Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük kontúrjai ellipszisek Példa: Gass, t Azonos típsú elliptiks eloszlások konolúciója ismét gyanolyan típsú elliptiks eloszlás Az elliptiks koplákra teljesül a radiális szimmetria: C(, ) = + 1 + C(1, 1 ) Éppen ez az, ami tipiksan nem áll fenn a portfóliók hozamára (a kigró eszteségek tipiksan nagyobbak a kigró nyereségeknél) Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 1 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 2 / 1 Elliptiksság tesztelése Arkhimédeszi koplák Standardizálás tán gömbszimmetriks kell, hogy legyen az eredmény R = Y és S = Y / Y függetlenek, S egyenletes eloszlású Példál χ 2 próba alkalmazható A kopla generátor függénnyel adhatók meg: ϕ() : [, 1] [, ], folytonos és szigorúan monoton csökkenő, φ(1) =. Ebből a d-dimenziós Arkhimédeszi kopla ( d ) C ϕ () = φ 1 ϕ( i ). Egyszerű a konstrkciójk, de an hátrányk is: csak egy (agy néhány) paraméterük an. Az összes s < d dimenziós peremeloszlásk azonos Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 3 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 4 / 1
Példák Tlajdonságok A Gmbel kopla (logisztiks modell) generátora: ϕ θ () = [ ln()] θ, ahol θ [1, + ). Tehát a d-dimenziós Gmbel-kopla C Gmbel () = e ( d log( i ) θ ) 1θ. Egy C kopla extrém-érték kopla, ha i C( t 1,..., t d ) = Ct ( 1,..., d ) minden t >. Ez megfelel a többdimenziós extrém-érték eloszlásoknak. Ezek közül a Gmbel kopla az egyetlen Arkhimédeszi kopla. A Clayton kopla generátora ϕ θ () = θ 1, ahol θ >. Tehát a d-dimenziós Clayton kopla: ( d ) 1 C Clayton () = θ θ i d + 1. Az azonosításhoz nagy mintaelemszám szükséges (különösen 2-nél magasabb dimenzióban) Nagyon gyenge és nagyon erős összefüggőségnél nem lényeges a kopla típsa Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 5 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 6 / 1 Koplák összehasonlítása Extremális összefüggőség Gmbel copla Gassian copla Clayton copla (Flipped) Stdent t copla Koplákra: C t (, ) = P(U < F 1 t (), V < F 1 t () U < t, V < t) ahol F t () := P(U < U < t, V < t) a feltételes eloszlásfüggény A határeloszlás differenciálható generátorú Arkhimédeszi koplákra: xy, ϕ R lim C t (, ) = C t Clayton,α (, ), ϕ R α min(x, y) ϕ R Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 7 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 8 / 1
Koplák összefüggőségi indexei Koplák összefüggőségi indexei χ = lim 1 P{X 2 > F 1 2 () X 1 > F 1 1 ()}, Kantilisfüggő áltozat: ( log P{X1 > F 1 1 χ() = 2 (), X 2 > F 1 2 ()} ) log P{X 1 > F 1 1 ()}, 1. E(X EX)(Y EY ) Lineáris korreláció: R(X, Y ) = D(X)D(Y ) hátrányai: érzékeny a kigró értékekre áltozik, ha transzformáljk a marginálisokat Alternatíák: Kendall-τ: τ(x, Y ) = P [(X X)(Y ] Ỹ ) > P [(X X)(Y ] Ỹ ) <. Spearman-ρ: ( [ ] [ ]) ρ(x, Y ) = 3 P (X X)(Y Y ) > P (X X)(Y Y ) <. ahol (X, Y ), ( X, Ỹ ), (X, Y ) független, azonos eloszlásúak. Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 9 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 1 / 1 Tlajdonságok Toábbi tlajdonságok Ezek úgyneezett rangkorrelációk (csak az értékek sorrendje érdekes) Nem érzékenyek a kigró értékekre Kiszámításk a kopláal τ(x, Y ) = 4 ρ(x, Y ) = 12 1 1 1 1 C(, )dc(, ) 1 [C(, ) ] dd. Mindkettő inariáns a monoton transzformációkra. Legyen κ = ρ agy κ = τ. Ekkor 1 κ 1; κ X,X = 1, κ X, X = 1. Ha X és Y független, akkor κ X,Y =. κ X, Y =κ X,Y =-κ X,Y. Az egyes koplákra adódó összefüggőségi mérőszámok függnek a paramétertől, így becslésükből egyúttal a kopla becslése is megkapható. Példál a Gmbel koplára τ = 1 1/β. Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 11 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 12 / 1
Alkalmazások Illeszkedésizsgálat A Gass koplára a páronkénti korrelációkra R ij = sin ( πτ(x i, X j )/2 ) ) Lényeges a álasztás a különböző kopla-típsok között (pl. a farok-összefüggőség segítségéel, illete elméleti meggondolások alapján). Tapasztalati tény, hogy pl. a pénzügyi portfólióknál gyakran minden egyes elem extrém értékű (tőzsdekrach) azaz itt árhatóan fellép a farok-összefüggőség. A különböző modellekből nagyon nagy különbségek adódhatnak a alószínűségbecslésre. A számításigény csökkentéséhez a dimenziószámot is csökkenteni kell. A K -függény: K (ϑ, t) = P(F(X < t) = P (C ϑ (F 1 (X 1 ),..., F d (X d )) < t) Arkhimédeszi koplákra a kiszámítása ahol d 1 ( 1) j K (ϑ, t) = t + i! [ ϕ ϑ (t) j] f i (ϑ, t) f (ϑ, t) = d dx ϕ ϑ(x) x=ϕϑ (t). Ha nincs zárt alakja, szimlálni akkor is lehet Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 13 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 14 / 1 A K függényen alapló teszt A teszt Empiriks erzió: K n (t) = 1 n χ(e n < t) t [, 1] n ahol E n = 1 n χ ( ) U j,1 < U i,1,..., U j,d < U i,d n Kendall folyamat κ n (t) = n (K (ϑ n, t) K n (t)). Cramér-on Mises típsú statisztika: Formális tesztet is kaphatnk az S n statisztikából (ha nagy, eltasítjk az illeszkedést). Az aszimptotiks eloszlását csak ismert kopla esetén lehet kiszámítani. Azokban a realisztiks esetekben, ahol C-t becsüljük, szimlációal kaphatjk meg a kritiks értékeket S n = ahol Φ a súlyfüggény 1 (κ n (t)) 2 Φ(t)dt Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 15 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 16 / 1
Koplák összehasonlítása Rosenblatt-transzformáció Egy másik módszer: Breyman-teszt (Breymann et al, Berg & Bakken) a Rosenblatt transzformáción alapl R : (, 1) d (, 1) d ahol e 1 = 1 és i 2-re R() = (e 1,..., e d ), e i = i 1 C( 1,..., i, 1, 1,...1) 1... i 1 / i 1 C( 1,..., i 1, 1, 1,...1) 1... i 1. Tlajdonsága: U eloszlása pontosan akkor a C kopla, ha R(U) a független kopla. Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 17 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 18 / 1 Breymann-teszt: függetlenségizsgálat Hiatkozások Y B = d Φ 1 (E i ) 2 éppen chi-négyzet eloszlású, d szabadságfokkal. Ha ezt a saját eloszlásfüggényébe helyettesítjük, egyenletes eloszlást kapnk. Ezt tesztelhetjük példál az Anderson-Darling próbáal. Berg és Bakken toábbfejlesztette a módszert, konzisztenssé tée azt. Berg, D. (29) Copla Goodness-of-fit testing: An oeriew and power comparison. Berg, D. and Bakken, H. (26) Copla Goodness-of-fit Tests: A Comparatie Stdy. Nelsen, R.B. (26) An Introdction to Coplas. 2nd ed. John Wiley & Sons. Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 19 / 1 Zempléni András (ELTE) 7. előadás, 215. márcis 25. Áringadozások előadás 2 / 1