7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció variaciájáak becslése Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal Áttekités Ebbe a fejezetbe elkezdjük a következtetı (iduktív) statisztika tárgyalását. A következtetı statisztika két legfotosabb alkalmazása, amikor a mita adatokat arra haszáljuk hogy (1) megbecsüljük a populáció valamelyik paraméteréek értékét, illetve hogy () teszteljük valamilye a populációra voatkozó állítást (hipotézist). Módszereket mutatuk be a populáció legfotosabb paramétereiek becslésére: aráy, átlag és variacia. Meghatározzuk azokat a mita elemszámokat, amelyek szükségesek eze paraméterek becsléséhez. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT. oldal 7-. fejezet A populáció aráy becslése Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe bemutatjuk, hogy a populáció aráyt hogya becsülhetjük a mita aráyból, és hogya adhatjuk meg a kofidecia itervallumot. Bemutatjuk azt is, hogy a becsléshez mekkora mita elemszám szükséges. A populáció aráy becsléséek feltételei 1. A mita egy egyszerő véletle mita.. A biomiális eloszlás feltételei feállak. 3. Va legalább 5 sikeres és 5 sikertele eset (a biomiálisál bevezetett értelembe). Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal
p = Jelölések populáció aráy p = x mita aráy az x sikerek egy elemő mitába (kimodva p-kalap ) q = 1 -p = mita aráy a sikertele esetekek egy elemő mitába Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal Egy potbecslés egy számérték (vagy pot), amivel a populáció paraméter értékét becsüljük. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 8. oldal A mita aráy p a legjobb potbecslése a populáció aráyak p. Példa: Eergia átadás kézzel (Emily Rosa, 9 éves, A close look at the therapeutic touch, Joural of the America Medical Associatio, Vol. 79, No. 13) 1 terapeuta, 80 kísérlet, 13 siker. Általába egy terapeuta milye aráyba találja el a helyes kezet? Mivel a mita aráy a legjobb potbecslés a populáció aráyra, ezért a legjobb potbecslésük p=13/80=0.44. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 9. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 10. oldal A kofidecia itervallum (vagy itervallumbecslés) egy tartomáya (vagy itervalluma) az értékekek, amivel a populáció paraméteréek értékét becsüljük. (KI-vel rövidítjük éha.) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 11. oldal A kofidecia szitje az az 1- α valószíőség (gyakra százalékba megadva), ami megadja, azo esetek aráyát, aháyszor a kofidecia itervallum valójába tartalmazza a populáció paraméter értékét, ha a becslést sokszor megismételjük. (A kofidecia szitet a megbízhatóság fokáak vagy szitjéek is evezik.) A leggyakoribb értékek 90%, 95% és 99%. (α = 10%), (α = 5%), (α = 1%) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal
Példa: Adjuk meg az elızı példáál azt a 95%-os kofidecia itervallumot, amibe a populáció aráy beleesik. 95%-ba biztosak vagyuk abba, hogy a 0.381 tıl 0.497-ig itervallum tartalmazza a p igazi értékét. Ez azt jeleti, hogy ha sok külöbözı 80 elemő mitát választaák, és megkostruálák hozzájuk a kofidecia itervallumokat, akkor 95%-uk tartalmazá a p igazi értékét. 1. Tudjuk, hogy bizoyos feltételek mellett (közpoti határeloszlás tétel) az aráy mita eloszlását ormális eloszlással lehet közelítei, mit ahogy azt a következı 7-. ábrá látjuk.. A mita aráyak kicsi az esélye arra, hogy a 7-. ábrá a piros részbe esse. 3. Aak a valószíősége, hogy bármelyik farok részbe esik a mita aráy, összese α. Kritikus érték Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 13. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 14. oldal Kritikus érték Kritikus érték z α/ 4. Aak a valószíősége, hogy a mita aráy a zöld, belsı részére esik 1-α a 7-. ábrá. 5. Azt a z értéket, ami elválasztja a jobb farok részt z α / -val jelöljük és kritikus értékek evezzük, mivel azo a határo va, ami elválasztja a valószíőés a emvalószíő értékeket. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 15. oldal 7-. ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 16. oldal A z α/ meghatározása a 95%-os kofidecia szithez α = 5% α/ =.5% =.05 A z α/ meghatározása a 95%-os kofidecia szithez - folyt α = 0.05 -z α/ z α/ z α/ α/ = + 1.96 Kritikus értékek Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 17. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 18. oldal
α Néháy fotosabb kritikus érték Kofidecia szit Kritikus érték zα/ 90% 0.1 1.645 95% 0.05 1.96 99% 0.01.575 Amikor egy egyszerő véletle mitából becsüljük a populáció aráyt (p-t), a hiba, amit E-vel jelölük, a maximális eltérés ( 1 α valószíőséggel) a megfigyelt p aráy és az igazi populációs aráy (p) között. A hibát (E-t) a becslés maximális hibájáak is evezik. Értékét a kritikus érték és az aráy szórásáak szorzatakét kapjuk a következı 7-1. képlet szerit. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 19. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 0. oldal A p becsléséek hibája E = 7-1. képlet z α / p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 1. oldal A populáció aráy kofidecia itervalluma p E < p < p + E, E = ahol z α / p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT. oldal A populáció aráy kofidecia itervalluma p E < p < p + E p + E (p E, p + E) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal A p-re voatkozó kofidecia itervallum megkostruálása 1. Elleırizd, hogy a szükséges feltevések teljesülek-e. (A mita egyszerő véletle mitavételezéső, a biomiális feltételei feállak, a ormális eloszlás haszálható a mita aráyra, mivel p 5 és q 5 is feáll.). A ormális eloszlás táblázata segítségével határozzuk meg a z / α kritikus értéket. p q 3. Számítsd ki a hibát E = Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal
A p-re voatkozó kofidecia itervallum megkostruálásafolyt 4. Felhaszálva a hiba E értékét és a mita aráyt p, határozd meg p E és p + E értékeit. Helyettesítsd be ıket az általáos kofidecia itervallum képletbe: p E < p < p + E Példa: ugyaaz a) Keresd meg az E hibát 95%-os kofidecia szitél. Elleırizzük a feltételeket. p = 13 5, és q = 157 5. Aztá kiszámítjuk. Azt találtuk, hogy p = 0.44, q = 1 0.44 = 0.56, z α/ = 1.96, és = 80. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal E = 1.96 E = 0.058 (0.44)(0.56) 80 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal Példa: ugyaaz Példa: ugyaaz b) Határozzuk meg a 95%-os kofidecia itervallumot a populáció aráyra p. Behelyettesítve az elızı értékeket: 0.439 0.058 < p < 0.439 + 0.058, 0.381 < p < 0.497 c) Eek alapjá mit modhatuk a módszer hatásosságáról? A kísérlet alapjá 95%-os biztosággal modhatjuk, hogy a 38.1% és a 49.7% közti itervallum tartalmazza azt az aráyt, ami eseté az eergiaátvitelt a terapeuták érzékelik. Ez rosszabb, mit amit a véletle próbálgatással (50%) kapák. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 8. oldal Mita elemszám Tegyük fel, hogy adatokat győjtük aak érdekébe, hogy a populáció valamilye tulajdoságát meghatározzuk. Kérdés, hogy háy mitát kell ehhez összegyőjtei? Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 9. oldal A mita elemszám meghatározása E = z α / (oldjuk meg -re) ( Z α / ) p q = E p q Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 30. oldal
Az p aráy meghatározásához szükséges mitaszám Ha va elızetes becslés p-re : ( zα α / ) p q = E Ha ics elızetes becslés p-re: ( zα α / ) 0.5 = E 7-. képlet 7-3. képlet Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 31. oldal Example: Meg akarjuk határozi, hogy háy háztartásak va Iteret hozzáférése Magyarországo. Háy háztartást kell megkérdezi, ha 95%-os biztosággal 4%-ál kisebb hibával akarjuk ezt meghatározi? a) Korábbi eredméy felhaszálása: 004 decemberébe, a háztartások 17%-ba volt Iteret hozzáférés. = [z a/ ] p q E = [1.96] (0.17)(0.83) 0.04 = 338 háztartás Ha 95%-os biztosággal igaz lesz, hogy a 338 háztartás megkérdezésével keletkezı aráy a valódi aráytól em tér el jobba mit 4%. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 3. oldal Potbecslés készítése a kofidecia itervallumból A p potbecslése: p = (felsı határ ) + (alsó határ ) Hiba: E = (felsı határ) (alsó határ) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 33. oldal Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megvitattuk: Potbecslést. Kofidecia itervallumot. Kofidecia szitet. Kritikus érték. Hiba. Mita elemszám meghatározása. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 34. oldal 7-3. fejezet Populáció átlag becslés: σ ismert Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe a populáció átlag potbecslésére és kofidecia itervallumáak meghatározása aduk módszert. Ebbe a fejezetbe feltesszük, hogy a populáció szórása ismert. (Ez a feltétel em valószerő!) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 35. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 36. oldal
Feltevések 1. A mita egyszerő véletle mitavételezéssel lett kiválasztva. (Mide ugyaolya hosszúságú mita kiválasztásáak egyelı az esélye.). A populáció σ szórása ismert. A populáció átlag potbecslése A mita átlag x a populáció átlag µ legjobb potbecslése. 3. Egyik vagy midkét alábbi feltétel igaz: A populáció ormális eloszlású vagy > 30. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 37. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 38. oldal Mita átlag 1. Mide populáció eseté a mita átlag x torzítatla becslése a populáció átlagak µ, ami azt jeleti, hogy a µ populáció átlag körül csoportosul a mita átlagok eloszlása külöbözımiták eseté. Példa: Egy vizsgálatba megvizsgálták 106 felıtt testhımérsékletét. A mita átlag 36.77 fok a szórás 0.34 fok volt. Keresd meg a populáció átlag µ legjobb potbecslését! Mivel a mita átlag x a legjobb potbecslése a populáció átlagak µ, ezért a legjobb potbecslés 36.77 o C.. Sok populáció eseté a mita átlag x kozisztesebb (kisebb a változékoysága) mit más mita statisztikákak. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 39. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 40. oldal A hiba a mita átlag x és a populáció átlag µ valószíő eltéréseiek maximuma és E-vel jelöljük. E = z α/ Képlet Hiba σ 7-4. képlet Az átlag hibája (ismertσ-t feltételezve) Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 41. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 4. oldal
A µ populáció átlag kofidecia itervalluma (ismert σ szórás eseté) vagy vagy x E < µ < x + E x + E (x E, x + E) Az x E és x + E értékeket kofidecia itervallum határokak hívjuk. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 43. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 44. oldal A µ kofidecia itervallumáak megkostruálása (ismert σ) 1. Elleırizd, hogy a feltételek teljesülek-e.. A ormális eloszlás táblázatából határozd meg a z α/ kritikus értéket. 3. Számítsd ki a hibát E = z α/ σ/. 4. Keresd meg az x E és x + E értékeket. Helyettesítsd be az általáos képletbe: x E < µ < x + E Példa: ugyaaz. Keressük meg a hibát E és a 95%-os kofidecia itervallumot a µ-re. = 106 x = 36.77 o s = 0.34 o α = 0.05 α / = 0.05 z α/ = 1.96 E = z α/ σ = 1.96 0.34 = 0.064 106 x E < < x + E 36.70 o < µ < 36.83 o 36.77 o 0.064 < µ < 36.77 o + 0.064 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 45. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 46. oldal A µ populációs átlag meghatározásához szükséges mita elemszám Ahol = (z α/ ) σ E 7-5. képlet zα/ = a kofidecia szithez tartozó kritikus z érték E = megkívát hiba σ= a populáció szórása Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 47. oldal Példa: Tegyük fel, hogy meg akarjuk határozi a fizika professzorok átlagos IQ értékét. Háy fizika professzort kell véletleül kiválasztai a vizsgálatba ahhoz, hogy ha 95%-os biztosággal és IQ pot potossággal akarjuk az értéket meghatározi? Tegyük fel, hogy σ = 15, ugyaúgy, mit az általáos populációba. α = 0.05 = 1.96 15 = 16.09 = 17 α / = 0.05 z α/ = 1.96 E = Egy 17 véletle egyszerő σ = 15 mitavételezett fizika professzor IQ tesztjébıl 95%-os biztosággal IQ pot hibával meg tudjuk határozi az igazi populáció átlagot, µ-t. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 48. oldal
Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megbeszéltük a: Hibát. Ismert σeseté a kofidecia itervallumot. A meghatározásához szükséges mita elemszámot. 7-4. fejezet A populáció átlag becslése: σ em ismert Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 49. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 50. oldal Kulcsfogalmak Feltevésekσismeretle esetbe Ebbe a fejezetbe módszert aduk a kofidecia itervallum becslésére abba az esetbe ha a populáció szórása em ismert. Haσem ismert, akkor a Studet t eloszlást kell haszáluk, bizoyos feltételek teljesülése eseté. 1) A mita véletle egyszerő. ) A mita vagy ormális populációból származik, vagy > 30. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 51. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 5. oldal A Studet t eloszlás Kritikus t értékek táblázata Ha a populáció eloszlása léyegébe ormális, akkor a következı meyiség eloszlását t = x - µ s a Studet t eloszlás adja meg elemszámú miták eseté. Gyakra t eloszlásak hívják és kritikus értékeit t jelöli. α/ Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 53. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 54. oldal
A szabadsági fokok számát egy mita adataira voatkozóa azo adatok száma adja, amelyek szabado változhatak, miközbe az adatok összességéek valamilye feltételek eleget kell teiük (ilye pl. az hogy átlaguk legye egy megadott érték). szabadsági fokok száma = 1 ebbe a fejezetbe. 7-6. képlet Az E hiba (σem ismert) E = t α/ s ahol t α/ 1 szabadsági fokkal redelkezik s a mita szórása Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 55. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 56. oldal Kofidecia itervallum -re (σem ismert) x E < µ < x + E ahol E = t α/ s Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 57. oldal A µ kofidecia itervallumáak megkostruálása (σismeretle) 1. Elleırizzük, hogy a feltételek teljesülek.. Az - 1 szabadsági fokhoz keressük ki a Studet eloszlás táblázatából a kritikus t α/ értéket a kívát kofidecia szithez. 3. Számítsd ki a hibát E = t α/ s /. 4. Keresd meg az x - E és x + E értékeket. Helyettesítsük be a kofidecia itervallum általáos képletébe: x E < µ < x + E Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 58. oldal Példa: A testhımérséklet példába határozzuk meg a µ 95%-os kofidecia itervallumát. = 106 x = 36.77 o s = 0.34 o α = 0.05 α / = 0.05 t α/ = 1.984 E = t α/ s = 1.984 0.34 = 0.065 106 x E < µ < x + E 36.70 o < µ < 36.83 o A Studet t eloszlás tulajdoságai 1. A Studet t eloszlás más-más külöbözımita elemszámokra.. A Studet t eloszlás szimmetrikus és harag szerő görbe, de sokkal agyobb variabilitása va, mit a ormális eloszlásak kis mita számok eseté. 3. A Studet t eloszlás átlaga t = 0 (ugyaúgy, mit a stadard ormális eloszlás eseté az átlag z = 0). 4. A Studet t eloszlás szórása változik a mita elemszámmal és agyobb mit 1 ( elletétbe a stadard ormális eloszlással, ahol σ = 1). 5. A mita elemszám övelésével egyre agyobb lesz, és a Studet t eloszlás egyre közelebb kerül a ormál eloszláshoz. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 59. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 60. oldal
Studet t eloszlás = 3 és = 1 Összefoglalás Ebbe a fejezetbe tárgyaltuk: A Studet t eloszlást. A szabadsági fokok számát. A hibát. A kofidecia itervallumát ismeretleσ eseté. 7-5. ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 61. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 6. oldal 7-5. fejezet A populáció variacia becslése Kulcsfogalmak Ebbe a fejezetbe módszereket mutatuk be a (1) kofidecia itervallum meghatározására a populáció szórására és variaciájára () a szükséges mita elemszám meghatározására. Bevezetjük a χ -égyzet (khí égyzet, chisquare) eloszlást, ami a kofidecia itervallum meghatározásához kell σill.σ eseté. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 63. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 64. oldal Feltételek Khí-égyzet eloszlás 1. A mita legye egyszerő véletle.. A populációak ormális eloszlásúak kell leie (em elég, hogy a mita agy legye). ahol χ = ( 1) s σ 7-7. képlet = mita elemszám s = mita variacia σ = populáció variacia Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 65. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 66. oldal
A khi-égyzet statisztika tulajdoságai 1. A khi-égyzet eloszlás em szimmetrikus, elletétbe a ormál és a Studet eloszlásssal. A szabadsági fokok számáak övekedésével egyre szimmetrikusabb lesz. Khi-égyzet táblázat 7-8. ábra Khi-égyzet eloszlás 7-9. ábra Khi-égyzet eloszlás df = 10 és df = 0 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 67. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 68. oldal A khi-égyzet statisztika tulajdoságai- folyt. A khi-égyzet eloszlás értékei em lehetek egatív számok. 3. A khi-égyzet eloszlás külöbözik mide szabadsági fokra, amely df = 1 ebbe a fejezetbe. A szabadsági fokok övelésével megközelíti a ormális eloszlást. Példa: Határozzuk meg χ kritikus értékeit, amelyekhez midkét farokba 0.05 terület tartozik. Legye a mita elemszáma 10, és a szabadsági fokok száma 10 1=9. α = 0.05 α/ = 0.05 1 α/ = 0.975 Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 69. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 70. oldal A khi-égyzet statisztika kritikus értékei A variacia becslései A mita variacia s a legjobb potbecslése a populáció variaciájáak σ. 7-10. ábra Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 71. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 7. oldal
Kofidecia itervallum (vagy itervallum becslés) a populáció variaciára σ ( 1)s ( 1)s < σ < χ χ R L Jobb-farok kritikus érték Kofidecia itervallum a σ -ra ( 1)s ( 1)s < σ < χ R χ Bal-farok kritikus érték Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 73. oldal L A σ vagy σ re voatkozó kofidecia itervallum kostruálása 1. Elleırizzük, hogy a feltételek feállak-e.. 1 szabadsági fok eseté a táblázatból keressük meg a kritikus értékeket χ R és χ L, amely a kívát kofidecia szithez tartozik. 3. Az alábbi képlettel határozzuk meg a kofidecia itervallumot: ( 1)s < σ < χ R ( 1)s χ L 4. σ kofidecia itervalluma ugyaez, csak gyököt kell voi. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 74. oldal Példa: A testhımérsékletes példába keressük meg a 95%- os kofidecia itervallumot σ-ra. A mita elemszám meghatározása = 106 x = 36.77 o s = 0.34 o α = 0.05 α / = 0.05 1 α / = 0.975 χ R = 19.561, χ L = 74. (106 1)(0.34) < σ < (106 1)(0.34) 19.561 74. 0.093 < σ < 0.16 0.30 < σ < 0.40 95%-ba bizoyosak vagyuk, hogy a 0.30 C és 0.40 C itervallum tartalmazza a σ igazi értékét. 95%-os biztosággal állíthatjuk, hogy az egészséges emberek testhımérsékletéek szórása 0.30 C és 0.40 C között va. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 75. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 76. oldal Példa: Szereték σ értékét meghatározi a testhımérsékletekre. 95% biztosággal szereték tudi, legfeljebb 10% hibával a σ igazi értékét. Mekkoráak kell leie a mitáak. Tegyük fel, hogy a populáció ormális eloszlású. A 7-. táblázat szerit, 95% kofideciával 10% hiba 191-es mitához tartozik. Összefoglalás Ebbe a fejezetbe megvitattuk: A khi-égyzet eloszlást. A táblázatát. A szórás és a variacia kofidecia itervallumait. A mita elemszám meghatározását. Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 77. oldal Elemi Statisztika Fizikusokak Vattay Gábor ELTE KRFT 78. oldal