XXII. évfolyam, 01.. szám Dr. Haka László PhD. Óbuda Egyetem Bák Doát Gépész és Bztoságtechka Mérök Kar, Mechatroka Itézet E-mal: haka.laszlo@gbk.u-obuda.hu KOCKÁZAT BECSLÉSE A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSA NÉLKÜL, A MEGBÍZHATÓSÁGI INDEX ÉS ALKALMAZÁSA Absztrakt: A redelkezésre álló adatok szert a terrorzmus aktvtása apról-apra övekszk, külööse az utóbb 15 évbe. A terrorzmus globáls problémává vált. A moder terrorzmus azoba jellegébe eltér a múltbéltől. Napjakba a terrorstákak lehetősége va az ovatív techológák alkalmazására. Ez merőbe új khívást jelet a védekezés szempotjából a szakemberek számára. A kockázatelemzés elmélete és módszere alkalmazhatók arra, hogy segítségükkel becslést adjuk a terrorcselekméyek bekövetkezésére és a következméyekre voatkozólag. A kockázat becslésére matematka módszerek alkalmazhatóak, eze belül s széleskörűe alkalmazott a valószíűségelmélet megközelítés. Azoba a valószíűségek kszámítása gyakra problémákba ütközk, aaltkusa a számítás gyakra lehetetle. Ebbe a dolgozatba bemutatjuk, hogya lehet kockázatot becsül a valószíűség közvetle kszámítása élkül, a megbízhatóság dex segítségével. Abstract: Accordg to data, terrorst actvty ted to grow steadly, especally durg the past 15 years. Terrorsm became a global problem. Moder terrorsm dffers from the terrorsm of the past. Nowadays terrorsts have the opportuty to use ovatve techologes. Accordg to defece ad protecto ths s a etrely ew challege for experts. The theory of rsk ad methods of rsk aalyss ca be appled to assess the rsk of terrorst actvty ad cosequeses. Mathematcal methods, especally the probablstc approach s wdely appled for expressg the rsk. But the exact aaltcal calculato of probablty s always mpossble. I ths paper the theory of relablty dex wll be demostrated the cotext of terrorst s threat. It seems to be extremely sutable framework for ths purpose, because rsk ca be assessed wthout drect calculato of probablty. Kulcsszavak: megbízhatóság dex, határállapot függvéy, bztoság határ, tervezés pot. Keywords: relablty dex, lmt state fucto, safety marg, desg pot. 1. BEVEZETÉS A krtkus frastruktúra elle robbatásos cselekméyek kockázatáak becslése [1-4] többek között azt géyl, hogy aaltkusa eheze vagy egyáltalá em kezelhető esetekbe s kszámítható legye bzoyos eseméyek valószíűsége, ezáltal becsülhető legye a kockázat. A címkét megjelölt megbízhatóság dex amelyet e potba részletese taulmáyozuk szerepe kettős. Egyrészt alkalmazható abba az esetbe, ha megelégszük közelítő 69
eredméyel, ha a valószíűségek potos, aaltkus, esetleg Mote Carlo szmulácóval törtéő kszámítását megkerülve egy elsőredű közelítő valószíűség adatot határozuk meg egy adott probléma vzsgálata kapcsá. Másrészt pedg, ha a kérdés potosabb adatokat géyel, megalapozza az aaltkus vagy Mote Carlo módszerek alkalmazását, fokozza azok potosságát és csökket a számítások meységét valamt a számításokhoz szükséges dőtartamot. Egy krtkus frastruktúrához tartozó épület, építméy a vzsgálat célja szempotjából taulmáyozható, mt potredszer, merev test, rugalmas test, stb., lletve ezek együttese. Nylvávaló, hogy egy lye fzka redszer jellemezhető a redszer állapotát meghatározó bzoyos fzka meységekkel ayag álladók, rugalmasság együtthatók, stb. amelyeket valószíűség változókak tektük. Tegyük fel, hogy erre a redszerre hatással vaak bzoyos fzka meységek egy robbatásos cselekméy kapcsá például: yomás, hőmérséklet, mpulzus, erők, feszültségek, yomatékok, stb., amelyeket szté valószíűség változókak tektük. A szóba jövő valószíűség változók mdegykét összefoglaljuk egy X X, X,... X 1 valószíűség vektorváltozóba, amelyek egyes X kompoese a kérdéses fzka meységek. Nevezzük ezeket a vzsgálat szempotjából léyeges meységeket állapotváltozókak. Eze állapotváltozók, mt fzka meységek determsztkus fzka törvéyek alapjá összefüggeek. A kérdés az, hogy a determsztkus törvéyek alapjá hogya következtethetük sztochasztkus törvéyszerűségekre és ezek alapjá hogya becsülhető a kockázat.. BIZTONSÁGI HATÁR, HATÁRÁLLAPOT FÜGGVÉNY Tegyük fel, hogy az X állapotváltozók felhaszálásával előállítuk egy a szakrodalomba red szert g-vel jelölt függvéyt a következő megállapodás szert [5]. A g X g X, X,... X 1 függvéy poztív értéket vesz fel, azaz g(x) > 0, ha a redszer stabl, bztoságos állapotba va, ha tehát a redszerre ható fzka meységek em lépek túl bzoyos határértékeket. Továbbá egatív, azaz g(x) < 0, ha a redszerre ható fzka meység(ek) meghalad(ak) bzoyos határértéke(ke)t. Ez utóbb a redszer azo állapota, amelybe egyes kompoesek megsérülek, haszálhatatlaá válak, azaz egy kompoes sérülése által a redszer egésze sérül, meghbásodk, ez a meghbásodás állapota. Ez utóbb állapotak ylvá külöböző fokozata vaak. M az alábbakba ezek között em teszük külöbséget, kzárólag a g(x) > 0 és g(x) < 0 egyelőtleségekkel leírható állapotok külöbségét, ezek között átmeetet, lletve potosabba a g(x) < 0 eseméy valószíűségét fogjuk vzsgál. Tegyük fel, hogy az X vektorváltozó értelmezés tartomáya az -dmezós R térek egy T tartomáya. Eze tartomáy T 1 részhalmaza az, ahol g(x) > 0, ez a bztoság tartomáy, az a T tartomáy, ahol g(x) < 0, a meghbásodás tartomáy. A két tartomáy határa, azo potok halmaza a T-be amelyekre g(x) = 0, a bztoság határ. Ez a bztoság határ egy 1 dmezós felület R -be, voltaképpe az -változós g(x) függvéy egy sztfelülete. Ha a g(x) függvéy leárs, ez a bztoság határ egy hpersík (egyees, sík, hpersík), ha em leárs, akkor egy görbült felület (két dmezóba egy görbe). A g(x) függvéyt az említett tulajdoságok matt evezzük határállapot függvéy -ek. Ezzel a függvéyel írható le tehát egy redszer vzsgálatak szempotjából fotos azo állapotaak halmaza, amkor a redszer em stabl, em bztoságos, sérül. Eze állapotok valószíűségéek kszámításával, potosabba a valószíűségek becslésével foglalkozuk az alábbakba. Vegyük most fgyelembe azt a vzsgálatak szempotjából alapvető téyt, hogy X 1, X, X általába folytoos eloszlású valószíűség változók. Alapvető kérdés, hogy mlye 70
módo számítható a sérülés, meghbásodás valószíűsége. Legye,,..., f x x x az X 1, X, X valószíűség változók együttes sűrűségfüggvéye. Ekkor a meghbásodás amelyet jelölhetük S-sel, mt az elkövetők szempotjából Skeres eseméyt, valószíűsége P S f x, x,... x dx d x...dx (.1) g X0 X 1 1 A valószíűséget tehát az együttes sűrűségfüggvéy T meghbásodás tartomáy -ra kterjesztett tegráljával kapjuk. Eek az tegrálak az egzakt aaltkus kszámítása gyakra ehézségekbe ütközk, sőt esetekét lehetetle. A kockázatelemzés fő feladata azoba éppe eek a valószíűségek a közelítő kszámítása, becslése. A probléma megoldására több módszer alkalmazható, az egyk a szakrodalomból jól smert Mote Carlo szmulácó. Ez az eljárás az aaltkusa meghatározhatatla valószíűség értékét közelít, gyakorlatlag tetszőleges potossággal. Ebbe a dolgozatba azoba egy mőségleg külöböző módszert, a már említett és az alábbakba részletese bemutatott megbízhatóság dex fogalmát és alkalmazását mutatjuk be. X 1 3. KÉTVÁLTOZÓS, LINEÁRIS HATÁRÁLLAPOT FÜGGVÉNY Tektsük most azt a legegyszerűbb esetet, amkor mdössze két állapotváltozók va: X 1 és X. Az X 1 jelölje a redszert érő valamlye fzka hatást (yomás, feszültség, erő, yomaték, mpulzus, stb,). Az X pedg jelöl a kapactást mt fzka jellemzőt, vagys egy olya karaktersztkus fzka meység maxmáls értékét, amely alapvetőe befolyásolja egy redszer stabltását (szakítószlárdság, folyás határ, egy rezgő redszerél a maxmálsa megegedhető ktérés, stb.). Természetese az említett meységekek összehasolíthatókak kell le, hsze ugyaazo mértékegységgel leírható meységekre voatkozó két adatról va szó. Ebbe a legegyszerűbb esetbe a határállapot függvéy ylvá a g(x 1, X ) = X X 1 defícóval adható meg. Ha g(x 1, X ) > 0 akkor X > X 1, a kapactás agyobb, mt a hatás, tehát a redszer stabl, ha vszot g(x 1, X ) < 0 akkor X < X 1, a hatás agyobb, mt a kapactás, tehát a redszer sérül [6]. Kokrét példakét tekthetjük a következőket: 1. Az X 1 jelethet például egy épület homlokzat üveglemez tábláak rezgésállapotába az elvselhető maxmáls ktérést, X pedg egy robbatásos cselekméy sorá keletkező lökéshullám által gerjesztett rezgés maxmáls ktérését.. Az X 1 jelethet egy épület acélból készült szerkezet eleméek folyás határát, az X pedg szté egy robbatásos cselekméy sorá keletkező lökéshullám által okozott, szerkezet elembe ébredő feszültséget. Stb. Ezeket a fzka meységeket a gyakorlatba leggyakrabba ormáls eloszlással modellezük. (Később megvzsgáljuk azt az esetet, ha em ormáls eloszlással írjuk le a fzka meységeket.) Legye tehát az X 1 eloszlása N, 1 1 N, 71 az X eloszlása pedg. Ebbe az esetbe feltesszük, hogy a két valószíűség változó függetle, amely feltevés az 1. és. példabel változókra természetese egzaktul gaz s. (A korrelált valószíűség változók esetét később tárgyaljuk.) Ebbe az esetbe az együttes sűrűségfüggvéy az egyes perem sűrűségfüggvéyek szorzata. Térjük rá az általáos, -dmezós leárs függvéy vzsgálatára. Haszáljuk fel azt az smert téyt, hogy ha X 1 és X ormáls eloszlású, akkor tetszőleges a 1 és a kostasok eseté az a 1 X 1 + a X valószíűség változó s ormáls eloszlású [7]. Melyek paramétere, az X 1 és X változók paraméterere voatkozó jelölések felhaszálásával: a a valamt 1 1 a a. Ez azt jelet a kokrét esetbe, hogy a g(x 1, X ) = X X 1 függvéyel 1 1
defált valószíűség változó s ormáls eloszlású, paramétere pedg:, 1. Kokrét adatok alkalmazásával szemléltetjük a modottakat: legye az X 1 1 3; 1,4 N 5; 0,7. Az a) ábrá látható az együttes eloszlása N az X eloszlása pedg sűrűségfüggvéy. a) b) 1. ábra. Kétdmezós ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye 1 Feltesszük a kérdést: M a g(x 1, X ) < 0 eseméy bekövetkezéséek valószíűsége? A b) ábra alapjá ez szemléletese a következő: Az X X 1 = 0 síktól jobbra eső, az X < X 1 egyelőtleségek eleget tevő tartomáyo az együttes sűrűségfüggvéy alatt térrész térfogata. Mvel ormáls eloszlásról va szó, eek a valószíűségek a kszámítása egzaktul a következő: 0 1 PS Pg X, X 1 0 F 0 (3.1) 1 N, ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyét, pedg a stadard ormáls ahol F jelöl az eloszlás eloszlásfüggvéyét [8]. Mt látszk a kérdésre adadó válasz, tehát a meghbásodás valószíűsége alapvetőe függ a háyadostól (amely háyados a relatív szórás vagy más éve varácós együttható recproka). Alapvető jeletősége matt külö elevezéssel jelöljük meg: Megbízhatóság dexek evezzük és -val jelöljük [5,6],. Abba az esetbe, amkor az egyes valószíűség változók ormáls eloszlással írhatók le és a határállapot függvéy leárs, a emkíváatos eseméy valószíűsége egyszerűe és egzaktul számítható: P S P g X, X 0 1 (3.) 1 Azoal általáosítjuk az eredméyt arra az esetre, amkor a határállapot függvéy leárs, azaz g(x 1, X ) = a 1 X 1 + a X alakú. Ebbe az esetbe a valószíűséget potosa ugyaaz a formula szolgáltatja csak a μ és paraméterek kokrét előállítása más: 1 Az ábrákat a szerző készítette MATLAB szoftver segítségével. 7
a a 1 1 PS Pg X, X 1 0 F 0 a a 1 1 (3.3) A megbízhatóság dexek ge szemléletes a jeletése. Az alábbakba ezt mutatjuk meg. Stadardzáljuk az X 1 és X ormáls eloszlású valószíűség változókat. Jelölje redre Z 1 és Z a stadardzált változókat: Z X ; Z X 1 1 1 1 ; (3.4) Ha ezeket átredezzük az eredetleg defált változókra a következő adódk: X Z ; X Z (3.5) 1 1 1 1 Írjuk most fel a g függvéyt a stadardzált változókkal. Jelölje ezt a függvéyt g. A bevezetőbe említett kokrét példa esetébe ekkor azt kapjuk, hogy az általáos leárs függvéy esetébe pedg: g ' Z, Z Z Z, (3.6) 1 1 1 1 g ' Z, Z a Z a Z a Z a Z a a. (3.7) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Amelyek (természetese) mdkét stadardzált változóba ugyacsak leárs függvéyek. Iráyítsuk most fgyelmüket a g függvéy g (Z) = 0 sztvoalára. A leartás matt ez a sztvoal egy egyees. Tegyük szemléletessé a problémát egy ábrával. Ehhez vegyük alapul 3; 1,4 N 5; 0,7 ormáls eloszlásokat. az ábrá már alkalmazott N lletve a) b). ábra. Leárs határállapot függvéy kétdmezós ormáls eloszlás eseté a) az eredet; b) a stadardzált koordátaredszerbe. Az ábrákat a szerző készítette MATLAB szoftver segítségével. 73
Vlágos, hogy a. ábrá az 1. ábra kétdmezós eloszlásáak sztvoalas ábrázolása látható. Z Z Tűzzük k most a következő feladatot: Határozzuk meg a 1 1 1 0 egyeletű egyeesek az orgótól mért távolságát. Pot és egyees távolsága azoal adódk, ha az egyees ormálegyeletébe vagys az egységy hosszúságú ormálvektorral adott egyeletébe behelyettesítjük az adott pot koordátát. Mvel eek az egyeesek a ormálvektora (, ), a ormálvektor hossza 1 bztoság határt jelető egyees ormálegyelete 1. Ebből következőe a Z Z 1 1 1 1 0 (3.8) Ha ebbe helyettesítjük az orgó ; 0;0 az egyeestől: Z Z koordátát, azt kapjuk, hogy aak távolsága 1 1 d orgó, egyees 1 (3.9) Azt kaptuk, hogy ez a távolság éppe a megbízhatóság dex. Arra jutottuk tehát, hogy a megbízhatóság dex szemléletes tartalma a következő: a stadardzált koordátaredszerbe az orgó és a bztoság határ amely ebbe az esetbe egyees között mmáls távolság. Az általáosabb leárs esetet alapul véve a ormálegyelet, és a megbízhatóság dex redre a következő: a Z a Z a a 1 1 1 1 1 a a 1 1 0; m dorgó, egyees Z, Z egyees a a a a 1 1 1 1 1 (3.10) A vzsgált kokrét példába: 53 1 7 1,4 0,7 1 1, 778 (3.11) Am azt jelet, hogy az adott esetbe a meghbásodás, tehát a emkíváatos eseméy bekövetkezéséek valószíűsége: 1 P g x x P S, 0 1, 778 1 1, 778 0,1007 (3.1) Tájékoztatásul az alább táblázat tartalmazza a dex és a megfelelő valószíűség értékét éháy esetbe: 0,5 1 1,5,5 3 4 5 6 P 0,3085 0,1587 0,0668 0,08 0,006 0,0013 3,1610 5,8610 7 9,8610 10 1. táblázat: A megbízhatóság dex és a valószíűség kapcsolata A szemlélet alapjá adódó következtetést azoal levohatjuk: Mél közelebb helyezkedk el a bztoság határ egyeese az orgóhoz a stadardzált koordáta redszerbe, aál 74
agyobb a emkíváatos eseméy bekövetkezéséek a valószíűsége, a távolság övekedésével azoba ez drasztkusa csökke. Itt utalhatuk a mérök tervezés folyamatába arra a potra, hogy olya fzka jellemzőkkel kell egy épületet/építméyt létrehoz, hogy a értéke a lehetőségek szert mél agyobb legye, ugyas mél agyobb a értéke az épület/építméy aál bztoságosabb. Kétdmezós leárs határállapot függvéy eseté a fet módo kszámítható a kockázat valószíűsége, de természetes módo felmerül az a kérdés s, hogy az X 1 és X valószíűség változók mely értéke eseté valósul meg ez a helyzet. A traszformált Z 1 és Z változókra lefordítva a kérdés az, hogy az egyees mely potja va a legközelebb az orgóhoz. Adjuk meg eze pot koordátát. Ha ez már a kezükbe va a (3.5) alapjá köye vsszatérhetük az eredet valószíűség változókra. A keresett potak ktütetett szerepe va a kockázatelemzés szempotjából, ugyas ez a legvalószíűbb meghbásodás helye, ezért a tervezésél külö tektettel kell le erre a potra. A eve tervezés pot [5,6]. A tervezés pot meghatározható feltételes szélsőérték problémakét Lagrage módszerrel, azoba em ezt alkalmazzuk, két ok matt. Az egyk ok, hogy az általáos esetbe, amkor a határállapot függvéy em leárs, a módszer aaltkusa általába em kvtelezhető, helyette terácós algortmust alkalmazhatuk, tehát umerkus számítógépes programot, ezt az alábbakba bemutatjuk. A másk ok pedg az, hogy két dmezóba a tervezés pot a szemlélet alapjá, egyszerű elem geometra módszerekkel adódk. A (Z 1 ; Z ) koordátaredszerbe az egyees orgóhoz legközelebb potja úgy adódk, hogy a (3.7) egyeest elmetsszük az orgóra lleszkedő és (3.7)-re merőleges egyeessel. Eek a merőlegese metsző egyeesek az egyelete például a következő: a Z a Z 0. (3.13) 1 1 1 A (3.7)-ből adódó g (Z) = 0 és a (3.13) egyeletekből álló redszer megoldása pedg: a a a Z ; Z a a a. 1 1 1 1 1 1 1 a a a a 1 1 1 1 (3.14) Ha e (3.5) alapjá áttérük az X 1 és X valószíűség változókra, akkor kapjuk a tervezés pot koordátát, vagys az X 1 és X valószíűség változók azo összetartozó értékpárját, amely eseté a legagyobb a emkíváatos eseméy bekövetkezéséek valószíűsége: a a a a X a ; X a. 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a 1 1 1 1 (3.15) Abba a legegyszerűbb és ezért a gyakorlat számára s legfotosabb esetbe amkor a határállapot függvéy a g(x 1, X ) = X X 1 defícóval va adva, a (3.14) megoldásokak megfelelő stadardzált koordáták a következők: Z ; Z. 1 1 1 1 1 1 (3.16) Ie pedg a (3.5) traszformácós formulák adják a tervezés pot koordátát: 75
X ; X. 1 1 1 1 1 1 1 (3.17) A (3.17) képletekbe törtéő helyettesítéssel kapjuk a. ábrá szemléltetett kokrét példába a tervezés potot: 53 35 X 1,4 3 4,6; X 0,7 5 4,6. (3.18) 1 1,4 0,7 1,4 0,7 4. TÖBBDIMENZIÓS, LINEÁRIS HATÁRÁLLAPOT FÜGGVÉNY Vzsgáljuk most, ugyacsak ormáls határeloszlások eseté, a legáltaláosabb alakú leárs függvéy esetét. Tegyük fel, hogy az X 1, X,, X valószíűség változók ormáls eloszlásúak, a határállapot függvéy pedg a következő: g X, X,... X a a X (4.1) 1 0 1 Mvel az X ( = 1,,, ) valószíűség változók ormáls eloszlásúak és a g leárs függvéy, a belőlük képezett g X, X,... X 1 valószíűség változó s ormáls eloszlású. Ha alkalmazzuk az E X és az alább formulával számítható: D X ( = 1,,, ) jelöléseket, eek várható értéke E g X, X,... X a a (4.) 1 0 1 A szórás attól függ, hogy az X valószíűség változók korreláltak-e. a) Ha az X ( = 1,,, ) valószíűség változók párokét korrelálatlaok, akkor a szóráségyzetet az alább összefüggéssel számíthatjuk: D g X, X,... X a 1 1 (4.3) b) Ha vszot az X ( = 1,,, ) valószíűség változók em függetleek, akkor a szóráségyzet (4.3) helyett a következő, általáosabb összefüggéssel va adva [8]: a a a j j j 1, j, j (4.4) ahol az X j és X j valószíűség változók korrelácós együtthatója, azaz 76 Cov X, X ; j (4.5) j j j g X,... X 0 1 egyelőtleséggel defáljuk. Ha F jelöl a g valószíűség változó együttes eloszlásfüggvéyét, akkor a emkíváatos eseméy bekövetkezéséek a valószíűsége, és egybe a (3.3) összefüggés általáosítása a következő: PS Pg X, X,... X 1 0 F 0 (4.6) A meghbásodás tartomáy -t ebbe az általáosabb esetbe s a
A külöbség ay, hogy ebbe az általáosabb esetbe a μ és paramétereket a (4.3) és (4.4) lletve (4.5) formulák szolgáltatják. A emkíváatos eseméy valószíűsége tehát A leárs bztoság határ most a P S a 0 a 1 a 1 (4.7) g X, X,... X a a X 0 (4.8) 1 0 1 leárs egyelettel adott hpersík. Az -dmezós Euklídesz-terekbe defált távolságfogalom szert a megbízhatóság dex a (3.8) és (3.9) kétdmezós összefüggések -dmezós általáosítása alapjá, ugyacsak (4.8) hpersík stadardzált koordátaredszerbel traszformáltjáak és az orgóak a legksebb távolsága. Hátra va még a tervezés pot meghatározása. Ebbe a potba s elkerüljük a Lagrageféle szélsőérték probléma aaltkus megoldását. Ehelyett olya eljárást választuk, amely alkalmazható teratív köryezetbe a emleárs esetbe s. Haszáljuk fel a grades vektor szemléletes jeletését, amely szert a grades a sztfelületre merőlegese a függvéy legtezívebb övekedéséek ráyába mutat. A (4.8) hpersíkot traszformáljuk a (3.3) és (3.4) formulákkal a stadard koordátaredszerbe, így kapjuk a g függvéyt: 1 0 1 g ' Z, Z,... Z a a Z 0 (4.9) A (4.9) hpersík g függvéy egy sztfelülete. A g gradese, a g vektor erre a síkra merőlegese az értelmezés szert a bztoság tartomáyba mutat. Eszert a grades elletettje mutat a meghbásodás tartomáy -ba. Az orgóból felmérjük a g vektor t-szeresét úgy, hogy a vektor végpotja lleszkedje a hpersíkra. Ez a hpersíkbel pot a keresett tervezés pot. (4.9) alapjá a grades elletettje a vektor. Ha eek t-szeresét helyettesítjük (4.9)-be g ' Z, Z,... Z a,..., a (4.10) 1 1 1 0 1 1 (4.11) a a t a 0 megkapjuk azt a t paraméter értéket, amellyel szorozva a egatív gradest, éppe a tervezés potot kapjuk: a 0 t 1 1 a a Ie a tervezés pot koordátá a stadard koordátaredszerbe a következők: (4.1) 77
a a Z a ; 1,,3,...,. 0 1 a 1 (4.13) Végül pedg (3.4) alapjá megkapjuk a tervezés pot koordátát az eredet valószíűség változókra voatkoztatva: a a X a ; 1,,3,...,. 0 1 a 1 (4.14) A számítások meetéek megvlágítását szolgálja természetese csak dmezóba a 3. ábra. Z g ' Z 0 Bztoság határ: g Z 0 0 a a Z ' 0 Bztoság tartomáy A tervezés pot stadard traszformáltja g' t g ' Z 0 Meghbásodás tartomáy Z 1 g ' Z, Z,... Z a,..., a 1 1 1 3. ábra. Többdmezós leárs határállapot függvéy eseté a tervezés pot meghatározása egatív grades segítségével 3 5. NEMLINEÁRIS HATÁRÁLLAPOT FÜGGVÉNY Ebbe a potba megvzsgáljuk a legáltaláosabb, emleárs esetbe a megbízhatóság dex és ezzel a kockázat kszámításáak, lletve potosabba a becsléséek a módját. Legye g X X határállapot függvéy teljese általáos alakú, e éljük semmféle tehát a 1,... megszorító feltevéssel. Ekkor általába egzakt módo em határozható meg a dex, csak közelítőleg számíthatjuk. A közelítésre két lehetőséget mutatuk be. 1. lehetőség: Közelítés Taylor-sorral. Természetes módo merül fel a lehetőség, hogy a függvéyt fejtsük hatváysorba egy alkalmas pot, legylvávalóbba a várható érték körül, majd tartsuk meg a sor leárs részét. A másodredű Taylor-polom a következő: g 1 g g X g,,... 1 X X X... (5.1) j j X X X 1 1 j1 j 3 Az ábrát a szerző készítette 78
Ha tt közelítésképpe megtartjuk a sor legfeljebb elsőredű tagjat és bevezetjük az g a g 0,,... 1 és a ; 1,,3..., jelöléseket, akkor változtatás élkül, betű X szert alkalmazhatjuk a 4. potba modottakat. Hagsúlyozzuk azoba, hogy csak közelítő jellegű megoldást kapuk. Ie ylvávaló, hogy az elsőredű közelítés eseté a várható érték közelíthető a g,,... 1 (5.) formulával. A szóráségyzet pedg a hbaterjedés törvéye szert [9], attól függ hogy az X ( = 1,,, ) valószíűség változók párokét függetleek vagy pedg em. Ha párokét függetleek, akkor a szóráségyzetet a képlet, ha vszot em függetleek, akkor a g 1 X (5.3) g g Cov ( X, ) X j X X (5.4) 1 j1 j összefüggés szolgáltatja [7,8]. Ie a megbízhatóság dex és a kockázat becsült értéke (4.6) és (4.7) alapjá, a tervezés pot közelítő helyzete pedg (4.14) alapjá adódk.. lehetőség: Iterácó alkalmazása. Az 1. lehetőséghez képest léyegese potosabb megoldás adódk, ha az (5.1-4) formulák helyett umerkus módo, terácóval számítjuk a értékét és ezzel párhuzamosa a tervezés pot koordátát. Az terácó voltaképpe egy már többször említett, de aaltkusa meg em oldott feltételes szélsőérték probléma megoldását szolgáltatja. A szélsőérték feladat a következő: m Z Z gz0 1 Z (5.5) Az terácó azoba em a Lagrage módszert követ végg, haem a 4. potba bemutatott egatív grades módszer általáosítása a emleárs esetre. Ehhez bevezetéskét arra kell hvatkozuk, hogy a egatív grades ráyába mutató, egységy hosszúságú vektor kompoese a következő módo adható meg: g ' Z e ; 1,,3,..., (5.6) g ' 1 Z (Az e jelöléssel arra utaltuk, hogy egységy hosszúságú vektorról va szó.) Az terácó ezek utá például a következő lépésekből állhat: 1. lépés: Választuk egy potot a felülete, amelyet úgy tektük mt egy e egységvektor -szorosa. A kapott a megbízhatóság dex kezdőértéke, az e pedg a egatív grades kezdőértéke. 79
g '. lépés: Ebből az e vektorból és dex-ből kdulva kszámítjuk a derváltakat a e Z helye, majd (5.6) alapjá megadjuk az e egységvektor egy újabb közelítését: g ' e Z e ; 1,,3,..., (5.7) g ' e 1 Z 3. lépés: Az e egységvektor frssített értékéből kdulva megoldjuk a g e e e 1 ',,... 0 (5.8) egyeletet -ra, am a megbízhatóság dex egy jobb közelítése, majd smét alkalmazzuk az 1. lépést és így tovább. Hagsúlyozzuk, hogy az (5.8) egyelet egybe a tervezés pot traszformáltját s szolgáltatja, arról (3.5) alapjá térhetük át az eredet valószíűség változókra. 4. lépés: A vzsgált probléma megkövetel a dex adott potossággal törtéő meghatározását. Ezt fgyelembe vehetjük megállás krtérumkét. Előírhatjuk, hogy az algortmusak akkor va vége, ha például k1 k, ahol adott hbakorlát. A felső dex az terácó sorszámát jelöl. A modottak llusztrálására tektsük a következő példát. Legye az X 1 valószíűség ; 10;5, az X változó jellemző pedg változóra voatkozólag a két jellemző adat 1 1 legyeek ; 0;6, a határállapot függvéyt pedg defáljuk a emleárs g(x 1 ; X ) = X X 1 függvéyel. Ha áttérük a stadard eloszlásra, akkor az adódk, hogy g ' Z, Z 0Z 6 10Z 5 400Z 40Z 36 10Z 5 (5.9) 1 1 1 A grades vektorhoz szükség va a parcáls derváltakra: g' g' 10; 800Z 40. Z Z 1 (5.10) Ezeket a derváltakat (5.7) szert számol kell a e helye: g' Z g' e 10; e 800 40. (5.11) Z e 1 A kapott grades vektor hossza a következő formulával számítható: g' 100 800e 40. (5.1) Az e egységvektor koordátát ezek utá az alább háyadosok szolgáltatják: 80
e 10 800e 40 ; e. 1 e e 100 800 40 100 800 40 (5.13) Felhívjuk a fgyelmet az előjelváltásra, ugyas emlékeztetük rá, hogy egatív gradesre va szükség! A tervezés potak rajta kell lee a felülete, ezt bztosítja az (5.8) egyelet megfelelője: g ' e, e 400 e 40e 36 10e 5 0 (5.14) 1 1 Ie kfejezve -t kapjuk a megbízhatóság dex egy újabb közelítését: 31 400e 40e 10e 1 (5.15) Az terácóhoz kezdőértékeket például az (5.14) egyeletből kaphatuk. Legye példakét 1 1 e ;. Ha ezt helyettesítjük, -ra voatkozólag egy egyszerű másodfokú egyelet adja kezdőértékét. 6. KORRELÁLT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK A gyakorlatba előfordul, hogy korrelált valószíűség változókkal kell dolgoz a kockázatbecslés sorá. Az alábbakba megmutatjuk, hogy ez az eset vsszavezethető a korrelálatla, stadard ormáls eloszlásokkal törtéő számításokra. Az eddgekbe s az törtét, hogy az X ormáls eloszlású változókról áttértük a Z stadard eloszlásokra. Ha a változók korreláltak, akkor még egy lépést teszük, bektatuk egy olya leárs traszformácót s, amely a korrelált változókat korrelálatlaokká tesz. Iduljuk k az X vektorváltozó kovaraca mátrxából [10]: Cov X ; X... Cov 1 1 X ; X 1 ;... ; Cov X X Cov X X............ Cov X ; X1 Cov X ; X.. 1 C (6.1) X T ahol az értelmezés szert E X C X X, E jelöl a várható értéket, X T pedg az X vektor traszpoáltját. Ha a mátrxak csak a főátlójába szerepelek 0-tól külöböző kompoesek akkor a valószíűség változók párokét korrelálatlaok. Ha a kovaracák helyett a korrelácós együtthatókat írjuk egy mátrxba, akkor kapjuk a korrelácós együttható mátrxot: 1... 1 1 1................. 1 1 1 ρ (6.) X 81
A stadardzálás sorá, amkor a (3.4) összefüggések szert áttérük a stadard ormáls eloszlású Z ( = 1,, ) változókra, a várható érték zérus, a szórás egységy lesz. Tektettel arra, hogy Cov( X, X ), vlágos, hogy a Z vektorváltozó kovaraca j j j mátrxa egybeesk az X vektorváltozó korrelácós mátrxával: C =ρ. Z X Vzsgáljuk most a C szmmetrkus mátrxot. A umerkus leárs algebra egyk alaptétele Z a Cholesky-felbotás lehetősége [10], amely szert C felbotható egy alsó és egy felső Z T háromszögmátrx szorzatára, amely mátrxok egymás traszpoáltja: C LL. Cél egy Z olya U vektorváltozó előállítása, amelyek kompoese párokét függetleek. Igazoljuk, hogy a Z = LU szorzat alapjá defált U vektor eek a krtérumak eleget tehet az alábbak szert. A kovaraca defícója szert ugyas C Z Z LUU L L UU L LL ρ (6.3) T T T T T T E E E Z T Az E UU várható érték, azaz kovaraca mátrx a követelméyek matt egységmátrx. Ebből következőe látszk, hogy L akkor felel meg traszformácós mátrxak, ha teljesül, hogy LL T ρ X. Ez vszot egy köye megoldható redszer a L kompoesere voatkozólag, ugyas mt már hagsúlyoztuk, L alsó háromszögmátrx. Írjuk fel a kérdéses szorzatot mátrx alakba: X L 0... 0 11 L L... L 1... 11 1 1 1 1 L L... 0 0 L... L 1... 1 1......... 0........................ L L... L 0 0 0 L.. 1 1 1 (6.4) Ie már jól láthatóa felírható a szükséges számú egyelet az L mátrx kérdéses ( + 1)/ számú smeretle kompoesére: L L L 11 11 L 1; 11 1 1 L L L 1;... stb. 1 1 ; (6.5) Tektsük példaképpe az 5. potba szereplő X 1 és X valószíűség változókat az 5. pothoz képest azzal a külöbséggel, hogy feltesszük: X 1 és X korrelált. Tegyük fel az llusztrácó érdekébe, hogy a korrelácós együttható mátrxuk a következő: 1 0,4 ρ 0,4 1 (6.6) X Ezt alapul véve kell kszámítauk az L mátrxot az egyeletek alapjá. A kokrét esetbe: LL T ρ X mátrxegyelet, lletve a (6.5) 8
L L L 11 11 L 11 1 1; 0,4; L L L 1;... stb. 1 1 (6.7) Eek a redszerek a megoldása, tehát az L mátrx a következő: 1 0 L 0, 4 0,9 (6.8) A Z = LU szorzat alapjá e már adódak a Z és U kompoese között kapcsolatok: Z1 1 0 U1 Z 0, 4 0,9 U (6.9) Koordátákét írva: Z U ; Z 0, 4U 0,9 U. (6.10) 1 1 1 Ha (3.4) szert vsszatérük az X vektorváltozóra, akkor megkaptuk eze vektorváltozó kompoeseek előállítását párokét korrelálatla, stadard ormáls eloszlású valószíűség változókkal: X U 5U 10; 1 1 1 1 1 X 0, 4U 0,9U, 4U 5,5U 0. 1 1 (6.11) 7. NORMÁLISTÓL ELTÉRŐ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK KÖZELÍTÉSE NORMÁLIS ELOSZLÁSSAL Az előző 6 potba hagsúlyozotta ormáls eloszlású valószíűség változókkal dolgoztuk. Ez a közelítés az esetek túlyomó többségébe jól alkalmazható, hsze a legtöbb esetbe csak közelítő eredméyt kaphatuk md a valószíűségre md pedg a kockázat értékére. Ha azoba olya helyzet áll elő, hogy elkerülhetetle a ormálstól eltérő eloszlással való közelítés, akkor a következőt kell meggodoluk. A korábbakba vzsgált tervezés pot vszoylag távol kell, hogy legye a vektorváltozó várható értékét megadó pottól. Ha ugyas közel va, az azt jelet, hogy egyszerűe rosszul tervezték az épületet/építméyt. Ha például a határfüggvéy leárs és az eloszlás szmmetrkus a várható értékre, és a határfüggvéy lleszkedk a várható érték által kjelölt potra, akkor a kockázat értéke potosa 0,5. Ilye kockázattal em szabad épületet/építméyt tervez. Ebből következk, hogy bármlye eloszlásról s va szó, a várható értéktől távol tartomáyo szükséges az eloszlást taulmáyoz. Itt pedg megtehetjük, hogy közelítük egy alkalmas ormáls eloszlással. Tegyük fel, hogy X d a tervezés pot helyét megadó vektor. Jelölje továbbá μ és a közelítő ormáls eloszlások várható értékét és szórását, továbbá F jelölje az aktuálsa alkalmazott eloszlás eloszlásfüggvéyét, f pedg a sűrűségfüggvéyt. Ha a tervezés pot köryezetébe közelíte szereték ormáls eloszlással, akkor teljesülük kell az eloszlás és sűrűségfüggvéyre voatkozólag a következő összefüggésekek: 83
f F X X d d X ' d ' 1 X ' d ' (7.1) (7.) Tektettel arra, hogy vertálható függvéy, ez az egyeletredszer megoldható az smeretle várható értékekre és szórásokra: d d F X 1 F X (7.3) f X 1 d d X (7.4) A (7.3) és (7.4) formulákkal mechakusa adódk a közelítő ormáls eloszlás két paramétere mde dexre. Ha ezeket alkalmazzuk, em ormáls eloszlások eseté s alkalmazhatóak az 1-6 potokba leírt közelítő módszerek a kockázat becslésére. A modottak llusztrálásaképpe álljo tt egy szemléletes egydmezós példa. Tegyük fel, hogy egy valószíűség változót Gamma eloszlással íruk le melyek paramétere =, = 1. Tegyük fel továbbá, hogy a tervezés pot helykoordátája X d = 5. Közelítsük eze pot köryezetébe a Gamma eloszlást ormáls eloszlással. A (7.3) és (7.4) összefüggések szert a közelítő ormáls eloszlás paramétere: μ = 0,49; =,58. Az N(0,49;,58) és G(; 1) eloszlások sűrűségfüggvéyét a 4. ábrá szemléltetjük. Gamma eloszlás közelítése ormáls eloszlással 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 Gamma eloszlás Normáls eloszlás 0,1 0,05 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 4. ábra: Gamma eloszlás közelítése ormáls eloszlással a tervezés pot köryezetébe 4 Az ábra alátámasztja azt a téyt, hogy az adott esetbe a közelítés ge jó abba a tartomáyba ahol helyettesíte szereték az eredet Gamma eloszlást ormáls eloszlással, vagys az X d = 5 pot köryezetébe, sőt mde X > 5 eseté s. 4 Az ábrát a szerző készítette EXCEL táblázatkezelővel 84
8. ÖSSZEFOGLALÁS A kockázatelemzés egyk legagyobb khívást jelető feladata a megfelelő eseméy bekövetkezés valószíűségéek kszámítása. A kszámítás -ról azoba gyakra le kell modauk, hsze a gyakorlatba előálló problémák kapcsá az aaltkus módszerek általába csődöt modaak. A megbízhatóság dex alkalmazása éppe eek a problémáak a megoldására kválóa alkalmas. Az eljárás ormáls eloszlások és leárs határállapot függvéyek eseté egzaktul szolgáltatja a valószíűséget így a kockázatot. Ha a határállapot függvéy em leárs akkor s jó közelítő módszer egyszerűsége és szemléletessége matt. Nemleárs esetbe külöös tektettel ajáljuk az teratív módszert az dex kszámítására, amely algortmus egy számítógép alkalmazása eseté általába a másodperc tört része alatt eredméyt ad. Külö előye eek, hogy az algortmus egybe a tervezés potot s szolgáltatja. A tervezés pot, ahogya a eve s mutatja a tervezők, mérökök számára haszos formácó. Tervezés sorá cél kell legye, hogy a határállapot függvéy és a tervezés pot távol kell legye a várható értéket jelető pottól. Haszos a módszer akkor s ha korrelált valószíűség változókkal kell dolgozuk és alkalmas az eljárás a ormáls eloszlással való közelítés adaptálására s. Az alkalmazás a céltól függ, a potosság géyétől. A bemutatott eljárást akkor s haszosak tartjuk és javasoljuk a haszálatát, ha potosabb módszerre va géy, ez esetbe ulladk megoldásak, esetleg egy potosabb módszerhez kezdőértékek, vszoyítás alapak alkalmazhatjuk. TÁMOP-4..1.B-11//KMR-011-0001 Krtkus frastruktúra védelm kutatások. A projekt az Európa Uó támogatásával, az Európa Szocáls Alap társfaszírozásával valósul meg. The project was realsed through the assstace of the Europea Uo, wth the co-facg of the Europea Socal Fud. Irodalomjegyzék [1] Ezell, Beett, Wterfeldt, Sokolowsk, Colls: Probablstc Rsk Aalyss ad Terrorsm Rsk. Rsk aalyss, Vol. 30, No.4, 010. [] Ber, V.M., Mosleh, A.: The subjectve Bayessa approach to Probablstc Rsk Assessmet. Relablty Egeeerg ad System Safety 3 (1988) 69-75. [3] Elsabeth Paté-Corell, Seth Gukema: Probablstc Modellg of Terrorst Threats: A System Aalyss Approach to Settg Prortes Amog Coutermeasures. Mltary Operatos Research. Vol. 7, No. 4, pp. 5-0. 00 [4] Seth D. Gukema, Terje Ave: Assessg rsk from tellget attacks: A perspectve o approaches. Relablty Egeeerg ad System Safety 95 (010) 478-483. [5] Mark G. Stewart, Mchael D. Netherto: Securty rsks ad probablty rsk assessmet of glazg subjects to explosve blast loadg. Relablty Egeeerg ad System Safety 93 (008) 67-638. [6] Davd B. Chag, Carl S. Youg: Probablstc Estmates of Vulerblty to Explosve Overpressures ad Impulses. Joural of phscal securty. 4(), (010) pp. 10-9 [7] Réy Alfréd: Valószíűségszámítás. Taköyvkadó. Budapest, 1981. ISBN: 963 17 5931 8 [8] Wllam Feller: Bevezetés a valószíűségszámításba és alkalmazásaba. Műszak Köyvkadó. Budapest. 1978. ISBN: 963 10 070 3 85
[9] Jáossy Lajos: A valószíűségelmélet alapja és éháy alkalmazása: Taköyvkadó. Budapest. 1965 [10] Dekger Géza: Valószíűségszámítás. Taköyvkadó. Budapest. 1989. ISBN: 963 18 155 8 [11] Stoya Gsbert: Numerkus matematka. Typotex. Budapest. 007. ISBN: 978 963 9664 41 8 86