STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN

STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Polgárné Hoschek Mónika Nyuga-magyarországi Egyeem Sopron.

STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN Érekezés dokori (PhD) fokoza elnyerése érdekében Készül a Nyuga-magyarországi Egyeem Széchenyi Isván Gazdálkodás- és Szervezésudományok Dokori Iskola Pénzügyi programja kereében Íra: Polgárné Hoschek Mónika Témavezeı: Dr. Závoi József Elfogadásra javaslom (igen / nem) (aláírás) A jelöl a dokori szigorlaon % -o ér el. Sopron, a Szigorlai Bizoság elnöke Az érekezés bírálókén elfogadásra javaslom (igen /nem) Elsı bíráló (Dr...) igen /nem (aláírás) Második bíráló (Dr..) igen /nem (aláírás) A jelöl az érekezés nyilvános viáján % - o ér el. Sopron,.... a Bírálóbizoság elnöke A dokori (PhD) oklevél minısíése........ Az EDT elnöke 3

4

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK... 5 ÁBRAJEGYZÉK... 8 TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE... TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE... RÖVIDÍTÉSEK JEGYZÉKE... BEVEZETÉS... 4 ELİREJELZÉSEK... 6. Kvaliaív elırejelzés... 6. Kvaniaív elırejelzés... 7.. Kauzális módszerek... 7... Többválozós regressziós modellek... 7... Ökonomeriai modellek... 8...3 Többválozós Box-Jenkins modell... 9.. Projekív módszerek... 9... Deerminiszikus idısorelemzés...... Kiegyenlíı eljárások......3 Szochaszikus idısorelemzés... 5.3 ARMA modellek... 7.3. Sacionariás... 7.3. Idenifikáció... 8.3.3 Becslés... 3.3.4 Diagnoszikai ellenırzés... 3.4 ARCH modellek... 33 TİZSDEI ELEMZÉS... 36. A fundamenális elemzés... 36. Technikai elemzés... 37 3 RAX... 4 4 ALKALMAZOTT MÓDSZEREK... 44 4. Dekompozíció... 44 4.. Trendszámíás... 44 4... Lineáris rendszámíás... 45 5

4... Polinomiális rendek... 47 4...3 Logiszikus rend... 47 4...4 Log-lin rend... 48 4...5 Log-log rend... 48 4...6 A reziduális válozóra vonakozó feléelek eszelése... 49 4...7 Mozgóálagolás... 56 4.. Konjunkúra haás kiszőrése... 57 4..3 Szezonaliás kiszőrése... 58 4..4 Spline... 6 4..5 Modellszelekciós kriériumok... 66 4. ARMA modellek felépíése... 68 4.3 ARCH modellek felépíése... 73 4.4 Elırejelzések fajái... 74 5 A VIZSGÁLAT... 76 5. A vizsgála árgya... 76 5. Deerminiszikus rendszámíás... 77 5.. Lineáris rend... 77 5.. Polinomiális rendek... 8 5..3 Logiszikus rend... 93 5..4 Logarimusos rendek... 95 5..5 Deerminiszikus rendek összefoglalása... 5..6 Ciklus haás kiszőrése... 5..7 Szezonális haás kiszőrése... 7 5.3 Új ípusú spline-ok... 5.4 A RAX ARMA modellje... 4 5.4. Idenifikáció... 4 5.4. Becslés... 8 5.4.3 Ellenırzés... 9 5.5 A RAX ARCH modellje... 5.6 A RAX GARCH modellje... 5 6 EREDMÉNYEK ÖSSZEGZÉSE, JAVASLATOK... 8 6. Új/újszerő eredmények... 8 6. Javaslaok... 9 ÖSSZEFOGLALÁS... 3 6

SUMMARY... 33 IRODALOMJEGYZÉK... 35. MELLÉKLET... 4. MELLÉKLET... 56 NYILATKOZAT... 57 7

ÁBRAJEGYZÉK. ábra: Idıbeli elırejelzések csoporosíása... 35. ábra: A BUX index alakulásának vonaldiagramja 7. január. -. auguszus. közö... 38 3. ábra: A BUX index alakulásának japán gyerya diagramja 9. december.. július 5. közö... 38 4. ábra: RAX idısora 5. január 5. - 7. november 6... 45 5. ábra: Tipikus auokorrelációs eseek... 5 6. ábra: Homoszkedasziciás és heeroszkedasziciás... 5 7. ábra: Normál valószínőségi ábra... 55 8. ábra: Ké megfigyelésre illeszkedı polinom... 6 9. ábra: Három megfigyelés és a polinomja... 6. ábra: Több elemő megfigyelés és polinomja... 6. ábra: Elırejelzés az idıben... 75. ábra: A RAX alakulása. szepember 7 -. július 9... 76 3. ábra: A RAX idısorára illesze lineáris rend... 77 4. ábra: Lineáris modell vélelen agjai... 78 5. ábra: A RAX volailiása. szepember 7-. július 9... 8 6. ábra: A maradékok eloszlása és a normális eloszlás... 8 7. ábra : A maradékok Q-Q ploja... 8 8. ábra: Polinomiális rendek... 85 9. ábra: Polinomiális rendek maradék agjai... 86. ábra: Polinomiális rendek reziduumainak eloszlása és Q-Q ploja... 9. ábra: Logiszikus rend és a RAX... 93. ábra: Logiszikus rend maradékainak normaliásvizsgálaa... 94 3. ábra: Log-lin és log-log rendek és a RAX... 96 4. ábra: Log-lin és log-log rendek reziduumai... 97 5. ábra: Log-lin és log-log rendek reziduum eloszlása és Q-Q ploja... 99 6. ábra: Öödfokú polinom ACF és PACF függvényei... 3 7. ábra: Öödfokú rend ACF és PACF függvénye PW regresszió uán... 4 8. ábra: Öödfokú polinom, 5 agú mozgóálag és a ciklus... 5 9. ábra: Öödfokú polinom, agú mozgóálag és a ciklus... 6 8

3. ábra: Csak szezonaliás aralmazó adaok (5es és as mozgóálagból számíva) 7 3. ábra: Maradékagok (5,4; 5,;,4; ;)... 9 3. ábra: 9, 44 és spline-ból épíe rend... 33. ábra: 9 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai... 34. ábra: agú spline-nal képze rendek vélelen agjai... 3 35. ábra: 44 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai... 3 36. ábra: A RAX korrelogramja és parciális korrelogramja... 7 37. ábra: Elsırendően differenciál RAX adaos ACF és PACF ábrája... 8 38. ábra: A RAX hozamok eloszlása és Q-Q ploja... 39. ábra: A RAX volailiása. szepember 7. -. július 9... 4. ábra: A RAX hozamok ACF és PACF függvényei... 4. ábra A RAX hozamnégyzeek ACF és PACF függvényei... 3 4. ábra: AR()+GARCH(,) modellnél reziduumok eloszlása... 6 43. ábra: AR()+GARCH(,) modellnél a sandardizál reziduumok eloszlása... 6 44. ábra: AR()+GARCH(,) sandardizál reziduumainak Q-Q ploja... 7 9

TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE. Tábláza: Lineáris rend illeszése a RAX-ra... 78. Tábláza: Auokorreláció eszelése lineáris modell eseén... 79 3. Tábláza: Whie esz a heeroszkedasziciásra... 79 4. Tábláza: Breusch-Pagan esz a heeroszkedasiciásra... 79 5. Tábláza: Maradékok eloszlása lineáris rend eseén... 8 6. Tábláza: Polinomiális rendek... 83 7. Tábláza: Polinomiális rendek modellválaszási kriériumai... 84 8. Tábláza: Polinomiális rendek auokorrelációjának eszelése... 87 9. Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje... 88. Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje (csak négyzees agok)... 89. Tábláza: Polinomiális rendek Breusch-Pagan eszje... 9. Tábláza: Polinomiális rendek illeszkedésvizsgálaának eredményei... 9 3. Tábláza: Logiszikkus rend számíásának adaai... 94 4. Tábláza: Log-lin és log-log rendek... 95 5. Tábláza: Log-lin és log-log rendek auokorrelációjának ellenırzése... 97 6. Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Whie eszje... 98 7. Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Breusch-Pagan eszje... 99 8. Tábláza: Deerminiszikus rendek összefoglaló ábláza... 9. Tábláza: Öödfokú polinom becslése.... Tábláza: Prais-Winsen eljárás eredménye.... Tábláza: Negyedéves szezonális elérés adaok (5es és as mozgóálagra)... 8. Tábláza: A deerminiszikus rendek hibái... 3. Tábláza: ADF esz konsans aggal... 5 4. Tábláza: ADF esz konsans és rend jelenléében... 5 5. Tábláza: ADF esz konsans és négyzees rend jelenléében... 6 6. Tábláza: KPSS esz 8 késleleéssel... 6 7. Tábláza: ARIMA(,,) modell... 9 8. Tábláza: Különbözı ARMA modellek modellszelekciós kriériumai... 9 9. Tábláza: A RAX hozamok alapsaiszikája... 3. Tábláza: AR()+ARCH() modell eredményei... 3 3. Tábláza: ARCH modellek modellszelekciós kriériumai... 4

3. Tábláza: AR()+GARCH(,) modell... 5

RÖVIDÍTÉSEK JEGYZÉKE ACF - AuoCorrelaion Funcion, auokorrelációs függvény ADF Augmened Dickley-Fuller es, kierjesze Dickley-Fuller esz AIC Akaike Informaion Crierion, Akaike információs kriérium BLUE Bes Linear Unbiassed Esimaion, legjobb lineáris orzíalan becslés CORC Cochrane-Orcu eljárás DW - Durbin-Wason próba FAE Függelen és Azonos Eloszlású HQ- Hannan-Quinn crierion, Hannan-Quinn kriériumő KPSS - Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin esz LM - Lagrange Muliplikáor ML Maximum Likelihood OLS Ordinary Leas Squares, legkisebb négyzeek elve PACF Parial AuoCorrelaion Funcion, parciális auokorreláció függvény PW Prais-Winsen eljárás SIC Schwarz Informaion Crierion, Schwarz információs kriérium SSE =ESS sum of squares of error, exlpained sum of squares, hibák elérés négyzeösszege, magyarázo négyzeösszeg SSR= RSS sum of squares of regression, residual sum of squares, regressziós elérés négyzeösszeg, reziduális négyzeösszeg

WN - Whie Noise, fehér zaj WLS - Weighed Leas Squares, súlyozo legkisebb négyzeek módszere 3

BEVEZETÉS A ızsdei indexek éréke rendkívül fonos információ hordoz a befekeık számára. A dönéseiknél azonban a múla ükrözı indexnél sokkal fonosabb lenne egy olyan muaóval rendelkezni, ami a jövı veíi elıre. Erre a problémára ökélees megoldás még nem szülee. A saiszikában az idısor elemzés különbözı módszereke alkalmaz az elmúl idıszak endenciáinak, összefüggéseinek a felárására és egyben ámpono nyúj a jövı várhaó folyamaainak elıreláásához. Kuaásom során az vizsgálam, hogy az elırejelzési módszereke felhasználva mennyire megbízhaó jövıbeni index érékeke lehe meghaározni. A célom az vol, hogy elırejelzés adjak az egyik magyar ızsdei index, a RAX érékének alakulására vonakozóan. Ahogyan a örénelem során minden eljárási módszer finomodo, ökéleesede, úgy a saiszikai elırejelzéseknél is megörén ez a válozás. A különbözı elırejelzési módszereke felhasználva készíeem elırejelzés a 7-es évekig uralkodó deerminiszikus szemlélee köveve, majd a 8-as évek kedvel ARMA modelljeivel, míg uoljára a legfiaalabb módszercsalád, az ARCH modellek felhasználásával. A kuaás során döbbenem rá, hogy a magyar és a nemzeközi szakirodalom nem egységes az idıbeni elırejelzések csoporosíása során, így elıször ebben kelle egy egységes rendszer lérehoznom. A disszeráció felépíésé az elırejelzési módszerek csoporosíásával kezdem, megmuava a fıbb módszerek lényeges összefüggései. A második fejezeben a ızsdei elemzés ké ípusá muaom be, részleesebben foglalkozva a echnikai elemzéssel, hiszen ez az elemzés a saiszikai eszközár öbb elemé felhasználja és a kuaásaima is befolyásola a echnikai elemzés módszerana. A ızsdei indexek közül a RAX-o elemezem ezér a harmadik fejeze a befekeési alapokról és magáról a RAX-ról szól. A negyedik fejezeben az alkalmazo módszerek, próbák kerülnek ismereésre. Az öödik fejeze aralmazza a 4

kuaási eredményeke, a különbözı módszerekkel készíe modelleke és elırejelzéseike. A haodik, uolsó fejezeben az eredményeke foglalom össze, illeve megfogalmazom a késıbbi céljaima, a ovábbi kuaási leheıségeke. A disszeráció megírásához felhasznál könyvek, jegyzeek, cikkek jelölései egységes formára hozam. A ovábbiakban csak azon egyenleeknél hivakozom az eredei szerzıre, ahol nem közismer, álalánosan használ összefüggésrıl van szó. Az adaok feldolgozásához és a modellek felépíéséhez a GRELT (Gnu Regression, Economerics and Time-series Library) nevő ökonomeriai programo használam. A program ingyenesen hozzáférheı az inerneen, illeve egy korai verziója a Magyarországon forgalomban lévı ké nagy ökonomeriai könyv egyikéhez [55] mellékelve van. A spline-okból felépíe rende MapleV 5 programcsomagban ír program segíségével haározam meg. hp://grel.sourceforge.ne/ 5

ELİREJELZÉSEK A magyar és a nemzeközi szakirodalomban az idıben örénı elırejelzéseke különbözı módon csoporosíják, különbözı elnevezéseke használnak. Dolgozaomban megpróbálom ezeke közös nevezıre hozni és egy olyan oszályozás adni, amely mindké félnek elfogadhaó, a ké erüle felfogásá övözi. Abban mind a hazai mind pedig a külföldi szakírók egyeérenek, hogy az elırejelzés lehe kvaniaív és kvaliaív, azaz a számokon alapuló, illeve a minıségi.. Kvaliaív elırejelzés Chafield [4] ez a ípus szubjekív elırejelzésnek hívja, hiszen a megkérdeze személyek apaszalaán, udásán, megérzésein alapszik. Ezek a megkérdezeek lehenek a menedzsmen agjai, piackuaók, szakérık. (Ezér alálkozhaunk ezzel a csoporal kollekív szakérıi megkérdezés címen is.) A megkérdezeek minden eseben olyan személyek, akik a vizsgál erülee behaóan ismerik, és így képesek olyan dolgok, válozások megláására, elırejelzésére, amike mások nem udnának. Ilyen elırejelzési módok: Delphi-módszer, szakérıi becslés, brainsorming, öleroham, piackuaás, sory elling módszer, egyéb. 6

. Kvaniaív elırejelzés Ezek az elırejelzések már objekívebbek, hiszen a számok elemzésén alapszanak. Aól függıen, hogy az ado jelenség oká vagy a múlbeli érékei ekini-e vizsgálaa alapjának ké nagy csoporra lehe oszani: Kauzális módszerek Projekív módszerek.. Kauzális módszerek Ahogy az a módszercsalád megnevezésébıl is lászik, i a jelenség okának a felárása a cél, és ha már ez megvan, akkor jöhe a jövı prognoszizálása. Mivel egy jelenségnek csak nagyon rikán van egyelen oka, így ezeke a módszereke öbbválozós modelleknek is szokás nevezni.... Többválozós regressziós modellek A regresszió-elemzés feladaa annak jellemzése, hogy a ényezıválozó (x) milyen módon, milyen örvényszerőség szerin feji ki haásá az eredményválozóra (y) (Ramanahan [37] ). A regressziószámíás során háromféle regresszióval alálkozhaunk: Analiikus regresszió - ami a megfigyel adaainkból számíunk ki egy elıre meghaározo formula segíségével. Amikor a udományos éleben valaki a regresszió kifejezéssel alálkozik, akkor o az analiikus regresszióval foglalkoznak. Ebben a regresszióban a legfonosabb a megfelelı függvényípus kiválaszása, majd pedig a kiválaszo függvény paraméereinek kiszámíása. A leggyakrabban használ függvényípusok a lineáris, exponenciális, haványkievıs, polinomiális, hiperbolikus és a lin-log. 7

Elmélei regresszió ami a feléeles várhaó érékkel definiálhaó, azaz y-nak x-re vonakozó elmélei regressziója y = E( y x) Tapaszalai (empirikus) regresszió ami ulajdonképpen egy részálagokból képze saiszikai sor, ahol x és y érékek a kövekezıképpen alakulnak: x érékek ( x i ) y részálagok ( y i ) x x M x k y ( x ) = y y y k ( x ( x k ) = y M ) = y k (..) A öbbválozós regressziónál a magyarázo válozóra (y) nem csak egy, hanem öbb magyarázó válozó x, x, K, x ) is haás gyakorol egy idıben. A öbbválozós ( k regressziós modellek közül a lineáris a legelerjedebb. Ennek nem csak az egyszerősége, könnyő érelmezheısége az oka, hanem az is, hogy a legöbb közgazdasági folyama vagy jól közelíheı a lineáris regresszióval, vagy arra könnyen visszavezeheı. A öbbválozós lineáris regressziós modell álalános alakja: y = β + β + β + K+ β + ε x x k xk (..) ahol ε maradékag normális eloszlású valószínőségi válozó, amelyre E( ε ) =, Var( ε x ) = σ és Cov( s ε x ) = ε,minden s -re, azaz függelen és azonos eloszlású. x... Ökonomeriai modellek Az ökonomeria a közgazdasági összefüggések, a gazdasági magaarás becslésével, a közgazdasági elméle és ények szembesíésével és hipoézisvizsgálaával, valamin a közgazdasági válozók viselkedésének elırejelzésével foglalkozik (Ramanahan [55] ) a Az ilyen jellemzık leírására a szokásos jelölés a FAE. 8

saiszika eszközárá felhasználva. Az ökonomeriai elemzések elsı és legfonosabb feladaa a vizsgál folyamao jól 3 leíró modell elkészíése. Az ökonomeriai modellbıl nyer válozó endogén válozónak, az endogén válozókban fellépı örvényszerőségeke feláró válozóka pedig magyarázó válozóknak nevezzük. A modellben lehenek olyan válozók is, melyek éréke a modellen kívülrıl adódik, azaz ökonomeriai modellbıl nem levezeheı, ezeke hívjuk egzogén válozónak. Amennyiben ilyen egzogén válozók is jelen vannak a modellünkben, akkor az elırejelzésünk feléeles 4 lesz. Az ökonomeriai modellek fonos része a hibaag, amely a vizsgálai szemponból lényegelen válozók és az elıre nem láhaó események összessége (Maddala [39] )....3 Többválozós Box-Jenkins modell G. E. Box és G. M. Jenkins 968-ban publikálák cikküke [6], melyben a... alfejezeben leír módszerüke ismereék. Ennek az eljárásnak a kierjeszése a öbbválozós modell, melyben a klasszikus ARMA modell bıvíik ki, és amelye ranszfer funkciós modellnek nevezek el... Projekív módszerek Ez a módszercsalád egyválozós. Az elırejelzések ezen ípusai az idısoroka használják fel, a múlból (min egyelen vizsgál válozóból) indulnak ki, az vizsgálják, majd pedig annak felhasználásával próbálnak a jövıre vonakozó prognózisoka adni. A múlnak ehá i kiemel jelenısége van. Ám amíg a projekív módszerek egyik csoporja elfogadja, 3 A modell jósága mindig az elemzés végzıkıl, a felépíe szemponrendszerıl függ. Bizonyos szemponból lehe egy egyszerő modell is jó, valamikor viszon csak egy összee, sokényezıs modell felel meg a vizsgála kriériumainak. 4 Feléeles elırejelzés: ha az eredményválozó azon feléelezés melle jelezzük elıre, hogy a magyarázóválozók bizonyos érékekkel rendelkeznek (Ramanahran [55] ). Ha a modellbıl vagy egy segédmodellbıl kapjuk meg a magyarázóválozók éréké, akkor feléel nélküli elırejelzésrıl beszélünk. 9

hogy minden elıre elrendel, deerminál, addig a másik csopor már nem gondolja, hogy elég a endenciák auomaikus jövıre való kiveíése.... Deerminiszikus idısorelemzés Minden elıre elrendel, az események elıre deerminál pályán mozognak. Ez a feléelezés kövei a deerminiszikus idısorelemzés. Amennyiben ez valóban így van, akkor a legfonosabb felada ennek az elrendel pályának a megismerése azér, hogy a jövı alakulásá képesek legyünk elıre jelezni. Az elırejelzéshez ehá ismernünk kell az ú részei, elemei. Ehhez részeire kell bonanunk az idısor, azaz dekompozícióra van szükség. Az idısor négy része a rend, a ciklus, a szezon és a vélelen.. rend vagy alapirányza: az idısorban hosszabb idıszakon arósan érvényesülı endencia, amely az idısor alakulásának a fı irányá, álalános színvonalá jeleni. Az alapirányza maga is öbb, hosszúávon érvényesülı ényezı együes haásának a kövekezménye. Alapveıen ársadalmi, gazdasági örvényszerőségek (pl.: demográfiai válozások, echnológiai válozások, preferenciákban bekövekezı válozások, a piac növekedése, az infláció, a defláció) haározzák meg.. ciklus: a rend felei vagy alai arósabb, nem szabályos mozgás, így jelenésé csak hosszabb idısorok alapján lehe felfedni és anulmányozni. Ennek a komponensnek az elemzésérıl gyakran elfeledkeznek 5, pedig kiszőrése az idısorból fonos, hiszen nélküle a kapo eredmények orzak lehenek. 3. szezonális vagy idényszerő ingadozás: azonos hullámhosszú és szabályos ampliúdójú, öbbnyire rövid ávú ingadozás. Azaz olyan rimikus ingadozás, amely szabályosan visszaérı idıközönkén mindig azonos irányba éríi el az idısor éréké az alapirányzaól. A gazdasági idısorok szine mindegyike mua éves periódusokban ismélıdı szezonális ingadozás és/vagy periodikus ingadozás. Az ingadozás lehe akár 5 Korpás Ailáné Dr.: Álalános saiszika II. címő könyvében [34] az idısornak csak 3 elemé emlíi, és így csak három elemmel számol.

napi, hees, hónapos, aól függıen, hogy mi okoza (pl.: évszakok válozása, ünnepek, ársadalmi szokások). 4. vélelen ingadozás: szabályalan mozgás, ami sok eseben nem mua semmilyen sziszemaikusságo. Sok, az idısor szemponjából nem jelenıs ényezı együes haásá képviseli. Szabályalan jellege mia az idısorra gyakorol haásá a múlra ki udjuk muani, ám elıre jelezni nem lehe 6. A dekompozíciós modelleknél az idısorok négy része egymással kéféle kapcsolaban lehe: Addiív modell: az idısor elemeinek haása összeadódik y ij = yˆ + c + s + ε (.3.) ij ij j ij Muliplikaív modell: az idısor elemeinek haása összeszorzódik y ij = yˆ c s ε (.4.) ij ij j ij ahol y az idısor éréke ŷ a rend c a ciklus s a szezonális komponens ε a vélelen ingadozás i =,, K,n a periódusok száma j =,, K,m a perióduson belüli rövidebb idıszakok száma 6 Az...3-ban ismeree szochaszikus idıelemzés éppen ezzel foglalkozik.

A deerminiszikus eljárások a vélelennek igen kis jelenısége ulajdoníanak. Ám a vélelen képes az idısor elemei közül leginkább befolyásolni a közeljövı eseményei. Éppen ezér megbízhaó elırejelzések elsısorban hosszabb ávra készíheıek a dekompozíciós modellekkel.... Kiegyenlíı eljárások A projekív módszerek a múlból indulnak ki és annak ismereében képesek elırejelzések készíésére. Amíg a deerminiszikus modellek eleve elrendelnek ekinik a jövı, addig a kiegyenlíı eljárások már élnek azzal a feléelezéssel, hogy a múl nem minden elemének van ugyanolyan jelenısége, befolyásoló haása a jövıre. A simíó eljárások ehá figyelembe veszik az a ény, hogy a múlbeli események haása az idıvel csökken, nem kell valamennyi már meglévı adao ugyanazzal a súllyal szerepeleni, szükség van a fokozaos felülvizsgálara. A simíó eljárások lényege, hogy a prognózis során a becsül ( ŷ ) és a megfigyel ( y ) érék közöi elérés, hibá ( e ), már beépíi a kövekezı becslésbe, azaz elırejelzés korrigálja a korábban elkövee hibák érékével: y ˆ + = y + αf ( e ) (.5.) ˆ Az α a simíó paraméer, amely a simíás méréké adja meg, vagyis az, hogy a korábbi hibáka milyen mérékben vesszük figyelembe. Ha az α éréke alacsony, akkor a hibá kevésbé épíi be, az idısorunk rendkívül kisimulha. Amennyiben azonban az α éréke a maximumhoz, az -hez közelí, a hibá kellıen figyelembe vesszük, ám ebben az eseben a vélelen ingadozások is kiszőrıdnek és a endencia már nem rajzolódik ki megfelelıen. Az f függvény legegyszerőbb esee, ha a simíó paraméer az elkövee hibával szorzódik össze.

Az exponenciális kiegyenlíésnél a jelenhez közelebb esı eseményeknek nagyobb súly adhaunk, min a már múlba veszı adaoknak. Az egyszeres exponenciális simíás modellje rendelkezik a sziszemaikus anulás képességével (Ralph e. al.[54] ), azaz: yˆ yˆ ( y yˆ ) y ( ) yˆ + = + α = α + α α (.6.) I az elırejelzés ké komponensnek a súlyozo álagából adódik, ahol a megfigyel ada súlya a simíó paraméer, míg a becsül éréké annak komplemenere. Felírva a öbbi idıszakra is a kifejezés megkapjuk a yˆ + = αy + ( α) y + α( α) y + K + α( α) y + ( α) y i = α( α) y i + ( α) yˆ (.7.) i= kifejezés, ahol a - végelenül nagynak ekinve az induló érék yˆ ) előnik, s a megmarad résznél a súlyok ( α) haványai szerin exponenciálisan csökkennek. (Innen ered az eljárás megnevezése is.) ( Az egyszeres simíás csak abban az eseben használhaó, ha a vizsgál adaok nem muanak semmilyen szezonaliás és rend sem figyelheı meg. Készeres exponenciális simíásnál a simíás készer végezzük el egymás uán. Az ismer eljárások közül a ké leginkább elerjed számíási módo, a Brown-féle exponenciális simíás (Brown [] ) és a Hol-módszer (Hol [7] ) emelném ki. A Brown-féle simíás az egyszerőbb módszer, mer ennek során a már ismer egyszeres simíás kell készer egymás uán elvégezni, azaz a már kisimío idısor újra ugyanazzal az α simíó paraméerrel ismé simíjuk. Az egyszeres simíás némileg megválozo jelölésekkel a kövekezı formában adhaó meg: 3

S () () = y + ( α) S α (.8.) ahol () S jelöli a -dik idıszaki becsül érék az egyszeres simíás uán. Ezuán az elızıvel analóg módon elvégzem a második simíás: S () () () = S + ( α) S α (.9.) ahol () S jelöli a -dik idıszaki becsül érék a készeres simíás uán. Az inicializálás, azaz a kezdei érék meghaározása rendkívül fonos. Az álalános gyakorla alapján a kezdei érékeknek az idısor elsı elemé ekinjük. A jövıbeni érékek elırejelzéséhez a y ˆ (..) () () + = S S egyenlee használhajuk, felhasználva mind az egyszeres, mind a készeres simíással kapo idısor adaoka. A Hol-módszer annyiban különbözik az elızıekben bemuaoól, hogy az elsı simíás uán a második simíás, amely a rende jelzi elıre, már más simíó paraméerrel dolgozik: S G = αd = β ( S + ( α)( S S G ) + ( β ) G ) (..) ahol S az elsı simíás uáni, G a második simíás uáni, D pedig a megfigyel érék. Az elırejelzéshez ( F+ érékének meghaározásához) a ké simíás uáni éréke kell felhasználni: F + + = S G (..) illeve egy késıbbi idıponra örénı elırejelzés eseén: 4

F = S + G, + τ τ (.3.) Az Skezdei éréknek álalában a megfigyel adao ekinjük, míg a G érékére három ajánlás léezik....3 Szochaszikus idısorelemzés Sem a deerminiszikus modellek, sem a simíó eljárások nem helyeznek nagy hangsúly a vélelenre, azaz a szochaszikus agra. Ebben a fejezeben azoka a modelleke muaom be, amelyek éppen a vélelennek ulajdoníják a legnagyobb szerepe. Vélelen bolyongás Egy y folyamao vélelen bolyongásnak hívunk, amennyiben y = + ε (.4.) y formában írhaó fel, ahol auokorrelálalan, azaz valódi vélelen folyamao ír le 7. ε konsans várhaó érékő, konsans varianciájú és Auoregresszív modellek (AR) Amennyiben a vizsgál idısor sem rend-, sem ciklus-, sem pedig szezon-haás nem aralmaz, akkor az y adaaink jól modellezheıek az auoregresszív modellekkel ( AR ( p)) : y = α y + α y + K + α p y p + ε (.5.) 7 Az ilyen vélelen folyamaoka fehér zajnak (whie noise) nevezi a szakirodalom. 5

ahol ε iszán fehér zaj folyama. Vagyis a magyarázo válozó kizárólag sajá korábbi érékeinek függvénye. Abban az eseben, amikor csak az elızı idıszaki érékkel van kapcsolaban, azaz csak egy periódussal késlelee a válozónk, akkor elsırendő auoregresszív folyamaal (AR()) állunk szemben: y = α y + ε (.6.) Mozgóálag modellek (MA) Ha egy y válozó fehér zaj maradék agok lineáris kombinációjából áll, akkor q -ad rendő mozgóálag folyamaról beszélünk: y = β ε ε + βε + K+ β q q (.7.) ahol ε FAE fehér zaj. Az az összefüggés gyakran kicsi módosío formában írják fel: y = ε β ε ε β ε K β q q (.8.) ARMA modellek Az elızı ké modellek egyesíése az auoregresszív mozgóálagolású (ARMA) modell: y = α ε y + α y + K + α p y p + ε βε β ε K β q q (.9.) A folyama p számú auoregresszív és q számú mozgóálag ago aralmaz, így ennek jelölése ARMA ( p, q). Gazdasági idısorokkal kapcsolaos feladaok közül sok könnyen megoldhaó ARMAmodellel, így ezekrıl a kövekezı fejezeben részleesen számolok be. 6

.3 ARMA modellek A ársadalmi, ermészeudományos és a gazdasági folyamaoka, azok idıbeli lefolyásá nagyban befolyásolja a vélelen. Éppen ezér olyan elerjed az idısorelemzés ezen módja, melyben a vélelennek kiemel szerep ju. Az ARMA modellek paraméereinek meghaározására és a kapo modellek jóságának ellenırzésére G. E. P Box és G. M. Jenkins [7] 968-ban jelenee meg egy három lépésbıl álló megközelíés:. Idenifikáció. Becslés 3. Diagnoszikai ellenırzés A modellek ilyen formán örénı kialakíása olyannyira elerjed, hogy az idısorelemzés ezen ípusá gyakran hívják Box-Jenkins modellnek..3. Sacionariás Az ARMA modellek felépíése során öbbször elıkerül a sacionariás fogalma. Ha egy idısor maradék agjának várhaó éréke, varianciája, auokovarianciája 8 nem függ az idııl, akkor az ado idısor sacionárius. Tehá E( ε ) = és var( ε = ) σ és cov( ε, ε k ) = σ ρk ahol ρ k a k -dik késleleéshez arozó auokorreláció éréke. A sacionárius folyama lefuása az idıben sabil, nincs rendhaás. Az ilyen idısornak viszonylag nagy a rövid ávú elırejelezheısége. 8 Auokovariancia függelen az idııl, ha ado hibaag nincs korrelációban egy elızı hibaaggal. 7

A sacionariásnak ké válozaa van, a rendsacionárius és a differenciasacionárius idısor. Trendsacionárius idısor: y = β + β + ε (..) Az ilyen idısorokban lévı rende regressziós összefüggés alkalmazva szabad csupán kiszőrni. [43]. A rendsacionárius idısorokban az adaoka ér sokk haása idıvel csökken, majd elesen el is őnik, lecseng. Differenciasacionárius idısor: y = y + β + εi (..) i= A legöbb gazdasági idısor inkább diffrerenciasacionárius [39], hiszen a vizsgál válozóka ér sokkok haása arós. Ha az ilyen idısorokban rend van, akkor az csak differenciálással szabad kiszőrni..3. Idenifikáció A Box-Jenkins modellezés elsı lépésében az ARMA ( p, q) folyama paraméerei, vagyis q - és p - kell meghaározni. A fázis lényege ehá megalálni a apaszalai idısor legjobban leíró elmélei idısor. A munkában nagy segíségünkre lehe, ha a megfigyel adaoka az idı függvényében ábrázoljuk. Ekkor szembesülheünk azzal a énnyel, hogy az idısorunkban milyen rend van. Amennyiben lineáris renddel van dolgunk, úgy akkor elegendı az adasorunka differenciálni. A differenciál adaokból készíe ábránk már remélheıleg nem mua ovábbi rende. Ám amennyiben mégis, isméel differenciálásra van szükség. Mivel a gazdasági idısorok álalában aralmaznak rende, így igen valószínő, hogy szükség lesz a differenciálásra. A apaszalaok alapján azonban készeri differenciálással a rend problémája megszőneheı. Ha az ábránkon az adaok exponenciális növekedés muanak, akkor az adasor elıször logarimizálni kell, majd ezuán újabb ábrá kell készíeni. 8

A differenciálás és ezálal a rend kiszőrése azér fonos, mer az ARMA ( p, q) folyama becsléséhez a vizsgál idısor sacionárius kell, hogy legyen. Min az már bemuaam, az idısornak nem csak rend komponense van. Ha az idısorunk szezonális komponens is aralmaz, akkor a sacionariás kriériuma sérül. A legegyszerőbb mód ismé csak a differenciálás. y y -ed fokú differencia képzés az eseek nagy részében elegendı (amennyiben évszakok, negyedévek miai szezonális haás jellemzı). Léeznek kifejezeen szezonaliás kezelı programok is, min a TRAMO / SEATS vagy az X ARIMA. Ha a Box-Jenkins modell elsı lépésében az apaszaluk, hogy az idısorunk nem sacionárius, akkor differenciálunk, hiszen különben nem lehene az elırejelzés elkészíeni. Az elsı lépésben nem csupán q és p paraméer kell elızeesen megbecsülnünk, hanem a differenciálások foká (d) is, amely beépül a modellünkbe, ami ezenúl ARIMA( p, d, q) 9 -nak fogunk hívni. A vizsgál adaok idıbeni ábrázolásán kívül egy másik ábra segíségével is el lehe döneni, hogy szükséges-e a differenciálás. Ez a korrelogram (auokorrelációs függvény, ACF ), ami egy sor adaainak és a múlbeli érékeinek korrelációs együhaóinak, azaz az auokorrelációs együhaók ábrája. Cov( ε, ε s ) E( ε, ε s ) r s) = Cor( ε, ε s ) = = (..) Var( ε ) E( ε ) ( Az ACF grafikonon s függvényében van ábrázolva r (s). Amennyiben a kapo görbe csak lassan csökken, akkor bizosan szükséges legalább egy differenciálás. A differenciálás elvégzése uán, elkészíve a kövekezı korrelogrammo, ismé csak a csökkenés méréké kell vizsgálni. 9 AuoRegressive Inegraed Moving Average auoregresszív inegrál mozgóálag 9

Az auokorrelációs függvény felrajzolása nem csak abban segí, hogy az idısorunka sacionáriussá udjuk enni, hanem abban is, hogy az mozgóálagolású (MA) ag q -fokára egy kezdei becslés udjunk adni. Ehhez a korrelogram alakjá kell csak megvizsgálni. Ha a korrelogram q -nál kisebb érékeknél nem mua semmilyen haározo alako, míg q -ól nagyobb érékekre nulla, akkor a késleleéseknek q - kell válaszani. Vagyis pl. elsırendő mozgóálag (MA()) folyama eseén kizárólag ez elsı érék nem nulla, az összes öbbi az. Az auoregresszív (AR) ag p kezdei érékének eldönésében a korrelogram helye egy másik függvény használunk, ez a parciális auokorreláció függvény (PACF). A PACF a magasabb rendő auokorrelációk haás megiszíja az alacsonyabb rendő auokorrelációk haásaiól. A parciális korrelogram éréke egy bizonyos késleleés uán nulla körül fog mozogni. Ez a késleleés lesz a p kezdei éréke. Azaz egy elsırendő auokorrelációs (AR()) folyamanál a parciális korrelogram elsı eleme nem nulla, a öbbi mind nulla közelében marad. Mind a p, mind a q érékére lehe levonni kövekezeése mindké görbe alakjából. Ha egyik ábra sem muaja egyérelmően, hogy milyen rendő folyamao kellene vázolni, akkor a legegyszerőbb egy ARMA(, ) -el indíani a számíásainka..3.3 Becslés A modell ezen ponján a y = α y α y α y ε β ε β ε β ε + + K + p p + K q q (.3.) egyenle paraméereinek (remélheıen) végleges éréké kell megbecsülni. A becslés maximum likelihood (ML) módszerrel örénik. 3