KÜLSŐ PEREMÉN KÖRHENGERHÉJJAL MEREVÍ- TETT KÖRLEMEZEK STABILITÁSVIZSGÁLATÁNAK EGYES KÉRDÉSEI

Átírás

1 Multidiszciplináris tudmányk,. kött. (0) sz. pp KÜLSŐ PEEMÉN KÖHENGEHÉJJAL MEEVÍ- TETT KÖLEMEZEK STABILITÁSVIZSGÁLATÁNAK EGYES KÉDÉSEI Burmistr Dánil tanársgéd, Misklci Egytm, Mchanikai Tanszék 355 Misklc, Misklc-Egytmvárs, -mail: Összfglalás A jln tanulmány fő célja külső prmén körhngrhéjjal mrvíttt körlmzk stén a szrkzt stabilitásvizsgálata. Fltétlzzük, hgy a szrkztt a körlmz síkjában fkvő knstans sugárirányú rőrndszr trhli. Fltétlzzük tvábbá, hgy a kihajlási alak tnglyszimmtrikus és hgy alkalmazhatók a vékny lmzk és héjak lmélténk összfüggési. A két szrkzti lmml kapcslats mzőgynltk áttkintés és a flytnssági fltétlk tisztázása után mghatárzzuk a szrkzt kritikus trhlését. Az rdményk alkalmazhatóságát numrikus példák szmlélttik. Kulcsszavak: stabilitás vizsgálat, kritikus trhlés, héjjal mrvíttt körlmz, körhngrhéj Abstract Th main bjctiv f th prsnt papr is th stability invstigatin f shll-stiffnd circular plats subjctd t a cnstant radial lad in th middl plan f th plat. W shall assum that th dflctins du t th lad ar axisymmtric. It is als assumd that w can apply thry f thin plats and shlls. Aftr prsnting th fild quatins f th plat and shll and clarifying th cntinuity cnditins btwn th tw structural lmnts w shall dtrmin th critical lad f th structur. Th numrical xampls prsntd prv th applicability f th rsults. Kywrds: stability invstigatin, critical lad, shll-stiffnd circular plat, cylindrical shll. Bvztés Mérnöki szrkztkbn száms stbn találkzhatunk saját síkjukban is trhlt szrkzti lmkkl: rudakkal, lmzkkl avagy héjakkal. Ezk közül a fladatk közül jlntőségét, és lhtségs alkalmazásait is tkintv kitüntttt szrp van a saját síkjában trhlt lmzk stabilitási fladatainak. Ami a körlmzk stabilitási prblémáját illti, érdms mgmlítni, hgy a kérdéskörrl fglalkzó az lső cikk 89-bn jlnt mg []. Kimljük hlyütt még Nádai stabilitási kérdéskkl fglalkzó cikkét []. Mgjgyzzük tvábbá, hgy a kérdéskörbn száms tanulmány szülttt azóta, d a jln bvztésbn csak azkat mljük ki, amlyk a szrkzti mrvítésk hatásával is fglalkznak.

2 Burmistr D. A körlmz mrvbbé thtő, ha azt különböző módkn, pl. brdázás, avagy az átmérő mntén lhlyztt mrvítés, avagy a lmz prmér rögzíttt gyűrű zt görb rúdként érdms mdllzni avagy a lmz prmén lhlyztt körhngrhéj sgítségévl llnállóbbá tsszük a hrpadással szmbn. Ami az irdalmi lőzménykt illti kidrült, hgy rlatív alacsny a mrvíttt körlmzk fladataival fglalkzó publikációk száma. ugalmas mgfgással lláttt körlmz fladatát Thvndran vizsgálta [3]. Körlmz prm mntén lhlyztt mrvítés hatásával Turvay és szrzőtársai fglalkztak []. Az idéztt cikk kísérlti rdménykről is bszáml, d stabilitási kérdéskkl ugyanakkr nm fglalkzik. A szrző és munkatársai gy másik tanulmánya az átmérőj mntén mrvíttt körlmz gys fladatait vizsgálja, d stabilitási kérdéskkl z a cikk sm fglalkzik [5]. A körlmz prmén lhlyztt mrvítő körgyűrű hatását a körlmz stabilitására Frstig és Simists tanulmánya vizsgálja [6]. Kidrül aznban cikk irdalmjgyzékéből, hgy a szrzők nm ismrik Szilassy István idvágó rdményit [7], [8]. Szilasy István gytmi dktri értkzésébn [7] és gy későbbi cikkébn [8] fglalkztt a külső prmén körhngrhéjjal mrvíttt körlmz gys stabilitási fladataival. Az lső fladat gy tömör, a másdik fladat, pdig gy lyukas körlmz gy prmértékfladata vlt. A szrző fltétlzt, hgy (i) a lmz síkjában működő trhlés mrv és tnglyszimmtrikus (ii) tvábbá, hgy a körlmz és a körhngrhéj alakváltzása ugyancsak tnglyszimmtrikus, illtv közölt gynltkt a nm tnglyszimmtrikus alakváltzás stér is. A szrző a körlmz stén a szöglfrdulásra flírt diffrnciálgynlt mgldását, a körhngrhéj stén pdig vékny héjak lméltén alapuló mgldást használta fl. A körhngrhéj a lmz két ldalán, a középsíkjára szimmtrikusan hlyzkdik l. Szilassy vizsgálatai után a kövtkző kérdésk vthtők fl: (a) érdms a mgldható prmértékfladatk körénk bővítés miatt a körlmz stén a lmz síkjára mrőlgs lmzdulásra flírt diffrnciálgynltt használni, mivl (b) az lmzduláskrdinátára flírt lmzgynlt sgítségévl tvábbi mgtámasztásk (prmértékfladatk) stén mg lht határzni a kritikus trhlést; (c) érdms lnn mgvizsgálni mi történik, ha a trhlés tnglyszimmtrikus, d a vl társuló alakváltzás aznban nm, (d) és végül tvábbi kérdésként vtődik fl, mi történik, ha a trhlés sm tnglyszimmtrikus. A jln tanulmány az (a) és (b) alatt mgfgalmaztt fladatk mgldását tkinti fladatának, arra az str, amikr a mrvítő körhngrhéj prm csatlakzik a körlmz külső prméhz, azaz a héj csak a lmz középflülténk gyik ldalán hlyzkdik l. A tanulmány szövgét öt szakaszba szrvztük. A. A fladat mgfgalmazása című szakasz rövidn ismrtti a mgldandó fizikai fladatt. A fladat gynlti című 3. szakasz mind a körhngrhéj, mind pdig a körlmz stér áttkinti a fladat mzőgynltit, valamint a vnatkzó prm és illsztési fltétlkt. A. szakasz a mrvíttt tömör körlmz stabilitás-vizsgálatával fglalkzik. Mgadja zárt alakban a kritikus trhlést szlgáltató nmlináris gynltt, és közli a mgldáskat is. A fladat mgfgalmazása Az. ábra a vizsgált szrkzt mtszti kép. Maga a szrkzt tömör vagy lyukas körlmzből az ábra az utóbbi str szmléltti a visznykat és a lmz külső prmér rősíttt mrvítő héjból áll. A lmz és a héj középflülti az sugarú körbn mtszik gymást. Ezt sugarat tkintjük a körlmz külső prméhz tartzó sugárnak. A lmz

3 Mrvíttt körlmzk stabilitás vizsgálata vastagságát b p, a körhngrhéj vastagságát pdig b s jlöli. A körhngrhéj lmz középsíkja fltti (alatti) mért h. A szrkztt a lmz középsíkjában fkvő sugárirányú és állandó intnzitású mrv (iránytartó) mgszló rőrndszr trhli. Ennk f a sűrűség.. ábra. Gmtriai és trhlési visznyk Fltétlzzük, hgy a lmz és a héj gyaránt vékny, kövtkzésképp használhatjuk a Kirchhff-fél lmz- és héjmdllt. Tvábbi fltvés hgy a fladat lináris mind a gmtria, mind pdig az anyagtörvény tkinttébn. Hőhatásktól ltkintünk. A lmz és a héj ugyanabból a hmgén iztróp anyagból készült: E a rugalmassági mdulus, ν a Pissn szám. A szrkzt tnglyszimmtrikus és kismértékű rugalmas alakváltzását vizsgálva a kövtkző két kérdésr krssük a választ: (a) mkkra a szrkzt kritikus trhlés; (b) milyn mértékű a mrvítő körhngrhéj hatása a kritikus thrr.. ábra. A szétválaszttt szrkzti lmk A kitűzött fladat mgldása érdkébn szétválasztjuk gndlatban két részr a szrkztt. Ennk mgfllőn a.a. ábra a körlmzt, a.b. ábra pdig a körhngrhéjt szmléltti. A körlmzhz kötött jbbsdratú (,φ,z) hngr-krdinátarndszrbn a z=0 sík a lmz középflült. A 3.a. ábra az körön szmléltti a vnatkzó krdinátavnalakat. A középflült pntjainak és z irányú lmzdulását rndr u és w jlöli. A.a. ábra fltüntti a körhngrhéjről átadódó f sugárirányú és állandó intnzitású blső rőt: N =-f, tvábbá a körhngrhéjről átadódó M hajlítónymatékt is. A körhngrhéj stén a (ζ,φ,ξ) hngrkrdináta-rndszrt használjuk majd. Ebbn a krdinátarndszrbn ξ=z és ζ=0 a körhngrhéj középflültén. A φ plárszög mindkét 3

4 Burmistr D. krdinátarndszrbn azns (d a tnglyszimmtria miatt nm lsz szrp). A 3.b. ábra ismét az körön szmléltti a krdinátavnalakat. 3. ábra. Krdinátavnalak a két krdinátarndszrbn A körhngrhéj tnglyszimmtrikus alakváltzása stén gydül az u ζ lmzduláskrdináta nm zérus. Nyilvánvaló, hgy u=u(), w=w() és u ζ =u ζ (ξ). A.b. ábra, összhangban a.a. ábrával, fltüntti a körhngrhéjra működő külső és blső rőkt is. 3. A fladat gynlti 3.. Egynltk a körhngrhéjra Ismrts, hgy tnglyszimmtrikus visznyk mlltt az u ζ sugárirányú lmzdulásmző d u N u lim ps () d I x ses diffrnciál-gynltnk kötls lgt tnni [9], ahl p a héj középflültén működő sugárirányú mgszló trhlés állandónak tkinttt sűrűség (a jln stbn zérus), N ξ a ξ irányban működő élrő (a jln stbn z is zérus), ν s és E s pdig a héj anyagának a Pissn száma és rugalmassági mdulusa gylőr nm használjuk ki, hgy azns a két szrkzti lm anyaga, tvábbá 3 3( ), s, Is bs /, Es Es /( s ). bs () Az () gynlt mgldását a kövtkző alakban krssük a [0, h] intrvallumban: i i p p s s i u ( ) av ( ) u ; u p/ I E 0, (3) ahl Vi ( )( i,,) az ún. Krülv-függvénykt jlöli zk dfinícióját és tulajdnságait illtőn lásd a Függlék (33) és (3) képltit. A mgldás ismrtébn 3 d u d u Q IsEs és M 3 IsEs d d () képltkkl számítható a nyírórő illtv az élnymaték.

5 Mrvíttt körlmzk stabilitás vizsgálata A héj középflülténk v lmzdulását két részfladat szuprpzíciójából állítjuk lő. Az alábbiak fladatnként tkintik át a prm és illsztési fltétlkt:. részfladat: A héjat csak az f és f trhli. A vnatkzó prmfltétlk a Q 0 f f, M 00, (5) Q h 0, M h 0 alakban írhatók fl.. részfladat: A héjat z stbn csak az M nymaték trhli. A vnatkzó prmfltétlk a Q 0 0, M 0M, (6) Q h 0, M h0 alakban írhatók fl. A részfladatk mgldásai ismrtln paramétrként tartalmazzák az f mgszló trhlést és az M élnymatékt. Ezk a mnnyiségk lvbn az illsztési fltétlkből számíthatók. Az illsztés hly a körlmz és körhngrhéj középflültink mtszésvnala. Ezn sugarú körön, vagy ami ugyanaz a körhngrhéj ξ=0 krsztmtsztébn a kinmatikai mnnyiségk az u u u u 0 (7) és dw du 0 d (8) d illsztési fltétlknk kötlsk lgt tnni. A részfladatk mgldása srán a Krülv-függvényk értlmzését is kihasználva, ugyanakkr lhagyva a frmális számításk részltit kapjuk, hgy u 0 M f f, (9) M f f, ahl sin h sinh h, 3 cshhcsh IsEs csh h csh, cshhcsh IsEs (0) csh h csh, cshhcsh Is Es sin hsinh h. csh h cs h I E s s 3.. A körlmz alakváltzása, gynltk a körlmz saját síkjában működő trhlésr Jlölj rndr E p and ν p a körlmz rugalmassági mdulusát és a Pissn számt. A prmin saját síkjában fkvő knstans sugárirányú rőrndszrkkl trhlt körgyűrű alakú 5

6 Burmistr D. lmz stén tnglyszimmtrikus visznyk között az (,φ,z) hngrkrdinátarndszrbn B B N A, N és 0 A N N () a hárm élrő (N φ ltűnés a tnglyszimmtria kövtkzmény), ahl az A és B állandók a prmfltétlk függvényi [7]. Lgyn ρ=/ dimnziómnts sugárirányú krdináta. Jól ismrt a szilárdságtanból [7], hgy tömör körlmz stén A f és B 0. () A prm mnti radiális lmzdulás pdig a f u, bp E (3) összfüggéssl számítható [7] A körlmz alakváltzása, gynltk a stabilitásvsztés utáni lmzdulásmzőr Vzssük b a A B ; és, () f f valamint a 3 Ip bp /, Ep Ep /( p) (5) jlöléskt. Mgmutatható az utóbbi jlölésk flhasználásával, hgy f d w dw HHw (6) IpEp d d a saját síkjában trhlt köralakú lmz w lhajlásának diffrnciálgynlt. A w-r vnatkzó mgldás ismrtébn dw d w dw, M IpEp d d d (7) d d w dw dw Q IpEp N dd d d a szöglfrdulás, az élnymaték, és nyírórő érték.. Mrvíttt tömör körlmz stabilitásvizsgálata.. A kritikus trhlést adó nmlináris gynlt Bvztv a f d d F és H (8) I p E p d d jlöléskt a (6) gynlt a 6

7 Mrvíttt körlmzk stabilitás vizsgálata alakra hzható, illtv a wf w0 (9) I E I E b p p ˆ, p p és p ˆ (0) jlöléskkl a (9) gynltk a F M ˆ F F () ˆ M F F frmába írhatók át. A (9) gynlt általáns mgldása az w( ) czcz c3z3 cz, () Z, Z ln, Z3 J( F), Z Y( F) alakban írható fl, ahl c, c, c 3 és c az intgrációs állandókat, Z, Z, Z 3 és Z pdig a partikuláris mgldáskat jlöli. A fnti és későbbi képltkbn álló J ( F ) és Yn ( F ), n 0,,,3, gész indxű Bssl-függvényk. A Z i, (i=,,) partikuláris mgldásk tvábbiakban flhasznált driváltjait a B. Függlék tartalmazza lásd a (35) és (36) képltkt. Mivl ρ-ra fnnáll, hgy (a) Y ( ) ln( ) F F és, hgy (b) J (0) a mgldás krlátsságáhz a ρ=0 hlyn tljsülni kll a c c / (3) gynltnk. Ez azt jlnti, hgy w( ) c c Y( ) ln( ) c3j( F ). () Kihasználva a jól ismrt J( x) J( x) J( x) és Y( x) Y( x) Y( x) x x (5) összfüggéskt, a Z i partikuláris mgldásk driváltjait adó (35) és (36) képltkt, tvábbá hlyttsítv a Bssl-függvényk határértékét, ha az argumntum zérushz tart, a Q -t adó (7) 3 képltből itt nm részltztt átalakításkkal kapjuk, hgy 3 k d limq lim w. 0 IE 0 d F F (6) Mivl zérus a Q élrő rdőj az =ρ sugarú körön, ha 0 a vnatkzó Q c f 0 (7) gynltből c =0, és így w( ) c c3j ( F ) (8) alakú a mgldás. Nm sérti az általánsságt, ha a c knstans értékt zérusnak választjuk zzl valójában a lmz lvbn határzatlan mrvtstszrű mzgását írjuk lő. A fnnmaradó intgrációs knstanskat a ρ= hlyn lőírt illsztési fltétlkből számíthatjuk. A () gynltrndszrből F liminálása után kapjuk, hgy n 7

8 Burmistr D. ˆ ˆ M F. ˆ ˆ (9) Itt gyrészről, tkintttl a (7) képltr, valamint a (36) összfüggésr dw c3 d FJ( F ), (30) tvábbá másrészről, kihasználva a (7) képltt, a mgldás tkinttébn pdig az ddigikt és a partikuláris mgldásk a Bssl-függvényk driváltjaival kapcslats (36) összfüggéskt IpEp M c 3 ( ) J ( ) J( F F F F ). (3) A (9), (30) és (3) képltk gybvtéséből a ˆ F ˆ c3 ˆ I pep FJ( F) ( ) J ( ) J ( ) ˆ F F F F (3) gynlt adódik a fnnmaradó c 3 knstans számítására. A szrkzt kritikus trhlését akkr kapjuk, ha a w(0) lmzdulás adtt trhlésr végtlnhz tart [0]. Mivl a (8) lmzdulásmzőbn szrplő J krláts, a c 3 knstans értékét vizsgáljuk. Ezn tag végtlnhz tart, ha a képltbn szrplő kifjzés nvzőj zérus... Numrikus rdményk Frtran 90 frráskódú prgram készült a kritikus trhlés ( F cr ) mghatárzására. A szrkztr ható ténylgs trhlésénk kritikus értékénk ( F cr) mgállapítására a () gynltrndszr szlgál.. ábra. Mrvítő héj hatása gy- illtv kétldali mrvítés stén 8

9 Mrvíttt körlmzk stabilitás vizsgálata A kaptt számítási rdménykt a. ábra szmléltti. A számításkat b p / =b s / =0.0, E p =E s =00 GPa, ν=0.3 és =50 mm adatk mlltt végztük. Llvasható az ábráról hgy a h magasság növlésénk gy biznys érték fltt már nincs hatása a kritikus trhlés értékér. A. ábrán két görb szrpl. Egyik a jln cikkbn vizsgált szrkzt, míg a másik gy szintén körhngrhéjjal mrvíttt körlmz kritikus trhlését ábrázlja, visznt a mrvítő héj lrndzés szimmtrikus a lmz középsíkjára. Az utóbbi rdményk is a szrző rdményi []. 5. Összfglalás Összhangban a tanulmány bvztésébn mgfgalmaztt célkitűzéskkl tnglyszimmtrikus visznyk fltétlzés mlltt áttkintttük a tömör és lyukas körlmzk stabilitásvizsgálatával kapcslats diffrnciál-gynltkt, valamint a körlmz és az azt mrvítő körhngrhéj közötti illsztési fltétlkt. Lvzttük a kritikus trhlést adó nmlináris gynltkt, és számításkat végztünk a kritikus trhlés mghatárzására. Tömör körlmz stén végztünk számításkat. A kaptt rdményk szrint a mrvítő körhngrhéj jlntősn növli a kritikus thr értékét, ha a h/ hányads nm halad mg gy a b/ -től függő krlátt. Végztül mgjgyzzük visszautalva itt a Bvztésr, hgy izgalmas kérdés (i) vajn mi történik, ha tnglyszimmtrikus a trhlés, d nm tnglyszimmtrikus a vl társuló alakváltzás (ii) és végül tvábbi kérdésként vthtő fl, hgy mi történik, ha a trhlés sm tnglyszimmtrikus. 6. Köszöntnyilvánítás A bmutattt kutató munka a a TÁMOP-...B-0//KONV jlű prjkt részként az Új Magyarrszág Fjlsztési Trv krtébn az Európai Unió támgatásával, az Európai Szciális Alap társfinanszírzásával valósult mg. 7. Függlék 7.. Krülv-függvényk Az alábbiakban mgadjuk a Krülv-függvénykt, valamint a ξ hlykrdináta szrinti driváltjaikat: V csh cs, V csh sin sinh zcs, (33) V3 sinh sin, V csh sin sinh zcs. A függvény driváltjai pdig az alábbi módn számíthatók: V V, V V, V3 V, V V3 V V3, V V, V3 V, V V (3) V V, V V, V V, V V

10 Burmistr D. 7.. A () mgldás driváltjai Az alábbiak összfglalóan mgadják a (9) diffrnciálgynlt () mgldásában álló Z,,Z partikuláris mgldásk ρ szrinti driváltjait: ( ) Z Z, Z 0, Z 0, Z 0; 3/ ( ) F F F (35) Z Z ln( F), Z Z, Z ; 3/ 3 F F F ( ) Z3 Z3 J ( F), Z3 FJ( F), 3/ F Z 3 J( ) J0( ) F, Z 3 J3( ) 3 J( ) ; F F F F (36) ( ) Z Z Y ( F), Z FY( F), 3/ F Z Y( ) Y0( ) F, Z Y3( ) 3 Y( ). F F F F 8. Irdalm [] Bryan, G. H.: On th stability f a plat undr thrust in its wn plan with applicatins t th "buckling" f th sids f a ship, Prcdings f th Lndn Mathmatical Scity, pag 5 67, 890. [] Nádai, A.: Übr das Ausbuln vn krisförmingn Plattn, Zitschrift ds Vrins dutschr Ingniur, 59():, 95. [3] Thvndran, V., Wang, M. C.: Buckling f annular plats lastically rstraind against rtatin alng dgs, Thin-Walld Structurs, 5(3):3-6, 996. [] Turvy, G. J., Dr Avanssin, N. G. V.: Axisymmtric last-plastic larg dflctin rspns f ring siffnd circular plats. Intrnatinal Jurnal f Mchanical Scincs, 3(-):905 9, 989. [5] Turvy, G. J., Salhi, M.: Elast-plastic larg dflctin rspns f prssur ladd circular plats stiffnd by a singl diamtr stiffnd by a singl diamtr stiffnr, Thin-Walld Structurs, 6:996 00, 008. [6] Frstig, Y., Simitss, G. J.: Buckling f ring-stiffnd multi-annular plats, Cmputrs & Structurs, 9(3):59 56, 988. [7] Szilassy. I.: Külső prmén trhlt körgyűrűalakú tárcsa stabilitása, Dktri értkzés, Misklci Egytm, 97. [8] Szilassy. I.: Stability f an annular disc ladd n its xtrnal flang by an arbitrary frc systm,. Publ. Tchn. Univ. Havy Industry. Sr. D. Natural Scincs, 33:3 55, 976. [9] Timshnk, S., Winwski-Krigr, S.: Thry f Plats and Shlls. McGraw-Hill, nd ditin, 987. [0] Br, F. P., Jhnstn, E..: Mchanics f Matrials. McGraw-Hill, 987. [] Burmistr, D.: Stability f shll-stiffnd and axisymmtrically ladd annular plats, Tchnisch Mchanik, Közlésr lfgadtt cikk, mgjlnés alatt. 30