Horváth Roland. CDO-árazás: egyfaktoros kopulamodellek és sztochasztikus korreláció

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Horváth Roland CDO-árazás: egyfaktoros kopulamodellek és sztochasztikus korreláció BSc Szakdolgozat Témavezető: Backhausz Ágnes Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest, 2013. december

Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni konzulensemnek, Backhausz Ágnesnek a téma feldolgozása során nyújtott segítséget. Iránymutatásaival és vázlataim legaprólékosabb áttekintésével segítette dolgozatom elkészülését. Köszönettel tartozom még csoporttársaimnak, akik inspiráló, baráti közeget biztosítottak a képzés évei alatt. 2

Tartalomjegyzék Bevezetés 6 1. A CDO-k bemutatása 7 1.1. Kapcsolódó hitelderivatívák.............................. 7 1.1.1. CDS....................................... 7 1.1.2. CDO....................................... 8 1.1.3. Szintetikus CDO és indexek.......................... 9 1.2. Az árazás elvi alapjai.................................. 11 1.3. CDO-k fair prémiuma................................. 12 2. CDO-árazás a Gauss-kopulával 15 2.1. Li keretmodellje..................................... 15 2.1.1. Túlélésanalízis................................. 15 2.1.2. A kopula.................................... 17 2.1.3. "The Formula That Killed Wall Street"................... 19 2.2. Az egyfaktoros Gauss-kopula modell......................... 21 2.2.1. Egyfaktoros modellezés............................ 21 2.2.2. LHP-közelítés.................................. 24 3. A standard modell néhány kiterjesztése 27 3.1. A korrelációmosoly................................... 27 3.2. Kiterjesztések...................................... 29 3.2.1. Sztochasztikus korreláció............................ 29 3.2.2. Normális inverz Gauss-eloszlás az egyfaktoros modellben.......... 33 3.2.3. Egyfaktoros sztochasztikus kopulamodell NIG-eloszlással.......... 36 3.2.4. További megközelítések............................ 38 3.3. A modellek összehasonlítása.............................. 39 3

Összefoglalás 43 Irodalomjegyzék 44 4

Ábrák jegyzéke 1.1. A CDS struktúrája................................... 8 1.2. A first-to-default derivatíva működése........................ 8 1.3. A CDO alapvető struktúrája............................. 9 3.1. Korrelációmosoly.................................... 28 3.2. Standard normális és NIG-eloszlások sűrűségfüggvényei............... 34 3.3. Standard normális és NIG-eloszlások farokviselkedése................ 34 3.4. Az egyfaktoros Gauss-kopula modell kumulált portfólióveszteség-függvénye.... 40 3.5. Az egyfaktoros Gauss-kopula modell és néhány sztochasztikus modell kumulált portfólióveszteség-függvénye.............................. 41 3.6. Több modell kumulált veszteségfüggvénye...................... 41 3.7. Fair prémiumok a különböző modellekből számítva................. 42 5

Bevezetés A valószínűségszámítás alkalmazásai közül legérdekesebbek a pénzügyi árazások. Képzeljük el, hogy szeretnénk befektetni egy portfólióba, amely kockázattal bíró termékekből áll. Minden ilyen termék a jövőre nézve valamilyen sztochasztikus változótól függően becsődölhet. Vajon hogyan kezelhetnénk ezen kockázatok közös viselkedését, ha azok egymással összefüggnek? Ha pedig le tudjuk írni matematikailag ezt a folyamatot, hogyan számíthatunk ki egy számunkra megfelelő árat, amennyiért a portfóliót már megéri megvenni? A 2007-ben kirobbant pénzügyi világválság sokat hallatott kiváltó oka a nem megfelelő hitelkockázat-kezelés volt. Vagyis a fenti kérdésekre adott matematikai válaszok a valóságnak nem teljesen jól feleltek meg. Az elméleti modellek ugyanis szükségszerűen tesznek túl erős megszorításokat is. A gyakorlat teszi lehetővé, hogy ezen modelleket továbbfejlesszük, valóságközelibbé tegyük. Hitelkockázatok kapcsán az egyik legfontosabb termék a szintetikus CDO, mely dolgozatom tárgya lesz. Megalkotása óta az elmúlt két évtized legdinamikusabban növő és fejlődő pénzügyi piacát jelentette egészen a válságig. Ennek is köszönhető, hogy 2009 februárjában Felix Salmon amerikai újságíró a Wall Street-et megölő formulának ("The Formula That Killed Wall Street") nevezte az akkor szinte mindenki által használt árazóformulát, mely mögött igen erős valószínűségelméleti feltételek álltak. Dolgozatom első részében szeretném bemutatni, mi is pontosan a szintetikus CDO, hogyan működik piaca. A 2. fejezetben egészen az alapoktól ismertetem a végül piaci standarddá váló egyfaktoros Gauss-kopula modellt. Ezt követően a modell hiányosságainak javítását célzó néhány kiterjesztéssel foglalkozom. Végül a bemutatott modelleket Matlab programban készített ábrák segítségével hasonlítom össze. 6

1. fejezet A CDO-k bemutatása Dolgozatom legelején először magát a szóban forgó pénzügyi terméket mutatom be. A CDO megértéséhez elengedhetetlen néhány más kapcsolódó hitelderivatívát megismerni. Ezek felépítését és működését ábrák és példa segítségével is illusztrálom, felhasználva a [8], a [11], a [16], a [17] és a [32] cikkeket. A tárgyalt pénzügyi termékek még mélyrehatóbb megismeréséhez John C. Hull könyvét ([18]) ajánlom. 1.1. Kapcsolódó hitelderivatívák Az úgynevezett hitelderivatívák lényegében olyan értékpapírok, melyeket kockázattal bíró mögöttes pénzügyi termékekből származtatnak. Létrehozásának fő motivációi a hitelkockázatok szétdarabolásával és átcsomagolásával járó előnyök, ily módon ugyanis a pénzügyi cégeknek lehetőségük van dinamikusan kezelni kockázati kitettségüket. Ennek gyakorlati megvalósítása azonban egészen az 1990-es évekig váratott magára. Főként kereskedelmi bankok hoztak létre ilyen termékeket, beruházásaik fedezésére és tőkésítési szükségleteik kielégítésére. 1.1.1. CDS Az egyik legegyszerűbb hitelderivatíva az ún. CDS (single-name credit default swap). Ez lényegében egy biztosítás, melyet tehát egy mögöttes termékre, ún. referenciatermékre (pl. állampapír, kötvény, részvény) köt a védelem eladója (protection seller) és vevője (protection buyer). A vevő a termék névértékének bizonyos részét (CDS spread) fizeti rendszeres időközönként (általában negyedévente) az eladónak egészen a mögöttes termék csődjéig más néven a hiteleseményig vagy a lejáratig. Cserébe az eladó csőd esetén a névérték egy bizonyos megtérüléssel (recovery) csökkentett részét fizeti ki. Ezt a működési mechanizmust szemlélteti az alábbi 1.1. ábra: 7

1.1. ábra. A CDS struktúrája 1.1.2. CDO A CDO (collateralized debt obligation) lényegi eltérése a CDS-től, hogy ez több mögöttes termékre (referenciatermékre) kötött biztosítás. Struktúrájában tehát ez egy portfólió, melynek készpénzáramlása (cash flow) az egyes termékek készpénzáramlásaihoz kötődik. Mint később látni fogjuk, matematikai szempontból érdekességét az adja, hogy az egyes termékek csődjei általában nem függetlenek a szakirodalom korrelációs termékeknek is nevezi őket. A CDO működésének megértéséhez tekintsünk először egy egyszerűbb terméket, az első csődig tartó (first-to-default) derivatívát. Ez is egy származtatott portfólió, itt hiteleseményről az első referenciatermék becsődölésénél beszélünk, ahogy azt az 1.2. ábra szemlélteti. Hasonlóan definiálható az nth-to-default derivatíva, ahol tehát csak az n-edik referenciatermék fizetésképtelensége esetén fizet az eladó. 1.2. ábra. A first-to-default derivatíva működése A CDO ennél egy kicsit bonyolultabb termék. Létrehozásához a kibocsátó hitelintézet először egy ún. SPV-t (special purpose vehicle) hoz létre, mely egy, a kapcsolódó pénzáramlások lebonyolítását végző cég. Ez lényegében csak egy technikai lépés, hogy ez a cég a kibocsátótól független jogi személyként legyen kezelhető. A kibocsátás első lépéseként a hitelintézet eladja a 8

hitelportfóliót az SPV-nek, mely ezt a portfóliót sávokra (tranche) darabolja. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy a portfóliót tulajdonosa ne az egyes résztermékek szerint külön-külön biztosítsa, hanem azokat összegyűjtve a sávokra bontással diverzifikálja a kockázatokat. Adott CDO-tranche esetén akkor beszélünk hiteleseményről, ha a referenciatermékek közül már annyi becsődölt, hogy azok névértékének százalékos aránya a portfólión belül elérte az adott tranche alsó határát. Onnantól a kifizetések a becsődölt termékektől redukált névérték után történnek továbbra is a megtérüléssel csökkentett ráta szerint egészen a következő csődig vagy lejáratig. A legáltalánosabb sávozásnál equity, mezzanine és senior tranche-ekre darabolják a CDO-t, melyek a veszteségeket meghatározott sorrendben fogják fel: az equity sáv a veszteségek 0 10%-át (vagyis az első csődöket), a mezzanine 10 30%-át, míg a senior 30 100%-át. Mint arról még lesz szó, létezik más standard felosztás is. Az SPV az egyes tranche-ekhez keres befektetőket, akik vállalják az ehhez kapcsolódó hitelkockázatot, cserébe az SPV prémiumot (premium) fizet nekik a referenciatermékek hozamából. Ez esetben tehát az SPV cég a vevő, míg a befektetők vannak az eladó szerepében. 1 A prémium szokásos mértékegysége a bázispont (basis points - bps), amely az egy évre vetített prémium értékének százalékos formáját még 100-zal szorozza. A fent leírt működést az alábbi ábra szemlélteti: 1.3. ábra. A CDO alapvető struktúrája A CDO-k tulajdonképpen csak 1997-től váltak általánosan ismertté a globális pénzügyi szereplők között. A vezető szerepet a piac kiépítésében és az elméleti modellalkotásban csakúgy, mint napjainkban is a J.P. Morgan és a Morgan Stanley töltötték be. 1.1.3. Szintetikus CDO és indexek A CDO-k robbanásszerű népszerűsége a 2000-es évek elején kezdődött, amikor megalkották az ún. szintetikus CDO-kat (synthetic CDO) illetve ezekből a standardizált indexeket. A szintetikus 1 A kifejezés abból jegyezhető meg könnyen, hogy az angol szakirodalomban a csődvédelem (protection) vevőjeként és eladójaként említik. 9

CDO lényege, hogy az nem az SPV által közvetlenül tulajdonolt termékekből áll (pl. kötvény, jelzálog) ilyen a másik típus, az ún. cash CDO, hanem CDS-ekből. Ezáltal a befektetési bank és az ügyfél között közvetlenül jöhet létre szerződés, ez pedig a termék ugrásszerű elterjedését eredményezte. A további népszerűsödést a standardizált indexek megalkotása jelentette. Ezek lényegében olyan szintetikus CDO-k, melyek CDS-ei mindenki által ismert, likvid nagyvállalatokhoz kapcsolódnak. A legismertebb ilyenek az itraxx indexek, melyek közül a DJ itraxx Europe 125 európai vállalat CDS-ét foglalja magában egyenlő súlyozással. Ezek a szerződések 3, 5, 7 és 10 éves lejárattal köthetők, kibocsátani pedig 6 havonta szokták őket, a becsődölt vállalatok helyére újakat véve. Lássunk erre a szintetikus CDO-ra egy számpéldát forrása: [17], mellyel maga a működés és a pénzáramlás is világossá válik: 1.1.1. Példa. A DJ itraxx Europe sávozása az alábbi táblázatból olvasható le: 1.1. táblázat: A DJ itraxx Europe sávozása Referenciaportfólió Tranche megnevezése Tranche határai Super senior 22-100 % Super senior (junior) 12-22 % 125 vállalat likvid CDS-eit Senior 9-12 % tartalmazó portfólió Mezzanine (senior) 6-9 % Mezzanine (junior) 3-6 % Equity 0-3 % Valamelyest ez tehát részletesebb felbontás, mint a már említett általános sávozás. Az is szembetűnő ebből a felosztásból, hogy a csődesemények likvid eszközökről lévén szó nem túl gyakoriak, ezért az alsó sávok elég vékonyak, míg a Super senior az összes olyan kockázatot magán viseli, mely a 22%-ot meghaladó csődarányból származik. A számpéldához az egyszerűség kedvéért tekintsünk el a megtérülési rátától, az csak egy konstanssal való szorzás lenne. Tegyük fel, hogy 1 millió eurót fektetünk a Mezzanine (junior) tranche-be, vagyis mi vagyunk a védelem eladói. Legyen a jelenleg a piacon kereskedett ár 300 bázispont, de ismét az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy ez már negyedéves prémium (egész évre vetítve szokás megadni). Ekkor amíg nem következik be csőd, 1 millió euró 300 bázispont = 30000 eurót kapunk negyedévenként. Egy CDS becsődölése az egyenlő súlyozás miatt a portfólió teljes névértékének 10

1 125 = 0, 8%-át jelenti. Ezért egészen addig, amíg legalább 4 csődesemény be nem következik (4 0, 8% = 3, 2% > 3%), ezt a 30000 eurót kapjuk negyedévente. Tegyük fel, hogy két kifizetési időpont között a becsődölt CDS-ek száma átlépi ezt a határt, például a következő negyedéves fizetésig összesen 6 hitelesemény történt. A veszteség mértéke így 6 125 = 4, 8%, vagyis valóban elérték a mi sávunkat, melynek határai 3% és 6% voltak. Ekkor már fizetnünk kell az SPV-nek, méghozzá a teljes befektetésünk 4,8 3 6 3 = 60%-át, tehát 600 ezer eurót. Innentől a redukált névérték, vagyis 400 ezer euró után kapjuk a 300 bázispont kamatot, azaz negyedévente 12000 eurót, a következő hiteleseményig vagy a lejáratig. Ebben a szakaszban tehát bemutattam, hogyan működik egy szintetikus CDO. A kulcskérdés, hogy egy tranche ára vagyis a prémium miként határozódik meg, és ezt hogyan lehetne a legjobban modellezni. Ugyanis, mint látni fogjuk, a csődesemények mint sztochasztikus folyamatok kezelésére nem egyszerű hatékonyan működő modellt találni, amivel a hitelkockázatok nyújtotta bizonytalanságot matematikailag is kezelni lehetne. Mielőtt rátérnék a CDO-k árazási modelljeire, ismertetem a pénzügyi matematika szokásos feltevéseit termékek árazása esetén. Ezek az egész pénzügyi világ által évtizedek óta elfogadott elvek, melyek lehetővé teszik a matematikai egzaktságot. A most következő 1.2. szakaszban Gyarmati és Medvegyev ([17]) illetve MacKenzie és Spears ([23]) munkái alapján a teljesség igénye nélkül bemutatom ezeket a pénzügyi elveket, az 1.3. részben pedig magát a CDO-árazást. 1.2. Az árazás elvi alapjai Egy nagyon fontos pénzügyi alapfogalom a jelenérték. Ha a jövőben várunk valamilyen kifizetéseket, tehát egy készpénzáramlást, akkor azok a fizetett értékek természetesen ma nem feltétlen ugyanannyit érnek, mint a jövőben fognak. Gondoljunk például inflációra vagy alternatív befektetési lehetőség elmulasztására. Ezért utóbbi kamatértékeket (diszkontfaktorokat) használva kell kiszámítani a jelenre vetített értékeit ezeknek a kifizetéseknek. A jelenérték kiszámítását diszkontálásnak nevezzük. Egy pénzügyi termék árazásának szokásos elve a következő. A prémiumot úgy kell meghatározni, hogy a vevő és az eladó jelenre diszkontált várható készpénzáramlásai megegyezzenek, vagyis az üzlet nettó jelenértéke nulla legyen. Ezáltal nem lehetséges arbitrázs, vagyis nem lehet kockázatmentesen biztos pozitív profitra szert tenni. Azért számolunk várható készpénzáramlásokkal, mert a jövőbeli kifizetések bizonytalanok a meglévő kockázatok miatt. Így a kulcskérdés, hogy milyen diszkontfaktort és milyen mérték szerint számolt várható értéket használunk. Az irodalomban szokásos módon diszkontfaktornak a kockázatsemleges kamatlábat tekintjük ez egy olyan alternatív befektetési lehetőség, mikor ezt 11

a kamatot kockázat vállalása nélkül megkapjuk. A továbbiakban tehát ez egy konstanssal való szorzást fog jelenteni. Így a kifizetés bizonytalanságát teljes egészében a várható érték hordozza. Jelölje P azt a mértéket, ami szerint az említett várható értékeket számoljuk a továbbiakban kockázatsemleges mértéknek nevezzük. Az eszközárazás első alaptétele szerint 2 ez akkor és csak akkor létezik, ha a piac arbitrázsmentes. Feltevésünk pont ez utóbbi volt, más kérdés, hogy a valóság is tényleg ilyen-e, de pénzügyi modellezésnél ennél jobb feltételt nehezen találhatnánk. Ez a P mérték viszont nem feltétlen egyértelmű, így az eszközárazás második alaptétele 2 miatt a CDO-piac nem teljes. Ez azt jelenti, hogy az árazásnál figyelembe kell vennünk a fogyasztók kockázati preferenciáit, hiszen azok nem feltétlenül egységesek. A hatékony piacok elve szerint a piaci árak már tartalmazzák az összes ilyen információt, így az a modellezési módszer, hogy megfigyelt piaci árak alapján határozzuk meg a szóban forgó mértéket, helyesnek bizonyul. Látni fogjuk, hogy az általam bemutatott modellek is ezen elv mentén épülnek fel. Fontos még megjegyezni, hogy a két fél (eladó és vevő) készpénzáramlásának várható értékénél ugyanazt a kockázatsemleges P mértéket használjuk. Ez lényegében azt a közgazdasági elvet foglalja magában, hogy az egyensúlyi árat a CDO-piacon is a kereslet és a kínálat határozza meg. Amikor a piac segítségével megvalósul az adás-vétel, lényegében a mértékben is megegyezik a két fél. 1.3. CDO-k fair prémiuma Az árazás alapelvei után tekintsük át az árazás elméletét. Egy CDO-tranche árán tehát a vevőtől az eladónak fizetett rendszeres prémium nagyságát értjük. Az előzőekben kifejtett elvek mentén ennek meghatározása már matematikailag korrekt módon is lehetséges. Bemutatását Eberlein, Frey és von Hammerstein ([8]) illetve Ferrarese ([12]) írásai alapján végzem. 1.3.1. Definíció. (Kumulált portfólióveszteség-függvény) Legyen a portfólióban szereplő referenciatermékek száma N. Ezek névértékének aránya az egész portfólió névértékéhez legyen rendre A i, megtérülési rátája pedig R i (i = 1,..., N). Jelölje χ A az A halmaz karakterisztikus függvényét. Továbbá legyen τ i az i-edik referenciatermék csődjének ideje. Ekkor a kumulált portfólióveszteség-függvény ( cumulative portfolio loss): L(t) = N (1 R i )A i χ {τi t}. (1.1) i=1 Az L(t) függvény azt fejezi ki, hogy t időpontig a csődbement termékek névértékei megtérüléssel súlyozva milyen arányát teszik ki az egész portfóliónak. Az (1.1) képletből a χ {τi t} függvények írják le az egyes termékek csődviselkedését. A τ i változókra tekinthetünk úgy, mintha 2 További részletekért lásd: [25]. 12

azok véletlentől függő eseményeket írnának le, vagyis azok valójában valószínűségi változók. Vezessük be a következő jelölést: θ(t) = N χ {τi t}. (1.2) i=1 A θ(t) függvény egy csődönként ugró folyamat, mely az idő függvényében megadja a becsődölt referenciatermékek számát. Mint később látni fogjuk, az eloszlásfüggvényére lesz szükségünk, ami a termékek együttes csődeloszlását írja le, vagyis az tartalmazza az együttes viselkedést. Az is ki fog derülni, hogy a probléma kulcsa az, hogy ennek felírására nincs egyértelmű módszer, ezért minél jobb modelleket kell alkotnunk. Az általunk vizsgált szintetikus CDO-ban az egyes referenciatermékek egyenlő súlyozással szerepelnek (lásd az 1.1.3. alfejezetben), továbbá egyenlő megtérülési rátát szokás feltételezni, általában R i = R = 0.4. Ekkor (1.1) és (1.2) alapján a CDO kumulált veszteségfüggvénye: L(t) = 1 (1 R)θ(t). (1.3) N A szintetikus CDO árazásánál az egyes tranche-ekre külön-külön prémiumokat határozunk meg. Ezért a fentiek segítségével definiáljuk az i-edik tranche 3 adott időpontig bekövetkező veszteségét: 1.3.2. Definíció. (Az i-edik tranche veszteségfüggvénye) Jelölje az i-edik tranche határait K i 1 és K i. Ezek a határok 0 = K 0 < K 1 < < K m = 1, ha m sávot tételezünk fel. Ekkor az i-edik tranche-et t időpontig érő veszteség: L i (t) = max {min [L(t), K i ] K i 1, 0}. Az árazás alapelveit követve arbitrázsmentes prémiumot feltételezünk, ezt nevezzük a CDO fair prémiumának (fair premium). Ez tehát egy olyan elméleti ár, melyben azonos jövőbeli feltételezések mellett az eladó és a vevő meg fog egyezni. A továbbiakban W i -vel fogom jelölni az i-edik tranche prémiumát, míg a fair prémium esetén a Wi jelöléssel élek. Utóbbi meghatározásához egyszerűen egyenlővé kell tennünk az eladó és a vevő cash flowjának várható értékét, hiszen kumulált várható készpénzáramlásaiknak meg kell egyezniük az arbitrázslehetőség kizárásához, ahogy azt az előző szakaszban bemutattam. Tekintsük először a védelem eladóját, vagyis aki rendszeresen megkapja ezt a prémiumösszeget a lejáratig vagy amíg elég csőd be nem következik. Ezt a pénzáramlást a CDO cash flow prémium ágának nevezzük (premium leg PL): 1.3.3. Definíció. (CDO cash flow prémium ága) Legyen k a kifizetési időpontok száma, tehát ezek 0 = t 0 < t 1 < < t k = T, ahol 0-ban még nincs fizetés, T pedig a lejárat időpontja. 3 Kockázat szerint csökkenő sorrendben, tehát első a legelső csődöket felfogó sáv (equity), és így tovább. 13

Jelölje D(0, t) a diszkontfaktort 0 és t között, W i pedig az egy évre kalkulált prémiumot. A portfólió névértéke legyen V. Ekkor a CDO i-edik tranche-éhez tartozó prémium ág: P L i (W i ) = k j=1 ( D(0, t j )(t j t j 1 )W i 1 L ) i(t j ) V, K i K i 1 ahol a negyedévenkénti fizetés miatt t j t j 1 = 0, 25 minden j esetén. Jól látszik, hogy a fizetett prémium idővel nem nő, ha pedig a portfólióveszteség (L(t)) eléri az i-edik tranche felső határát (K i ), akkor már nem fog több kifizetés történni, tehát tényleg vagy lejáratig vagy elég csődeseményig tart a fizetés. A másik oldalról az eladó (befektető) által a vevőnek (SPV) csőd esetén történő kifizetéseiből álló készpénzáramlást a CDO csőd ágának (default leg DL) nevezzük: 1.3.4. Definíció. (CDO cash flow csőd ága) Továbbra is diszkrét időt feltételezve vagyis csőd esetén az azt követő legközelebbi t j időpontban történik a kifizetés a CDO i-edik trancheének csőd ága: DL i = k j=1 D(0, t j ) L i(t j ) L i (t j 1 ) K i K i 1 V. A Wi fair prémium kiszámításához tehát egyenlővé kell tennünk a CDO cash flow prémium és csőd ágának várható értékeit: amiből elemi algebrai átalakításokkal W i = E[P L i (W i )] = E[DL i ], k D(0, t j )E[L i (t j ) L i (t j 1 )] j=1. (1.4) k D(0, t j )(t j t j 1 )E[(K i K i 1 ) L i (t j )] j=1 A (1.4) képlet már egy nagyon tömör felírása a fair prémium kiszámításának. A probléma az, hogy a benne szereplő veszteségfüggvények várható értékeit nem ismerjük. A teljesen precíz megoldáshoz az együttes eloszlásfüggvényre lenne szükségünk, illetve ahogy arról még lesz szó, használhatunk Monte Carlo-szimulációt is. Előbbi meghatározásához hiába ismernénk az egyes referenciatermékek csődeloszlásait, az együttes eloszlásfüggvény ezekből nem határozható meg egyértelműen. Ezért minél jobb, a szintetikus CDO-piacon hatékonyan alkalmazható modelleket kell alkotni ennek megoldására. Ezekkel foglalkozom dolgozatom hátralévő részében. 14

2. fejezet CDO-árazás a Gauss-kopulával 2.1. Li keretmodellje Az egymással összefüggő sztochasztikus események modellezése matematikai szempontból egy igen érdekes problémakör. Egy szintetikus CDO esetében is hasonló a feladat: az ezt alkotó CDSek csődeloszlásait kellene valamiképpen együttesen kezelni. David X. Li újító gondolata volt az, hogy az aktuáriusi irodalomban használt fogalmak átültethetők a pénzügyi árazás világába. A következőkben bemutatom 2000-ben publikált cikke ([21]) alapján a biztosítási matematikából átvett alapfogalmakat és eredményeket, illetve a megalkotott modellt. 2.1.1. Túlélésanalízis A biztosításban a túlélésanalízis egy alapeszköz, melyet Li emberi életek modellezése helyett pénzügyi termékek túlélésére, vagyis csődig eltelt idejére használ fel. Tekintsünk tehát csődkockázattal rendelkező pénzügyi termékeket (például CDS-eket). A csődig eltelt időt vagy más néven túlélési időt (time-until-default) az A termék esetén jelöljük τ A -val, amely láthatóan megegyezik az 1.3. részben bevezetett csődváltozóval. Ez egy folytonos valószínűségi változó, mellyel megadható a mától a csőd bekövetkeztéig eltelt idő hossza. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban jelöljük ezt csak τ-val. A τ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét 1 jelölje F : F (t) = P (τ t), ha t 0. Segítségével definiáljuk az ún. túlélési függvényt (survival function): S(t) = 1 F (t) = P (τ > t), ha t 0. 1 A dolgozatban végig az eloszlásfüggvény F X(t) = P (X t) definícióját használjuk, nem pedig a magyar szakirodalomban meghonosodott P (X < t) felírást. Az ebből adódó különbségnek (jobbról illetve balról folytonosság) nincs jelentősége az általunk használt eszközökben, ezért a felhasznált angol szakirodalmak definícióját követjük. 15

A túlélési függvény megadja, hogy az adott termék milyen valószínűséggel éli túl a t időpontot. Feltesszük, hogy F (0) = 0 így S(0) = 1, vagyis kiindulásnál (ma) még nincs csődállapotban a termék. A τ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét is felírhatjuk, ha az létezik: f(t) = F (t) = lim 0+ Utóbbi egyenlőség a deriválás definíciójából adódik. P (t < τ t + ). (2.1) Az F (t) eloszlásfüggvény és az S(t) túlélési függvény tehát két ekvivalens mód a túlélési idő mint valószínűségi változó eloszlásának felírására. Egy harmadik módszer, melyet a statisztikában igen sokszor használnak, az ún. hazárdrátafüggvény (hazard rate function). Ezzel kifejezhető az azonnali csődvalószínűség, ha a termék élettartama már elért egy x időpontot. Tekintsük ehhez a következő közelítést, felhasználva a feltételes valószínűség illetve a sűrűségfüggvény (2.1) definícióját: F (x + x) F (x) P (x < τ x + x τ > x) = 1 F (x) A következő függvényt fogjuk hazárdrátafüggvénynek nevezni: h(x) = f(x) 1 F (x). Könnyen látszik, hogy ez a következő alakkal ekvivalens: Ebből: h(x) = S (x) S(x). { t S(t) = exp 0 } h(s)ds. f(x) x 1 F (x). A pénzügyi gyakorlatban a hazárdrátafüggvényt szakaszonként konstansnak szokás feltételezni. CDS-ek esetén ezeket csődintenzitás-függvényeknek is nevezik, a továbbiakban ezt λ i (t)- vel jelöljük az i-edik terméknél. Mivel ezen függvények meghatározására nincs egyértelműen jó módszer, számos irodalom létezik a problémakörben. Dolgozatomnak nem célja ezek bemutatása. Egy sokat használt megoldás az [1] cikkben található metódus, mely bootstrap módszert alkalmazva számolja ki az első szakaszt (λ 1 i ) CDS spread adatok alapján, míg a következőket Newton Raphson-iterációval. Ha már ismerjük a csődintenzitás-függvényt, adódik az eloszlásfüggvény: ami tehát az i-edik CDS esetén: { t F (t) = 1 S(t) = 1 exp F i (t) = 1 exp { t 0 0 } h(s)ds, } λ i (s)ds. (2.2) 16

2.1.1. Megjegyzés. A gyakorlatban a csődintenzitás-függvényt sokszor végig konstansnak tekintik: λ i (t) = λ, melyet szokás hazárdrátának is nevezni. Ekkor (2.2) szerint az i-edik CDS csődig eltelt ideje λ paraméterű exponenciális eloszlást követ. 2.1.2. A kopula Ha már ismerjük minden CDS eloszlását, az egész CDO (vagy egy sávjának) csődviselkedéséhez az együttes eloszlásfüggvényre lenne szükségünk. Mint ismert, adott marginálisokra több együttes eloszlás illeszthető. A kopula (copula) függvény ezek közül ad egy megoldást. Kopulák ilyen jellegű alkalmazása szintén a biztosítási matematikában meghonosodott ötlet. 1996-ban publikálták a [13] cikket, melyben az ún. megtört szív szindrómán (broken heart syndrome) keresztül szemléltetik, hogy adott marginális eloszlásfüggvényekből a kopulák milyen módon állítanak elő együttes eloszlást. A kopula fogalmát 1959-ben alkototta meg Abe Sklar matematikus, eredményeit Durante és Sempi ([7]), illetve Verschuere ([31]) alapján mutatom be. Legyen az (Ω, F, P) egy filtrált valószínűségi mező. A dolgozat további részeiben feltesszük, hogy a P mérték az 1.2. alfejezetben bemutatott kockázatsemleges tulajdonsággal bír. 2.1.2. Definíció. (d dimenziós kopula) Legyenek U 1, U 2,..., U d (d 2) a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók az (Ω, F, P) mezőn. Ekkor az ezekhez tartozó C : [0, 1] d [0, 1] d dimenziós kopula (röviden d-kopula): C(u 1, u 2,..., u d ) = P (U 1 u 1, U 2 u 2,..., U d u d ). Vagyis a kopulák egyenletes peremeloszlású többdimenziós eloszlásfüggvények. Azt, hogy nem csak egyenletes peremeloszlásokra illeszthető kopula, Sklar tétele biztosítja: 2.1.3. Tétel. (Sklar) Legyen F (x 1, x 2,..., x d ) egy d dimenziós eloszlásfüggvény, mely peremeloszlásai F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d ). Ekkor létezik olyan C kopula, melyre (x 1, x 2,..., x d ) R d esetén: F (x 1, x 2,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d )). (2.3) Továbbá, ha F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d ) folytonos eloszlásfüggvények, akkor C egyértelmű. Igaz a tétel megfordítása is: 2.1.4. Tétel. Ha C tetszőleges d-kopula és F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d ) egydimenziós eloszlásfüggvények, akkor a (2.3)-ben definiált F : R d [0, 1] függvény egy d dimenziós eloszlásfüggvény F 1, F 2,..., F d marginálisokkal. 17

Tehát adott d dimenziós F eloszlásfüggvényből származtatható egy C kopula (2.3) segítségével. Ha speciálisan az F i peremek folytonosak minden i {1, 2,..., d} esetén, akkor C a következő képlettel határozható meg: C(u 1, u 2,..., u d ) = F (F 1 1 (u 1 ), F 1 2 (u 2 ),..., F 1 d (u d)), (2.4) ahol Fi 1 az F i függvény pszeudo-inverzét jelöli, melyet Fi 1 (s) = inf {t F i (t) s} (t [0, 1]) formulával definiálunk. 2.1.5. Megjegyzés. A (2.4) képletből az is látszik, hogy a kopula egy valószínűségi változótranszformáció: az (X 1, X 2,..., X d )-t viszi át az (U 1, U 2,..., U d ) = (F 1 (X 1 ), F 2 (X 2 ),..., F d (X d )) valószínűségi változóba, mely utóbbi marginálisai a [0, 1] intervallumon egyenletesek, és magában foglalja a komponensek összefüggőségét is. Alkalmazni fogjuk a kopula következő fontos tulajdonságát: 2.1.6. Tétel. (A kopula invarianciája) Legyen X = (X 1, X 2,..., X d ) folytonos valószínűségi vektorváltozó az F együttes eloszlásfüggvénnyel és az így származtatható C X kopulával. Legyenek T = (T 1, T 2,..., T d ) szigorúan monoton növő függvények a megfelelő X i valószínűségi változók értékkészletén. Ekkor C T (X) = C X, vagyis szigorúan monoton növő transzformációra a kopula invariáns. Bizonyítás. Jelölje F 1, F 2,..., F d a megfelelő marginális eloszlásfüggvényeket, G 1, G 2,..., G d pedig a T 1 (X 1 ), T 2 (X 2 ),..., T d (X d ) valószínűségi változók eloszlásfüggvényeit. Mivel a T i függvények szigorúan monoton növők, létezik inverzük, így x i R esetén: Ezért: G i (x i ) = P (T i (X i ) x i ) = P (X i Ti 1 (x i )) = F i (Ti 1 (x i )). C T (X) (G 1 (x 1 ), G 2 (x 2 ),..., G d (x d )) = P (T 1 (X 1 ) x 1, T 2 (X 2 ) x 2,..., T d (X d ) x d ) = = P (X 1 T 1 1 (x 1 ), X 2 T 1 2 (x 2 ),..., X d T 1 d (x d)) = = C X (F 1 (T 1 1 (x 1 )), F 2 (T 1 2 (x 2 )),..., F d (T 1 d (x d))) = = C X (G 1 (x 1 ), G 2 (x 2 ),..., G d (x d )). (2.5) Mivel X 1,..., X d folytonos valószínűségi változók, minden G i eloszlásfüggvény értékkészlete a [0, 1] intervallum. Így (2.5)-ből következik, hogy [0, 1] d -n C T (X) = C X. 18

2.1.3. "The Formula That Killed Wall Street" Li ötlete tehát az volt, hogy a túlélésanalízis eszközeit és a kopulát alkalmazta a CDO-ban szereplő CDS-ek együttes csődvalószínűségének modellezésére. Munkájában az ún. Gauss-kopulát alkalmazta, bár a [21] cikkében megemlít más kopulákat is, melyek kevésbé egyszerűek és ismertek, így nem foglalkozott velük. Dolgozatomban ezekről még teszek kitekintést. A Li-modellhez hasonló ötletek már a CreditMetrics nevű szoftverben is megjelentek, melyet a J.P. Morgan fejlesztett ki 1996-ban ([14]), és Li is már itt dolgozva publikált. Tekintsük tehát át ezt a modellt. 2.1.7. Definíció. (Gauss-kopula) C G (x 1, x 2,..., x d ) = Φ Σ (Φ 1 (x 1 ), Φ 1 (x 2 ),..., Φ 1 (x d )), ahol Φ az egyváltozós standard normális eloszlásfüggvény, Φ Σ pedig annak a d dimenziós normális eloszlásnak az együttes eloszlásfüggvénye, melynek marginálisai standard normálisak és Σ a korrelációs mátrixa. 2 A fenti definíció érvényessége (2.4)-ből következik. Továbbra is jelölje F az N darab CDS együttes, míg F 1,..., F N a marginális eloszlásfüggvényeit utóbbiak szakaszonként konstans hazárdrátát feltételezve (2.2) alakban állnak elő. Ekkor Gauss-kopulát használva a (2.3) felírásban, az együttes csődvalószínűséget vagyis, hogy a CDO mind az N CDS-e csődbe megy adott t időpontig az alábbi képlettel írhatjuk fel: P(τ 1 t, τ 2 t,..., τ N t) = F (t,..., t) = = C G (F 1 (t), F 2 (t),... F N (t)) = = Φ Σ [Φ 1 (F 1 (t)), Φ 1 (F 2 (t)),..., Φ 1 (F N (t))]. 2.1.8. Megjegyzés. Ez a képlet híresült el a legutóbbi válság után úgy, mint a Wall Street-et megölő formula ("The Formula That Killed Wall Street", [23]). Mint látni fogjuk, a Li által alkotott konstrukció lényegében keretmodellként szolgált a CDO-árazásnál, a gyakorlatban egy másik megközelítés honosodott meg: az egyfaktoros Gauss-kopula modell. Természetesen ez utóbbi egyik alapötlete, miszerint Gauss-kopulát alkalmazunk a marginálisokból együttes eloszlás készítésére, Li nevéhez köthető, de a fenti újságírói szófordulat nyilván eltúlozza a valós piaci és modellalkotási történéseket. Fontos probléma, hogy a CDS-ek közti korreláció elméleti értéke milyen számolással határozható meg. Általában az alábbi három összefüggőségi koncepciót szokták alkalmazni, ahogy azt Li mellett többek közt Embrechts, Lindskog és McNeil ([10]) is bemutatja: 2 A Gauss-kopula elnevezés a felhasznált normális eloszlásból jön, melyet az angol szakirodalomban Gausseloszlásnak (Gaussian distribution) is neveznek. 19

a szokásos Pearsontól származó lineáris korrelációs együttható: ρ(τ i, τ j ) = Cov(τ i, τ j ) D 2 (τ i )D 2 (τ j ), a Spearman-féle ρ: illetve a Kendall-féle τ: ρ S (τ i, τ j ) = 12 C(u, v)dudv 3, [0,1] 2 τ(τ i, τ j ) = 4 C(u, v)dc(u, v) 1. [0,1] 2 Tekintsük most át, hogyan is alkalmazható az elméleti modell a CDO-tranche-ek árazására. Első lépésben ismernünk kellene egyrészt a hazárdrátákon keresztül a marginálisokat, másrészt a Σ korrelációs mátrixot. A hazárdráták meghatározásáról már ejtettem szót a 2.1.1. részben. A korrelációk kalibrálása ez esetben a fenti három értékkel lehetséges, utóbbi kettő nyilván könnyebben számolható, hiszen ott elég a kopulákat ismernünk. Ezt követően az együttes csődvalószínűség kiszámolásához kézenfekvő Monte Carlo-szimulációt alkalmazni. Leírása megtalálható többek közt Ferrarese [12] cikkében. Szükségünk lesz a következő állításra: 2.1.9. Állítás. Legyen X valószínűségi változó F eloszlásfüggvénnyel. Ekkor F (X) U(0, 1). Megfordítva, ha U egyenletes eloszlású a (0, 1) intervallumon, akkor F 1 (U) X, ahol F 1 továbbra is a pszeudo-inverzt jelöli. Bizonyítás. Használjuk ki, hogy F eloszlásfüggvény. Ekkor t [0, 1] esetén: P(F (X) t) = P(F 1 (F (X)) F 1 (t)) = P(X F 1 (t)) = F (F 1 (t)) = t, illetve P(F 1 (U) t) = P(U < F (t)) = F (t). A szimulációra a következő algoritmus adódik: 1. lépés: N darab független standard normális valószínűségi változó generálása: v = (v 1, v 2,..., v N ). 2. lépés: Σ korrelációs mátrixú valószínűségi változókká transzformálás. Például Choleskyfelbontást alkalmazva Σ = CC T -ből a keresett vektor: z = vc. 3. lépés: A z valószínűségi vektorváltozó egyenletes eloszlásúvá transzformálása, kihasználva a 2.1.9. állítást: u = (u 1, u 2,..., u N ) = (Φ(z 1 ), Φ(z 2 ),..., Φ(z N )). 20

4. lépés: Ismét a 2.1.9. állításból következik, hogy minden CDS esetén kapunk egy csődidőt: τ i = F 1 i (u i ) (i {1,..., N}). Ez most nem valószínűségi változó, hanem a szimulációs futás egy konkrét értéke. Ha τ i t, akkor az i-edik CDS ebben a futásban t időpontig csődbement. Ezek segítségével értékelhetjük az adott futásból adódó együttes eloszlást. A fenti lépéseket kellően sokszor megismételve kaphatjuk az együttes csődeloszlásfüggvény egy becslését. Ebből már adódik a kumulált portfólióveszteség-függvény várható értéke is, tehát a Monte Carlo-szimulációt elvégezve az 1.3. alfejezet lépéseit követve megkapjuk a becsült fair prémiumot. 2.2. Az egyfaktoros Gauss-kopula modell Az előbb bemutatott szimulációs eljárás legfőbb hátránya, hogy túl nagy futási idő is szükséges lehet hozzá, ha a referenciaportfólióban szereplő CDS-ek száma nagy. A CDO-piac túlnyomó többségét jelentő indexek is ilyenek például a DJ itraxx Europe 125 CDS-t tartalmaz, ami miatt a gyakorlatban már nem lehet hatékonyan alkalmazni az előbbi módszert. Ezzel szemben az ún. faktorokkal való modellezés már nem szorul szimulációra. Az alapötlet Oldrich Vasicektől származik ([29], [30]), két lényegi eleme a faktorokra bontás és az ún. nagy homogén portfólió közelítés 3 (large homogeneous portfolio approximation - LHP), melyeket a modell ismertetése során részletesen fogok tárgyalni. Bemutatását [8], [12], [22] és [32] alapján végzem. 2.2.1. Egyfaktoros modellezés 2001-ben többen egy időben 4 alkották meg azt a modellt, amely Li és Vasicek alapmodelljeiből ad egy olyan konstrukciót, melyet a szintetikus CDO-k árazásánál is hatékonyan lehet használni, szimulációs eljárás nélkül. A faktoros modellezés lényege a következő. Képzeljük el az i-edik CDS által reprezentált vállalat értékfolyamatát úgy, mint egy valószínűségi változó: X i. A továbbiakban nevezzük ezt állapotváltozónak. Minél kisebb értéket vesz fel, vagyis a vállalat értéke minél alacsonyabbra süllyed, annál valószínűbb a csőd a közeljövőben. A vállalat értékváltozását pedig két elem befolyásolja: az általános gazdasági helyzet és a csak az adott vállalatra jellemző speciális folyamatok. A CDO-ban szereplő minden CDS-hez rendeljünk tehát hozzá egy X i állapotváltozót. Tegyük fel, hogy mint a természetben oly sok véletlen mennyiség, ez is standard normális eloszlást követ. 3 A továbbiakban a szakirodalomban meghonosodott LHP-közelítés vagy LHP-approximáció kifejezéseket fogom használni. 4 Részletes történeti áttekintés [23]-ban található. 21

A konstrukció ekkor: X i = ρm + 1 ρ 2 Z i (i = 1,..., N), (2.6) ahol 0 < ρ 2 < 1 paraméter 5, M a közös makroökonómiai faktor (systematic factor), a Z i változók (i = 1,..., N) pedig olyan vállalatspecifikus faktorok (idiosyncratic factors), melyekre M, Z 1,..., Z N független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Vagyis a piaci és a vállalati sztochasztikus változásokat is standard normálisnak feltételezzük. A konstrukcióból következik, hogy bármely két állapotváltozó közti korreláció megegyezik: Corr(X i, X j ) = E(X ix j ) E(X i )E(X j ) D(X i )D(X j ) = E(X i X j ) = = ρ 2 E(M 2 ) + (1 ρ 2 )E(Z i )E(Z j ) + ρ 1 ρ 2 E(M)E(Z i + Z j ) = = ρ 2 E(M 2 ) + 0 = ρ 2 [D 2 (M) + E 2 (M)] = ρ 2, ahol felhasználtuk a standard normális eloszlás tulajdonságai mellett azt, hogy E(X i ) = ρe(m) + 1 ρ 2 E(Z i ) = 0 illetve D 2 (X i ) = ρ 2 D 2 (M) + (1 ρ 2 )D 2 (Z i ) = 1. Mivel a normális eloszlás zárt a konvolúcióra, valóban teljesül, hogy X i N (0, 1). Ahhoz, hogy az állapotváltozóval ki tudjuk fejezni a CDS csődvalószínűségét, bevezetjük a következő függvényt: 2.2.1. Definíció. (küszöbfüggvény) Legyen k i az az időtől függő küszöb ( threshold), amely alá süllyedve az állapotváltozó már csődöt jelent a CDS számára adott t időpont előtt. Vagyis P(X i k i (t)) = P(τ i t). (2.7) A (2.7) jobb oldala éppen F i (t), az adott CDS csődidejéhez tartozó marginális eloszlásfüggvény t helyen. A küszöbfüggvény így meghatározható a hazárdrátafüggvény segítségével: F i (t) = P(τ i t) = P(X i k i (t)) = Φ[k i (t)], amiből a küszöb: k i (t) = Φ 1 [F i (t)]. 5 A szakirodalom sokszor ρ korrelációs együtthatóval dolgozik, így a fenti modell X i := ρm + 1 ρz i alakú. Az általunk használt ρ 2 lényegében nem különbözik ettől a felírástól, viszont a későbbi számolásoknál könnyebb kezelhetőséget tesz lehetővé. 22

Szakaszonként konstans hazárdrátát feltételezve ez továbbírható (2.2) alapján: { k i (t) = Φ (1 t 1 exp 0 }) λ i (s)ds. Használjuk ki, hogy a (2.6) felírás miatt az állapotváltozók az M faktorra feltételesen függetlenek intuitíve ez azt jelenti, hogy adott gazdasági környezet mellett a vállalati értékfolyamatok csak az egymástól független vállalatspecifikus faktoroktól függnek. Így az a feltételes valószínűség, hogy az i-edik CDS a t időpontig csődbe megy, az alábbi képlettel írható fel: p i (t m) := P(τ i t M = m) = P(X i k i (t) M = m) = = P(ρM + 1 ρ 2 Z i k i (t) M = m) = ( = P Z i k ) i(t) ρm 1 ρ 2 M = m = ( ) ki (t) ρm = Φ. 1 ρ 2 (2.8) Mivel k i (t) monoton növő függvények kompozíciójaként áll elő, maga is monoton növő. Így a csőd bekövetkezésének ideje felírható azon legkorábbi időpontként, amikor az X i állapotváltozó a küszöbérték alá esik: τ i = inf{t 0 X i k i (t)}, i = 1,..., N. Ezen felírásból következik, hogy mivel a (2.6) konstrukció miatt az X i állapotváltozók M-re feltételesen függetlenek, így ugyanez igaz τ i csődváltozókra is. Vagyis N P(τ 1 t,..., τ N t M = m) = p i (t m). i=1 Felhasználva még a teljes várható érték tételét: P(τ 1 t,..., τ N t) = E ( P(τ 1 t,..., τ N t M = m) ) ( N ) = E p i (t m) = = + i=1 N p i (t m)df M (m) = + i=1 i=1 N p i (t m)f M (m)dm, (2.9) ahol, mint ismeretes, M N (0, 1) miatt f M (m) = 1 2π e m2 2. 2.2.2. Megjegyzés. A kopula invarianciáját felhasználva (2.1.6. tétel) belátható, hogy a (2.9) képlettel definiált valószínűség a Cτ G 1,...,τ N Gauss-kopulából származtatható. A közös M faktor miatt ezt egyfaktoros Gauss-kopulának (one-factor Gauss copula) nevezik. 23

A (2.9) által megadott függvény kiszámolásához numerikus módszereket kell alkalmazni, ezért a szakirodalomban ezt a CDO-árazási módszert félanalitikusnak (semi-analytical) nevezik. Ezt már inkább használják a gyakorlatban, például a Laurent és Gregory ([20]) által bemutatott Fourier-transzformációt alkalmazva. 2.2.2. LHP-közelítés A numerikus számolás helyett adható azonban olyan modell is, mely teljesen analitikus. Kihasználhatjuk ugyanis, hogy szintetikus CDO-ban azonos súlyozással szerepelnek a CDS-ek és azonosak a megtérülési ráták (R) az ilyen terméket nevezzük homogén portfóliónak (homogeneous portfolio). További hasznos egyszerűsítés lesz, hogy minden CDS ( esetén ) azonos piaci faktorra vett feltételes csődeloszlást feltételezünk, vagyis p i (t m) = Φ minden i = 1,..., N esetén megegyezik, ezért az indexet a továbbiakban elhagyjuk. k i (t) ρm 1 ρ 2 A θ(t) függvény az (1.2) felírás szerint azt adja meg, hogy a t időpontig a CDO N referenciatermékéből hány darab ment csődbe, vagyis a θ(t) = d azt az eseményt jelöli, hogy pontosan d csőd következik be. Minden CDS esetén két kimenetel lehetséges: becsődöl vagy sem. A CDS-ek hiteleseményei az M faktorra feltételesen függetlenek, a csőd valószínűsége p(t m) mindegyik terméknél, ha M = m R. Így a csődszám M-re feltételesen binomiális eloszlást követ N renddel és p(t m) paraméterrel, tehát P(θ(t) = d M = m) = ( ) N p(t m) d [1 p(t m)] N d. d A feltétel nélküli valószínűséghez M eloszlása szerint kell integrálnunk: P(θ(t) = d) = = + + P(θ(t) = d M = m)df M (m) = ( N d ) p(t m) d [1 p(t m)] N d f M (m)dm. (2.10) Jelölje FL N (q, t) függvény annak a valószínűségét, hogy az N CDS-ből álló szintetikus CDO kumulált vesztesége a t időpontig nem haladja meg q(1 R)-t, ahol q [0, 1]. Azaz ( ) L(t) FL N (q, t) = P(L(t) q(1 R)) = P 1 R q. (2.11) Látszik, hogy ezzel magát L(t) eloszlásfüggvényét is megadjuk, tehát ha ismernénk az FL N (q, t) függvényt, akkor a fair prémium meghatározása is egyszerű lenne. Felhasználva az (1.3), a (2.10) 24

és a (2.11) felírásokat: ( ) L(t) FL N (q, t) = P 1 R q = Nq + d=0 ( N d ( ) θ(t) = P N q = P(θ(t) Nq) = ) p(t m) d [1 p(t m)] N d f M (m)dm. (2.12) Ez utóbbi szintén számolható numerikus módszerekkel, de ez túl nagy intenzitású munka, főleg nagy N esetén reménytelen gyorsan számolni. Ezért itt használjuk az LHP-közelítést. Lényege, hogy homogén portfólió esetén N + feltétel mellett vizsgáljuk a fenti eloszlásfüggvényt, és Vasicek ([29], [30]) szerint ez egy jó közelítés. 2.2.3. Állítás. Az LHP-approximációt alkalmazva FL N (q, t) a következő formulával közelíthető: ( 1 ρ FL (q, t) := lim F L N (q, t) = Φ 2 Φ 1 ) (q) k(t). (2.13) N + ρ ( ) k(t) ρm Bizonyítás. Induljunk ki a (2.12) egyenletből. Végezzük el az s = p(t m) = Φ helyettesítést, továbbá használjuk fel, hogy M standard normális. Utóbbi sűrűségfüggvényét 1 ρ 2 jelölje φ(m). Így ekkor F N L (q, t) = Nq + d=0 ( N d ) s d (1 s) N d φ(m)dm. Mivel a valószínűség nemnegatív véges mérték, így használható a Lebesgue-tétel (dominált konvergenciatétel): Nq FL (q, t) = lim F L N (q, t) = lim N N = + lim N Nq d=0 + d=0 ( N d ( ) N s d (1 s) N d φ(m)dm. d ) s d (1 s) N d φ(m)dm = (2.14) Legyenek B i -k (i = 1, 2,..., N) független indikátorváltozók 6 s paraméterrel. Ismert, hogy ezek összege N rendű és s paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó, tehát ( N P i=1 ) B i = k = Továbbá a nagy számok erős törvénye szerint B N = 1 N valószínűséggel, így az eloszlásokra ( ) N s k (1 s) N k. (2.15) k N B i i=1 N + E(B i ) = s teljesül 1 F BN (x) = P(B N x) N + P(s x) (2.16) 6 Az indikátorváltozót Bernoulli-eloszlású valószínűségi változónak is nevezik. 25

pontonkénti konvergencia teljesül R\{s}-en. Felhasználva a (2.15) és a (2.16) eredményeket: lim N Nq d=0 ( ) Nq N s d (1 s) N d = lim d N d=0 d=0 ( N P i=1 = lim N P(B N q) = P(s q). ) ( B i = d = lim P N ) B i Nq = N i=1 Mivel s rögzített paraméter, ez a következő egyszerű alakban írható tovább: Nq ( ) N lim s d (1 s) N d 0, ha q < s, = P(s q) = N d 1, ha q s. Így (2.14) és (2.17) miatt FL N (q, t) közelítésére a következő függvényt kapjuk: F L (q, t) = + I(q s)φ(m)dm. (2.17) Mivel a standard normális sűrűségfüggvény páros, így z = m helyettesítést elvégezve a fenti függvény a következő alakban írható tovább: F L (q, t) = + I(q s)φ( m)dm = + Az s definíciója miatt a q s egyenlőtlenség a F L (q, t) = + ( 1 ρ I 2 Φ 1 (q) k(t) ρ ( 1 ρ = Φ 2 Φ 1 ) (q) k(t), ρ ami megegyezik az állításban szereplő képlettel. I(q s)φ(z)dz = 1 ρ 2 Φ 1 (q) k(t) ρ ) z φ(z)dz = + I(q s)φ(z)dz. z felírással ekvivalens. Így 1 ρ 2 Φ 1 (q) k(t) ρ φ(z)dz = Tehát (2.13) segítségével már könnyen adhatunk egy jó becslést a kumulált veszteségfüggvény eloszlásfüggvényére szimulációs eljárás és numerikus számítások nélkül. Ezt használva a fair prémium az 1.3. alfejezetben bemutatott lépésekkel számolható. Fontos még, hogy a (2.13) függvény kiszámításához szükséges a küszöbfüggvény miatt a hazárdráták ismerete, ezek gyakorlati számítási módszereiről már ejtettem szót a 2.1.1. szakaszban. Másrészt a ρ 2 korrelációs együttható meghatározása is elengedhetetlen, ennek kalibrálásáról a következő fejezetben még ejtek szót. A fent bemutatott módszert egyfaktoros Gauss-kopula modellnek nevezik. Egyszerűsége miatt ismert hibái ellenére ez vált a széles körben alkalmazott standard modellé. A következő fejezetben néhány főbb hibáját mutatom be, és ismertetek néhány matematikailag is tetszetős megoldást a modell javítására. 26

3. fejezet A standard modell néhány kiterjesztése Az egyfaktoros Gauss-kopulával való modellezés során az egyik legnehezebb feladat a korrelációs paraméter meghatározása. ρ 2 azt méri, hogy az állapotváltozók mennyire korrelálnak, vagyis a referenciatermékek csődjei mennyire függnek össze egymással. Ha ez az érték alacsony, akkor a CDO felsőbb tranche-einek elérésére nagyon kicsi a valószínűség. Magas korrelációnál viszont könnyen magával sodorja a többi terméket is az egyik csődje, így ekkor a senior tranche sem sokkal biztonságosabb az equity-nél. Ahogy a Li-modellnél is láttuk, nagyon bizonytalan, hogy miként lenne helyes ezt kalibrálni. Elsősorban nem is az adatgyűjtés jelent problémát bár például a számviteli sajátosságok és a ritka csődesemények miatt ez sem egyszerű feladat, hanem már annak megállapítása, hogy milyen elméleti értékkel lehetne ezt jól kifejezni. 3.1. A korrelációmosoly Az indexek megjelenése azonban rengeteg piaci adatot szolgáltatott. Így az a módszer terjedt el, hogy az egyfaktoros Gauss-kopula modellt visszafelé futtatták a már ismert piaci adatokra, így megkapták ρ 2 értékét. A szakirodalomban ezt implicit korreláció (implied vagy compound correlation) névvel illetik. Ez a módszer nyilván arra is lehetőséget ad, hogy ellenőrizzük a modell feltevéseinek helyességét a valóságban. Ugyanis elméletben ugyanazokat a korrelációs értékeket kellene visszakapnunk mindegyik tranche esetén, hiszen ezen értékeket sávtól függetlenül minden CDS-párra megegyezőnek feltételeztük. A valóságban viszont az implicit korrelációs értékek sávonként különböznek, ahogy az a 3.1. ábrán is látható. Általában az a jelenség figyelhető meg, hogy a mezzanine sávra visszaszámolt implicit korrelációs érték jóval alacsonyabb, mint az equity és senior tranche-ek esetében. A jelenséget jellegzetes alakja miatt korrelációmosolynak (correlation skew vagy correlation smile) nevezzük. 27

3.1. ábra. Korrelációmosoly. A vízszintes tengelyen a tranche-ek, a függőlegesen pedig a 2006. november 13-i DJ itraxx Europe adatokból visszaszámolt implicit korrelációs értékek olvashatóak le. Forrás: [8]. A jelenséget alapvetően három okra vezethetjük vissza: A befektetők legtöbbje közepes mértékű hozamot és ehhez minél alacsonyabb kockázatot preferál angol szakirodalomban ezt yield searching jelenség néven szokás emlegetni. Ez azt jelenti, hogy a mezzanine tranche-ek iránti jóval nagyobb kereslet eltorzítja a piacot, így a korrelációs érték is el fog térni a kezdeti feltevéstől: a nagyobb kereslet magasabb árat, az pedig alacsonyabb korrelációs értéket implikál. Az, hogy ez a modell vált piaci standarddá, nem jelenti azt, hogy mindenki ezt használja. Így a különböző befektetői csoportok például a kockázatosabbat kereső hedge fund-ok vagy a kockázatkerülőbb kisbefektetők által kalkulált korrelációk eltérhetnek, ez pedig szintén a tranche-ek keresletei közti különbséget eredményezhet. Az egyfaktoros Gauss-kopula modell nem a valóságnak megfelelően áraz, tehát valamilyen feltételei túl erősek, nem realisztikusak a CDO-piacon. Matematikai szempontból ez utóbbi az érdekes, dolgozatom hátralévő részében is ezzel foglalkozom részletesebben. A modell ezen nyilvánvaló hibája ellenére is főként ezzel áraztak. Ez természetesen sokszor nem helyes árakhoz és hibás kockázati értékekhez vezetett. A CDO-piacon ez már 2005 májusában egy kisebb válságot okozott (correlation crisis, további részletek: [5]), a legutóbbi nagy pénzügyi válságban pedig nagyon hasonló okok miatt tartják a CDO-piacot az egyik gócpontnak. 28

3.2. Kiterjesztések A standard modellnek két olyan fontos feltevése van, mely a valóságban a tapasztalatok szerint nem érvényes. Egyrészt statikus, minden CDS-párt ugyanúgy jellemző korrelációt feltételez, másrészt a Gauss-kopula miatt standard normális eloszlást használ. A megoldásokra nagyon széles irodalom született, a következőkben az előbb említett két fő problémát javítani szándékozó szép valószínűségelméleti kiterjesztéseket mutatok be. A fejezet végén pedig összehasonlítom ezen modelleket. 3.2.1. Sztochasztikus korreláció A statikus korreláció egy kézenfekvő feloldása sztochasztikus korrelációt (stochastic correlation) feltételezni. Tekintsük ρ 2 -et konstans helyett egy véletlentől függő értéknek, vagyis kezeljük valószínűségi változóként. Ezt a megközelítést X. Burtschell, J. Gregory és J.-P. Laurent mutatta be ([4], [5]), ezeken kívül a [12] cikket felhasználva dolgozom a következőkben. A modell alapja most is a faktoros felírás: X i := ρ i M + 1 ρ 2 i Z i, i = 1,..., N, (3.1) ahol M, Z i (i = 1,..., N) most is független standard normális eloszlású valószínűségi változók, 0 ρ 2 i 1 pedig olyan valószínűségi változók, melyek függetlenek az M, Z 1,..., Z N változóktól. A legegyszerűbb sztochasztikus modellben ρ 2 i két értéket vehet fel: ρ 2 -et p ρ valószínűséggel vagy γ 2 -et p γ = 1 p ρ valószínűséggel, ahol ρ, γ (0, 1) konstansok. Vagyis ρ 2 i = (1 B i )ρ 2 + B i γ 2, ahol B i -k (i = 1,..., N) független indikátorváltozók P(B i = 1) = p γ paraméterrel, amiből így P(B i = 0) = p ρ. Behelyettesítve ezt a (3.1) konstrukcióba: X i = (1 B i )ρ 2 + B i γ 2 M + 1 [(1 B i )ρ 2 + B i γ 2 ]Z i = = B i (γm + 1 γ 2 Z i ) + (1 B i )(ρm + 1 ρ 2 Z i ). A teljes valószínűség tételét felhasználva a (2.8) definícióhoz hasonlóan írjuk fel az i-edik CDS csődvalószínűségét feltételesen a közös faktor értékére: p i (t m) = P(τ i t M = m) = 1 P(τ i t M = m, B i = j)p(b i = j) = j=0 ( ) ki (t) ρm = p ρ Φ + p γ Φ 1 ρ 2 ( ki (t) γm 1 γ 2 ). 29

A standard modellhez hasonlóan alkalmazhatunk itt is LHP-approximációt. A teljes valószínűség tétele szerint a (2.13) állításhoz hasonlóan adódik: ( 1 ρ FL (q, t) = p ρ Φ 2 Φ 1 ) (q) k(t) + p γ Φ ρ ( 1 γ 2 Φ 1 (q) k(t) Ezután az árazás menete ugyanaz, mint korábban. Látható, hogy most három paramétert kell becsülni, nevezetesen a két korrelációt illetve azok fellépési valószínűségét. Ezzel a modell összetettebbé válik, a piaci árakból már nem számolható vissza a két korrelációs érték. Ugyanakkor mivel sztochasztikusan változó, hogy a két korreláció közül melyik vonatkozik egy adott CDSpárra, a különböző tranche-ek összefüggőségi struktúrái rugalmassá válnak, könnyen alakítható ki a piacon is stabilan működő modell. Gyakorlati szempontból még hasznosabb, ha a korreláció háromféle értéket vehet fel, ezt a modellt háromállapotú sztochasztikus korrelációnak (three states stochastic correlation) nevezik. Legyen most ρ 2 i = (1 B s)(1 B i )ρ 2 + B s, ahol 0 < ρ 2 < 1 konstans, B s, B 1, B 2,..., B N pedig független indikátorváltozók, melyek paraméterei: p s = P(B s = 1), p = P(B i = 1) (i = 1,..., N). Ekkor ρ 2 i valóban háromállapotú: 0 p(1 p s ) valószínűséggel, ρ 2 i = ρ 2 (1 p)(1 p s ) valószínűséggel, 1 p s valószínűséggel. γ ). (3.2) Írjuk ezt be a (3.1) alapmodellbe: Z i X i = ρm + 1 ρ 2 Z i M p(1 p s ) valószínűséggel, (1 p)(1 p s ) valószínűséggel, p s valószínűséggel. Ebből az látszik, hogy a sztochasztikus korreláció értékei által a standard modellben kezelni tudjuk egymástól függetlenül a piaci és a vállalatspecifikus hatásokat. Így p és p s értékek módosításával kontrollálni lehet ezek befolyását a mögöttes vállalatok értékfolyamatára. Például az a jelenség is kezelhetővé válik, hogy gazdasági konjunktúra idején alacsonyabb, míg válságos időkben magasabb a megfigyelt csődkorreláció, ez a külső tényező ugyanis kizárólag az M közös piaci faktoron át hat. Az i-edik CDS közös faktorra vett feltételes csődvalószínűségének felírásához ismét használjuk 30

a teljes valószínűség tételét és a (2.8) felírást: p i (t m) = 1 j,k=0 P(τ i t M = m, B i = j, B s = k)p(b i = j)p(b s = k) = [ ki (t) ρm = p(1 p s )Φ[k i (t)] + (1 p)(1 p s )Φ 1 ρ 2 [ = p(1 p s )Φ[Φ 1 ki (t) ρm [F i (t)]] + (1 p)(1 p s )Φ 1 ρ 2 ( [ ki (t) ρm = (1 p s ) pf i (t) + (1 p)φ 1 ρ 2 ] + p s χ {ki (t) m} = ]) + p s χ {ki (t) m}. ] + p s χ {ki (t) m} = (3.3) 3.2.1. Állítás. A szokásos LHP-közelítéssel q [0, 1] esetén: FL (q, t) = lim F L N (q, t) = N + { [ 1 = (1 p s ) Φ ρ ahol ( 1 ρ 2 Φ 1 [ q pf (t) 1 p A = {q [0, 1] : pf (t) < q < (1 p) + pf (t)}, B = {q [0, 1] : q > (1 p) + pf (t)}. ] } k(t) )]χ {q A} + χ {q B} + p s Φ[ k(t)], A bizonyítás most nem végezhető el ugyanúgy, mint a 2.2.3. állítás esetén, hiszen p(t m) felírása jóval összetettebb. Ezért szükségünk lesz a következő lemmára, melyet Vasicek bizonyított ([30]). 3.2.2. Lemma. F L (q, t) = P(p(t M) q), ahol p(t M) a P(τ i t M) valószínűségi változót jelöli. Ezután térjünk rá a 3.2.1. állítás bizonyítására: Bizonyítás. Jelölje a 3.2.2. lemma jobb oldalán álló értéket q [0, 1] esetén G(q). Felhasználva a (3.3) felírást ahol m helyett most M áll illetve a teljes várható érték tételét, ez a következő alakban írható tovább: G(q) = P(p(t M) q) = { [ ( [ ]) k(t) ρm = E P (1 B s ) pf (t) + (1 p)φ + B s χ 1 ρ 2 {k(t) M} q ]}, M ahol B s továbbra is az s paraméterű indikátorváltozót jelöli. A teljes valószínűség tétele szerint ez továbbírható: { ( [ ] )} k(t) ρm G(q) = (1 p s )E P pf (t) + (1 p)φ q 1 ρ 2 M + { ( + p s E P χ {k(t) M} q )}. M (3.4) 31

Nyilvánvaló, hogy 0 < q < 1 esetén χ {k(t) M} q akkor és csak akkor, ha M > k(t), ezért (3.4) jobb oldalának második tagja: { ( )} p s E P χ {k(t) M} q M = p s P(M > k(t)) = p s Φ[ k(t)]. Tegyük fel, hogy p < 1, ekkor nyilvánvaló, hogy [ ] k(t) ρm pf (t) < pf (t) + (1 p)φ < pf (t) + (1 p). 1 ρ 2 Ezért (3.4) jobb oldalának első tagjában szereplő valószínűség három esetre bontható: ( [ ] ) k(t) ρm ha q (1 p) + pf (t), akkor P pf (t) + (1 p)φ q 1 ρ 2 M = 1, ( [ ] ) k(t) ρm ha q pf (t), akkor P pf (t) + (1 p)φ q 1 ρ 2 M = 0, [ ] k(t) ρm ha pedig pf (t) < q < (1 p) + pf (t), akkor pf (t) + (1 p)φ q esetén 1 ρ 2 ( [ ] ) k(t) ρm P pf (t) + (1 p)φ q 1 ρ 2 M = 1, különben 0. Így ez esetben a (3.4)-ben álló első várható értékhez a következő valószínűségre van szükségünk: ( [ ] ) k(t) ρm P pf (t) + (1 p)φ q = 1 ρ 2 ( = P M 1 ( 1 [ ] )) q pf (t) ρ ρ 2 Φ 1 k(t) = 1 p ( ( 1 1 [ ] )) q pf (t) = Φ ρ ρ 2 Φ 1 k(t). 1 p Tehát (3.4) továbbírva: { [ ( 1 1 [ ] } q pf (t) G(q) =(1 p s ) Φ ρ ρ 2 Φ 1 k(t) )]χ 1 p {q A} + χ {q B} + + p s Φ[ k(t)], ahol A és B az állításban definiált halmazok. A 3.2.2. lemma szerint pedig kész vagyunk a bizonyítással. Ezzel a módszerrel p, p s és ρ kalibrálásával változtathatjuk a vállalatspecifikus és piaci összefüggéseket, ez adja a sztochasztikus modell legnagyobb előnyét. Nyilván egyben ez a módszer hátránya is, hiszen több paraméter kalibrálása a gyakorlatban nehezebben megvalósítható feladatot jelent. Ezután a CDO-árazás további lépései megegyeznek a korábban leírtakkal. Hogy ez a megoldás tényleg jobban, a valós piaci árakhoz közelebb áraz, az alfejezet elején említett cikkek numerikus elemzéseiből is kiderül. Mielőtt összehasonlítom a sima egyfaktoros Gauss-kopula modellel, bemutatom ez utóbbi másik gyenge pontját, és egy szép megoldást rá. 32

3.2.2. Normális inverz Gauss-eloszlás az egyfaktoros modellben Az egyfaktoros Gauss-kopula modell másik legtöbbet kritizált feltevése, hogy standard normális eloszlással dolgozik. Főként a legutóbbi válság mutatott rá, hogy pénzügyi folyamatok esetén ez a feltevés sokszor nem teljesül. Ugyanis a valóságban jóval több extrém érték következik be tehát kiugróan kevés illetve sok csőd, mint azt a standard normális eloszlás indokolná. Matematikailag ez úgy fogható meg, hogy a pénzügyi folyamatok vastagabb farkú eloszlással írhatók le, szemben a standard normális túl gyors (O(e t2 2 )) lecsengésével. Így tehát valamilyen más eloszlást, ezáltal más kopulát kell használni az egyfaktoros modellben. Az ilyen irányú szakirodalomban Gauss-kopula helyett főként a Student t, a Clayton és a Marshall Olkin kopulát használják 1. Utóbbi kettő a tapasztalatok alapján nagyon közel áraz az egyfaktoros Gauss-kopula modellhez. A Student t-kopula már javít az eredményeken, azonban ez az eloszlás nem zárt a konvolúcióra, így a számítási időt nagyon megnöveli. Ezzel szemben az ún. normális inverz Gauss-eloszlás (normal inverse Gaussian (NIG) distribution) teljesíti ezt, sőt 4 paramétere miatt nagyon rugalmasan kezelhető. A NIG-eloszlást O. E. Barndorff-Nielsen vezette be a pénzügyi alkalmazásokba ([2]). CDO-árazási modellbe való építését [12] és [19] alapján mutatom be. A NIG-eloszláscsalád az ún. általánosított hiperbolikus eloszlások (generalized hyperbolic distribution) közé tartozik. Lényegében a normális (Gauss) és az inverz Gauss-eloszlások egyfajta kombinációja. Az Y nemnegatív valószínűségi változó inverz Gauss-eloszlást követ α > 0 és β > 0 paraméterekkel, ha sűrűségfüggvénye: { } α 2πβ y 3 2 exp (α βy)2 2βy, ha y > 0 f IG(α,β) (y) = 0, ha y 0. Az X valószínűségi változó normális inverz Gauss (NIG)-eloszlású α, β, µ, és δ paraméterekkel, amelyekre 0 β < α és δ > 0, ha Ekkor X sűrűségfüggvénye: X Y = y N (µ + βy, y) és Y IG(δγ, γ 2 ), ahol γ = α 2 β 2. f N IG(α,β,µ,δ) (x) = δα exp {δγ + β(x µ)} π δ 2 + (x µ) 2 K 1 (α δ 2 + (x µ) 2 ), ahol K 1 (w) = 1 2 0 exp { 1 2 (t + t 1 )}dt az ún. harmadik típusú módosított Bessel-függvény. A szemléletes összehasonlításhoz tekintsük az alábbi ábrákat, melyeken a standard normális sűrűségfüggvényt és két különböző paraméterezésű NIG-eloszlás sűrűségfüggvényét ábrázoltam. 1 További részletes leírás például az [5] cikkben található. 33

A 3.2. ábrán láthatjuk, hogy a NIG-eloszlás nem mindig szimmetrikus, bebizonyítható, hogy ez csak β = 0 esetén igaz. Szembetűnő, hogy a 4 paraméter valóban nagy rugalmasságot biztosít. 3.2. ábra. Standard normális és NIG-eloszlások sűrűségfüggvényei 3.3. ábra. Standard normális és NIG-eloszlások farokviselkedése A 3.3. ábrán a bal és a jobb oldali farokviselkedést látjuk. Ahogy azt szerettük volna, tényleg vastagabb mindkét paraméterezés esetén a NIG-eloszlás sűrűségfüggvénye a standard normálisénál. Fontos megjegyezni, hogy ezt a normális eloszlás szórásának növelésével is elérhettük volna, azonban a fenti ábrán zölddel jelölt NIG-eloszlás paraméterezése 1 szórású, és így ad vastagabb farkat. Az állapotváltozóknál pedig az egy hasznos feltevés, hogy minden modellben a vállalat értékfolyamata azonosan egységnyi szórású. A nem szimmetrikus esettel pedig olyan folyamatokat kezelhetünk, mikor az ábrán látható- 34

hoz hasonlóan a pozitív extrém értékek túlsúlyba kerülnek a negatívakkal szemben, vagy éppen fordítva. Amint arról még lesz szó, a CDO-k is sokszor hasonlóan viselkednek. Számunkra a NIG-eloszláscsalád alábbi három fontos tulajdonságára lesz szükségünk: skálázási tulajdonság (scaling property): X N IG(α, β, µ, δ) cx N IG független X és Y valószínűségi változók esetén zártság a konvolúcióra: X N IG(α, β, µ 1, δ 1 ), Y N IG(α, β, µ 2, δ 2 ) ( α c, β ), cµ, cδ, (3.5) c (3.6) X + Y N IG(α, β, µ 1 + µ 2, δ 1 + δ 2 ), továbbá X N IG(α, β, µ, δ) esetén γ = α 2 β 2 jelölés mellett: E(X) = µ + δ β γ illetve D 2 (X) = δ α2 γ 3. Írjuk fel tehát a (2.6)-hoz hasonlóan az egyfaktoros modellt, annyi változtatással, hogy most a standard normális eloszlás helyett normális inverz Gausst használunk: X i = ρm + 1 ρ 2 Z i, ahol tehát M, Z 1,..., Z N független valószínűségi változók, és ) M N IG (α, β, βγ2 α 2, γ3 α 2, ( 1 ρ 2 1 ρ 2 1 ρ 2 Z i N IG α, β, ρ ρ ρ βγ 2 1 ρ α 2, 2 ρ γ 3 ) α 2 (i = 1,..., N), ahol továbbra is γ = α 2 β 2. A fenti paraméterezés azért hasznos, mert ekkor X i várható értéke 0, míg varianciája 1. A (3.5) és (3.6) tulajdonságokból könnyen belátható, hogy ( α X i N IG ρ, β ρ, 1 βγ 2 ρ α 2, 1 γ 3 ) ρ α 2. (3.7) A továbbiakban (3.7) esetén a N IG ( 1 ρ) jelöléssel fogunk élni. A (2.7) felíráshoz hasonlóan számolható a küszöbfüggvény: k i (t) = F 1 N IG( 1 ρ p i (t m) = F ( ) N IG 1 ρ 2 ρ )(F i (t)). A közös faktorra vett feltételes csődvalószínűség (2.8) alapján: ( ki (t) ρm 1 ρ 2 ). (3.8) Az FL N (q, t) függvény becslésére LHP-közelítéssel NIG-eloszlás esetén a következőt kapjuk: 35

3.2.3. Állítás. F L (q, t) = [ ( 1 lim F L N (q, t) = 1 F N IG(1) k(t) 1 ρ N + ρ 2 F 1 N IG Bizonyítás. Használjuk fel a 3.2.2. lemma eredményét: hiszen M F N IG(1). FL (q, t) = P(p(t M) q) = [ = P F ( ) N IG 1 ρ 2 [ = P M 1 ρ = 1 F N IG(1) [ 1 ρ ρ ( k(t) ρm 1 ρ 2 ) ( k(t) 1 ρ 2 F 1 ] q = ( 1 ρ N IG 2 ρ ( k(t) 1 ρ 2 F 1 ( 1 ρ N IG 2 ρ )] )(q) = ( 1 ρ 2 ρ )] )(q), )] )(q). Ezt követően természetesen az árazás menete megegyezik a korábban látottakkal. A modell legnagyobb előnye vastagfarkúsága mellett rugalmassága a 4 paraméternek köszönhetően. A fent bemutatott paraméterezésnél vegyük észre, hogy 4 helyett csak kettőt kell kalibrálni, bár ez sem egyszerű feladat. Épp ezért nem beszélhetünk arról, hogy ez a modell széles körben alkalmazottá vált volna, mindenesetre egy igen tetszetős megoldás a Gauss-kopula hiányosságainak kiküszöbölésére. Többek közt [12] numerikus eredményei is azt bizonyítják, hogy megfelelő paraméterek mellett bizony ez a modell nagyon közel tud árazni a valós adatokhoz. Ezt a 3.3. részben fogom még szemléltetni. 3.2.3. Egyfaktoros sztochasztikus kopulamodell NIG-eloszlással Az előző két alfejezetben bemutattam két megoldást az egyfaktoros Gauss-kopula modell egy-egy fő megszorításának javítására. Még szebb eredményeket kapunk, ha a kettőt ötvözzük, vagyis az egyfaktoros sztochasztikus modellben NIG-eloszlású változókat használunk. E modellt [12] alapján ismertetem. Az alapkonstrukció így: X i = ρ i M + 1 ρ 2 i Z i, ahol tehát ρ i (i = 1,..., N) háromállapotú sztochasztikus változók (lásd (3.2)), ) M N IG (α, β, βγ2 α 2, γ3 α 2, ( 1 2 ρi 1 2 ρi 1 2 ρi βγ 2 1 2 Z i N IG α, β, ρ i ρ i ρ i α 2, ρi γ 3 ) ρ i α 2 (i = 1,..., N) független valószínűségi változók. Ismét könnyen látható, hogy X i N IG ( 1 ρ i ) állapotváltozók is függetlenek lesznek. 36

A (3.3) és a (3.8) felírásokból könnyen belátható, hogy ebben a modellben ( [ ]) ki (t) ρm p i (t m) = (1 B s ) pf N IG(1) [k i (t)] + (1 p)f ( ). N IG 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 3.2.4. Állítás. A szokásos LHP-approximációval FL (q, t) = lim F L N (q, t) = N + ( [ ( 1 = (1 p s ) 1 F N IG1 k(t) [ ) q 1 ρ ρ 2 F 1 pfn IG1 [k(t)] N IG2 ])]χ 1 p {q A} + χ {q B} + + p s (1 F N IG1 [k(t)]), ahol az alábbi jelölésekkel éltünk: A = {q [0, 1] : pf N IG1 (k(t)) < q < (1 p) + pf N IG1 (k(t))}, B = {q [0, 1] : q > (1 p) + pf N IG1 (k(t))}, F N IG1 = F N IG(1), és F N IG2 = F ( ). N IG 1 ρ 2 ρ Bizonyítás. A teljes várható érték tétele és a 3.2.2. lemma szerint: FL (q, t) = P[p(t M) q] = { [ ( [ ]) k(t) ρm = E P (1 B s ) pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 + B s χ 1 ρ 2 {k(t) M} q ]}. M Alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: { [ [ ] ]} k(t) ρm FL (q, t) = (1 p s )E P pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 q 1 ρ 2 M + { ( + p s E P χ {k(t) M} q )}. M (3.9) Nyilvánvaló, hogy 0 < q < 1 esetén χ {k(t) M} q akkor és csak akkor, ha M > k(t), ezért (3.9) jobb oldalának második tagja továbbírható: { ( )} p s E P χ {k(t) M} q M = p s P(M > k(t)) = p s (1 F N IG1 [k(t)]). Tegyük fel, hogy p < 1, ekkor nyilván pf N IG1 [k(t)] < pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 [ k(t) ρm 1 ρ 2 ] < pf N IG1 [k(t)] + (1 p). Ezért (3.9) jobb oldalának az első tagjában szereplő valószínűség az alábbi három esetre bontható szét: [ ] ] k(t) ρm q (1 p) + pf N IG1 [k(t)] P [pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 q 1 ρ 2 M = 1, 37

[ ] ] k(t) ρm q pf N IG1 [k(t)] P [pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 q 1 ρ 2 M = 0, ha pedig pf N IG1 [k(t)] < q < [ pf N IG1 [k(t)] ] + (1 p), akkor k(t) ρm pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 q esetén 1 ρ 2 [ ] ] k(t) ρm P [pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 q 1 ρ 2 M = 1, különben pedig 0, így a (3.9)-ben álló első várható értékhez a következő valószínűségre van szükségünk: [ [ ] ] k(t) ρm P pf N IG1 [k(t)] + (1 p)f N IG2 q = 1 ρ 2 { [ ] k(t) ρm = P F N IG2 q pf } N IG1[k(t)] = 1 ρ 2 1 p { = P M 1 ( k(t) [ ])} q 1 ρ ρ 2 F 1 pfn IG1 [k(t)] N IG2 = 1 p [ ( 1 = 1 F N IG1 k(t) [ ])] q 1 ρ ρ 2 F 1 pfn IG1 [k(t)] N IG2, 1 p Tehát (3.9) továbbírva: FL (q, t) = ( [ ( 1 = (1 p s ) 1 F N IG1 k(t) 1 ρ ρ 2 F 1 N IG2 + p s (1 F N IG1 [k(t)]), ahol A és B az állításban definiált halmazok. [ q pfn IG1 [k(t)] 1 p ])]χ {q A} + χ {q B} ) + Például [12] cikk eredményei is azt mutatják, hogy a két modell ilyen ötvözése még közelebb áraz a valós adatokhoz. A bemutatott négy modellt a 3.3. szakaszban fogom szemléletesebben összehasonlítani, előtte a standard modell hiányosságainak további megoldásait tekintem át röviden. 3.2.4. További megközelítések A statikus korrelációt feloldó másik megoldás, hogy implicit korreláció helyett az ún. báziskorrelációt (base correlation) használjuk. Ezt a megközelítést a J.P. Morgan munkatársai dolgozták ki ([24]). Lényege, hogy a legalsó tranche-re számolt implicit korrelációs értéket használva rekurzív módon kalibrálja a többi sáv várható veszteségeit. Ez a módszer segít kiküszöbölni a korrelációmosolyt, ugyanakkor számos további hátránya van, például nem feltétlenül lesz arbitrázsmentes az ár. Egy ehhez kapcsolódó érdekes megközelítés, hogy ezeket a báziskorrelációkat dinamikusan, vagyis időtől függően is kezelhetjük; ennek bemutatása és empirikus eredményei megtalálhatóak a [6] cikkben. 38

A sztochasztikus korrelációt tulajdonképpen továbbviszi az ún. Random Factor Loading módszer. Ezzel kapcsolatban további részletek többek közt Ferrarese [12] munkájában találhatóak. Lényege, hogy a korrelációt a gazdasági ciklusokhoz (real business cycle) köti, és azt ezáltal bizonyos tőkemutatók kapcsolataként próbálja meg felírni. Egészen más irány, melyben nem az eloszlások tulajdonságait, hanem magát a faktormodellt próbálják meg változtatni. Kézenfekvő, hogy az igen egyszerű konstrukciójú egyfaktoros modellt bővítsük ki további faktorokkal. A közös piaci faktor esetén az így alkotott modellt Glasserman és Suchintabandid ([15]), míg a vállalatspecifikus faktornál ezt van der Voort ([28]) munkájában találhatjuk meg. Látható, hogy a CDO-árazás analitikus megközelítésének területe igencsak szerteágazó. Vegyük észre, hogy az alapok lényegében mindegyik esetén megegyeznek Li és Vasicek ötleteivel: kopula használata az együttes eloszlás felírására, faktorokkal való modellezés és LHP-approximáció. Meg kell említenünk, hogy a félanalitikus módszert is gyakran alkalmazzák főként a válság óta. Egy ilyen numerikus számítási módszer például a Fast Fourier Transform (FFT), melyről Elizalde [9] és Ferrarese [12] írásaiban olvashatunk bővebben. Végül egy 2011-es tanulmányt szeretnénk kiemelni ([26]), melyben egy súlyozott Monte Carloszimulációt mutatnak be a szerzők, azonban más megközelítésű analitikus alapokra építve azt. Az összetett Poisson-folyamat mellett Laplace-transzformációt alkalmazva építenek analitikus modellt, amiből az általuk bemutatott szimulációval viszonylag gyorsan számítható egész pontos eredmény. 3.3. A modellek összehasonlítása Térjünk vissza az általam bemutatott összesen négy modellhez. Az árazás kulcsa, hogy ezen modellekben kaptunk egy-egy FL (q, t) függvényt, mellyel közelíthető a portfólió veszteségfüggvénye, így a fair prémium is becsülhető. A következőkben grafikonok segítségével mutatom be, hogy ez a veszteségeloszlás a CDO-k viselkedését hogyan modellezi. Az FL (q, t) függvény tehát kétváltozós, minden időponthoz hozzárendel egy eloszlásfüggvényt, mely kifejezi, hogy a portfólió vesztesége osztva (1 R)-rel, ettől most az egyszerűség kedvéért eltekinthetünk milyen valószínűséggel marad q hányad alatt a t időpontig (lásd a (2.11) definíciót). Nyilvánvaló, hogy ez egy q-ban növő, t-ben viszont csökkenő függvény. Ugyanis az idő előrehaladtával adott q csődarány alá esés valószínűsége egyre kisebb, hiszen az időben távolabbi bizonytalanságok nagyobb (csőd)kockázatokat jelentenek. Ugyanakkor rögzített időpontban minél magasabb q csődarány alá esés valószínűsége egyre nagyobb. Az egyfaktoros Gauss-kopula modell esetén ezt a függvényt a 3.4. ábra szemlélteti: 39

3.4. ábra. Az egyfaktoros Gauss-kopula modell kumulált portfólióveszteség-függvénye, ρ = 0, 2 korrelációt és λ = 0, 55 konstans hazárdrátát feltételezve, 1 éves lejárati idő mellett. A vastagfarkúság kapcsán kiemeltem, hogy a pénzügyi piacokon a standard normális feltételezésénél több extrém érték valósul meg. Kifejezetten a CDO-piacon ezen extrém értékek a csődöket jelentik. Az FL (q, t) függvénynek eszerint q alacsony értékeire a Gauss-kopula modellben látottnál alacsonyabb értékeket kell felvennie, hiszen a kevés csőd és így az alacsony csődarány valószínűsége alacsonyabb. Ezzel szemben a felsőbb hányadban a több csőd azaz többször bekövetkező magasabb csődarány miatt a valós kumulált veszteség meghaladja a standard normális eloszlásból adódó veszteséget. A farokviselkedésre nézve ez azt jelenti, hogy alacsony q értékeknél FL (q, t) jóval meredekebb, mint a standard modell feltételezésében, így a kumulált veszteségfüggvény sűrűségfüggvényének bal farka vastagabb lesz. Ellentétben a pozitív véggel, ahol a tapasztalat szerint többször elért magasabb csődarány miatt a kumulált veszteség lecsengése alacsonyabb, vagyis a valós sűrűségfüggvény jobb farka vékonyabb, mint a standard normálisé. A 3.5. ábrán az egyfaktoros sztochasztikus modell néhány paraméterezése és a Gauss-kopula modell által implikált veszteségfüggvényeket ábrázoltam Matlab segítségével, rögzített t = 1 év időpontban. Látható, hogy ezek a sztochasztikus modellek valóban úgy viselkednek, ahogy azt fent leírtam, kivéve a 0 közeli kis q értékek esetén. Itt egy rövid szakaszon konstans értéket vesznek fel. Ez a modell konstrukciójából adódik, a 3.2.1. állításból könnyen látható. E hátránya miatt lesz hatékony javítás, ha NIG-eloszlást alkalmazunk a sztochasztikus faktormodellben. Bár ekkor is marad egy rövid konstans szakasz (lásd a 3.6. ábrát), de a gyakorlati tapasztalatok szerint ez elhanyagolható mértékű. 40