Multidiszciplináris tudmányk,. kött. (0) sz. pp. 6-76. HETEOGÉN SIKGÖBE UDK LEHETSÉGES MECHNIKI MODELLJE Dktrandusz, Misklci Egytm, Mchanikai Tanszék 355 Misklc, Misklc-Egytmvárs, -mail:mchkiss@uni-misklc.hu Összfglalás jln cikk célja néhány hmgén, iztróp, linárisan rugalmas anyagú görb rúdra vnatkzó képlt általánsítása inhmgén anyagú rudak stér. Ennk tükrébn fltvés, hgy az anyagjllmzők csak a krsztmtszti krdináták függvényi. vizsgálatk magukban fglalják a nrmálfszültség (a Grashf-fél frmula), a nyírófszültség és a görbültváltzás képltink az általánsítását. Érdksség, hgy az újnnan flállíttt összfüggésk szrkztükt tkintv mggyznk a klasszikuskkal. cikk végén számpéldákn krsztül krül bmutatásra az rdményk alkalmazhatósága. Kulcsszavak: síkgörb rúd, htrgén anyag, Grashf-frmula, görbültváltzás, alakváltzási nrgia bstract Th main bjctiv f th prsnt papr is a gnralizatin f sm classical rsults fr curvd bams mad f htrgnus matrials. W cnsidr a bam mad f nnhmgnus, istrpic, linarly lastic matrial. Th lastic paramtrs dpnd n th crss-sctinal crdinats nly. Our invstigatins includ th dtrminatin f th nrmal strss (i.. th gnralizatin f th Grashf frmula), th sharing strss and th curvatur chang. Intrstingly, ur nwly stablishd frmula hav th sam structur as th classical ns. W cnclud with numrical xampls which illustrat th applicability f ur rsults. Kywrds: curvd bam, htrgnus matrial, Grashf frmula, curvatur chang, strain nrgy. Bvztés lgtöbb szilárdságtani kérdéskkl fglalkzó gytmi tankönyv külön fjztt szntl a hmgén iztróp anyagú síkgörb rudak mchanikai kérdésink a tljsség igény nélkül mljük ki hlyütt az [] könyv 4.5 szakaszát, avagy a [] tankönyv 0.. szakaszát. z idéztt könyvk a mindnnapi mérnöki gyakrlatban jól alkalmazható frmulákat közölnk a rúdban ébrdő nrmál- és nyírófszültség, a görbültváltzás és a rúdban tárlt alakváltzási nrgia számítására. jln tanulmány fő célja az idéztt klasszikus rdményk általánsítása htrgén anyagú síkgörb rudakra. mi a htrgnitás jllgét illti, azt fgjuk fltétlzni, hgy a rugalmasságtani anyagállandók, azaz a Yung mdulus és a Pissn szám (később kidrül, hgy az utóbbi nm jlnik mg közvtlnül a fszültségt adó képltkbn) csak a krsztmtszti krdináták függvény, azaz függtln az axiális krdinátáktól zt az inhmgnitást krsztmtszti inhmgnitásnak nvzzük majd. mi a trvztt vizsgálatk közvtln lőzményit illti, Ecsdi és Baksa [3], valamint Ecsdi és Dluhi [4] tanulmányai érdmlnk kimlést
zkbn tvábbi, az lőzménykt illtő hivatkzásk találhatók. [4] tanulmány a krsztmtszti inhmgnitású gyns rudak szilárdságtanának ktatásban is jól flhasználható összgzés. [3] tanulmány síkgörb rudakkal fglalkzik. z idéztt cikk lmzdulásmzőr alkalmaztt hiptézis kvivalns a jln tanulmány lmzdulásmzővl kapcslats hiptézisévl. z utóbbi a klasszikus Lv-fél hiptézis. Ennk használata mlltt néztünk szrint az szól, hgy a fizikai mnnyiségk (pl. fszültségk) számítására adódó képltk szrkztükt illtőn mggyznk a hmgén iztróp rudak stér érvénys képltkkl. gndlatmnt ismrttés srán alkalmaztt fltvéskt az alábbiak fglalják rövidn össz:. az lmzdulásk és alakváltzásk kicsik;. a rúd állandó krsztmtsztű; 3. ugyancsak állandó az E-vl súlyztt középvnal nnk értlmzését illtőn lőr utalunk az () képlthz kapcslódó magyarázatra görbülti sugara; 4. a krsztmtszt mind gmtriáját, mind pdig anyagi flépítését tkintv szimmtrikus a tnglyr lásd az. ábrát a gmtriai visznykat illtőn; 5. az E rugalmassági mdulus és a Pissn szám lgt tsz az E(, ) E(, ); (, ) (, ) összfüggésknk, vagyis csak az, krsztmtszti krdináták függvényi; 6. a tnglyirányú nrmálfszültség mlltt lhanyaglható a többi főfszültség; 7. a hőhatáskat figylmn kívül hagyjuk.. Kinmatikai gynltk. ábra. z alkalmaztt krdináta rndszr vizsgálatk srán alkalmaztt gységbázisú rtgnális görbvnalú krdinátarndszrt az.ábra szmléltti. bázisvktrkat (), s, () s jlöli. Itt s az E-vl súlyztt középvnaln mért ívkrdináta az E-vl súlyztt középvnal a rúd szimmtriasíkjában fkszik és a C pntban döfi az ábrán szmléltttt krsztmtsztt, a döféspnt hly pdig a Q = E(, ) d =0 () fltétli gynltből számítható Q az tnglyr számíttt E-vl súlyztt statikai 6
Htrgén síkgörb rudak lhtségs mchanikai mdllj nymaték. z E-vl súlyztt középvnalnak a tvábbiakban rövidn középvnal a sugara. C pnt a krsztmtszt, mint síkidm gmtriai középpntja. z E-vl súlyztt trültt és az E-vl súlyztt tnglyr számíttt I másdrndű nymatékt az alábbi képltk értlmzik: = E (, )d, I = E (, ) d. () rúd középvnaláhz kötött görbvnalú krdinátarndszrbn d d =, =, = (3) s ds ds a diffrnciálprátr. Összhangban a Lv-fél hiptézissl, a rúd ttszőlgs pntjának lmzdulásvktrát az u = u = w ( u ) (4) képlttl számítjuk. képltbn u = u w a középvnal lmzdulásvktra, pdig a krsztmtszt mrvtstszrű szöglfrdulása. Ennk ttszőlgs pntban = ( u) az érték, kövtkzésképp (lhagyva a frmális átalakításkat) u dw =0 = =, d (5) s ahnnan u d d w d dw u = és = = ds ds ds d (6) s a középvnal szöglfrdulása és a görbült. tngly irányú fajlags nyúlás az E alakváltzási tnzrból számítható a diádikus szrzás művlti jl: = E = uu. (7) Innn kapjuk, hgy du d w = =, (8) ds ds ahl du w = (9) d s a középvnal irányú fajlags nyúlása. 3. nrmálfszültség számítása 3.. Grashf frmula általánsítása klasszikus Grashf-frmula általánsításáhz szükség lsz az 63
= E(, )d, Q = E(, ) d, I = E(, ) d (0) intgrálkra, mlyk az E-vl súlyztt rdukált trültt, az E-vl súlyztt Q rdukált statikai nymatékt és az E-vl súlyztt I rdukált másdrndű nymatékt értlmzik. Tkintttl a nrmálfszültségkkl kapcslats, fltvésr = E(, ) () az gyszrű Hk törvény, kövtkzésképp flhasználva a (8) és (9) összfüggéskt, adódik az N rúdrő N = (, )d (, ) d =, E E Q (a) valamint az M hajlítónymaték M = (, ) d (, ) d = E E Q I (b) a kinmatikai jllmzők függvényébn. () gynltrndszr mgldása az fajlags nyúlást és a görbültt a blső rők függvényébn rdményzi: MQ NI NQ M =, =. (3) Q I Q I Visszaírva az utóbbi két képltt a (8) gynltb = I Q N M Q I Q (4) a fajlags nyúlás alakja. Ezt bhlyttsítv az gyszrű Hk törvényb = E(, ) = E(, ) I Q N M Q (5) I Q a nrmálfszültség. tvábbiakban célunk a nrmálfszültség képlténk gyszrűsítés, a Grashf-fél frmula általánsítása érdkébn. Ehhz írjuk fl az, Q és I mnnyiségk és az, Q és I jllmzők közötti kapcslatt. Kihasználva a tvábbiakban az / rndr, hgy illtv hgy Tkintttl a fnti képltkr és az képlt nvzőj: tört srfjtését valamint a Q =0 összfüggést, kapjuk Q =... (, )d =, E I I Q =... E(, )d Q =, =... (, )d. I /( ) (6a) I E I (6b) gynlőtlnségr, átalakítható a (5) 64
Htrgén síkgörb rudak lhtségs mchanikai mdllj Q I I I I. I I (7) I I Mindzkt flhasználva a (4) összfüggésből Q N Q M (8) I I I a fajlags nyúlás érték. Ha mlltt azt is figylmb vsszük, hgy Q I M M,, (9) I I akkr a Hk törvényb hlyttsítv a fajlags nyúlás értékét a = (, ) N M M E (0) I frmulát kapjuk a nrmálfszültségr. Ez a képlt a Grashf frmula általánsítása krsztmtszti inhmgnitású síkgörb rúd stér. 3.. nrmálfszültség számítása a zérusvnal ismrtébn z angl nylvű szakirdalm hmgén anyagú síkgörb rudak tiszta hajlítására a Grashffrmulától ltérő (d azzal kvivalns) összfüggést közöl a nrmálfszültségr lásd például a (4.7) képltt az [] könyvbn. jln szakaszban zt a képltt általánsítjuk krsztmtszti inhmgnitás fltétlzés mlltt.. ábra a rúd gy kiragadtt krsztmtsztén szmléltt néhány új jlölést: a zérusvnal krdinátája, pdig zérusvnal sugara. krsztmtszt ttszőlgs P pntjáhz tartzó sugár. Ez utóbbit az gyszrűbb írásmód miatt r -rl jlöljük majd.. ábra. Néhány új jlölés Mivl tiszta hajlítás stén zérus az N rúdrő, gyszrűsödik a nrmálfszültség (5) képlt: 65
= E(, ) Q M. () I Q zérusvnaln ltűnik a nrmálfszültség, kövtkzésképp Q Q = = = =. () Id hlyttsítv (0) alapján az -t és Q -t adó intgrálkat E(, ) E(, ) E(, ) d d d = r r r E(, ) E(, )d d r r (3) E(, ) E(, ) d d E(, ) d E(, )d r r r = E(, ) E(, ) E(, ) d d d r r r a zérusvnal sugara. Ennk birtkában írható, hgy Q = r = r. (4) Ha zn flül élünk az I Q gynlőtlnség adta lhanyaglási lhtőséggl () stén kapjuk, hgy = (, ) M E r r I. (5) Egytln tvábbi tndőnk az / I hányads gyszrűbb alakra hzása. Ennk nvzőjét a (0) 3 és a (6a) értlmzéskt, a (3) lvztés végrdményét, valamint a. ábra jlölésit is flhasználva az r I = E(, ) d = E(, ) d E(, ) d r r r r E(, ) d E(, ) d = Q E(, ) d r (6) 0 3 E(, ) 3 d r lépéskbn lht kdvzőbb alakra hzni. Ha a hlytt -t írunk, akkr z utóbbi rdményt (5)-b hlyttsítv kapjuk a nrmálfszültségr a M r = E(, ) (7) r frmulát. (3) és a fnti (7) képlt az [] könyv (4.67) és (4.7) képltink általánsítása krsztmtszti inhmgnitású síkgörb rúd stér. (Ha állandó a rugalmassági mdulus, akkr visszakapjuk a (3) és (7) képltkből az idéztt könyv (4.67) és (4.7) képltit.) 66
Htrgén síkgörb rudak lhtségs mchanikai mdllj 4. nyírófszültség számítása 4.. Képlt a nyírófszültségr jln szakaszban a rúd gy infinitzimális hsszúságú részénk gynsúlyát vév alapul, zárt alakban kísérljük mg kifjzni a nyírófszültségt. 3. ábra vastag körvnalakkal mli ki a tkinttt rúdrészt. Ezt a rúdrészt (tartmányt) az B, véglapk, az ˆ sugarú hngrflült és rúd trhltln palástja határlja. tartmány magasságát h( ˆ ) jlöli, v( ˆ ) a tartmány szélsség. bal ldali s B ívkrdináta rögzíttt, az s pdig paramétr. tvábbiakban az alábbi fltvéskkl élünk: a rúd bármly krsztmtsztébn a = ˆ gynsn a = nyírófszültségk hatásvnalai gy pntn mtszik gymást. Ezt a krsztmtszt kntúrja és a = ˆ = állandó gynsk mtszéspntjaiban a kntúrhz rajzlt érintők mtszés adja. Ennk kövtkzmény, hgy a nyírófszültség páratlan függvény; ugyancsak állandó az E-vl súlyztt középvnal nnk értlmzését illtőn visszautalunk az () képlthz kapcslódó magyarázatra görbülti sugara; az M hajlítónymaték és T nyírórő között fnnáll, hgy dm = T ; (8) ds állandó a fszültség, ha állandó a ; nincs hatással a nyírófszültség-lszlás a nrmálfszültség-lszlásra. 3.ábra. Infinitzimális hsszúságúnak tkinttt rúdszakasz z ábrán kimlt rúdszakasz gynsúlyát az s ˆ d d ( ˆ ) ( ) ( ˆ v )d = B s 0 (9) B gynlt fjzi ki. Ha driváljuk zt az s ívkrdináta szrint, és bszrzzuk az rdményt skalárisan -vl, akkr kapjuk, hgy d 67
d ˆ d d ( ˆ) ( ˆ )= 0. d v (30) s Jlölj max a krsztmtszt szélső szálának maximális távlságát a C pnttól. Ez mindig kisbb, mint. z trült mindig mgadható a v( ˆ ) h( ˆ ) alakban, ahl h( ˆ ) kisbb, mint max. Ezk szrint, ( ˆ ˆ ˆ ˆ h ) d h( ) v( ) ( ), (3) a (30) gynlt másdik tagjának flső krlátja, mivl a nyírófszültségt nm az tartmány blső pntjaiban, hanm a ˆ vnaln flvtt értékévl hlyttsítttük. Utóbbi gynlt alapján lhanyagljuk a (30) összfüggésbn álló másdik intgrált. Ekkr a ˆ d ( )= d ˆ v( ˆ (3) ) ds összfüggés adja a krstt nyírófszültségt. Id hlyttsítv a (0) alatti nrmálfszültségt, a driválás lvégzés és az I = ; Q = (, ) d ; (, )d = E E (33) jlölésk bvztés után ˆ T ( )= ˆ ˆ Q (34) I v( ) a nyírófszültség átlagérték. Ezn rdmény a [] könyv 358-359. ldalán közölt képlt általánsítása krsztmtszti inhmgnitás stér. 4.. Krrkciós tényző tvábbiakban fltétlzzük, hgy az anyagjllmzők csak a függvényi. Fltétlzzük tvábbá, hgy a nyírásból adódó tljs alakváltzási nrgia az U ( ) ( ) = d = d d ( ) V T V G G( ) s (35) képlttl számítható, ahl a rúd E-vl súlyztt középvnalának hssza, a G( ) nyírási rugalmassági mdulus, ami az E( )= G( ) ( ) összfüggésből számítható a Pissn szám. z gységnyi rúdhsszra ső alakváltzási nrgia az lőző képlt alapján az ( ) Q T U = d = d G( ) I (36) G( ) v( ) alakban írható fl, ha hlyttsítjük (34) alatti képltét. Másrészről, kihasználva, hgy w u = = a szögtrzulás a képlt azzal a fltvéssl adódtt, hgy gymástól függtlnnk 68
Htrgén síkgörb rudak lhtségs mchanikai mdllj tkintttük az u, w lmzduláskat és a frgást átírható a (36) képlt: U = ( ) ( )d = w u ˆ = ( )d T, (0)= =állandó ha lhanyagljuk a / értékét az gység mlltt. (36) és (37) képltk gybvtéséből kövtkzik, hgy azaz, hgy Q T T = d ˆ I G( ) v( ) I = =, k Q d T G( ) v( ) ahl I k k = és. (39) Q d G( ) d G( ) v( ) Itt az utóbbit tkintjük nyírási krrkciós tényzőnk. Ha hmgén iztróp anyagú a rúd, akkr a (38) képltből lmi átalakításkkal állandó az E és a G,, zérus értékű az adódik az gyns rudakra érvénys = Q d v( ) összfüggés. Ez csak a krsztmtszti jllmzők függvény. Vgyük észr, hgy a T = G( ) d (4) G hmgén rúdra összfüggés mind hmgén és gyns, mind pdig htrgén és görb rúdra érvénys. 5. z alakváltzási nrgia 4. ábra a rúd középvnalát, a középvnal gy pntját lmzdulás lőtt ( P ) és után (P), tvábbá a középvnal tkinttt pntbli érintőjét, valamint az alakváltzás lőtti és az alakváltzás utáni és görbülti sugarakat szmléltti. szög mgváltzása a mrvtstszrű frgásból adódik. I (37) (38) (40) 69
4. ábra. görbülti visznyk mgváltzása középvnal mnti fajlags nyúlást értlmző ds ds = (4) ds képltbn ds a kzdti állapthz tartzó ívkrdináta, ds pdig az alakváltzást sznvdtt ívlm. Nyilvánvaló, hgy a görbült mgváltzását az d d d( ) d d d = = ( )= ds ds ds ds ds ds (43) átalakítás rdmény adja, ahl d d = =. ds ds ds (44) (9), (43) és (44) gynltk gybvtéséből = (45) a görbültváltzás a kinmatikai jllmzők függvényébn. Ha id hlyttsítjük a -t adó (3) képltt, majd kihasználjuk, hgy tiszta hajlítás stén zérus a rúdrő és újfnt élünk a Q I lhanyaglással, akkr végül az M I képlt adódik a hajlítás hatására bkövtkző görbültváltzásra. z M hajlítónymatékhz tartzó ds ds ds ds M d = = d s I (46) lmi szögváltzás ismrtébn M d U = Md = ds I (47) az lmi rúdhsszban flhalmzódó alakváltzási nrgia. Lgyn a rúd középvnalának hssza. Ezzl = d M U s I (48) a tiszta hajlításhz tartzó tljs alakváltzási nrgia. 70
Htrgén síkgörb rudak lhtségs mchanikai mdllj 6. Számpéldák 6.. Példa z 5. ábra a vizsgált rúd krsztmtsztét és a gmtriai mértkt szmléltti. z igénybvétl tiszta hajlítás: M = M =00 Nm. rúd alsó szlvény acélból, a flső 5 pdig alumíniumból készült, a rugalmassági mdulusk rndr E =, 0 MPa és 4 E =7 0 MPa. krstt nrmálfszültségt hármfélképpn, azaz a (5), (0), valamint (7) képlttl gyaránt kiszámítjuk. Ily módn lhtőség nyílik az lhanyaglásk hatásának bcslésér. 5. ábra. rúd krsztmtszt z yz krdinátarndszrbn flvtt z C az E-vl súlyztt középvnal krdinátája. Ennk számításáhz vissza kll idéznünk, hgy zérus az E-vl súlyztt statikai nymaték az tnglyr. Kövtkzésképp Q = Qy zc =0, (49) ahnnan b b E E b Q y zc = = = mm. (50) E E z C birtkában llvasható az ábráról, hgy = z C = mm, k =4mm, =0mm. (5) Ezn adatk birtkában számítani tudjuk a (0) képltkkl az E-vl súlyztt rdukált trültt és statikai nymatékt: = E(, ) ad = E E ae Ek E E 7
k ae Eln Eln Eln, (5) E(, ) E(, ) Q = E(, ) ad = S ad = ad = = Ea k k ln k ln (53) Ea ln k k ln k. Stinr-tétlll pdig számítható az E-vl súlyztt másdrndű nymaték az tnglyr: I = E(, ) d = E d E d = 3 3 ab b ab b C C = E z ab E b z ab. (54) 6. ábra. nrmálfszültség lszlás z I birtkában, visszaidézv (0) 3 -at és flhasználva (54)-t, írhatjuk, hgy 3 I = E(, )d = I a( E E) k k ln k 7
Htrgén síkgörb rudak lhtségs mchanikai mdllj 3 3 3 k Ea ln 3 3 (55) 3 3 ae ln, 3 ami az E-vl súlyztt rdukált másdrndű nymaték képlt. Bhlyttsítv az (5)-(55) alatti frmulákba az ismrt numrikus értékkt, kapjuk hgy 8 8 8 =, 43360 N, =, 44770 N, Q =,5880 Nmm, (56) 9 9 I = 9,93960 Nmm, I = 9,5040 Nmm. kiszámíttt adatk birtkában ábrázltuk a nrmálfszültség-lszlást a pnts (5) képlt, a Grashf-fél képlt általánsításának tkinthtő (0) képlt, valamint a (7) képlt flhasználásával. fszültség lszlást függvényébn szmléltti a 6. ábra. számíttt értékk gyakrlatilag mggyznk, a lgnagybb ltérés alig éri l a % -t. Érdms még a (5), (0) és (3) képltkt abban a tkinttbn is összhasnlítani, hgy mit rdményznk a zérusvnal krdinátájára vnatkzóan. Figylmb vév a ( ) = 0 összfüggést, rndr a 0,8004 mm, 0,777 mm, illtv 0,7845 mm értékkt kapjuk krdinátára. Ez azt jlnti, hgy itt sincs lénygs ltérés. 6.. Példa 7. ábra krsztmtszt a gmtriai és anyagjllmzők tkinttébn ugyanaz, mint az lőző fladatban. trhlés aznban ltér, hiszn z mst a T = 0 kn nagyságú nyírórő. Krssük a nyírófszültség-lszlást a (34) képlt alapján és a nyírási krrkciós tényzőt. Ez utóbbihz szükség lsz a 0,3 és 0,35 Pissn számkra is, mlyk indxlés összhangban van a rugalmassági mdulusk indxlésévl. 7. ábra. Nyírásnak kittt krsztmtszt 73
z (56) alatti értékk (33) -b való hlyttsítésévl I 9, 5040 9 3 = = = 9, 7650. 8 8, 44770 ˆ (4,0] (alumínium anyagú) szakaszn a (33),3 képltk alapján és 0 7 6 = d =700003 d = 4,48 0,4 0 N ˆ E 0 8 Q = E d = 700003 d = ˆ 8 ˆ ˆ 6 =, 4 0 9458,37 8 674ln 8 Nmm. fnti adatkkal aznnal adódik a nyírófszültség zn a tartmányn: 69, 6687 ˆ ˆ ˆ ( ) = 659, 5077,8547 50, 6 ln 8 N/mm. 8 ˆ ˆ (57) 8. ábra. Nyírófszültség lszlás Ha az acélból készült ˆ, 4 rúdrészt tkintjük, akkr kapjuk, hgy és, hgy ˆ 6 ˆ 7 = Ed = 00003 d = 6, 70 8, 0640 N, 74
Htrgén síkgörb rudak lhtségs mchanikai mdllj Q E ˆ ˆ Kövtkzésképp 69, 6687 ( ˆ) = 5, 564 ˆ 986, 464 45,858ln 8 ˆ N/mm. 8 ˆ = 8 0 d = 5,504 0 4,585 0 ln 8,9858 0 Nmm. nyírófszültség lszlást a függvényébn a 8. ábra jlníti mg. Itt érdms mgjgyzni, hgy a (34) összfüggés nyírófszültségi átlagértékt rdményz. Ez azt jlnti, hgy a kaptt rdmény pntsabb, ha a rugalmassági mdulus nm függ az krdinátától, hanm csak a függvény: E = E( ). mi a nyírási krrkciós tényző értékét illti, lső lépésként a (39) összfüggésb való bhlyttsítéskt célszrű lvégzni. Ezk srán használjuk ki az alábbi mgfntláskat: (a) a hivatkztt képltbn álló v( ) mst gy knstans, érték mggyzik a krsztmtszt a-val jlölt szélsségévl; (b) a G( ) csúsztató rugalmassági mdulus állandó a ˆ ;4 (58), valamint a ˆ 4;0 szakaszkn blül; tvábbá (c) az, Q η jllmzők a két intrvallumn blül flytnsak. z lőbbikből kövtkzik, hgy a (39) frmula nvzőj szétsik gy összgr. Ez pdig némilg rndztt frmában végül az 4 8 8 0 5,560,98 0 4,50 ln 4 8 d 8,080 3 8 0 8 0 8 0 4 6,60,850,5 0 ln 8 d,0, 60 3 4 8 rdményr vzt. Visszahlyttsítv zt (39) -b adódik, hgy 7 k 4, 3 0 N. (59) -val jlölt (jln cikk krtin blül az anyagjllmzőktől is függő) dimnziótlan nyírási krrkciós tényző számszrű értékéhz pdig a (39) dfiníció alapján a 7 k k 4, 30 0,774 (60) 4 0 7 G( ) d a G d G d 4,35,37 0 4 lépéskbn juthatunk l. Ez az rdmény nm áll mssz a hmgén, iztróp anyagú téglalap krsztmtsztű, gyns rúdra lvzthtő 5/6 0,833-as számértéktől. 7. Összfglalás Jln cikk krtin blül bmutatásra krült néhány klasszikus, hmgén anyagú síkgörb rúdra érvénys képlt általánsítása krsztmtszti inhmgnitás fltétlzés mlltt, azaz fltév, hgy a rugalmassági mdulus csak a krsztmtszti krdináták függvény. Lvzttünk hárm frmulát a nrmálfszültségr, mgadtuk a nyírófszültség számítására alkalmas összfüggést, és képltkt állítttunk fl a görbültváltzás, valamint az alakváltzási nrgiát számítására. két számpélda az rdményk alkalmazhatóságát illusztrálja. 75
8. Köszöntnyilvánítás kutató munka a TÁMOP-4...B-0/-00-0008 jlű prjktk részként az Új Magyarrszág Fjlsztési Trv krtébn az Európai Unió támgatásával, az Európai Szciális lap társfinanszírzásával, illtv a TÁMOP-4..B-0//KONV-00-000 jlű prjkt részként az Európai Unió támgatásával, az Európai Szciális lap társfinanszírzásával valósul mg. 9. Irdalm [] F. P. Br and E.. Jhnstn. Mchanics f Matrials. Mc Graw Hill, Mtric ditin, 987. [] Csizmadia B. és Nándri E. Műszaki Mchanika: Szilárdságtan. Nmzti Tankönyvkiadó, 00. [3]. Baksa and I. Ecsdi. nt n th pur bnding f nnhmgnus prismatic bars. Intrnatinal Juurnal f Mchanical Enginring Educatin, 37():8 9, 009. [4] I. Ecsdi and K. Dluhi. linar mdl fr th static and dynamic analysis f nnhmgnus curvd bams. pplid Mathmatical Mdlling, 9():- 3,005. 76