Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában a latin vagy görög ábécé betu ivel jelöljük, pl. f, g, h,... ϕ, ψ,... Az értelmezési tartományt D-vel, Df -fel,... jelöljük. (Az index a függvény jele.) / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában a latin vagy görög ábécé betu ivel jelöljük, pl. f, g, h,... ϕ, ψ,... Az értelmezési tartományt D-vel, Df -fel,... jelöljük. (Az index a függvény jele.) / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában a latin vagy görög ábécé betu ivel jelöljük, pl. f, g, h,... ϕ, ψ,... Az értelmezési tartományt D-vel, Df -fel,... jelöljük. (Az index a függvény jele.) / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Az értelmezési tartomány és az értékkészlet szemléltetése koordinátarendszerben: y 4 f 3 Rf Df 4 3 x 3 4 3 4 4 / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Megjegyzés: A függvény definíciójában szereplo rendezett párok elso elemeit helynek nevezzük (ahol a függvény értelmezett), a második elemeket (helyettesítési) értéknek nevezzük (amit a függvény felvesz). Jelölések: A hely szokásos jelölései: x, x0, x,..., a, b,... Az érték jelölései: y, y0, y,..., f (x ), f (x0 ), g (x ),..., f (a ), ϕ (b ),... Megjegyzés: A következo kben az úgynevezett valós-valós függvényekkel foglalkozunk, vagyis olyan függvényekkel, amelyekre A R és B R. 5 / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Megjegyzés: A függvény definíciójában szereplo rendezett párok elso elemeit helynek nevezzük (ahol a függvény értelmezett), a második elemeket (helyettesítési) értéknek nevezzük (amit a függvény felvesz). Jelölések: A hely szokásos jelölései: x, x0, x,..., a, b,... Az érték jelölései: y, y0, y,..., f (x ), f (x0 ), g (x ),..., f (a ), ϕ (b ),... Megjegyzés: A következo kben az úgynevezett valós-valós függvényekkel foglalkozunk, vagyis olyan függvényekkel, amelyekre A R és B R. 5 / 40
Fogalmak A függvények értelmezése Megjegyzés: A függvény definíciójában szereplo rendezett párok elso elemeit helynek nevezzük (ahol a függvény értelmezett), a második elemeket (helyettesítési) értéknek nevezzük (amit a függvény felvesz). Jelölések: A hely szokásos jelölései: x, x0, x,..., a, b,... Az érték jelölései: y, y0, y,..., f (x ), f (x0 ), g (x ),..., f (a ), ϕ (b ),... Megjegyzés: A következo kben az úgynevezett valós-valós függvényekkel foglalkozunk, vagyis olyan függvényekkel, amelyekre A R és B R. 5 / 40
Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Grafikonnal: y Képlettel: y =x 3 f (x ) = x f : R R, f (x ) = x x 7 x f : Df = R, f (x ) = x 4 x f (x ) = x 7 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Grafikonnal: y Táblázattal: x f (x ) 3 0 3 3.5 x 3 8 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Implicit megadás: x + xy + y = 9 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Implicit megadás: x + xy + y = Grafikonnal: y x 9 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Implicit megadás: x + xy + y = Grafikonnal: y x 9 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Paraméteres megadás: x y = + sin(t ) ahol t [0, π] = cos(t ) 0 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Paraméteres megadás: x y = + sin(t ) ahol t [0, π] = cos(t ) Grafikonnal: y 3 x 3 0 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására Paraméteres megadás: x y = + sin(t ) ahol t [0, π] = cos(t ) Grafikonnal: y 3 x 3 0 / 40
Fogalmak Példák függvény megadására A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával: A D : R R függvény racionális helyeken -t, irracionális helyeken 0-t vesz fel. Megjegyzés: Ezt a függvényt Dirichlet-függvénynek nevezzük. / 40
Fogalmak Példák függvény megadására A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával: A D : R R függvény racionális helyeken -t, irracionális helyeken 0-t vesz fel. Megjegyzés: Ezt a függvényt Dirichlet-függvénynek nevezzük. / 40
globális tulajdonságai Korlátosság Definíció: Az f függvényt felülro l korlátosnak nevezzük, ha K R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) K. Megjegyzés: A definícióban szereplo K számot az f függvény felso korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha k R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) k. Megjegyzés: A definícióban szereplo k számot az f függvény alsó korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülro l is korlátos. / 40
globális tulajdonságai Korlátosság Definíció: Az f függvényt felülro l korlátosnak nevezzük, ha K R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) K. Megjegyzés: A definícióban szereplo K számot az f függvény felso korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha k R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) k. Megjegyzés: A definícióban szereplo k számot az f függvény alsó korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülro l is korlátos. / 40
globális tulajdonságai Korlátosság Definíció: Az f függvényt felülro l korlátosnak nevezzük, ha K R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) K. Megjegyzés: A definícióban szereplo K számot az f függvény felso korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha k R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) k. Megjegyzés: A definícióban szereplo k számot az f függvény alsó korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülro l is korlátos. / 40
globális tulajdonságai Korlátosság y 6 Példa alulról korlátos függvényre: 5 f (x ) = x x + 3 4 3 Legnagyobb alsó korlát a. Az alsó korlátok halmaza ], ]. Felülro l nem korlátos, így nem korlátos függvény. x 0 3 3 / 40
globális tulajdonságai Korlátosság y 5 Példa felülro l korlátos függvényre: 4 f (x ) = 5 x 3 Legkisebb felso korlát az 5. A felso korlátok halmaza [5, [. Alulról nem korlátos, így nem korlátos függvény. x 0 4 / 40
globális tulajdonságai Korlátosság Példa korlátos függvényre: y f (x ) = sin(x ) Legkisebb felso korlát az. Legnagyob alsó korlát az. x π π π π A felso korlátok halmaza [, [. Az alsó korlátok halmaza ], ]. A függvény korlátos, mert alulról is és felülro l is korlátos. 5 / 40
globális tulajdonságai Korlátosság y 4 3 Példa olyan függvényre, ami sem alulról sem felülro l nem korlátos: f (x ) = x 3 x 3 4 6 / 40
globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút maximumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút maximum értéke. Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút minimumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút minimum értéke. 7 / 40
globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút maximumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút maximum értéke. Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút minimumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút minimum értéke. 7 / 40
globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Megjegyzések: Egy függvénynek több (abszolút) maximum-, illetve minimumhelye is lehet, de maximum- és minimum értékeinek száma legfeljebb egy. Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) maximuma, ha felülro l korlátos és a legkisebb felso korlátját felveszi függvényértékként. (Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) minimuma, ha alulról korlátos és a legnagyobb alsó korlátját felveszi függvényértékként.) 8 / 40
globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Megjegyzések: Egy függvénynek több (abszolút) maximum-, illetve minimumhelye is lehet, de maximum- és minimum értékeinek száma legfeljebb egy. Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) maximuma, ha felülro l korlátos és a legkisebb felso korlátját felveszi függvényértékként. (Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) minimuma, ha alulról korlátos és a legnagyobb alsó korlátját felveszi függvényértékként.) 8 / 40
globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Példa függvényre, amelynek van abszolút minimuma, de nincs abszolút maximuma: y f (x ) = x 4x + 3 5 4 minimum hely 3 x 3 4 minimum érték 9 / 40
globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Példa függvényre, amelynek több abszolút minimumhelye, illetve maximumhelye is van: y maximum hely maximum érték 3π π π π π 3π x f (x ) = sin(x ) minimum hely minimum érték 0 / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = x + x függvény monoton növekedo. (De nem szigorúan monoton növekedo!) y 3 x 5 3 3 / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = x 3 függvény szigorúan monoton növekedo. y 8 4 x 4 4 4 8 3 / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = x függvény nem monoton. y 9 4 x 4 4 4 / 40
globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = függvény nem monoton. x y 4 x 4 4 4 5 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konvexnek nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konkávnak nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x 6 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konvexnek nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konkávnak nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x 6 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Megjegyzések: Ha a fenti definíciók utolsó sorában az egyenlo ség nincs megengedve, akkor szigorúan konvex, illetve szigorúan konkáv függvényekro l beszélünk. A konvexitás szemléletes jelentése, hogy a függvény grafikonjának két pontját összekötve a függvénygörbe a két pont közötti részen nem megy az összeköto szakasz fölé. (A függvény x és x között nem vesz fel nagyobb értékeket, mint az a lineáris függvény, amely x -ben és x -ben az eredeti függvénnyel azonos értékeket vesz fel. 7 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Megjegyzések: Ha a fenti definíciók utolsó sorában az egyenlo ség nincs megengedve, akkor szigorúan konvex, illetve szigorúan konkáv függvényekro l beszélünk. A konvexitás szemléletes jelentése, hogy a függvény grafikonjának két pontját összekötve a függvénygörbe a két pont közötti részen nem megy az összeköto szakasz fölé. (A függvény x és x között nem vesz fel nagyobb értékeket, mint az a lineáris függvény, amely x -ben és x -ben az eredeti függvénnyel azonos értékeket vesz fel. 7 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény konvex, de nem szigorúan konvex. y 4 x 4 4 8 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény konvex, de nem szigorúan konvex. y 4 x 4 4 8 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény konvex, de nem szigorúan konvex. y 4 x 4 4 8 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény szigorúan konvex. y 9 4 x 4 4 9 / 40
globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x 3 3x függvény sem nem konvex, sem nem konkáv. y 4 x 4 4 4 30 / 40
globális tulajdonságai Inflexiós pont Definíció: Az f függvénynek az x0 helyen inflexiós pontja van, ha van olyan a < x0 és b > x0 szám, hogy f értelmezett az ]a, b [ intervallumon és az ]a, x0 [, ]x0, b [ intervallumok egyikében szigorúan konvex, a másikában szigorúan konkáv. 3 / 40
globális tulajdonságai Inflexiós pont Példa: Az f (x ) = x 3 3x függvénynek az x0 = 0 hely inflexiós pontja. y 4 x 4 4 inflexiós pont 4 3 / 40
globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Definíció: Az f függvény páros, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Definíció: Az f függvény páratlan, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Megjegyzés: A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. 33 / 40
globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Definíció: Az f függvény páros, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Definíció: Az f függvény páratlan, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Megjegyzés: A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. 33 / 40
globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Definíció: Az f függvény páros, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Definíció: Az f függvény páratlan, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Megjegyzés: A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. 33 / 40
globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x függvény páros. y 9 4 x 4 4 34 / 40
globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = függvény páratlan. x y 4 x 4 4 4 35 / 40
globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x függvény nem páros, nem is páratlan. y 4 x 4 6 8 36 / 40
globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x + x függvény nem páros, nem is páratlan. y 4 x 4 4 37 / 40
globális tulajdonságai Periodicitás Definíció: Az f függvény periodikus, ha p pozitív valós szám, amelyre x Df esetén (x + kp ) Df, ha k Z és x Df esetén f (x + p ) = f (x ). Megjegyzés: A definícióban szereplo p számot az f függvény periódusának nevezzük. 38 / 40
globális tulajdonságai Periodicitás Definíció: Az f függvény periodikus, ha p pozitív valós szám, amelyre x Df esetén (x + kp ) Df, ha k Z és x Df esetén f (x + p ) = f (x ). Megjegyzés: A definícióban szereplo p számot az f függvény periódusának nevezzük. 38 / 40
globális tulajdonságai Periodicitás Példa: Az f (x ) = sin(x ) függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa π. y x π π π π 39 / 40
globális tulajdonságai Periodicitás Példa: Az f (x ) = {x } függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa. y x 5 3 3 5 40 / 40