha a hálózat lineáris és időinvariáns, akkor a hálózat állapottér modellje is lineáris: dx = A x + B e y = C x + D e, ahol A R N N, B R N P, C R M N, D R M P f -et és g-t, illetve az A, B, C, D mátrixok értékeit a hálózat struktúrája, illetve az ágtörvények határozzák meg. Reguláris hálózatok állapotváltozói a a kondenzátorok töltése, illetve a tekercsek fluxusa, mivel ezek folytonos mennyiségek. Lineáris időinvariáns hálózatok esetében a kondenzátorok feszültségei és a tekercsek áramai is tekinthetők állapotváltozóknak. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 32 / 59

Hálózati egyenletek Állapottérmodell felírása Az állapotváltozók 1 Felírjuk a hálózati egyenletek teljes rendszerét 2 A kondenzátorok áramát dq illetve C du C alakban, a tekercsek feszültségét dψ illetve L di L alakban fejezzük ki. 3 A hálózati egyenleteket úgy rendezzük, hogy az állapotváltozókat (q k, u Ck, Ψ k, i Lk ) és a gerjesztéseket ismertnek tekintjük, az összes többi változót pedig ismeretlennek. 4 Az egyenletrendszert megoldjuk Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 33 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók A hálózati egyenletek teljes rendszere 2b, azaz 10 egyenletből áll Kirchoff-egyenletek: (r + m) i 1 + i 2 = 0 i 1 + i 3 + i 4 = 0 i 1 i 3 i 5 = 0 u 1 + u 2 + u 4 + u 5 = 0 u 3 + u 4 + u 5 = 0 Ágtörvények: (b) u 1 = u V u 2 = R 2 i 2 i 3 = C 3 du 3 u 4 = R 4 i 4 u 5 = L 5 di 5 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 34 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók 0 = u V + R 2 i 5 + R 2 C 3 du 3 + R 4 i 5 + L 5 di 5 0 = u 3 + R 4 i 5 + L 5 di 5 u 2 = u v u 3 i 3 = i 2 i 5 Állapottér modell du 3 di 5 u 2 i 3 = = 1 R 2 C 3 1 C 3 1 L 5 R 4 L 5 1 0 1 R 2 1 u 3 i 5 u 3 i 5 + + 1 1 R 2 1 R 2 C 3 0 u V u V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 35 / 59

Áttekintés Lineáris időinvariáns hálózatok 1 Alaptörvények 2 Hálózati egyenletek 3 Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A tranziens összetevő A stacionárius összetevő A teljes megoldás Néhány elsőrendű hálózat Néhány másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 36 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A hálózategyenletek megoldása Adottak Állapotegyenlet (elsőrendű, lineáris inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenlet) dx(t) = A x(t) + B e(t) Az állapotváltozókra vonatkozó kezdeti feltételek: x(+0) = x( 0) Kimeneti egyenlet (algebrai egyenlet) y(t) = C x(t) + D e(t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 37 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletrendszer megoldása A homogén differenciálegyenlet x(t) = x tr (t) megoldása, ami N határozatlan állandót tartalmaz dx(t) = A x(t), e(t) = 0 Ez a tranziens összetevő, ami a források nélküli hálózat folyamatait írja le. Ezek akkor vannak jelen, ha a hálózat energiát tárolt (kondenzátor kiindulási feszültsége, tekercs kiindulási árama). Ez az energia a hálózat veszteségein hővé alakul, azaz: lim x t tr(t) = 0 Az inhomogén differenciálegyenlet egy x st (t) partikuláris megoldása (stacionárius összetevő) A differenciálegyenlet általános megoldása: ( ) x(t) = x st (t) + x tr (t) lim x(t) = x t st(t) A határozatlan állandók az x( 0) = x(+0) kezdeti feltételekből számolhatók. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 38 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Elsőrendű hálózat Egyetlen energiatárolót tartalmaz egy állapotváltozója van dx tr (t) = A x tr (t) Megoldás általános alakja: x tr (t) = M e λt λ meghatározása: λ M e λt = A M e λt λ = A Reguláris hálózat esetén a tranziens nullához tart (λ < 0): λ = A = δ = 1 T ahol δ a csillapítási tényező, és T az időállandó, T = 1 δ > 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 39 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Elsőrendű hálózat T időállandó értelmezése: a tranziens T idő alatt e-ed részére csökken x tr (T ) = M e 1 = 1 e x tr(0) 0.368 x tr (0) a kezdeti érintő t = T helyen metszi az időtengelyt d [x tr(0)] t=0 = M T e t T = M T = cot(α 0) t=0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 40 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat Két energiatárolót tartalmaz két állapotváltozó jellemzi dx 1 (t) = A 11 x 1 (t) + A 12 x 2 (t) dx 2 (t) = A 21 x 1 (t) + A 22 x 2 (t) Megoldás általános alakja: x 1 (t) = M 1 e λt, Visszahelyettesítve, és e λt -vel egyszerűsítve: x 2 (t) = M 2 e λt (A 11 λ) M 1 + A 12 M 2 = 0 A 21 M 1 + (A 22 λ) M 2 = 0 Nemtriviális megoldás a karakterisztikus egyenletből: A 11 λ A 12 A 22 λ = 0 λ 1, λ 2 ; v λ1, v λ2 A 21 λ 1, λ 2 : az A mátrix sajátértékei, v λ1, v λ2 : a λ 1, λ 2 -hez tartozó sajátvektorok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 41 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat A megoldás alakja: λ 1 λ 2 R egyszeres valós sajátértékek: x(t) = c 1 e λ 1t v λ1 + c 2 e λ 2t v λ2 λ 1,2 = δ ± jω komplex konjugált sajátérték pár (v λ = a ± jb): x(t) = c 1 e δt (a cos(ωt) b sin(ωt)) + c 2 e δt (a sin(ωt) + b cos(ωt)) λ 1 = λ 2 R többszörös (kétszeres) valós sajátértékek: x(t) = c 1 e λt v λ + c 2 ( t e λt v λ + e λt η λ ) η λ általánosított sajátérték ((A λi )η = v megoldása) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 42 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 43 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 44 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 45 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Magasabbrendű hálózat N-edrendű állapotegyenlet dx i (t) N = A ik x k (t), Megoldás alakja: Karakterisztikus egyenlet: k=1 x i (t) = M i e λt i = 1,..., N det(a λ I N ) = 0 λ 1,..., λ N ; v λ1,..., v λn Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 46 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A stacionárius összetevő A stacionárius összetevő Állandósult állapotbeli viselkedés Állandó forrásmennyiségek: t = -ben a kondenzátorokon nem folyik áram (szakadás), a tekercseken nem esik feszültség (rövidzár), így a hálózat csak forrásokat és ellenállásokat tartalmaz. Ha a forrásmennyiségek időfüggők, akkor egy inhomogén differenciálegyenlet rendszert kell megoldani Laplace-transzformáció Próbafüggvény módszere Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 47 / 59

A teljes megoldás Lineáris időinvariáns hálózatok A teljes megoldás Az általános megoldás a stacionárius összetevő és a tranziens összetevő összegeként áll elő: x(t) = x st (t) + x tr (t) A tranziens összetevő tartalmaz N határozatlan állandót, amelyet az N számú kezdeti érték alapján határozhatók meg: Elsőrendű esetben: x i (+0) = x sti (0) + x tri (0), i = 1, 2,..., N. x(t) = x st (t) + c e t T, x(+0) = xst (0) + c Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 48 / 59

Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat u V = R i + L di di = R L i + 1 L u V λ = R L δ = R L, T = L R Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 49 / 59

Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: Stacionárius összetevő: Teljes megoldás: Feszültségek: i tr (t) = k e R L t = k e t T i st (t) = U 0 R i(t) = U 0 R + k e R L t, i(+0) = 0 k = U 0 R i(t) = U 0 (1 e R t) L R u R (t) = R i(t) = U 0 ( 1 e R L t) u L (t) = U 0 u R (t) = U 0 e R L t Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 50 / 59

Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 51 / 59

Soros RC-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat λ = 1 RC u V = RC du + u du = 1 RC u + 1 RC u V δ = 1 RC, Külön-külön a [0, τ] és a [τ, ) intervallumokon T = RC Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 52 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok Soros RC-kör, 0 < t τ Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: Stacionárius összetevő: Kezdeti feltétel: u tr (t) = k 1 e 1 RC t = k 1 e t T, u st (t) = U 0, 0 < t τ u(+0) = U 0 + k 1 = u( 0) = U C 0 < t τ Teljes megoldás 0 < t < τ: k 1 = U C U 0 u(t) = U 0 + (U C U 0 ) e 1 RC t, 0 < t τ Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 53 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok Soros RC-kör, τ < t < Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: u tr (t) = k 2 e 1 RC (t τ) = k 2 e (t τ) T, τ < t < Stacionárius összetevő: Kezdeti feltétel: u st (t) = 0, τ < t < u(τ + 0) = k 2 = u(τ 0) = U 0 + (U C U 0 ) e τ RC Teljes megoldás τ < t < : u(t) = [U 0 (1 e τ RC ) + UC e τ RC ] e (t τ) RC Az ellenálláson fellépő feszültség u R = u V u: (U C U 0 ) e t RC, 0 < t τ u R (t) = [ ] U 0 (1 e τ RC ) + U C e τ RC e (t τ) RC, τ < t < Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 54 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Állapotváltozók a tekercs i árama és a kondenzátor u feszültsége Az állapotegyenlet: du = 1 C i di = 1 L u R L i + 1 L u V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 55 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat A tranziens összetevők alakja: u tr (t) = k 1 e λt, i tr (t) = k 2 e λt A homogén diffegyenletbe helyettesítve: λ C k 1 k 2 = 0, k 1 + (λ L + R) k 2 A sajátértékek: λ 1,2 = R 2L ± R 2 (2L) 2 1 LC Stacionárius összetevők: u st (t) = U 0 i st (t) = 0 Mivel k 2i = λ i C k 1i, i = 1, 2 Általános megoldás: u(t) = U 0 + k 11 e λ 1t + k 21 e λ 2t i(t) = λ 1 C k 11 e λ 1t + λ 2 C k 21 e λ 2t Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 56 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Kezdeti feltételek: Ebből: u(+0) = 0, i(+0) = 0 k 11 + k 12 = U 0 λ 1 C k 11 + λ 2 C k 12 = 0 Ebből a megoldás: [ u(t) = U 0 1 + λ 2 e λ1t λ ] 1 e λ 2t λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 i(t) = Relatív csillapítási tényező: U [ ] 0 e λ1t e λ 2t λ 1 λ 2 ζ = R 2 C L Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 57 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Relatív csillapítási tényező: ζ > 1 - túlcsillapított rezgőkör ζ < 1 - csillapított rezgőkör ζ = 1 - kritikus csillapítás Túlcsillapított eset (ζ > 1) az időállandók: δ 1,2 = λ 1,2 = R 2L T 1,2 = 1 δ 1,2 = R 2 (2L) 2 1 LC = ζ ζ 2 1 LC LC ζ ζ 2 1 LCζ 1 ( 1 ± 1 ζ 2 ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 58 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 59 / 59