Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Soroztok... Számti sorozt.. Tégllp lefedése domiókkl. 9.. Feljutás z -fokú lépcsőre.. Rekurzív sorozt explicit képlete.. 7.5. Fibocci-sorozt.... Az első égyzetszám összege...7. Az első köbszám összege... Egyeletek, egyeletredszerek.... Négyzetgyökös egyelet.. Hrmdfokú két ismeretlees egyeletredszerek 5. Egyelőtleség. 9.. Négyzetgyökös egyelőtleség.. 9 5. Geometrii feldt.. 5.. Háromszögbe írhtó mximális területű égyzet... Oszthtósági feldtok... KÖMAL B. 7..... 99-os OKTV feldt ktulizálás.. 5 7. Összegzés 7 8. Irodlomjegyzék.. 8
Bevezetés Szkdolgoztom legfotosbb célj z, hogy összegyűjtsek oly verseyfeldtokt, melyek középiskolások godolkodását fejlesztik, jvítják problémmegoldó képességüket. Emellett z is célom, hogy megmutssm, hogy mtemtik milye szép. Kevés oly feldt v, melyre csk egyféle megoldás létezik, legtöbbször számtl, egymástól léyegese külöböző megoldás v egy feldtk. Ezekek megoldásokk felfedezése gyo hszos, hisze fejlesztik problémmegoldó képességet, mi em csk mtemtik tudomáyá belül, hem z élet bármilye területé hszos. Vegyük például zt gyo egyszerű esetet mi velem is gykr előfordul, hogy elmegyek vásároli, és regeteg própézem v. Mivel z prót zsebembe trtom, és em péztárcáb, ezért kéyelmetle éh leüli, így vásárláskor z z egyik fő szempotom, hogy miél több própéztől szbduljk meg. Ekkor ksszáál tuljdoképpe egy dioftoszi problémát kell megoldi, hogy tudok miél több própéztől megváli, h ismerem pézek meyiségét és értékét. Természetese em csk vásárlásál hszosíthtó mtemtiki tudás. Az emberek gy százlék hjlmos zt hii, hogy mtemtikus csk számol. Ez természetese em igz. A számolás számológépek, számítógépek feldt. A mtemtikus és mtemtik tudomáy problémák modellezésével fogllkozik. Ez egy bsztrkt tudomáy, z ember lkott, mert szüksége volt rá. A régi kor emberéek fotos feldt volt, hogy meg tudj számoli, háy hszoállt v. Először z ujjit hszált, mide egyes álltot egy-egy ujják feleltetett meg, ie is szármzik vlószíűleg -es számredszerük. Ám h több, mit álltot krt számo trti, kkor szüksége volt természetes számok bevezetésére. Később műveleteket végzett ezekkel számokkl, h z egyik állt egy utódot hozott létre, meglévő számhoz hozzádott egyet, h elpusztult egy jószág, kivot egyet z összegből. Később szüksége lett szorzás műveletére is, h zt krt megszámoli, hogy egy oszlop széles és 5 sor hosszú istállób háy lovt tud betei. Visszfelé godolkozv megszületett z osztás művelete is, mjd hsoló többi művelet. Ez zt bizoyítj, hogy z emberekek szükségük volt mtemtikár. Jövőbeli tárkét éppe z z egyik célom, hogy diákokkl megszerettessem mtemtikát. Tisztáb vgyok vele, hogy em mideki rjog verseyfeldtokért, és em lehet midekitől elvári, hogy ehéz feldtokt oldjo meg. Ezért szkdolgoztomb feldtok megoldását részletese írtm le, tettem bele egésze köyű
és ehezebb feldtokt is. Néháy feldtál többféle teljese külöböző megoldást is megdtm, vlmit feldtok áltl ispirálv lkottm éháy új feldtot is. Egyik legkedveltebb témköröm soroztok, így z ilye típusú feldtokból tlálhtó legtöbb, de emellett összegyűjtöttem egyeleteket, egyelőtleségeket, geometrii feldtokt, oszthtósággl kpcsoltos feldtokt, vlmit oly feldtokt, melyek megoldásához z lgebr és z lízis eszközeit hszáltm fel. Mivel középiskolásokt szereték elsősorb títi, ezért feldtokhoz felhszált ismeretek em lépik túl középiskol szitjét. Középiskoláskét gykr jártm mtemtikverseyekre, hol többé-kevésbé jó eredméyeket sikerült elérem. Emlékszem rr, mikor országos verseyeke zártm előkelő helye, meyire felemelő érzés volt. Ezt z érzést szeretém megismerteti zokkl, kikek eddig em volt lehetőségük vgy kedvük verseyzésre, esetleg em szeretik mtemtikát. Szkdolgoztomb először soroztokról írok részletese, hol v KÖMAL-os feldt, de szerepelek z elemi mtemtik evű kurzuso tárgylt problémák is. A legtöbb feldtot áltláosítottm, próbáltm ehezebb példákt kostruáli, több megoldást megdi. Igyekeztem miél szemléletesebb módszerekkel dolgozi, hogy középiskolások érdeklődését is felkeltsem. Ezt követőe z egyeletekkel és egyeletredszerekkel fogllkoztm, mtemtikórá tlá ezzel tlálkozk leggykrbb középiskolás diákok, így fotosk trtom, hogy z egyeleteket gy mgbiztossággl kezeljék, eljutv helyes megoldásig. Ezutá egy egyelőtleséggel is fogllkoztm egy példá keresztül, melyek megoldásához szükség v számti-mérti közepek közti összefüggésről tult ismeretekre is, mit hogy igz ez következő témkörre is, mi geometri. A dolgoztom végé gyűjtöttem éháy oszthtósági problémát. A feldtok megoldás előtt írtm éháy godoltot rról, hogy hogy jöhetük rá megoldásr, és milye eszközökre v szükségük.
Soroztok A soroztok regeteg helye előfordulk mtemtikáb. Vk véges és végtele soroztok is. V, hogy vlháydik elemét szereték meghtározi egy soroztk, de előfordul z is, hogy egy sorozt elemeiek összegéről szereték megmodi, hogy meyi. Egy soroztot megdhtuk hozzáredelési szbállyl explicit és implicit, rekurzív és direkt módo, vgy felsorolássl, de előfordulht z is, hogy soroztot oly logik szerit djuk meg, mely folytthtó, ám em dhtó meg képlettel. Ilye például z sorozt, melybe pi szám tizedes jegyeit soroljuk fel. Az első feldt egy számti soroztról szól, ám egy kis ehézséget okoz z, hogy tuljdoképpe ez két számti sorozt egymásutáj. KÖMAL C.. Egy számsorozt iduló elemei,,, stb. páros számok. Egy bizoyos elemtől kezdve sorozt d = differeciájú számti sorozttl folyttódik. Melyik ez z elem, h sorozt első 5 eleméek összege 985? A megoldásr úgy juthtuk legköyebbe, h felhszáljuk számti soroztokról ismert összefüggéseket. A legfotosbb feldt, hogy meghtározzuk z első sorozt utolsó elemét, hisze ietől kezdve két számti soroztr bothtjuk soroztot. Másik megoldási lehetőség fvágós próbálkozós módszer. H egy logik szerit hlduk próbálkozás sorá, hmr eredméyre juthtuk. Megoldás: Legyeek -es differeciájú sorozt elemei: i, hol i ulláál gyobb és 5-él kisebb egész szám, k eek soroztk z utolsó eleme. A -s differeciájú sorozt elemeit jelöljük b j -vel, hol j ulláál gyobb egész szám, b l eek soroztk z utolsó eleme. S k -
vl jelölöm z első sorozt összegét, S l -lel második sorozt összegét. Tudjuk, hogy =, d =, d =, = k + l = 5, vlmit zt is, hogy S k + S l = 985. Számti soroztokr tudjuk, hogy következő összefüggések igzk: S ) d Ezekből következik: S ) d) Tudjuk, hogy: k k ) d Azz: k k ) k Az első sorozt összege képlet lpjá: S k k k ) d) Behelyettesítve következő értékeket kpjuk: S k k k )) k k k k Ekkor következő elem -s differeciájú sorozt első eleme lesz, egybe kérdéses elem is, zz: k k d Tehát: k k A második sorozt összegképlete következő: S l l k l ) d) Behelyettesítve kifejezéseket kpjuk: S l l k ) l )) kl l l l Mivel tudjuk, hogy S = S k + S l = 985, k + l = 5, így egyeletből álló egyeletredszert felírv megoldhtjuk: 5
kl l l S Sk Sl k k k l 5 l 5 k l Az első egyeletbe l helyére behelyettesítve 5-k-t kpjuk: S k5 k) 5 k) 5 k) 5 k) k k Felbotv zárójeleket kpjuk: 985 k 985 k k k k 75 k k k k k 75 k Az egyelet midkét oldlát szorozzuk meg -vel: 597 k k k Nullár redezve kpjuk: k k 8 k 75 A másodfokú egyelet megoldóképletével kpjuk: 5 k k, k = 8 k = 8 8 59 Mivel k értéke -ál gyobb és 5-él kisebb kell, hogy legye, ezért csk k = lesz megoldás. Ez zt jeleti, hogy z első sorozt utolsó eleme. elem. A keresett elem., ezt következő összefüggés lpjá kphtjuk meg: k k d k ) d d ) 5 Tehát keresett tg 5. Ebbe feldtb láthtó, hogy egy egyszerűek tűő, két egymást követő számti soroztból álló soroztot viszoylg boyolult tuduk felíri. Vlószíűleg ebbe z esetbe hmrbb megkpák megoldást, h egyszerűe elkezdjük próbálgti megoldásokt szerit, hogy sorozt háydik elemétől változik differeci. Érdemes úgy próbálkozi, hogy h végeredméy, mit kpuk, kisebb kérdéses összegél, kkor
feltételezzük, hogy sorozt lcsoybb sorszámú eleme lesz megoldás h z összeg gyobb vártál, kkor gyobb sorszámú elemmel próbálkozuk. Ez megoldás kkor lklmzhtó, h középiskolás diák, ki feldtot meg szereté oldi, még em tult soroztokról, de ügyese ki tudj számoli például párosítássl) z összegeket. Ezeket próbálkozásokt felírv:. prób: Legye k = 5, hisze ez sorozt közepét éppe megelőző elem, ekkor két egyelő részre osztjuk számokt. Ebbe z esetbe kpjuk: = 5 = 5 S k = 5 = b =5 5 = b 5 = 5 S l = 5 S = 875, ez z összeg kisebb, mit 985, ezért próbáljuk ki egy kisebb számot.. prób: Legye k =, ez középe v és 5 között. Ekkor: = = S k = 8 = b = 9 5 = b 7 = 7 S l = 7 S = 5, ez gyobb, mit 985, ezért k értéke és 5 között lesz.. prób: Legye k = 9, hisze ez z átlg -k és 5-ek: = 9 = 8 S k = 8 = b = 5 = b = S l = S =, ez ismét gyobb kérdéses összegél, így k értékét öveli kell.. prób: Legye k =, ekkor: = = S k = 5 = b = 7 5 = b 8 = 8 S l = 5 S = 95, ez z érték kisebb, mit 985, ezért válsszuk k értékét -él kisebbek, de 9-él gyobbk, tehát már csk és mrdt. 5. prób: Legye k =, ekkor = = S k = 7
= b = 5 5 = b 9 = 9 S l = 5 S = 985, tehát megtláltuk helyes eredméyt. Egy másik ötlet z, h feltesszük, hogy soroztuk egy 5 elemű, -es differeciájú sorozt, eek z összege 55 lee, mi 5-tel kisebb 985-él. Tudjuk, hogy sorozt vlháydik elemétől kezdve -s differeciájú sorozt lesz. Ettől tgtól kezdve sorozt övekméyéek övekedése,,,, stb. háromszögszámok) lesz, vgyis zt kell megtláluk, hogy háydik háromszögszám külöbség. Tudjuk, hogy z -edik háromszögszám következő összefüggéssel dhtó meg: Tehát következő egyeletet kell megolduk: 5 ) 5 87 A másodfokú egyelet megoldóképletével kpjuk:, 87 59 Mivel pozitív, ezért csk z = 9 megoldás. Ez zt jeleti, hogy 9 elemű -s differeciájú sorozt, ebből következőe elemű -es differeciájú sorozt, melyek utolsó eleme, tehát. elemtől 5) kezdődőe sorozt -s differeciájú. Ehhez megoldáshoz szükség volt háromszögszámok ismeretére. A következő feldt is egy soroztr vezető feldt: 8
Háyféleképpe fedhető le egy -es tégllp hézg és átfedés élkül -es tégllpokkl domiókkl)? Ezt feldtot érdemes először kis -ekre vizsgáli. Ezek lpjá kpuk egy soroztot, miek vgy sikerül megduk képletét, vgy em. Utóbbi esetbe célrvezető z godolt, hogy mi lee kkor, h már csk z utolsó -es tégllpot szereték lefedi. Nem árt ismeri Fibocci- soroztot ehhez feldthoz. H pedig eddig em ismertük, feldt megoldás lpjá mjd megismerkedük vele. Megoldás: lefedés külöböző, h létezik leglább egy oly domió, melyek z elhelyezése más. A domiókt egymástól em külöböztetjük meg. Először vizsgáljuk meg z egyszerűbb eseteket! Nézzük meg, mi helyzet =,,,, 5-re. Világos, hogy egy domió helyzete vgy függőleges, vgy vízszites lehet, vlmit h elhelyeztük már egy domiót vízszitese, kkor k z oszlopáb egy másik domiót is vízszitese kell, hogy lerkjuk. = eseté triviális, hogy féle módo fedhető le tégllp. = eseté le lehet fedi két függőleges iráyb elhelyezett álló) domióvl, vgy két vízszites iráyb elhelyezett fekvő) domióvl. Ez összese lehetőség. = eseté lehet álló, vgy fekvő és álló, de z utóbbi külöböző elredezésbe lehetséges, így ez féleképpe fedhető le. = eseté lehet álló, vgy fekvő, vgy fekvő és álló, z utóbbi külöböző módo lehetséges, így ebbe z esetbe megoldásuk 5 lesz. 9
= 5 eseté lehet 5 álló, vgy fekvő és álló, ebből féle lefedés lehetséges, fekvő és álló, ebből külöböző lefedés létezik, más em lehet, ez összese 8 féle lefedés. A feldt hátrlévő részébe hívjuk blokkk egymás ltt fekvő domióból álló lkztot. Az egyszerűbb esetekbe lefedések számi következőképpe lkultk: 5 8 Ismerős lehet ez sorozt, hisze észrevehető, hogy. elemétől mide eleme úgy kphtó meg, hogy z előző két elemét összegezzük. Ez léyegébe Fibocci-sorozt. Az első két elem és, további elemeket z előző kettő összegekét kpjuk. Tehát próbáljuk meg bebizoyíti, hogy egy -es tégllp hézg és átfedés élkül -es domiókkl z - edik Fibocci-szám féleképpe fedhető le. Tegyük fel, hogy -es tégllpot )-ig fedtük le, kkor mrdék -es helyre csk egy álló helyzetbe lévő domiót rkhtuk, tehát ez lehetőség. Ez midig megtehető, hisze vgy álló, vgy fekvő domiót helyeztük el, h fekvő domiót rkuk le, kkor kell k oszlopáb is egy másik fekvő domió, így kpuk egy blokkot, hisze más esetbe sérüle hézgmetes feltétel. H -es tégllpot már lefedtük )-ig, kkor hátrlévő -es helyre vgy álló domiót, vgy egy blokkot helyezhetük el. H álló domiót rkák, kkor z első domió elhelyezése utá oly esetet kpák, mit z előzőbe már megszámoltuk. Ezért csk zzl kell fogllkozuk, hogy h -es helyre egy blokkot teszük, ekkor diszjukt esetekkel fogllkozuk. Ez midösszese csk lehetőség. Ezért tehát z utolsó helyre yi módo helyezhető el domió, háyféleképpe lefedtük )-es tégllpot, plusz háyféleképpe lefedtük )-es tégllpot. Tehát -es tégllp midig z )-es tégllp lefedése plusz z )-es tégllp lefedése lesz, mely pot Fibocci-soroztot dj második elemétől). Ehhez hsoló következő feldt:
Háyféleképpe fedhető le egy -es tégllp hézg és átfedés élkül -s tégllpokkl domiókkl)? A megoldási ötlet gyo hsoló z előző feldtéhoz, érdemes itt is először kis -ekre megézi, milye soroztot kpuk. H em tláluk rá képletre, érdemesebb zt vizsgáli, mikor már lefedtük z egész tégllpot, kivéve z utolsó -s részt. A rekurzív soroztok ismerete eél feldtál fotos. Megoldás: Nézzük meg kis -ek eseté! Nyilvávló, hogy egy -es tégllp egyféleképpe fedhető le -s domióvl. = eseté csk két álló domiót helyezhetük el, így ez is csk egyféle lefedés. = eseté viszot láthtó, hogy lehet álló vgy fekvő domió is, mellyel lefedjük, tehát ebbe z esetbe lefedések szám:. = -re lefedhető álló domióvl, vgy fekvő blokk) és egy állóvl, ezt kétféleképpe tehetjük meg, összese ez tehát külöböző megoldást d. = 5 eseté lehet 5 álló domiók, vgy fekvő és álló, ezt féleképpe tehetjük meg, tehát ez -féle lefedés. = -r lehet álló domiók, vgy egy blokk és álló lehetőség), vgy blokk lehetőség), összese ez lehetőség.
A soroztuk első éháy eleme: 9 9 Észrevehető, hogy sorozt -edik elemét úgy kpjuk meg, h összedjuk z előtte álló és háromml előtte álló elemet. Bizoyítsuk be ezt sejtést! Tegyük fel, hogy ) elemet már lefedtük - féleképpe. Ekkor z utolsó domiót már csk álló helyzetbe rkhtjuk le, tehát ez - féle lehetőség. H ) elemet lefedtük - féleképpe, kkor már csk két álló domiót tuduk elhelyezi, de mikor z első domiót lerkjuk, megkpjuk zt z esetet, mikor ) tégllpot fedtük le, de ezt már összeszámoltuk z előző esetél. Tehát ) tégllp lefedése em dott újbb lefedési lehetőséget. H ) tégllpot lefedtük - féleképpe, kkor mrdék -s tégllpot vgy álló domióvl, vgy egy blokkl fedhetjük le. H álló domiót válszták, ismét átmeék z előző lefedési lehetőségekbe, miket már összeszámoltuk. Így csk z lehetőségük mrdt, hogy egy blokkl fedjük le megmrdt -s tégllpot. Ezt egyféleképpe tehetjük meg. Így z összes esetet kiszámoltuk, hisze h )-et fedék le - féleképpe, kkor utá h álló domiót teszük, átmegyük )-s lefedésbe, h blokkot teszük, kkor zt már összeszámoltuk )-es lefedésél. A lefedések szám tehát: = - + -, h >. Ezzel igzoltuk sejtésüket. Ugycsk soroztokhoz vezet következő feldt is. Láti fogjuk, hogy bár problém külöböző, megoldási módszer mégis gyo hsoló z előző feldtokéhoz.
Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h egy lépésbe egy vgy két fokot juthtuk feljebb? Érdemes először kis -ekre vizsgálódi. H megoldást megsejtjük, kkor utá próbáljuk meg zt bebizoyíti. Célr vezet, h zt vizsgáljuk meg, hogy z -edik fokr már vlhogy feljutottuk, és o háyféle módo léphetük tetejére. A rekurzív soroztok ismerete szükséges lehet feldt megoldásához. Megoldás: Vizsgáljuk meg itt is z egyszerűbb eseteket =,,,, 5) = -re yilvá feljutás lehetséges. = -re vgy két egyes, vgy egy kettes lehet, ez lehetőség. = -r lehet egyes, vgy egy kettes és egy egyes, ez féleképpe lehet, tehát ez összese -féle lehetőség. = -re lehet egyes, vgy két kettes, vgy egy kettes és két egyes, ez féleképpe lehet, összese ez 5 féle feljutást eredméyez. = 5-re lehet 5 egyes, vgy kettes és egyes féle lehetőség), vgy kettes és egyes féle lehetőség), összese ez tehát 8 féle feljutás. eset lehetséges: z utolsó lépésük vgy egy egyes lesz, vgy egy kettes. Hsoló itt is tegyük fel, hogy eljutottuk z -edik lépcsőfokhoz. Ekkor z utolsó lépésük már csk egy egyes lehet, hisze már csk lépcső v hátr. H z -edik lépcsőfokig jutottuk el, kkor z utolsó lépésük lehet egy kettes, vgy két egyes, de ebbe beleszámolák zt, mikor z -edik lépcsőfokig jutottuk el. Tehát h z utolsóelőtti lépcsőfokról és z zelőtti lépcsőfokról vló feljutást összeszámoljuk, mjd ezeket összegezzük, megkpjuk z összes lehetséges feljutást z -fokú lépcső. Hbár em tudjuk, hogy háyféleképpe jutottuk fel z -edik illetve z -edik lépcsőfokr, de tudjuk, hogy z -edikre
kettő összege féleképpe juthtuk fel, tehát z -edik lépcsőfokr vló feljutások szám z + )-edik Fibocci-szám lesz. A következő feldtokt ezek mitájár tláltm ki: Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h egy lépésbe egy vgy három fokot juthtuk feljebb? Megoldás: A godoltmeet teljese zoos z előző feldtévl. Itt zt z esetet ézzük, mikor vlhogy már feljutottuk z -edik fokr. Ekkor csk egy egyest léphetük, tehát egyféleképpe juthtuk fel. H z -edik fokig jutottuk fel, kkor két egyest kell lépük, de ezt megtettük z -edik fokról is, hisze ugyod jutuk. H z -dik foko álluk, kkor léphetük egyest, vgy egy -st. A egyessel már egy előbb összeszámolt megoldást kpuk, így csk z z új megoldás, h egy hármst lépük. Az - edik fokról em juthtuk fel másképp, csk úgy, h éritjük z előbb már összeszámoltkt, és ez igz mide lsóbb lépcsőfokr. A megoldások szám, h -el jelöljük z -edik fokr vló feljutást: = - + -, h >. Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h egy lépésbe mximum három fokot juthtuk feljebb? Ez feldt közelebb áll vlósághoz, hisze h egy ember tud fokot és fokot is lépi lépcső, kkor vlószíűleg tud fokot is lépi. Mi változik vjo feldt megoldásáb? Világos, hogy godoltmeet itt sem fog változi. Megoldás:
Az utolsó lépésük lehetett egyes, kettes, és hárms. Tegyük fel, hogy z -edik lépcsőfokr feljutottuk, ezt - féleképpe tehettük meg, ie már csk egyet léphetük, tehát ez - -féle megoldás. H z -edik lépcsőfokig jutottuk - féleképpe, kkor ie léphetük két egyest, de ezt már összeszámoltuk z előbb, vgy léphetük egy kettest, ez új lehetőség. H z -dik foko vgyuk, ide - féleképpe juthtuk fel. Ie léphetük egyest, ezt már összeszámoltuk z előbb, léphetük egy kettest mjd egy egyest, de kkor z -edik fokr jutuk, mit már szité számoltuk. Léphetük egy egyest és utá egy kettest, de ekkor z -edik fokr jutuk fel, mit z előbb már összeszámoltuk. Az egyetle új lehetőség tehát z, h egy hármst lépük. Az -edik fokr felérvé em tuduk új lehetőséget kpi, hisze o vgy z,, -edik fokr lépük, mivel -et em léphetük. Az összes lehetőségük tehát: = - + - + -, h >. A sorozt első éháy eleme: 7 A feldt tovább áltláosíthtó, h megegedük egy kármilye gy lépést. Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h bármekkor lépést tehetük feljutásuk sorá? Ebbe z esetbe z előző feldtok mitájár várhtó, hogy következő összefüggést fogjuk kpi: = - + - + - + - + + + +. Ezzel z god, hogy meg kell htározi z összes lépcsőfokr vló feljutások számát, így em jutuk előrébb. Ebbe z esetbe e rekurzív oldjuk meg feldtot, hem próbáljuk meg lehetőségeket összeszámoli lépések szám szerit. A kombitoriki kiválsztás foglmát hszáljuk ehhez megoldáshoz. 5
Megoldás: = -re yilvá csk egy egyessel juthtuk fel, tehát z sorozt első eleme. = -re két egyes vgy egy kettessel juthtuk fel, tehát. elem. = -r fel lehet juti egyessel, egy kettessel és egy egyessel féleképpe, és egy hármssl, ezért dódik. = eseté fel lehet juti egyessel, hármssl és egy egyessel féleképpe, kettessel egyféleképpe, kettessel és egyessel féleképpe, vlmit léphetük -est is. Ez esetbe megoldás 8 lesz. A lépések szám szerit vizsgáljuk meg lehetőségeket. lépésből midig egyféleképpe juthtuk fel. lépésből úgy juthtuk fel, hogy z -edik lépcsőfok kivételével bármelyik fokr léphetük elsőek, mjd utá z -edikre lépük. Ezt féle módo tehetjük meg. lépésből z lépcsőfokból kettőt kell kiválszti, hová lépük, ezért lépésből vló feljutások szám: H lépésből kruk feljuti, fokot kell kiválszti, ezért dódik: Láthtó, hogy következő összeget krjuk meghtározi: k k Tudjuk, hogy ez Pscl-háromszög -edik soráb lévő számok összege, mely egyelő - -el. Tehát z fokú lépcsőre vló feljutások szám bb z esetbe, h -től -ig kármekkorát léphetük, - lesz.
Láthttuk, hogy kombitoriki problémák vezethetek rekurzív és explicit módo megdott soroztokhoz is. A következő feldtb egy rekurzív sorozt explicit képletét htározzuk meg. Adjuk meg z u =, u =, u + = u + u - rekurzív módo megdott sorozt explicit képletét! Először érdemes sorozt első pár elemét felíri, és keresi közöttük összefüggést. Próbáljuk meg soroztot két mérti sorozt lieáris kombiációjkét meghtározi! A kezdő értéket elfelejtve csk rekurziót kielégítő szép megoldást keressük. Legye z = q, hisze ekkor h z első három tgr teljesül rekurzió, kkor mide elemre teljesül: q = c q + c q, ekkor q = c q - + c q -. Fotos ismeri ehhez feldthoz mérti soroztok tuljdoságit, másodfokú egyeleteket, egyeletredszereket. Megoldás: Először htározzuk meg sorozt első éháy elemét: u =, u =, u = 5, u =, u =, u 5 =, u = 85, u 7 = 7 Láthtó, hogy soroztb csk pártl számok szerepelek, ez igz lesz mide tgr, hisze z első két tg pártl, és mide további tgot úgy kpuk, hogy z egyik pártl szám kétszereséhez hozzáduk egy pártl számot. Az is észrevehető, hogy soroztok elemei körülbelül kétszeresei megelőző elemek ±). Ezt következő módo írhtjuk fel: u + = u + ). Ez továbbr is rekurzív módo megdott sorozt, hisze z + -edik elem meghtározásához szükség v z -edik elem kiszámításár is. Az u + = u + u - módo megdott sorozt egy másodredű homogé lieáris rekurzió. 7
Másodredű, mert elemre v szükségük következő tg kiszámításához. Homogé, hisze icse bee kosts tg, lieáris, mert z + -edik elemet z előző elemek egy lieáris függvéye htározz meg. Egy másodredű homogé lieáris rekurzióvl defiiált sorozt explicit képletét meg tudjuk htározi egy eljárás segítségével. A homogeitásból és lieritásból következik, hogy h egy sorozt kielégíti rekurziót, kkor kielégíti k számszoros is, vlmit h két sorozt teljesítette rekurziót, kkor zokk összege is teljesíti. Ebből következik, hogy két megfelelő sorozt bármely lieáris kombiációj is megfelelő. Tehát z dott rekurziót kielégítő soroztok kétdimeziós vektorteret lkotk vlós számok teste fölött. Mivel ezt soroztot z első két eleme htározz meg, ezért h tlálok két oly soroztot, melyek egymásk em számszorosi, kkor zok első két elemével előállíthtjuk z összes lehetséges számpárt, így lehetséges soroztok első két elemét is, vgyis bázist keresük kérdéses vektortérbe. Tehát ezzel z eljárássl z összes megfelelő sorozt előállíthtó két sorozt lieáris kombiációjából. A két soroztot mérti soroztkét keressük, hisze h z első éháy elemre teljesül rekurzió, kkor teljesüli fog z összes elemre is. Ez zt jeleti, hogy u = αq, h sorozt első eleme α, két szomszédos elem háydos u + /u ) = q. Erre soroztr rekurzió következő képletet dj: αq + = αq + αq -. H α, q, kkor z egyelet midkét oldlát α-vl elosztv kpjuk: q + = q + q - Szorozzuk be midkét oldlt q-vl! q + = q + + q Most osszuk le q -el. Ez megtehető, mert q = csk kkor, h q =, de ettől z esettől most eltekitük. q = q + A másodfokú egyelet megoldóképletével megoldv következő q értékeket kpjuk: q, ) 8
q = q = Tehát két speciális mérti sorozt, mely kielégíti rekurziót, következő: u = és u = ) Az dott másodredű homogé lieáris rekurziót kielégítő soroztok áltláos képlete következő: u = α + α ) A feldtb u = és u = szerepel. Tehát = -r és = -re kpjuk: = α + α = α α Összedv két egyeletet kpjuk: = α, zz Tehát sorozt explicit képlete következő: u ) Közös evezőre hozv törteket: u ) Átlkítv: u ) Nézzük erre éháy példát, hogy elleőrizzük képlet helyességét! ) ) ) u 5 u u Láthtó, hogy felírt összefüggés helyesek bizoyult z első éháy szám eseté. Azért hszos ez feldtmegoldási módszer, mert z explicit képletre ehéz lett vol rájöi pusztá bból, hogy sorozt elemei közti kpcsoltot vizsgáljuk. Például előre em köye sejthető, hogy -ml kell oszti. Az explicit képlet meghtározás zért fotos, mert h 9
sorozt. elemét kell meghtározi, kkor z explicit képlettel egy egysoros számítás lesz, rekurzió eseté viszot meg kellee htározi sorozt első elemét, mely időigéyes. Hsoló lehet kiszámoli híres Fibocci-sorozt explicit képletét is. Néháy szó Fibocci- soroztról: A soroztot már 5-be megemlíti két idii mtemtikus, Gopl és Hemcsdr, kik szszkrit költészet elméleti kérdéseit vizsgálv ütköztek egy összegre botási problémáb háyféleképpe lehet rövid és hosszú szótgokkl kitöltei egy dott időtrtmot, h egy hosszú szótg két rövidek felel meg?). Nyugto tőlük függetleül tlált meg -be Fibocci, ki Liber Abci Köyv z bkuszról) című művébe egy képzeletbeli yúlcslád övekedését dt fel gykorlófeldtkét: háy pár yúl lesz hóp múlv, h feltételezzük, hogy: z első hópb csk egyetle újszülött yúl-pár v; z újszülött yúl-párok két hóp ltt válk termékeyé; mide termékey yúl-pár mide hópb egy újbb párt szül; és yulk örökké élek? A yúlpárok szám így z egyes hópokb,,,, 5, 8,,,, 55, 89,, és ez még csk egy év volt. A sorozt tgjik rekurzív képzési szbály gyo egyszerű, de z úgyevezett explicit képlet is ismert. Ez em mérti sorozt, háydos tehát em álldó, zob hogy egyre gyobb tgokt veszük, szomszédos tgok háydos kovergál z ókor ót ismert,8-hoz, evezetes ryszámhoz, mely z rymetszést kifejező szám. Egy szksz kkor v z rymetszések megfelelőe kettéosztv, h hosszbbik drbj úgy ráylik rövidebbhez, mit z egész hosszbbhoz. Ez z érték potos: 5
Számos természeti képződméybe felismerhetőek z rymetszés, illetve Fiboccisorozt elemei: puhtestű-házkb ryspirál), prforgób, sőt z emberi testbe is. A prforgó táyérjáb ülő mgok spirálok meté helyezkedek el. Az órmuttó járás szeriti spirálok szám em zoos z elletétes spirálok számávl, hem két szomszédos Fibocci számk felelek meg. A Fibocci-sorozt elemeiek explicit képlete: F 5 5 5 A következő feldtb többféle módszerrel htározom meg z első égyzetszám összegét. Érdemes figyeli, hogy milye sok iráyb el lehet iduli feldt megoldás sorá. Htározzuk meg z első égyzetszám összegét! )? Először írjuk fel z első éháy égyzetszám összegét, és próbáljuk meg megsejtei képletet, mjd lássuk be, hogy képlet helyes.
. megoldás: Az első éháy égyzetszám: 9 5 9 8 Az első éháy égyzetszám összege: 5 55 9 85 85 5 5 Az első éháy égyzetszám összegéek -szoros: 8 8 5 8 7 9 Észrevehető, hogy ezek számok második tgtól kezdve oszthtók redre -ml, 5-tel, 7-tel, + -gyel. Írjuk fel ezeket számokt három szám szorztkét! 5 7 5 9 5 7 7 8 5 8 9 7 9 9 Láthtó, hogy szorztok következő képletet dják: + ) + ). Mivel égyzetszámok összegéek -szorosár igz ez z összefüggés, ezért z első égyzetszám összege: ) ) Erről képletről most be kée láti, hogy igz. Állítás: Az első égyzetszám összege: ) ) Bizoyítás teljes idukcióvl: = -re, = -re 5, = -r, tehát z első éháy -re ez teljesül. H = m-re teljesül, kkor z idukciós feltevésük következő: m m )m ) Lássuk be, hogyh teljesül m-re, kkor teljesül m + -re is! m m )m ) m ) Hozzuk közös evezőre: m m )
m m )m ) m ) Emeljük ki m + )-et: m )[ mm ) m )] Eek lpjá zt kpjuk, hogy: m )m 7m ) m m m Botsuk m és m összegére 7m-et! m )m m m ) m ) m m ) m ) m ) Alkítsuk szorzttá második zárójelbe lévő kifejezést! m )m m ) m ) m + -t kiemelve kpjuk: m ) m ) m ) m m m ) m ) Ez potos z = m + -re votkozó állítás, tehát z idukciós feltevésük teljesül, képlet helyes. A következő megoldás geometriilg közelíti meg problémát. Néh geometrii megoldások sokkl szemléletesebbé teszik feldtot, így köyebb rájöi helyes összefüggésre.. megoldás: Rjzoljuk le égyzeteket következőképpe:
Ebbe gy tégllpb keresett összeg kétszer is szerepel szíes részekkét, továbbá közbezárt fehér égyzetek is potos ugyzt z összeget dják. Az ábr ljá középe 5 drb egységégyzet v, két -es égyzet között egy -s tégllp v, -s égyzetek között drb 5 egységyi széles oszlop. A -es égyzetek között db, egység lpú, 7 egység szélességű égyzet láthtó. A tetejé pedig 9 egységégyzetből áll sor. Ie kiszámolhtó kimrdt fehér égyzetek szám következő csoportosítássl: + + 5 + 7 + 9 = 5 = 5 + + 5 + 7 = = + + 5 = = 9 + = = = = Tudjuk, hogy z első pártl szám összege z -edik égyzetszámml egyelő. Ezt beláthtjuk számti sorozt összegképletéek segítségével. A számti soroztuk következő: z első elem z =, differeci d =. Az első elem összege: S ) d ) A képlet megtlálásához már csupá gy tégllp területét kell megkeresi. Eek egyik oldl + + + + 5 + + ), ez z első pozitív szám összege, másik oldl + ), tehát területe ezek szorzt lesz: T = + + + + 5 + + ) + )
5 Az első szám összegét htározzuk meg hsoló, mit z első pártl szám összegét. Itt = és d =. ) ) S Tehát kpjuk, hogy: ) ) Így tégllp területe következő lesz: ) ) T Ez z összeg háromszoros fehér égyzetek területéek. ) ) ) A keresett képlet tehát: ) ) Most lássuk egy lgebri megoldást is z első égyzetszám összegére. Itt biomiális tétel segítségével csoportosítjuk ügyese tgokt, mjd zokt összegezve megjeleik z első égyzetszám összege.. megoldás: Írjuk fel biomiális tétel segítségével egymás lá z első + köbszámot, mjd lkítsuk át őket következőképpe: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Összedv z egyelőségeket kpjuk:
) ) ) ) Láthtó, hogy megjeleek külöböző soroztösszegek ebbe felírásb. Megjeleik z első köbszám összege, z első égyzetszám összege, z első szám összege, illetve + drb egyes összege. Az egyelet jobb és bloldlá egyrát megjeleik z első köbszám összege, így zt z egyelet midkét oldlából kivov kpjuk: ) ) ) ) A + + + + z első szám összege, ez kiszámíthtó számti sorozt összegképletével. Ezt írjuk be feti egyeletbe: ) ) ) ) Kifejezve z első égyzetszám összegét: ) Felbotv zárójelet, következőt kpjuk: ) Hozzuk közös evezőre! ) Vojuk össze számlálób lévő tgokt: -et kiemelve kpjuk: ) Alkítsuk szorzttá számlálób szereplő zárójelbe lévő téyezőt gyöktéyezős lk segítségével!, 8 9, Tehát: ) ) ) Tehát z első égyzetszám összege:
7 ) ) A következő megoldásb egy ügyes átlkítássl, mjd Pscl-háromszög segítségével htározzuk meg kérdéses összeget.. megoldás: Alkítsuk át -et következő módo: ) A feldt: meghtározi z első égyzetszám összegét, tehát: k k k k k k Mivel k = eseté megjeleik z ltt kifejezés, melyet megállpodás szerit -k tekitük. Nézzük meg, mit is jelet ez Pscl-háromszögbe! Tudjuk, hogy ferdé ézve. oszlopot z ltt összefüggést kpjuk. Láthtó, hogy z egymás utái számok összege következő sor és következő oszlop eleme lesz lásd ábr). Ebből következik, hogy: k k És: Az összefüggéseket felhszálv, zt kpjuk hogy: ) ) ) ) ) ) k k ) ) ) ) k k
Láthtó, hogy második megoldás szemléletes. H egy problémát le tuduk rjzoli, gykr köyebb rájöi helyes összefüggésre. Itt zob kellettek hozzá más ismeretek is, pl. z első pártl szám összege, z első szám összege. A hrmdik megoldásukb fel kellett hszáli soroztokról tult ismereteiket, biomiális tételt, mjd lgebri átlkításokkl juthttuk el megoldásig. Ezzel szembe. megoldásb Pscl-háromszögbe tett észrevétel jeletőse lerövidíti feldt megoldását, de ismeri kell kombitoriki összefüggéseket. 5. megoldás Ebbe megoldásb felhszáljuk zt, hogy képlet, mit keresük, egy hrmdfokú poliomml kifejezhető. Tudjuk, hogy ez poliom kis x-ek eseté milye értékeket vesz fel: 5 A hrmdfokú poliomot jelöljük következőképpe, hol, b, c, d vlós számok. b c d A következő egyeletek dódk: b c d 8 b c d 5 7 9b c d b c d Írjuk fel z együtthtók mátrixát, mjd oldjuk meg z egyeletredszert Guss-elimiáció segítségével! 8 7 9 5 Az első sort vojuk ki második, hrmdik és egyedik sorból. 8
9 9 5 8 7 A. sorból kivov második sor kétszeresét, vlmit. sorból kivov második sor háromszorosát, következőt kpjuk: 7 5 7 A egyedik sorból most vojuk ki hrmdik sor háromszorosát: 5 7 A egyedik sor lpjá kpjuk, hogy =, miből = / dódik. A hrmdik sor lpjá: + b = 5, zz + b = 5, tehát b = ½. A második sorb helyettesítve kpjuk: 7 + b + c =, és b értékét behelyettesítve + c =, tehát c = /. Az első sor lpjá + b + c + d =, ebből kpjuk, hogy d =. Tehát hrmdfokú poliom, mit keresük, következő: Szorzttá lkítv kpjuk, hogy: ) ) ) Láthtó, hogy képlet egyezik z előző módszerek segítségével megkpottl. A következő feldtuk em lesz más, mit z előző feldt mitájár meghtározi z első köbszám összegét.
Htározzuk meg z első köbszám összegét! Először itt is biomiális tétel segítségével írjuk fel z összegeket, hsoló, mit z első égyzetszám összegéek meghtározásáál.. megoldás: Felhszálv z előző feldtb kiszámolt első égyzetszám összegét, hsoló eljárássl htározzuk meg itt is! Írjuk fel z első + szám egyedik htváyát következőképpe: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Adjuk össze z egyelőségeket! ) ) ) ) ) Az első szám egyedik htváyák összege megjelet jobb és bl oldlo is, ezért vojuk ki zt z egyelet midkét oldlából, z ismert soroztok összegéek képletét pedig helyettesítsük be! ) ) ) ) ) Fejezzük ki z egyeletből z első köbszám összegét! Ehhez először botsuk fel külső zárójeleket. ) ) ) ) ) Emeljük ki + )-et!
) ) )[ ) ] + )-et kiemelve kpjuk: ) ) ) ) ) Átredezve z egyeletet: ) ) + ) -et kiemelve: ) [ ) ) )] Botsuk fel belső zárójeleket! ) ) Összevoás utá kpjuk: ) Azz: ) Láthtó, hogy zt z összefüggést kptuk, miszerit z első szám összegéek égyzete megegyezik z első köbszám összegével. Próbáljuk meg ezt problémát is szemlélteti!. megoldás
Az ábrá láthtó, hogy fehér egységégyzetek összterülete z egész lkzt egyedét teszik ki, vlmit z is látszik, hogy ez éppe z első z ábrá: első 5) köbszám összegét dj megoldásul. A feldt kiszámoli égyzet területét, mjd végeredméyt eloszti -gyel. Tudjuk, hogy z lsó sorb db fehér égyzet v, mellette pedig db egységégyzet oldlhosszúságú zöld égyzet. Ebből következik, hogy égyzet oldlák hossz +, tehát területe: T ) Így fehér égyzetek területe eek egyede lesz, tehát z első köbszám összege: ) ) ) Az első módszerrel rekurzív módo meghtározhtó z első szám mgsbb htváyák összege, hisze h k-dik htváyokt keressük, és kiszámoltuk már k -edik htváyok összegét, kkor csupá fel kell íri biomiális tétel segítségével z első + szám k + -edik htváyát, mjd z oszlopokt hsoló eljárássl összegezve és redezve megkpjuk helyes végeredméyt. A második módszer áltláosítás ehezebb, hisze egy modellt kell lkoti mtemtiki problémához. Ez modell mide külöböző kitevő eseté más és más lesz.
Egyeletek, egyeletredszerek Egyeletekkel gykr tlálkozk középiskolások. Fotos, hogy z egyeleteket gy mgbiztossággl kezeljék, és eljussk helyes megoldásr. A szöveges feldtokt leggykrbb egyeletekkel vgy egyeletredszerekkel oldjuk meg, ezért külööse hszos, hogy egy problémát meg tudjuk foglmzi mtemtik yelvé. Az első feldtb egy égyzetgyökös egyeletet olduk meg. Fotos ismeri égyzetgyökös kifejezés kikötését és zoosságit. KÖMAL C. 8. Oldjuk meg z lábbi egyeletet vlós számok hlmzá. x x) x Először észrevehetjük, hogy x több helye is előfordul z egyeletbe. Tudjuk, hogy egy égyzetszám gyöke egyelő szám bszolútértékével. H ezt em vesszük észre, és zol égyzetre emeljük midkét oldlt, kkor egy másodfokúál mgsbb fokú egyeletet kpuk, mi ugy megoldhtó, de jóvl ehezebbe, mit következő módszerrel. Megoldás: Először kikötést írjuk fel, hisze tudjuk, hogy egtív vlós számk ics vlós égyzetgyöke. x x) x x x x x ) Ez bármely x értékre teljesül. Beírv evezetes zoosságot z egyeletbe kpjuk: x ) x x x
Az bszolút érték mitt két eset lehetséges. Az egyik lehetőség: x, tehát: x Ebbe z esetbe következő egyeletet kell megolduk: x x Átredezve kpjuk, hogy: x x Itt fotos újr kikötést teük, hisze z egyelet jobb oldl emegtív, ezért z egyelet bl oldl is emegtív kell, hogy legye. x x Mivel x, ezért elletmodást kptuk, tehát em létezik ilye x érték. Nézzük meg másik esetet! x < x < A megolddó egyelet következő: x x Átredezve kpjuk, hogy: x x Az egyelet jobb oldl emegtív, ezért bl oldlk is emegtívk kell leie. x x Emeljük z egyelet midkét oldlát égyzetre! x x x Nullár redezve z egyeletet kpjuk: x 5x Emeljük ki x-et! x x 5) Egy szorzt kkor ull, h vlmelyik téyezője ull. Tehát vgy x =, vgy x + 5 =, miből x = 5 dódik. A kikötés mitt x = em lesz helyes megoldás, így z egyetle megoldás z egyeletek x = 5 lesz.
Nézzük példát egy oly egyeletredszerre, mely em lieáris. OKTV 8/9. forduló II. ktegóri. feldt Htározzuk meg z lábbi egyeletredszer vlós megoldásit! x y x x y xy y Érdemes észrevei zt, hogy z első és második egyelet bl oldlá szereplő kifejezések összege egy evezetes zoosságot dk. Megoldás: H két egyeletet összedjuk, kkor következő összefüggést kpjuk: x x y xy Azz: x y) x y y x y A köbre emelések vlós számok hlmzá három fixpotj mikor fx) = x) v: -,,. Azt kpjuk tehát, hogy x + y értéke lehet -,, vgy. I. H x + y =, kkor y = x. Ezt behelyettesítve z első egyeletbe, zt kpjuk, hogy: x x y x x II. H x + y =, kkor y = x. Helyettesítsük be z első egyeletbe: x x) x Felbotv zárójelet, következő dódik: x x x Redezve: x x x x A másodfokú egyelet megoldóképletével kpjuk x további értékeit: 5
x, x y x y III. H x + y =, kkor y = x. Ezt beírv z első egyeletbe következőt kpjuk: x x x Redezve: x x x x A megoldóképletbe helyettesítve: x,5 x y x5 y 5 Tehát z egyeletredszer megoldási következő x ; y) számpárok: ; ) ; ) / ; /) / ; /) ; ) Eek mitájár tláltm ki következő feldtot: Htározzuk meg következő egyeletredszer vlós megoldásit! 9x x y y xy 8x y 9 5xy x y Ez egy kicsit trükkösebb feldt, hisze első ráézésre em biztos, hogy látszik, milye módszerrel iduljuk el. Érdemes z első egyeletet mgáb vizsgáli, átlkítjuk úgy, hogy vegyes szorzt eltűjö.
Megoldás: Az első észrevételük z, hogy z első egyeletet átlkíthtjuk következő módo: x y) 8 x y 9 Alkítsuk ezt tovább úgy, hogy kiemelük -ot 8x + y tgokból: x y) x y) 9 Legye x y =. Ekkor: 9 Azz: ) Tehát zt kpjuk, hogy =, így: x y Fejezzük ki x-et! x y Ezt behelyettesítve. egyeletbe kpjuk: y y y y 5 y y A zárójelet felbotv és szorzásokt elvégezve kpjuk: y 8 y 8 y 9 y 5 y y y Szorozzuk meg z egyelet midkét oldlát 9-cel! y 8 y 8 7 y y Összevov tgokt kpjuk: y 5 y 5 5 y 8 y Ezt megoldv másodfokú egyelet megoldóképletével, zt kpjuk, hogy: y, 5 5 5 y y 8 5 y = eseté: x 5 7
y = 8 eseté: 8) x 8
Egyelőtleség A feldtok egy részébe előfordul, hogy em egyeletet, hem egyelőtleséget kell megolduk. Ilye típusú feldtok hszosk lehetek, mikor lsó vgy felső korlátot keresük, vgy egy kifejezés mximumát, miimumát krjuk meghtározi. A következő feldtb égy ismeretle között feálló összefüggést kell beláti. OKTV 8/9 I. Ktegóri. feldt: Legyeek z, b, c, d számok pozitív vlós számok. Igzolj, hogy: b cd d) b c) Az egyelőtleségekél is gyo fotos kikötéseket szem előtt trti, ám mivel itt mide ismeretle pozitív, ezért em kell külöböző eseteket vizsgáli. A feldt megoldásához felhszáljuk számti-mérti közepek közti összefüggést. Megoldás: A feldt szerit, b, c, d pozitív vlós számok, ezért kifejezések midkét oldlo értelmezve vk vlós számok körébe. Mivel z egyelőtleség jobb és bloldl is pozitív, ezért égyzetre emelhetjük z egyelőtleséget, hisze z fx) = x függvéy szigorú mooto pozitív vlós számok hlmzá. b bcd cd d) b c) Botsuk fel zárójeleket jobb oldlo! b bcd cd b c bd cd Az egyelőtleség midkét oldlából b-t és cd-t kivov kpjuk következőt: bcd c bd Kettővel elosztv: c bd bcd 9
Ez z összefüggés éppe z c és bd számpárokr dott számti-mérti közepek közötti összefüggés.
Geometri A geometri vlószíűleg legősibb ág mtemtikák. Ngy szerepe v z építészetbe, művészetbe. Érdekes, hogy geometri milye szoros kpcsoltb áll mtemtik többi ágávl. Például szerkeszthetőségi problémákt, mit például,,kör égyszögesítése", szbályos -szög szerkesztése stb. lgebri eszközökkel oldották meg. A következő feldtb egy oly példát muttok, mely geometrii problém ugy, de megoldásához felhszálhtó számti-mérti közepek közti egyelőtleség. KÖMAL B. 85. Legfeljebb mekkor részét fedheti le egy háromszögek egy oly égyzet, melyek mide csúcs háromszög vlmelyik oldlá v? Először érdemes egy szép ábrát rjzoli, szemléltethetjük kérdést, és leolvshtók z dtok. Szükséges hsoló háromszögeket keresi, mjd zok oldlk ráyiból rájöi háromszög és égyzet közti összefüggésre. Végül érdemes számti-mérti közepek közti összefüggést hszáli becsléshez. Megoldás: Mivel égyzetek csúcs v és háromszögek oldl, ezért égyzet egyik oldl háromszög egyik oldlá kell, hogy elhelyezkedje. Legye háromszög következő:
Tudjuk, hogy z ABC háromszög hsoló VZC háromszöghöz, mivel VZ oldl párhuzmos AB-vel, tehát szögei egyelők. Így felírhtjuk következő ráyt: VZC háromszög mgsság m) úgy ráylik VZ = oldlhoz, mit z ABC háromszög mgsság + m) z AB oldlhoz. Legye z AX szksz hossz e, z YB szksz hossz f. Azz: f e m m Átredezéssel kpjuk, hogy: ) ) m f e m Fejezzük ki e + f-et! m m f e ) A jobb oldlt átlkítv: m m m f e m f e Észrevehetjük, hogy h egymás mellé toljuk z AXV és YBZ háromszögeket z XV és YZ oldlik meté, kkor egy oly háromszöget kpuk, mely szité hsoló z ABC háromszöghöz, mgsság, lpj pedig /m. A égyzet áltl levágott háromszög területét kiszámíthtjuk következő módo: m T VZC m T T YBZ AXV Tehát levágott háromszögek összterülete következő lesz: m m T k háromszöge A számti-mérti közepek közti összefüggéssel ezt lulról becsülhetjük következőképpe: m m m m Az egyelőtleség jobb oldlát kiszámítv zt kpjuk, hogy:
m m Azt kptuk tehát, hogy levágott háromszögek területe leglább égyzet területével kell, hogy megegyezze. Egyelőség bb z esetbe teljesül, h: m m m m m Tehát egyelőség bb z esetbe áll fe, h VZC háromszög mgsság megegyezik hozzá trtozó lppl, mi egybe égyzet oldl is. Ebbe z esetbe levágott háromszögek területösszege éppe egyelő lesz égyzet területével, tehát égyzet áltl mximális lefedhető terület éppe z ABC háromszög területéek felét teszi ki. Ebbe feldtb jól láthtó, hogy geometrii problémák megoldásához hszosk lehetek z lgebr, illetve z lízis eszközei. A mximális területszámítások eseté gyo gykori számti-mérti közepek közti összefüggés felhszálás megoldás sorá. Egyébkét feldtot megoldhtjuk úgy is, hogy égyzet oldlát háromszög mgsságávl és lpjávl kifejezve függvéykét írjuk fel égyzet területét, mjd eek függvéyek mximumát vgy miimumát keressük például deriválássl. Végül két területet egymássl elosztv megkpjuk keresett területráyt.
Oszthtósági feldtok Oszthtósági feldtokkl is már régót fogllkozik z emberiség. Sokszor fotos meghtározuk zt, hogy két szám háydos egész szám -e, vgy keletkezik mrdék. A következő feldt égyzetszámok összegéről szól, egyébkét mit láti fogjuk soroztok témköréhez is kpcsolódht egy oszthtósági feldt. KÖMAL B. 7. Bizoyítsuk be, hogy hét egymást követő egész szám égyzetéek z összege em lehet égyzetszám. Először érdemes számokt ügyese felíri egy prméterrel, mjd z összegről beláti, hogy miért em lehet égyzetszám. A megoldásb felhszáljuk égyzetgyök irrciolitásák egyik bizoyításák godoltát. Megoldás: Jelöljük középső számot k-vl. Ekkor hét egymást követő égyzetszám összege következő lesz: k ) k ) k ) k k ) k ) k ) 7k 8 Kiemelve 7-et kpjuk: 7k 8 7 k ) A égyzetszámok 7-tel osztv következő mrdékokt dják: 7k ) m = 7k ) m = 7k ) m = 7k) m = 7k + ) m =
7k + ) m = 7k + ) m = Ezért egy égyzetszám + következő mrdékokt dhtj:,, 5, Ebből z következik, hogy k + em lesz oszthtó semmilye k-r sem 7-tel. Mivel 7k + ) oszthtó 7-tel, de k + em oszthtó 7-tel, így 7k + ) kifejezés em lesz oszthtó 9-cel. Egy égyzetszámb viszot mide prímhtváy páros kitevő szerepel, ebbe 7 z első v, mi pártl, így 7 egymást követő égyzetszám összege sohsem lehet égyzetszám. A következő feldtot egy régebbi OKTV-s feldt lpjá ktulizáltm. 99-os OKTV feldt lpjá: A -t felbotottuk éháy pozitív egész szám összegére. Milye mrdékot d -tl osztv számok köbeiek összege? Érdemes vizsgáli z lkú számokt, mjd ezek összegét vizsgálv felírjuk z összefüggést. Bármely egész számr z oszthtó -tl, mert = ) = ) + ) ) lkr hozhtó. Ilye formáb jól látszik, hogy z egyelőség jobb oldl oszthtó -ml, mert egymást követő egész szám közül potos egy -ml osztv mrdékot d, vlmit v köztük leglább páros szám, így -vel vló osztási mrdék is. Mivel, ) =, így szorztuk, is osztój vizsgált szorztk. Eszerit tehát egy egész szám és k köbe ugyzt mrdékot dj -tl osztv. Vizsgáljuk meg -t fet végiggodolt zoosság lklmzásávl: Tegyük fel, hogy = + + + + módo áll elő számok összegekét. Ekkor felírhtó következő egyelőség: ) ) ) ) ) ) 5
Tudjuk, hogy + + + számok összege feltevés lpjá, tehát: ) ) ) ) ) Az ) zoosság lpjá megállpíthtó, hogy ) egyelőség bl oldlák mide tgj oszthtó -tl, tehát z összegük is. Ebből következik, hogy jobb oldl is mrdékot d - tl osztv. Ez csk úgy lehetséges, h jobb oldlo álló külöbség midkét tgj ugyzt mrdékot dj, zz kogrues -el modulo. A -tl osztv mrdékot d, tehát tetszőleges számok eseté, h számok összege, köbösszegük is mrdékot d.
Összegzés Láthttuk, hogy egy-egy feldtot háy külöböző módszerrel oldhtuk meg, és zt is észrevehettük, hogy meyire szoros kpcsolt v mtemtik külöböző ági között. Fotosk trtom, hogy középiskolások e csk egy megoldást lássk egy dott problémár, hem átfogó képet kpjk mtemtik szerkezetéről. Így sokkl érhetőbbé válht számukr egy témkör, és jobb elhiszik, hogy mtemtik tudomáy meyire egymásr épül. H hiáyzik jó, biztoságos, erős lp, em lehet rr plotát építei. A mtemtik épületé belüli jártsság éppe ezért gyo fotos, így leedő tárkét z lesz célom, hogy mtemtikát érthetőe, diákok számár is élvezetese mgyrázzm, hgyjm, hogy diákjim kedvükre kldozzk, egy-egy problémához több példát és ellepéldát is keresseek. 7
Irodlomjegyzék: http://www.origo.hu/tudomy/5-fiboccisor-mtemtik-z-elovilgb.html http://hu.wikipedi.org/wiki/fibocci-sz%c%amok http://db.koml.hu/komlhu/cikk.phtml?id=988 http://hu.wikipedi.org/wiki/oszt%c%bsz%c%am-f%c%bcggv%c%a9y http://mtek.fzeks.hu/portl/feldtbk/egyeb/feldtok/oktv.html http://mtek.fzeks.hu/portl/titsiygok/hrsko_adrs/elte/em/em_ov8_. pdf http://www.cs.elte.hu/blobs/diplommukk/mtt//mtusik_edi.pdf 8