Definíció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása fejezet. A variabilitás mér számai 3.

Átírás

1 . El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása -1 Áttekintés - Gyakoriság eloszlások -3 Az adatok vizualizációja -4 A centrum mérıszámai -5 A szórás mérıszámai -6 A relatív elhelyezkedés mérıszámai -7 Exploratív adatelemzés 1. oldal -5. fejezet A variabilitás mér számai. oldal A variabilitás mér számai 3. oldal 4. oldal Várakozási id különböz bankokban percekben A szórás a statisztika egyik legalapvetıbb fogalma, ezért fontos hogy megértsük a lényegét 1 Bank of Nyúl Csajágröcsögei Bank Bank of Nyúl Csajágröcsögei Bank Átlag Medián Módusz Midrange oldal 6. oldal Az adat halmaz terjedelem (range) a legnagyobb és a legkisebb érték közti különbség A minta halmaz szórása (standard eltérése, standard deviation) az adatok eltérését méri az átlag körül legnagyobb érték legkisebb érték

2 A minta szórásának képlete s = -4. képlet Példa: 1, 3, 14 (tábla) Σ (x - x) n oldal A szórás kiszámításának procedúrája Számold ki az átlagot Vond le az átlagot minden egyes adatból Minden így kapott eltérést emelj a négyzetre Add össze ezeket az eltéréseket Az eredményt oszd el az adatok száma -1 Vonjál belıle gyököt x 8. oldal ( x x) ( x x) ( x x) n 1 -el. Egyszer sített képlet 9. oldal Szórás - kulcspontok 10. oldal s = -5. képlet n (Σx ) - (Σx) n (n - 1) A szórás az átlag körüli variabilitás mértéke Az s szórás pozitív (vagy 0) A szórás s értéke dramatikusan megnı, ha egy vagy több outlier (a többitıl messze esı) adat is van köztük Levezetjük a táblánál! Az s mértékegysége megegyezik az adatok mértékegységével A populáció szórása 11. oldal 1. oldal σ = Σ (x - µ) N A variancia (vagy szórásnégyzet) a standard eltérés négyzete. Minta variancia: A minta szórásának négyzete. Hasonló, mint a -4. képlet, azonban itt a populáció átlagát és a populáció nagyságát használjuk (és nem vonunk le 1-et). Populáció variancia: A populáció szórásának négyzete.

3 Variancia - Jelölések 13. oldal Miért van n-1 a -4. képletben? 14. oldal négyzetre emelt standard eltérés Jelölés } s σ Minta variancia Populáció variancia Szeretnénk, ha a mintából kiszámított s szórásnégyzet a lehetı legjobban megközelítené a populáció σ varianciáját. Nagyon sokféle módon választhatunk ki n db mintaelemet az N elemő populációból és így sok-sok különbözı becslést kapunk a populáció szórására. Számításokkal alátámasztható, hogy a -4. képlet az n-1 osztóval átlagosan a helyes becslést adja a szórásra, amit torzítatlan becslésnek nevezünk. Példa: 3 elemő populáció, véletlen (visszatevéses) mintavételezés Példa: 3, 6, oldal Miért nem használjuk az abszolút eltérést? 16. oldal N=3 µ=6 n= 3,6 és 6,3 6,9 és 9,6 x=4.5 x=7.5 3,9 és 9,3 x=6 3,3 6,6 9,9 x=3 x=6 σ =((3 6) +(6 6) +(9 6) )/3=6.0 s =((3 4.5) +(6 4.5) )/1=4.5 s =((6 7.5) +(9 7.5) )/1=4.5 s =((3 6) +(9 6) )/1=18.0 s =((3 3) +(3 3) )/1=0.0 s =((6 6) +(6 6) )/1=0.0 x=9 s =((9 9) +(9 9) )/1=0.0 ( )/9=54.0/9=6.0 3 Átlag abszolút eltérés = x x n nem additív és nem torzítatlan becslése a populáció átlag abszolút eltérésének 17. oldal Példa: 18. oldal A variációs együttható (CV) megadja a szórást az átlag százalékában kifejezve CV = Minta s 100% x CV = Populáció σ µ 100% Arra jó, hogy különbözı variabilitásokat össze tudjunk hasonlítani. Megvizsgáltuk 100 férfi magasságát és súlyát Magasság: Magasság átlaga x = cm Magasság szórása S= 7.67 cm Súly: Súly átlaga x = 78.6 kg Súly szórása S= kg CV magasság =7.67cm/173.58cm=4.4% CV súly =11.94kg/78.6kg=15.6% A magasság sokkal kevésbé változékony mint a súly!

4 A standard eltérés kiszámítása 19. oldal a gyakoriság eloszlásból 0. oldal -6. képlet n [Σ(f x )] - [Σ(f x)] s = n (n - 1) Használjuk x értékeknek az osztályfelezı pontokat Csebisev tétel Az adatok legalább 1-1/K ad része mindig közelebb van az átlaghoz mint K standard eltérés, ahol K egy 1- nél nagyobb pozitív szám. K = esetén, legalább ¾-e (vagy 75%-a) az adatoknak nem tér el jobban az átlagtól mint standard eltérés K = 3 esetén, legalább 8/9-ada (vagy 89%-a) az adatoknak nem tér el jobban az átlagtól mint 3 standard eltérés következı tulajdonságok igazak: Empirikus ( ) szabály Közelítıleg haranggörbe alakú eloszlás esetén a Mintegy 68%-a az értékeknek az átlag 1 standard eltérésnyi környezetébe esnek Mintegy 95%-a az értékeknek az átlag standard eltérésnyi környezetébe esnek Mintegy 99.7%-a az értékeknek az átlag 3 standard eltérésnyi környezetébe esnek 4 1. oldal Az empirikus szabály. oldal -13. ábra Az empirikus szabály 3. oldal Az empirikus szabály 4. oldal -13. ábra -13. ábra

5 Összefoglalás 5. oldal 6. oldal Ebben a fejezetben foglalkoztunk a: Az adatok terjedelmével A populáció és a minta szórásával (SD) A populáció és a minta varianciájával (VAR) A variációs együtthatóval (CV) A szórás kiszámításával a gyakoriság eloszlásból Empirikus szabály Csebisev tételével -6. fejezet A relatív helyzet mér számai 7. oldal Az eltérés mérése z érték 8. oldal z eltérés (vagy standard eltérés) x pozitív vagy negatív eltérése az átlagtól szórás egységekben mérve. 5 Minta z = x - x s Populáció z = x - µ σ Példa: 9. oldal A z eltérés interpretációja 30. oldal Lyndon Johnson volt a legmagasabb amerikai elnök, cm. Shaquille O Neal a Miami Heat legmagasabb kosárlabda játékosa, 16 cm. Johnson volt-e sokkal magasabb mint az összes elnök, vagy O Neal a csapattársainál a Miami Heatben? Elnökök átlaga cm, szórása 5.3 cm. Miami Heat átlaga 03. cm, szórása 8.4 cm. z=( )/5.3=1.67 z=(16-03.)/8.4= ábra Ha egy érték kisebb mint az átlag, akkor a z érték negatív. Megszokott értékek: z értéke és között Szokatlan értékek: z érték < - vagy z érték >

6 Einstein IQ-ja Az IQ eloszlása jó közelítéssel haranggörbe alakú Az emberek IQ átlaga 100, szórása 16. Einstein IQ-ja 160-volt. z=( )/16= oldal Q 1 (Alsó/elsı kvartilis) nagyság szerint rendezett adatok alsó 5%-át választja el a felsı75%-tól. Q (Második kvartilis) ugyanaz mint a median; elválasztja az adatok alsó és felsı separates 50%-át egymástól. 3. oldal Q 3 (Felsı/harmadik kvartilis) az alsó 75%- ot a felsı5%-tól választja el. Percentilisek 33. oldal Hogyan találhatjuk meg, hogy egy érték melyik percentilisbe esik? 34. oldal Ugyanúgy, ahogy a kvartilisek négy részre osztják az adatokat, a 99 percentilis P 1, P,... P 99, az adatokat 100 csoportra osztják. 6 x percentilis értéke= x-nél kisebb értékek száma 100 az összes értékek száma Konverzió a k-adik percentilis és a megfelelı adat értékek között 35. oldal 36. oldal L = Jelölés k 100 n n k L P k az adatok száma a percentilis száma lokátor, ami meghatározza a keresett adat sorszámát k-adik percentilis Keressük meg percentilis értékét 11/ = Kerekítve a 31. percentilisbe esik

7 37. oldal 38. oldal A konverzió sémája Keressük meg P 31 értékét (a 31. percentilist). 31 L = 36 = Kerekítsük fel: Kezdve a legkisebb értékkel, számoljunk el a 1.- ig a rendezett listában. P 31 = ábra Néhány fontos jellemz 39. oldal Összefoglalás 40. oldal Ebben a fejezetben megvitattuk: Interkvartilis terjedelem (IQR): Q 3 - Q 1 Q Fél-interkvartilis terjedelem: 3 - Q 1 Kvartilis felez : Q 3 + Q percentilis terjedelem: P 90 - P 10 7 a z értékeket z értékeket és szokatlan értékek Kvartilisek Percentilisek A percentilisek konvertálása adatértékekre és vissza Más jellemzık 41. oldal 4. oldal -7. fejezet Exploratív adatanalízis (EDA) Exploratív adatanalízis a statisztkai módszerek (mint ábrázolás, a centrum és a variabilitás meghatározása) alkalmazásának a folyamata, amit azért végzünk, hogy megismerjük az adatok legfontosabb statisztikai jellemzıit

8 43. oldal Fontos elvek 44. oldal Az outlier egy olyan érték, ami nagyon távol esik a többi adat többségétıl. Egy outlier-nek drámai hatása lehet az átlagra Egy outlier-nek drámai hatása lehet a szórásra Egy outlier-nek drámai hatása lehet a hisztogrammok skálájára, ami miatt az eloszlás teljesen zavaros lesz k Egy adathalmazra vonatkozóan, az 5-szám összefoglaló a minimum értékbıl; a Q 1 elsı kvartilisbıl; a mediánból (Q ); a harmadik kvartilisbıl, Q 3 ; és a maximum értékbıl áll. A boxplot egy a minimumtól a maximumig terjedı vonalból áll, valamint egy dobozból, amiben függıleges vonal húzódik az alsó kvartilisnél, Q 1 ; a mediánnál; és a felsı kvartilisnél, Q oldal 8 Boxplot -16. ábra 46. oldal Boxplot-ok 47. oldal Módosított boxplot 48. oldal Outlier, ha Q 3 at 1.5 X IQR-el meghaladja Outlier, ha Q 1 nél 1.5 X IQR-el kisebb Ezeket kihagyjuk és csak jelöljük (csillaggal), a maradékra csinálunk boxplotot ábra

9 Összefoglalás 49. oldal Ebben a fejezetben áttekintettük: Exploratív adatanalízist Az outlier-ek hatását 5-szám összefoglalót és a boxplot-ot 9