Elektromosságtan. II. Általános áramú hálózatok. Magyar Attila

Elektromosságtan II. Általános áramú hálózatok Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010. március 22.

Áttekintés Alaptörvények 1 Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Források Ellenállás Kondenzátor Tekercs 2 Hálózati egyenletek 3 Lineáris időinvariáns hálózatok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 2 / 59

Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Időben állandó mennyiségek nagybetűvel, időben változók pedig kisbetűvel (pillanatérték) i = i(t) u = u(t) p = p(t) φ = φ(t) Önkényesen megválasztott referenciairány is tartozik a mennyiségekhez i(t) 0, ha t t 1 i(t) < 0, ha t > t 1 Amikor i(t) > 0, az áram valódi iránya a referenciairánnyal egyező, ha pedig i(t) < 0, a valódi irány a referenciairánnyal ellentétes Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 3 / 59

Kirchoff-törvények Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál (Kirchoff csomóponti törvénye) Bármely csomópontra az áramerősségek előjeles összege minden pillanatban nulla: i k (t) = 0 (Kirchoff huroktörvénye) k Bármely hurok mentén a feszültségek előjeles összege nulla minden időpontban: u k (t) = 0 k Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) A pillanatnyi teljesítmény pozitív, ha u és i referenciairánya egyező, negatív, ha ellentétes. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 4 / 59

Pillanatnyi teljesítmény Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Míg az időben állandó teljesítmény pozitív, vagy negatív a teljes idótartományban, addig az időben változó teljesítmény bizonyos tartományokon lehet pozitív, másutt pedig negatív. A kétpólus időnként teljesítményt ad le, máskor teljesítményt vesz fel I. időtartomány: t t 1 u > 0, i > 0, p = u i > 0 fogyasztó II. időtartomány: t 1 < t t 2 u > 0, i < 0, p = u i < 0 termelő III. időtartomány: t 2 < t u < 0, i < 0, p = u i > 0 fogyasztó Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 5 / 59

Források Alaptörvények Források Feszültségforrás: olyan kétpólus, amelynek feszültségét - az áramtól függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség: u(t) = u V (t). Áramát a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Pl. u V (t) = A sin(ωt + ϕ) Áramforrás: olyan kétpólus, melynek áramát - a feszültségtől függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. Árama a forrásáram: i(t) = i A (t). Az áramforrás feszültségét a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Aktív kétpólus: forrást és belső ellenállást tartalmaz (feszültségés áramgenerátor) A generátor forrásfeszültsége, ill. forrásárama az üresjárási feszültség, ill. rövidzárási áram Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 6 / 59

Ellenállás Alaptörvények Ellenállás A kétpólus ellenállás, ha bármely u(t) és i(t) időfüggvény esetén u(t) = f (i(t)), vagy i(t) = h(u(t)), t. Homogén lineáris ellenállás esetén u(t) = R i(t), illetve i(t) = G u(t), ahol R, illetve G a rezisztív kétpólus rezisztanciája, illetve konduktanciája. Ha R = R(t), illetve G = G(t), akkor idővariáns az ellenállás, egyébként időinvariáns. Az ellenállás pillanatnyi teljesítménye: { i f (i) p = u i = u h(u) Lineáris ellenállás esetén p = u i = R i 2 = G u 2. Lineáris időfüggő ellenállás esetén p = u i = R(t) i 2 = G(t) u 2. Rezisztív hálózatok alapegyenletei: i k = 0 minden csomópontra, u k = 0 minden hurokra k u k = f k (i k ), vagy i k = h k (u k ) k minden ellenállásra Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 7 / 59

Kondenzátor Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátor, vagy kapacitív kétpólus: kapcsolat található a kétpólus feszültsége, és áramának idő szerinti integrálja között. Töltés és áram kapcsolata: t i(t) = dq(t), illetve t q(t) = i(τ)dτ = q(t 0 ) + i(τ)dτ t 0 Töltés mértékegysége: [q] = A s = coulomb = C Kondenzátor karakterisztikája q = f (u), vagy u = h(q) lineáris esetben q = C u, vagy u = D q, ahol C = kapacitás: [C] = C V = As V = farad = F, D = elaszticitás: [D] = V C = V As Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 8 / 59

Alaptörvények Kondenzátor karakterisztikája Kondenzátor Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 9 / 59

Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátor feszültsége és árama Lineáris időinvariáns kondenzátor: q(t) = C u(t), deriválva mindkét oldalt i(t) = C du(t) ebből u(t) = u(t 0 ) + 1 t i(τ)dτ C t 0 Lineáris időfüggő kondenzátor: i(t) = d dc(t) [C(t) u(t)] = u(t) = 1 t C(t) Nemlineáris kondenzátor: i = dq = dq(u(t)) = dq(u) du du u(t) + C(t) u(t) t 0 i(t ) + C(t 0) C(t) u(t 0) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 10 / 59

Alaptörvények Kondenzátor teljesítménye Kondenzátor Teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) = u(t) q(t) A [t 0, t] időintervallumban végzett munka: t t q(t) w(t 0, t) = p(τ)dτ = u(τ) dq(τ) t 0 t 0 dτ dτ = u(q )dq q(t 0 ) ha az u(q) skalárértékű függvény, akkor w(t 0, t) megadja a kondenzátor energiájának megváltozását Mivel u(q = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a kondenzátor által tárolt energia w(t) = q(t) 0 u(q )dq Lineáris időinvariáns kondenzátor esetén q = C u, azaz dq = C du, és w(t) = 1 2 Cu2 (t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 11 / 59

Alaptörvények Alaptörvények Kondenzátor Homogén kapacitív hálózat: csak forrásokat és kondenzátorokat tartalmaz (Kapacitív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény: Huroktörvény deriváltja: i k = 0 k k du k Karakterisztika: i k = C k du k = 0 Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I i, U du, G C Időben állandó feszültségkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel ezekre du = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 12 / 59

Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes kondenzátor Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok: du 1 C = C 1 + C 2, = du 2 = du Kapacitív áramosztó: i 1 = C 1 i C 1 + C 2 Kapacitív töltésosztó: u 1 = u 2 = u, q 1 = C 1 C 1 + C 2 q Kapacitív áramderivált osztó: di 1 = C 1 di C 1 + C 2 Sorosan kapcsolt kondenzátorok: C = C 1 C 2, i 1 = i 2 = i Kapacitív feszültségderivált osztó: du 1 = C 2 du C 1 + C 2 Kapacitív feszültségosztó: q 1 = q 2 = q, u 1 = C 2 u C 1 + C 2 di 1 = di 2 = di Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 13 / 59

Tekercs Alaptörvények Tekercs Induktív kétpólus, vagy tekercs: jelalaktól független kapcsolat van az árama és feszültségének idő szerinti integrálja között Mágneses fluxus és feszültség kapcsolata: u(t) = dψ(t), illetve t t Ψ(t) = u(τ)dτ = Ψ(t 0 ) + u(τ)dτ t 0 Fluxus mértékegysége: [Ψ] = V s = weber = Wb Tekercs karakterisztikája Ψ = f (i), vagy i = h(ψ) lineáris esetben Ψ = L i, vagy i = Γ Ψ, ahol L = induktivitás: [L] = Wb A = Vs = henry = H, A Γ = reciprok induktivitás: [Γ] = A Wb = A Vs Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 14 / 59

Tekercs karakterisztikája Alaptörvények Tekercs Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 15 / 59

Alaptörvények Tekercs feszültsége és árama Tekercs Lineáris időinvariáns tekercs: Ψ(t) = L i(t), deriválva mindkét oldalt u(t) = L di(t) ebből i(t) = i(t 0 ) + 1 t u(τ)dτ L t 0 Lineáris időfüggő tekercs: u(t) = d dl(t) [L(t) i(t)] = i(t) = 1 t L(t) Nemlineáris tekercs: i(t) + L(t) di(t) t 0 u(τ)dτ + L(t 0) L(t) i(t 0) u = dψ = dψ(i(t)) = dψ(i) di di Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 16 / 59

Tekercs teljesítménye Alaptörvények Tekercs Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) = i(t) dψ(t) A [t 0, t] időintervallumban végzett munka: t t Ψ(t) w(t 0, t) = p(τ)dτ = i(τ) dψ(τ) dτ = i(ψ )dψ t 0 t 0 dτ Ψ(t 0 ) ha az i(ψ) skalárértékű függvény, akkor w(t 0, t) megadja a tekercs energiájának megváltozását Mivel i(ψ = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a tekercs által tárolt energia w(t) = Ψ(t) 0 i(ψ )dψ Lineáris időinvariáns tekercs esetén Ψ = L i, azaz dψ = L di, és w(t) = 1 2 Li 2 (t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 17 / 59

Alaptörvények Alaptörvények Tekercs Homogén induktív hálózat: csak forrásokat és tekercseket tartalmaz (Induktív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény deriváltja: Huroktörvény: k u k = 0 Karakterisztika: u k = L k di k k di k = 0 Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I di, U u, R L Időben állandó áramkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel ezekre di = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 18 / 59

Alaptörvények Tekercs Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes tekercs Párhuzamosan kapcsolt tekercsek: L = L 1 L 2, u 1 = u 2 = u Induktív áramderivált osztó: di 1 = L 2 di L 1 + L 2 Induktív áramosztó: Ψ 1 = Ψ 2 = Ψ, i 1 = L 2 i L 1 + L 2 Sorosan kapcsolt tekercsek: di 1 L = L 1 + L 2, = di 2 = di Induktív feszültségosztó: u 1 = L 1 L 1 + L 2 u Induktív fluxusosztó: i 1 = i 2 = i, Ψ 1 = L 1 L 1 + L 2 Ψ Induktív feszültségderivált osztó: du 1 = L 1 du L 1 + L 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 19 / 59

Áttekintés Hálózati egyenletek 1 Alaptörvények 2 Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények Az egyenletek teljes rendszere Kezdeti és kiindulási értékek A hálózat regularitása és rendszáma Az állapotváltozók 3 Lineáris időinvariáns hálózatok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 20 / 59

Kirchoff-törvények Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények A csomóponti és hurokegyenletek érvényesek általános áramú hálózatokra is (A Kirchoff-egyenletek teljes rendszere) r i k = 0, r = n c csomópontra k=1 m u k = 0, k=1 m = b r hurokra ahol n a csomópontok száma, c az összefüggő komponensek száma, b az ágak száma, az egyenletek száma összesen m + r = b. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 21 / 59

Hálózati egyenletek Az egyenletek teljes rendszere Az egyenletek teljes rendszere Ha a hálózat b ágat tartalmaz, akkor az ismeretlenek száma 2b: b feszültség és b áram. A Kirchoff-törvények b számú egyenletet szolgáltatnak, a hiányzó b egyenletet az ágtörvények adják. A Kirchoff-törvényekből és az ágtörvényekből származó egyenletek alkotják együtt az egyenletek teljes rendszerét. Feszültségforrás: Áramforrás: Ellenállás: lineáris időinvariáns: u k = u Vk i k = i Ak u k = R k i k vagy i k = G k u k lineáris időben változó: u k = R k (t)i k vagy i k = G k (t)u k nemlineáris: u k = f k (i k ) vagy i k = h k (u k ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 22 / 59

Hálózati egyenletek Az egyenletek teljes rendszere Az egyenletek teljes rendszere Kondenzátor: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: i k = C k du k i k = d [C k(t)u(k)] = C k du k + dc k u k nemlineáris: Tekercs: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: nemlineáris: i k = dq k vagy q k = f k (u k ) vagy u k = h k (q k ) vagy i k = C k (u k ) du k u k = L k di k u k = d [L k(t)i(k)] = L k di k + dl k i k u k = dψ k vagy Ψ k = f k (i k ) vagy i k = h k (Ψ k ) vagy u k = L k (i k ) di k Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 23 / 59

Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Kezdeti és kiindulási értékek Kezdeti érték: u(+0) = lim u(t), t > 0 t 0 i(+0) = lim i(t), t > 0 t 0 Kiindulási érték: u( 0) = lim u(t), t < 0 t 0 i( 0) = lim i(t), t < 0 t 0 Korlátos mennyiségeket tételezünk fel: kondenzátor töltése és tekercs fluxusa. Ez azt jelenti, hogy kezdeti és kiindulási értékük megegyezik. q(+0) = q( 0), Ψ(+0) = Ψ( 0) Különben dq dψ = i, és = u miatt végtelen áramok és feszültségek jelennének meg Ebből u C (+0) = u C ( 0) és i L (+0) = i L ( 0) is teljesül (Összefoglalva) A q(t), Ψ(t), illetve u C (t) és i L (t) függvényeknek folytonosnak kell lenniük, nem lehet ugrás t = 0-ban. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 24 / 59

Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek A t = 0 időpillanatban a kondenzátor egy u C ( 0) forrásfeszültségű feszültségforrásnak tekinthető A t = 0 időpillanatban a tekercs egy i L ( 0) forrásáramú áramforrásnak tekinthető A t = +0 időpillanatban a hálózat olyan egyenáramú hálózattal helyettesíthető, amely a kondenzátorokat és tekercseket helyettesítő fiktív forrásokon és az u V (+0) forrásfeszültségű és i A (+0) forrásáramú valódi forrásokon kívül csak ellenállásokat tartalmaz. Spec. eset: u C ( 0) = 0 és i L ( 0) = 0, ekkor a kondenzátor rövidzárral (u C (+0) = 0), a tekercs pedig szakadással (i A (+0) = 0) helyettesíthető. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 25 / 59

Példa Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 26 / 59

Példa Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Kiindulási értékek Kezdeti értékek: u 3 ( 0) = R 4 R 2 + R 4 U A, i 5 ( 0) = u 3 (+0) = u 3 ( 0), 1 R 2 + R 4 U A i 5 (+0) = i 5 ( 0) Kondenzátor áramának és az R 2 (= 1 G 2 ) ellenállás feszültségének kiindulási és kezdeti értékei: u 2 ( 0) = i 3 ( 0) = 0 R 2 R 2 +R 4 U A u 2 (+0) = u v (+0) u 3 (+0) = U B R 4 R 2 +R 4 U A i 3 (+0) = G 2 u 2 (+0) i 5 (+0) = G 2 (U B U A ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 27 / 59

Hálózati egyenletek A hálózat regularitása és rendszáma A hálózat regularitása és rendszáma Reguláris hálózat: korlátos gerjesztések esetén minden változó korlátos marad véges időkre. Egyenáramú hálózatok esetében ez azt jelenti, hogy feszültségforrások nem alkothatnak hurkot, áramforrások pedig vágatot Általános áramú hálózatok esetében pedig azt, hogy a hálózat nem tartalmazhat csak feszültségforrásokból és kondenzátorokból álló (V+C) hurkot, illetve csak áramforrásokból és tekercsekből álló (A+L) vágatot: Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 28 / 59

Hálózati egyenletek A hálózat regularitása és rendszáma Reguláris hálózat gráfjában mindig található normál fa: olyan fa, amelyben a feszültségforrásoknak és a kondenzátoroknak megfelelő ágak faágak, az áramforrásoknak és tekercseknek megfelelő ágak pedig kötőágak. Reguláris hálózat N rendszáma az energiatárolók számával egyezik meg: N = b C + b L ahol b C a hálózatban található kondenzátorok száma, b L a hálózatban található tekercsek száma. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 29 / 59

Az állapotváltozók Hálózati egyenletek Az állapotváltozók A hálózat a környezetéből érkező hatásokra (e 1,..., e P gerjesztések) reagál (y 1,..., y M válaszokat ad) A gerjesztések a forrásfeszültségek és forrásáramok, a válaszok pedig a minket érdeklő feszültségek és áramok. Állapotváltozók (x 1,..., x N ): belső változók, amelyek valamely t 1 időpillanatbeli x 1 (t 1 ),..., x N (t 1 ) értékére 1 a t 1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében bármely t 2 -beli állapot (t 2 > t 1 ) meghatározható 2 a t 1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében meghatározhatók a rendszer válaszai Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 30 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók Az állapotváltozók elsőrendű differenciálegyenleteknek tesznek eleget: x i (t) = ϕ i (x 1, x 2,..., x N ; e 1, e 2,..., e P ; t), i = 1, 2,..., N A válaszok az állapotok és a gerjesztések, valamint az idő függvényeként fejezhetők ki: y j (t) = γ j (x 1, x 2,..., x N ; e 1, e 2,..., e P ; t), j = 1, 2,..., N Mátrix-vektoros alak: e = e 1 e 2. e P, y = y 1 y 2. y M dx = ϕ(x, e, t) y = γ(x, e, t), ahol, x = x 1 x 2. x N, ϕ : RN RP R RN γ : R N R P R R M Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 31 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók Mivel e ismert, csak x és t a független változók. A hálózat állapottér modellje: dx = f (x, t), állapotegyenlet y = g(x, t), kimeneti egyenlet Ha a hálózat lineáris és időinvariáns, akkor a hálózat állapottér modellje is lineáris: dx = A x + B e y = C x + D e, ahol A R N N, B R N P, C R M N, D R M P f -et és g-t, illetve az A, B, C, D mátrixok értékeit a hálózat struktúrája, illetve az ágtörvények határozzák meg. Reguláris hálózatok állapotváltozói a a kondenzátorok töltése, illetve a tekercsek fluxusa, mivel ezek folytonos mennyiségek. Lineáris időinvariáns hálózatok esetében a kondenzátorok feszültségei és a tekercsek áramai is tekinthetők állapotváltozóknak. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 32 / 59

Hálózati egyenletek Állapottérmodell felírása Az állapotváltozók 1 Felírjuk a hálózati egyenletek teljes rendszerét 2 A kondenzátorok áramát dq illetve C du C alakban, a tekercsek feszültségét dψ illetve L di L alakban fejezzük ki. 3 A hálózati egyenleteket úgy rendezzük, hogy az állapotváltozókat (q k, u Ck, Ψ k, i Lk ) és a gerjesztéseket ismertnek tekintjük, az összes többi változót pedig ismeretlennek. 4 Az egyenletrendszert megoldjuk Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 33 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók A hálózati egyenletek teljes rendszere 2b, azaz 10 egyenletből áll Kirchoff-egyenletek: (r + m) i 1 + i 2 = 0 i 1 + i 3 + i 4 = 0 i 1 i 3 i 5 = 0 u 1 + u 2 + u 4 + u 5 = 0 u 3 + u 4 + u 5 = 0 Ágtörvények: (b) u 1 = u V u 2 = R 2 i 2 i 3 = C 3 du 3 u 4 = R 4 i 4 u 5 = L 5 di 5 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 34 / 59

Hálózati egyenletek Az állapotváltozók 0 = u V + R 2 i 5 + R 2 C 3 du 3 + R 4 i 5 + L 5 di 5 0 = u 3 + R 4 i 5 + L 5 di 5 u 2 = u v u 3 i 3 = i 2 i 5 Állapottér modell du 3 di 5 u 2 i 3 = = 1 R 2 C 3 1 C 3 1 L 5 R 4 L 5 1 0 1 R 2 1 u 3 i 5 u 3 i 5 + + 1 1 R 2 1 R 2 C 3 0 u V u V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 35 / 59

Áttekintés Lineáris időinvariáns hálózatok 1 Alaptörvények 2 Hálózati egyenletek 3 Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A tranziens összetevő A stacionárius összetevő A teljes megoldás Néhány elsőrendű hálózat Néhány másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 36 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A hálózategyenletek megoldása Adottak Állapotegyenlet (elsőrendű, lineáris inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenlet) dx(t) = A x(t) + B e(t) Az állapotváltozókra vonatkozó kezdeti feltételek: x(+0) = x( 0) Kimeneti egyenlet (algebrai egyenlet) y(t) = C x(t) + D e(t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 37 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletrendszer megoldása A homogén differenciálegyenlet x(t) = x tr (t) megoldása, ami N határozatlan állandót tartalmaz dx(t) = A x(t), e(t) = 0 Ez a tranziens összetevő, ami a források nélküli hálózat folyamatait írja le. Ezek akkor vannak jelen, ha a hálózat energiát tárolt (kondenzátor kiindulási feszültsége, tekercs kiindulási árama). Ez az energia a hálózat veszteségein hővé alakul, azaz: lim x t tr(t) = 0 Az inhomogén differenciálegyenlet egy x st (t) partikuláris megoldása (stacionárius összetevő) A differenciálegyenlet általános megoldása: ( ) x(t) = x st (t) + x tr (t) lim x(t) = x t st(t) A határozatlan állandók az x( 0) = x(+0) kezdeti feltételekből számolhatók. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 38 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Elsőrendű hálózat Egyetlen energiatárolót tartalmaz egy állapotváltozója van dx tr (t) = A x tr (t) Megoldás általános alakja: x tr (t) = M e λt λ meghatározása: λ M e λt = A M e λt λ = A Reguláris hálózat esetén a tranziens nullához tart (λ < 0): λ = A = δ = 1 T ahol δ a csillapítási tényező, és T az időállandó, T = 1 δ > 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 39 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Elsőrendű hálózat T időállandó értelmezése: a tranziens T idő alatt e-ed részére csökken x tr (T ) = M e 1 = 1 e x tr(0) 0.368 x tr (0) a kezdeti érintő t = T helyen metszi az időtengelyt d [x tr(0)] t=0 = M T e t T = M T = cot(α 0) t=0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 40 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat Két energiatárolót tartalmaz két állapotváltozó jellemzi dx 1 (t) = A 11 x 1 (t) + A 12 x 2 (t) dx 2 (t) = A 21 x 1 (t) + A 22 x 2 (t) Megoldás általános alakja: x 1 (t) = M 1 e λt, Visszahelyettesítve, és e λt -vel egyszerűsítve: x 2 (t) = M 2 e λt (A 11 λ) M 1 + A 12 M 2 = 0 A 21 M 1 + (A 22 λ) M 2 = 0 Nemtriviális megoldás a karakterisztikus egyenletből: A 11 λ A 12 A 22 λ = 0 λ 1, λ 2 ; v λ1, v λ2 A 21 λ 1, λ 2 : az A mátrix sajátértékei, v λ1, v λ2 : a λ 1, λ 2 -hez tartozó sajátvektorok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 41 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat A megoldás alakja: λ 1 λ 2 R egyszeres valós sajátértékek: x(t) = c 1 e λ 1t v λ1 + c 2 e λ 2t v λ2 λ 1,2 = δ ± jω komplex konjugált sajátérték pár (v λ = a ± jb): x(t) = c 1 e δt (a cos(ωt) b sin(ωt)) + c 2 e δt (a sin(ωt) + b cos(ωt)) λ 1 = λ 2 R többszörös (kétszeres) valós sajátértékek: x(t) = c 1 e λt v λ + c 2 ( t e λt v λ + e λt η λ ) η λ általánosított sajátérték ((A λi )η = v megoldása) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 42 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 43 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 44 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 45 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Magasabbrendű hálózat N-edrendű állapotegyenlet dx i (t) N = A ik x k (t), Megoldás alakja: Karakterisztikus egyenlet: k=1 x i (t) = M i e λt i = 1,..., N det(a λ I N ) = 0 λ 1,..., λ N ; v λ1,..., v λn Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 46 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok A stacionárius összetevő A stacionárius összetevő Állandósult állapotbeli viselkedés Állandó forrásmennyiségek: t = -ben a kondenzátorokon nem folyik áram (szakadás), a tekercseken nem esik feszültség (rövidzár), így a hálózat csak forrásokat és ellenállásokat tartalmaz. Ha a forrásmennyiségek időfüggők, akkor egy inhomogén differenciálegyenlet rendszert kell megoldani Laplace-transzformáció Próbafüggvény módszere Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 47 / 59

A teljes megoldás Lineáris időinvariáns hálózatok A teljes megoldás Az általános megoldás a stacionárius összetevő és a tranziens összetevő összegeként áll elő: x(t) = x st (t) + x tr (t) A tranziens összetevő tartalmaz N határozatlan állandót, amelyet az N számú kezdeti érték alapján határozhatók meg: Elsőrendű esetben: x i (+0) = x sti (0) + x tri (0), i = 1, 2,..., N. x(t) = x st (t) + c e t T, x(+0) = xst (0) + c Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 48 / 59

Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat u V = R i + L di di = R L i + 1 L u V λ = R L δ = R L, T = L R Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 49 / 59

Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: Stacionárius összetevő: Teljes megoldás: Feszültségek: i tr (t) = k e R L t = k e t T i st (t) = U 0 R i(t) = U 0 R + k e R L t, i(+0) = 0 k = U 0 R i(t) = U 0 (1 e R t) L R u R (t) = R i(t) = U 0 ( 1 e R L t) u L (t) = U 0 u R (t) = U 0 e R L t Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 50 / 59

Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 51 / 59

Soros RC-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat λ = 1 RC u V = RC du + u du = 1 RC u + 1 RC u V δ = 1 RC, Külön-külön a [0, τ] és a [τ, ) intervallumokon T = RC Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 52 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok Soros RC-kör, 0 < t τ Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: Stacionárius összetevő: Kezdeti feltétel: u tr (t) = k 1 e 1 RC t = k 1 e t T, u st (t) = U 0, 0 < t τ u(+0) = U 0 + k 1 = u( 0) = U C 0 < t τ Teljes megoldás 0 < t < τ: k 1 = U C U 0 u(t) = U 0 + (U C U 0 ) e 1 RC t, 0 < t τ Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 53 / 59

Lineáris időinvariáns hálózatok Soros RC-kör, τ < t < Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: u tr (t) = k 2 e 1 RC (t τ) = k 2 e (t τ) T, τ < t < Stacionárius összetevő: Kezdeti feltétel: u st (t) = 0, τ < t < u(τ + 0) = k 2 = u(τ 0) = U 0 + (U C U 0 ) e τ RC Teljes megoldás τ < t < : u(t) = [U 0 (1 e τ RC ) + UC e τ RC ] e (t τ) RC Az ellenálláson fellépő feszültség u R = u V u: (U C U 0 ) e t RC, 0 < t τ u R (t) = [ ] U 0 (1 e τ RC ) + U C e τ RC e (t τ) RC, τ < t < Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 54 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Állapotváltozók a tekercs i árama és a kondenzátor u feszültsége Az állapotegyenlet: du = 1 C i di = 1 L u R L i + 1 L u V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 55 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat A tranziens összetevők alakja: u tr (t) = k 1 e λt, i tr (t) = k 2 e λt A homogén diffegyenletbe helyettesítve: λ C k 1 k 2 = 0, k 1 + (λ L + R) k 2 A sajátértékek: λ 1,2 = R 2L ± R 2 (2L) 2 1 LC Stacionárius összetevők: u st (t) = U 0 i st (t) = 0 Mivel k 2i = λ i C k 1i, i = 1, 2 Általános megoldás: u(t) = U 0 + k 11 e λ 1t + k 21 e λ 2t i(t) = λ 1 C k 11 e λ 1t + λ 2 C k 21 e λ 2t Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 56 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Kezdeti feltételek: Ebből: u(+0) = 0, i(+0) = 0 k 11 + k 12 = U 0 λ 1 C k 11 + λ 2 C k 12 = 0 Ebből a megoldás: [ u(t) = U 0 1 + λ 2 e λ1t λ ] 1 e λ 2t λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 i(t) = Relatív csillapítási tényező: U [ ] 0 e λ1t e λ 2t λ 1 λ 2 ζ = R 2 C L Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 57 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Relatív csillapítási tényező: ζ > 1 - túlcsillapított rezgőkör ζ < 1 - csillapított rezgőkör ζ = 1 - kritikus csillapítás Túlcsillapított eset (ζ > 1) az időállandók: δ 1,2 = λ 1,2 = R 2L T 1,2 = 1 δ 1,2 = R 2 (2L) 2 1 LC = ζ ζ 2 1 LC LC ζ ζ 2 1 LCζ 1 ( 1 ± 1 ζ 2 ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 58 / 59

Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan 2010. március 59 / 59