. gyakorlat. Méréi adatok feldolgozáa méréi eredméy megadáa... Matematikai tatiztikai alapimeretek (kiegézíté) A matematikai tatiztika tárgya az hogy a tapaztalati adatokból következtee a telje okaág vagy elleőrizedő gyártátétel má eetekbe a gyártái (zolgáltatái) folyamat elméleti valózíűégi elozlááak imeretle jellemzőire. Mide méréi eredméy tartalmaz hibát a valódi méretet cak közelítjük becüljük több keveebb hibával. A méréi eredméyt befolyáoló meyiégek lehetek például a mérőezköz hőméréklete (hozméré) a ehézégi gyorulá (egye mérlegekél) frekvecia légyomá portartalom tb. A várható (valódi) érték beclééél a okzor imételt méré célja a véletle hibák cökketée. A méréek többzöri imétléével kapott eredméyeket méréi orozatak evezzük. A méréi orozat elemei elemi eeméyek. A várható (valódi) érték tehát a véletle hibáktól mete eredméy. Vége zámú méréél a valódi méretet potoa em lehet meghatározi de lehetége olya itervallum (tartomáy) megadáa mely tetzőlege valózíűéggel tartalmazza a várható értéket. A változatla körülméyek között mért méréi orozat zámú méréből áll. A mért értékeket jelöljük a következőképpe:. i. Az eredméy a várható érték általuk legvalózíűbbek tartott beclée valamit körülötte egy itervallum mely tetzőlege valózíűéggel tartalmazza a várható értéket. A várható érték legjobb beclée a orozat átlaga vagy egye eetekbe a mediá vagy a móduz. Átlag: = + +... = i i= ahol: - a méréi orozat átlaga - méréek záma - a mért értékek Az átlag körüli zóródát véletle hatáok okozzák redzere é durva hiba em lép fel. Az átlag az a zám amelytől az egye mért értékek külöbégéek özege zéru. Vagyi ha az átlagtól agyobb értékek midegyikéből kivojuk az átlagot é a külöbégeket özeadjuk akkor ez a zám egyelő az átlag é a áláál kiebb értékek külöbégéek özegével. Az átlag az a zám amely biztoítja azt hogy a tőle vett külöbégek égyzetözege miimáli. Emiatt alkalma az átlag a valódi várható érték becléére ezért evezik a legvalózíűbb értékek. Mediá: a orozat középő eleme (vagy páro zámú mért érték eetébe a két középő elem zámtai közepe) jele: Me. A mediá két rézre oztja a mitát az aló réz mediája a 5%-o aló kvartili a felő réz mediája a 75%-o felő kvartili. agyobb meyiégű adat birtokába meghatározhatók a percetiliek (zázalék). A percetili érték egy olya zázaléko érték ami kifejezi hogy a vizgált egyedekek legfeljebb mekkora háyadára jellemzõ az adott érték. Móduz: a legagyobb gyakoriággal (legtöbbzör) előforduló elem jele: Mo. A mért adatok zóródáa. A zóródá legikább jellemezhető a terjedelemmel (jele: R) vagy a becült zóráal (jele: vagy ). Terjedelem: R= ma mi ahol: ma - a legagyobb mért érték mi - a legkiebb mért érték R - a terjedelem. Szórá beclée má éve becült zórá:
A zóráégyzet (variacia) beclée: σˆ = = ± i i= ˆσ = = i i= ahol: vagy σˆ - a becült zórá (tadard eltéré) Az téyező evezője a orozat zabadágfoka. A zabadágfokot úgy kapjuk meg hogy a orozat tagzámából levojuk azokat a orozat elemeiből zármaztatott tagokat amelyeket felhazáltuk. A zórá zámítááál elemű mitáál - az oztó mivel a zámítá orá az átlagot felhazáltuk. Az átlag zóráa A külöböző időpotokba vagy má zemélyek illetve körülméyek között azoo daraboko végzett méréek átlagértékei általába em azooak. Ezért célzerű megadi olya véletle helyzetű itervallumot amely agy valózíűéggel tartalmazza a becüli kívát paramétert pl. ormáli elozlá eetébe a μ várható értéket. Eek határai az ú. kofidecia határok. Ezeket azokból az adatokból kell meghatározi amelyből az átlagot becülték. Az zámú méréi eredméy középértékéek (átlagáak) zóráa egyelő az egye értékek zórááak i -ed rézével azaz = ahol: - az átlagérték zóráa i - az egye értékek zóráa - a méréek záma Aak valózíűége hogy egy változóak az átlagtól való eltérée a zórá -zoroáál agyobb legye kiebb mit λ azaz P( λ ) λ Máképpe fogalmazva: az ± λ tartomáyo belül megtalálható az öze eeméy - λ zeree. Tetzőlege elozlá eeté például az ± 3 itervallumba megtalálható legalább az öze méré 8/9-ed réze 889 %-a. ormáli elozláál ez a biztoág agyobb (9973%). A ormáli elozlát két paraméter határozza meg: a μ várható érték é a σ zórá. ormáli vagy má éve Gau-elozláak evezük mide olya elozlát amelyek űrűégfüggvéye μ f() = e σ σ π ahol μ - az a várható érték amely felé az értékek átlaga ( ) közelít ha a méréek záma a végtelehez tart ( ) é σ - zórá amely felé a ˆ becült tapaztalati zórá közelít ha a méréek záma a végtelehez tart ( ). A ormáli elozlá űrűégfüggvéye - -től tart + -ig maimuma a μ várható értékél va zimmetriku az ifleió potok távolága a μ várható értéktől (a függőlege tegelytől) - σ é + σ. A zórá a várható érték é az elozlá ifleió potja közötti távolággal egyelő. Ha a görbe alatti
területet özegezzük é ezt ábrázoljuk a koordiátaredzerbe a - -től idulva kapjuk a függvéy F() elozlágörbéjét. Az f () űrűégfüggvéy alatti terület a (- + ) itervallumba -gyel egyelő. Ez azt jeleti hogy F( )=. A ormáli elozlá űrűégfüggvéye A ormáli elozlá elozlágörbéje A μ várható értékű é σ zóráú elozlát ( μ σ) jelöli a zakirodalomba. Az ehhez tartozó F() elozláfüggvéy értékeit táblázatból kell meghatározi. A táblázatot a zakköyvek tartalmazzák. A táblázatot az u. tadardizált ormáli elozlára adják meg amelyek várható értéke μ = 0 zóráa pedig = jelölée (0) elozláfüggvéyét pedig Φ() jelöli. Az (mσ) elozlát úgy vezetjük viza a tadardizált elozlára hogy bevezetjük az m u = σ helyetteítét é ekkor F () = Φ m ez lez a tadardizált ormáli elozlá elozláfüggvéye. Bármely ormáli elozlá eetébe eek táblázatából az elozláfüggvéy értéke meghatározható. Ebből a táblázatból az i meghatározható hogy milye valózíűéggel eik a megfigyelé (méré) eredméye az (m - k.σ; m + k.σ) zakazba (k zorzó téyező). Az tegely értékeiek függvéyébe a területeket táblázat tartalmazza épp úgy mit a ormáli elozlá értékeit. A következő ábra zemlélteti ezeket a valózíűégeket; az értékek: k=-re 0686 (686%) k=-re 09544 (9544%) k=3-ra 09973 (9973%).
.. Méréi adatok feldolgozáa feladat A feladat célja: A méréi adatok feldolgozááak gyakorláa. Elméleti imeretek A méretet megbízhatóa megbecüli cak több méré eredméyéből lehet. A kíérletorozat vagy gyártá eredméyéek meghatározáa kiértékeléi feladat mely matematikai tatiztikai feldolgozára ad lehetőéget. Két módzert hazálak: a kimiták módzerét melyek legagyobb mitaagyága 0 db a agymiták módzerét melyek legkiebb mitaagyága 40 db. A kimita módzer zerit meghatározzuk a méréi eredméyek tatiztikai jellemzőit: A mita átlaga = i i= ahol: - átlag é a mita elemeiek agyága A mita zóráégyzete: = i ebből a zórá: = i= A megbízhatóági határokat a következőképpe határozzuk meg. A kofidecia-itervallum (megbízhatóági tartomáy) a ormáli elozláú változó várható értéke körüli tartomáyt ad meg meghatározott valózíűéggel. Ez azt jeleti hogy a mért érték megbízhatóági határai mekkorák az előírt megbízhatóági zit eeté. Ha a megbízhatóági korlátokat é vel jelöljük é az -p jelölét megbízhatóági zitek (valózíűégek) evezzük akkor Imert zórá eeté a korlátok: σ az aló határ α = u p σ a felő határ α = +u p ahol: az imert zórá értéke é az u p téyező értékeit a táblázat tartalmazza: Valózíűégi zit Hibaaráy Az u p téyező értéke 90 % 0 64 95 % 5 96 99 % 58 999 % 0 39 Imeretle zórá eeté két módo határozhatjuk meg a korlátokat.. Imerjük a tapaztalati zórá () értékét ekkor az a imeretle várható értékéek megfelelő kofidecia itervallum t a + az aló határ α = t a felő határ α = + t ahol t a Studet-faktor agyága a táblázatba található: t
A ormáli elozlá várható értékéek itervallumát az (-p) megbízhatóági zit é f = - érték függvéyébe meghatározó Studet-faktor f = - 3 4 5 6 7 8 9 0 0.90 -p f = -p 095 099 0999-090 095 099 0999 6.34 706 63657 6366 78 79 3055 438 90 4303 995 3600 4 76 45 977 4.40 353 38 584 9 6 746 0 9 405 3 776 4604 860 8 734 0 878 39 05 57 403 6869 0 75 086 845 3849 943 447 3707 5959 77 074 89 379 895 365 3499 5408 4 7 064 797 3745 860 306 3355 504 6 706 056 779 3704 833 6 350 478 8 70 048 763 3674 8 8 369 4587 30 697 04 750 3646 645 960 576 39. A mitaterjedelem alapjá i meghatározható az -p megbízhatóági zithez az a várható érték kofidecia-itervalluma ha q R a +q R az aló határ: a felő határ: α = q R α ; = +q R A q téyező értékeit az átlag kofidecia-itervallumáak zámítáához a táblázat tartalmazza. a mitaagyág 3 4 5 6 q téyező ha a 095 6353 304 077 0507 0399 megbízhatóági zit 099 388 3008 36 0843 068 a mitaagyág 7 8 9 0 q téyező ha a 095 6353 304 077 0507 0399 0333 megbízhatóági zit 099 388 3008 36 0843 068 0507 Kofidecia itervallum a ormáli elozláú változó zóráára a tapaztalati zórá alapjá. Megadjuk az -p megbízhatóági zitet majd az tapaztalati zórá értékét a mitából kizámítjuk. Az 4.7 táblázat a téyezőket adja meg a ormáli elozláú változó zórááak aló é felő kofidecia határához az - p megbízhatóági zit é az f = függvéyébe. Az - p é az f = értékekhez (zabadágfok) a táblázatból a é téyezőket kikereük. A téyezők egítégével tudjuk a kofidecia itervallum A aló é F felő határait a következő képlettel meghatározi: σ A = Ψ é σ F = Ψ A zóráégyzetekre érvéye kofidecia-itervallumot ezek égyzetre emeléével kapjuk: σ A σ σ F
-p 099 098 095 090 f 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 40 50 60 70 80 90 00 0 0356 0434 0483 059 0546 0569 0588 0604 068 0630 064 065 0660 0669 0676 0683 0690 0696 070 0707 07 077 07 076 0730 0734 0737 074 0744 0748 0774 0793 0808 080 089 0838 0845 0887 59000 400 6470 4390 3480 980 660 440 77 54 056 976 90 854 806 764 77 695 666 640 67 595 576 558 54 56 5 499 487 475 390 336 99 7 50 33 9 50 0388 0466 054 0549 0576 0597 066 063 0644 0656 0667 0677 0685 0693 0700 0707 073 079 075 0730 0734 0739 0743 0747 075 075 0758 076 0765 0768 079 080 084 0835 0844 085 0858 0897 79800 9970 50 3670 3000 60 377 05 076 977 898 833 779 733 694 659 69 60 578 556 536 59 50 487 473 460 448 436 46 47 344 97 65 4 07 95 30 0446 05 0566 0599 054 0644 066 0675 0688 0699 0708 077 075 073 0739 0745 0750 0756 0760 0765 0769 0773 0777 078 0784 0788 079 0794 0796 0799 08 0837 0849 0858 0866 0873 0878 09 3900 680 3730 870 450 0 035 96 86 755 698 65 6 577 548 5 499 479 460 444 49 46 40 39 380 37 36 35 344 337 79 43 7 98 83 7 6 0 050 0578 060 0649 067 0690 0705 078 079 0739 0748 0755 076 0769 0775 0780 0785 0790 0794 0798 080 0805 0809 08 085 088 080 083 085 088 0847 086 087 0879 0886 089 0897 095 5900 4400 90 370 090 96 797 7 645 593 550 55 485 460 437 48 400 385 370 358 346 335 36 36 308 300 93 86 79 74 8 99 79 63 5 4 33 06
ÓE BGK AGI Hozmérétechika abor. gyakorlati feladatlap A gyakorlat tárgya: Méréi eredméy megadáa hibaterjedé zámítá feladat A gyakorlat időpotja:.feladat A feladat célja: A méréi eredméy megadá gyakorláa A feladat leíráa: év évf.:... Állítuk öze mérőhaábból a.méretet a legkeveebb elem felhazáláával a táblázat adataiak felhazáláával! Írjuk be a táblázatba a méret özeállítáához felhazált mérőhaábok évlege méreteit () ha imerjük a redzere hibákat (H) é a mérőhaábok megegedett eltéréeit a táblázat felhazáláával ( a valódi hoz bizoytalaága a helye érték bizoytalaága)! i [mm] = = 3 = 4 = 5 = H i i Számítuk ki a mérőhaáb-kombiáció redzere hibáját a hozát é a hoz bizoytalaágát! A mérőhaáb-kombiáció redzere hibája: H = H + H + H 3 + H 4 + H 5 = A valódi hozt helyetteítő helye érték vagy a korrigált érték: = ( + + 3 + 4 + 5 ) + H =.. A korrigált érték bizoytalaága a hibaterjedéi törvéy zerit zámítva: = ± + + + + = 3 4 5 A mérőhaábok megegedett eltéréei a középmérettől é a párhuzamoágtól évlege méret [mm] 0... 3. potoági oztályú mérőhaáb megegedett eltérée [m] felett -ig Középmérettől Párhuzamoágtól Középmérettől Párhuzamoágtól Középmérettől Párhuzamoágtól Középmérettől Párhuzamoágtól 0 0 0 00 0 0 04 03 08 03 0 5 04 00 03 0 06 03 03 5 50 00 00 04 0 08 03 6 03 50 75 05 0 05 0 0 04 0 04 75 00 030 0 06 0 04 5 04 Adjuk meg a mérőhaáb-kombiáció özeállítááak eredméyét a mértékegyég feltütetéével! X = =
. feladat Módzer: külöbég méré Elv: optomechaiku Méré módja: éritkezée Mérőezköz: optiméter ( m) A méréi folyamat leíráa A mukadarab méretéek megállapítáa közelítő méréel kegyele mikrométerrel. A közelítő méret imeretébe mérőhaáb-kombiáció özeállítáa. A mérőezköz ullára állítáa a mérőhaáb-kombiáció egítégével. Az özeállított mérőhaáb-kombiáció mérée 0-zer. A mért értékek a következők: 0; ; 0; -; ; ; ; 0; -; 0 m. A mukadarab méretéek mérée 0-zer. A mért értékek a következők: ; 3; -; ; -3; 0; ; 3; ; 3 m. A méréi eredméy megadáa. A mukadarab közelítő mérete kegyele mikrométerrel mérve: =.. mm. A zükége mérőhaáb-kombiáció mérete: =.mm. A mérőhaáb-kombiáció tagjai: =..mm =..mm 3 =..mm 4 =..mm 5 =..mm. Írja be az alábbi táblázatba a mért értékeket eltéréeket a beállított 0-tól m Méréek záma (k) 3 4 5 6 7 8 9 0 Átlag Mérőhaáb eltéré a 0 helyzettől Mukadarab eltéré a 0 helyzettől A mért értékek tatiztikai feldolgozáa A mérőhaáb-kombiáció mért értékeiek zóráégyzete k 0 i i A mukadarab mért értékeiek tapaztalati zóráégyzete k 0 i i Az egye bizoytalaágok jellegük zerit redzere é véletle hibák melyek rézbizoytalaágokat tartalmazak. ahol mh a mukadarab mérééek bizoytalaága a mérőhaáb-kombiáció mérééek bizoytalaága mh a mérőhaáb-kombiáció méretéek bizoytalaága.
ahol valamit K é K - a mérőműzer (optiméter) legagyobb bizoytalaága a műzerhez tartozó hazálati leírá alapjá a telje méréi tartomáyba = 0 m; K é K a mukadarab illetve a mérőhaáb méré megbízhatóági (kofidecia) itervalluma: K t k ahol t a Studet elozlá paramétere (k-) = 9 zabadági fokzám eeté értéke 6; 95%-o valózíűégi zite. K t k Tehát mh H T ahol H = H + H + H 3 + H 4 + H 5 Jelöléek: Tehát valamit ahol: H = E + F =.. H = E + F =.. H 3 = E 3 + F 3 =.. H 4 = E 4 + F 4 =.. H 5 = E 5 + F 5 =.. H a mérőhaáb-kombiáció bizoytalaága (hibakorlátja) melyet a gyárilag megadott két bizoytalaág (E é F ) alapjá zámítuk E a mérőhaáb megegedett eltérée a középmérettől (ld.. oldal) F a mérőhaáb megegedett eltérée a párhuzamoágtól (ld.. oldal) H T a hőméréklet eltéréből adódó hiba ha a mukadarab é a mérőhaáb hőtágulái együtthatói ill. hőmérékletei em azooak. Számítáa: ahol Tehát T =. T. T a 0 o C-tól mért külöbég külöbég a hőtágulái együtthatók között. Példákba T elhayagolható mértékű. mh mh A méréi eredméy: X = + = hallgató aláíráa gyakorlatvezető aláíráa
Özefoglaló kérdéek. Mi a okzor imételt méré célja?. Mi a méréi orozat? 3. Tartalmaz-e véletle hibát a valódi érték? 4. Vége zámú méréél mi tartalmazza a várható értéket? 5. A várható érték beclééek módzerei. 6. Mit jelet: kvartili? 7. Mit jelet percetili? 8. Mivel jellemezhető a zórá? 9. Hogya becüljük a variaciát? 0. Hogya özegezzük a redzere hibákat ha imerjük agyágukat é előjelüket?