Hbrd égslm módsr astag lmk lméséh Cc L, Dr. Gobs Zsongor, rda Dan, Popa nca, Dr. Marţan Ironm Kolosár Műsak Egtm, Romána bstract In th ar t has bn startd th dlopmnt of a FEM basd comptng softar packag, n ordr to offr tndd rsarch capablts b sng adancd analss mthods and optmaton h man targts r D grds, tblar strctrs consstng from concrt alls, shlls and thck plats. In ths papr th athors prsnt a n hbrd fnt lmnt mthod hch s alrad ncldd n th softar packag. n fnt lmnt as dlopd for th analss of orthotropc plats (basd on th thor of thck plats) and srd as otln for th dlopmnt of anothr thrdmnsonal hbrd stran fnt lmnt (std for th analss of thck shlls brafl mntond n ths papr). h papr starts th th thor bass, n ordr to ha a propr mag of th dlopmnt of th n hbrd stran fnt lmnt, folod b sral tstng ampls. t th nd thr ar dscssd som rslts for comparson, concldng th som nots abot th adantags offrd b th s of ths n lmnt, and concrnng frthr rsarch. Kords: Fnt Elmnt Mthod, H-Wash prncpl, Hbrd approach, Orthotropc thck plats, Comptng modl.. Btő égslmk alkalmaása már rég nmjlntújdonságot, sont a lnsrű lmésk gk alaptő kötlménként tartják sámon a tanlmánoott tstk mgfllő flostását. éml stbn nm lhtségs ag lgalábbs nm kénfkő, lnkor más ljárásokho kén fordlna a sakmbrnk, d smléltáltás mlltt bonos mértékg lmondásként s flfogható g mmár klasskssá ált késlt-rndsr flhasnáló hagománáról. Mt thtünk lnkor, hog a kcsk s jól lakjonés akáposta s mgmaradjon? hho, hog mégs égslmkt hasnáljnk ln különlgs stkbn, más jllgű, a sokánostól ltérő tlajdonságokkal flrháott lm réskr lnn sükségünk. Itt jöhtnk sóba a hbrd égslm ljárások. Ebbn a ckkbn lsősorban g ln ljárásho sükségs új lm kalakítását és alkalmaását mtatjk b, astag lmk stébn, majd mlítést tsünk g új térbl égslmről s. égslmk hbrd mgfogalmaása alatt tlajdonképpn a H-Wash l g sajátos alkalmaását értjük, ml során a lm lmodlások mlltt a fsültségkt ag a alakáltoásokat s függtln áltoókként kljük. Ekt a értékkt gmástól függtlnül ntrpoláljk,d a fsültségkt ag a dformácókat lm sntn kárjk, íg csak a lmodlások maradnak smrtlnkként a általános gnltrndsrbn. E különbött mg a hbrd ljárást a gs ljárásoktól, hsn g gs ljárás stébn a általános gnltrndsr a össs dskrtált áltoót tartalmaná. gmástól függtln áltoók lső csoportját thát a lmodlások, míg a másodk csoportját a fsültségk ag a alakáltoások alkotják. Ennk mgfllőn hbrd-fsültség llt hbrd-alakáltoás égslm ljárásról bsélhtünk. hbrd-fsültség módsr tljskörű lírása már a 6-as ék égén mgtörtént. Pan és ong által jaasolt ljárás srnt a lmk blsjébn létrjöő fsültségk jllméséh g függénhalma sükséglttk. égslmk séln éréklhtő lmodlások jllméséh pdg g másk függtln fügénhalmat kll kálastan úg, hog a lmodlások gségsségét (a foltonosságot) s btosítsa a lm résk köött. M olan hbrd-alakáltoás égslmk kalakítását tűtük kcéll Bath, Cook, Znkc, Chslr és Ghal jaaslatat, mgfglést köt mlk a astag lmk lméltét sm lőtt tarta mgfllnénk mnd sík, mnd ílt héjak lméséh. Külön kösönttl tartonk Hrabok úrnak (albrta gtm), a öntln sgítségért amt a srőkktatómnkájáho nújtott. Műsak Sml
. égslmk kalakítása Mndnk lőtt a lmélt háttér főbb jllmőt kll tsták. újfajta égslmk kötlésébn lsősorban a sakrodalomra klltt támaskodnnk. Kndlásként a H-Wash kfjés módosításából sármaó, Panáltal köradott [] kfjést hasnáltk: Π HW * = {} ε [ D] {} ε + {} ε ( [ L] {} ) d {} b {} d {} t {} ds. () égslmr jllmő {} lmodlások ntrpolálása a {} q csomópont lmodlások függénébn, a oparamtrks ntrpolálás függénk matrán krstül történt: [ ] {} = [ ] {} q alakáltoások ntrpolálása g égslmr, a általánosított lmodlások paramé- Hasonló módon, a {} ε trből kndla történt, a [ P] alakáltoás ntrpolálás mátrán krstül: S t. () {} ε = [ P] {} α. () ()-s kfjésb bhlttsít a ()-s és ()-as gnltkt, a kötkő kfjést kapjk: Π HW* = {} α [ P] [ D] [ P] {} α + {} α [ P] [ D] ([ L] [ ] ) { q} {} b [ ] {} q d {} t [ ] {} q ds. S t d () kötkő jlöléskkl: [ P] [ D] [ P] d = [ K *] : általánosított mrség mátr, (5) [ P] [ D] ([ L] [ ]) = [ G] : átalakítás mátr, (6) [ ] {} b d + [ ] {} t ds = { F} S t : trhlésk mátra, (7) a()-sfüggénkfjésaíg írható: Π {} α [ K ] {} α + {} α [ G] {} q {} q { F}. () HW * = * Ekfjés {} q -tól és {} α -tól aló függőség a alább mátrgnlth t: K mghatároott jllg matt, {} α -t g sokános fordított Gaß-fél ljárással kküsöbölht- mrség mátra a kötkő ls: [ *] jük, és íg a égslm [ K] G G q F = * K α [ K] = [ G] [ K *] [ G] (9). () {} q -nak mgfllő általános mgoldás tán, a fsültségkt a kötkő kfjéssl sámíthatjk k: ( ) {} q { σ} = [ D] [ P] [ G] [ K *]. () Műsak Sml
Műsak Sml 5 fnt lépéskt köt két, gnként sabadság fokkal rndlkő égslmt alakítottnk k: g kétdmnós lmt csomóponttal (6 sabadság fokkal mndgk csomóponton) mlt HYBFLnk krstltünk, llt g háromdmnós lmtcsomóponttal ( sabadság fokkal mndgk csomóponton) mlt HYBRICK-nk krstltünk. kötkőkbn a HYBFL-nk krstlt sík égslmt mtatjk b rödn, tána g pár sót jt a új háromdmnós lmrőls... új kétdmnós HYBFL égslm. ábra HYBFL égslm kötkő alakfüggénkt alkalmatk bbn a stbn: ( ) ( ) + + =, ahol, ± = () égslmn létrjöő {} lmodlásokat a {} q csomópont lmodlásoktól függő oparamtrks ntrpolálás függénk [ ] mátráal sámíthatjk k: [] [ ] [] ) ( ) ( ) ( q = (.a) = Θ Θ Θ Θ Θ Θ n n n m m m l l l n n n m m m l l l (.b). O..,,, ';Θ ';Θ ';Θ O t/ t/.
a fnt kfjésbn: = t ; = t ; = t ; = t. () Hasonló módon ntrpolálhatjk a { '} ε alakáltoásokat, a [ P ] ' ' ' [ ε ] [ P ] [ α] (6 ) (6 ) () mátr sgítségél: = (5.a) ε ε ε = γ γ γ Cook [5] által mghatároott [ σ ] mátr sgítségél transponálhatjk a alakáltoásokat a globáls rndsrb: α α α... α 6 α 7 α (5.b) [] ε [ σ ] [ ε ] =. (6) ( 6) (66) (6) anag alkotómátraként ortotróp anagra jllmőt álastottnk: [ D '] (6 6) = g g g (7) ahol [ ε ] alkotómátr globáls koordnátákba aló lírásáho a kötkő átalakításokat égtük: [ D] [ ] [ D '][ ] = ε ε (6 6), () amármlíttt, Cook [5] néh fűődő transponálás mátr. égslm mrség mátráho, mlt a kötkő kfjéssl kaphatnk mg: [ K] = [ G] [ K *] [ G] ( ) ( ) ( ) ( ) akötkő kétmátrot klltt Gaß-fél nmrks ntgrálással mghatáronnk:, (9) ) a általánosított mrség mátrot: [ K *] [ P] [ D] [ P] d = ( ) ( 6) (6 ), () ) a átalakítás mátrot: 6 Műsak Sml
= [ G] [ P] [ D] [ L] [ ] d ( ) ( ) ( ), () ahol [ L] jlöltaalakáltoások ksámításáho sükségs dffrncáls oprátort, mlnk alakja a kötkő: [ L] (6 ) = globáls mrség mátr mgsrkstés ésa{} q csomópont lmodlásoknak mgfllő általános mgoldások értékmghatároása tán akötkő, égslm ljárásokban hasnálatos és mmár klassks gnltt írhatjk: ahol [ K ] {} q = { F} (), () { F} [ ] {} b d + [ ] {} t ds () () = S t () a csomópont trhlésk sora. Íg a égslmkbn kltkő fsültségkt a kötkőképpn kaphatjk mg: σ. (5) (6 ) ( ) ( ) ( ) { } = [ D] [ P] [ G] [ K *] {} q (6 ).. új háromdmnós égslm (HYBBRICK)..,, O,.... 5 7 6. ábra HYBBRICK égslm Műsak Sml 7
Műsak Sml Et a égslmt tlajdonképpn a lőbb bmtatott módsrrl alakítottk k, a kötkő módosításokat sköölakétdmnóslmhképst: ) Bttünk g harmadk ( ) koordnátát amár létő kttő ( és )mllé, íg a ntrpolálás függénk a kötkőképp alakltak: ( ) ( ) ( ),, ; = ± + + + = (6) ) olc csomópontot ttünk fglmb (mndgk oldal sarkában gt-gt). ) Csak a három (,, ) tnglránú lmodlást ttük fglmb a globáls koordnáta rndsrből sabadság fokként,lhanagolaahárom tnglkörül lfordlást. ) ntrpolálás függénk mátra mgáltoott: [ ] = 7 7 7 ) (, (7) íg a lmodlások ntrpolálása a kötkő gnlt sgítségél olt égr hajtható: [] [ ] [] ) ( ) ( ) ( q =, () = 7 7 7 (9) m a égslm mrség mátrát, a gés srktnk mgfllő mátr srkstését, a rndsr mgoldását, a lmodlások ssanrését, majd a fsültségk és rőkksámítását llt, ml a mátrok mért nm áltotak ( sabadság fok maradt mndn gs lmr), csak a nmrks ntgrálás folamatában állt b léngsbb áltoás a harmadk koordnáta btés matt.. Ellnőrésh hasnált példák gk lgléngsbb lépés új égslmk kalakításában a gakorlat tstlés, hsn mgfllő rdménk hánábancsakkérdéss lmélt fjtgtésről bsélhtnénk. Csak a tstrdménk gaolhatják ag cáfolhatják a új modll értlmét és éltképsségét. Ebből kfolólag két nagobb fladatkörbn, síkban és térbn égtünk próbasámításokat a új lmkkl, különös fglmt fordíta a már smrt rdménkh sonított ltéréskr. E ckk alapjál solgáló HYBFL lmt sík példák sgítségél tstltük, míg atoábbfjlstés rdménként kalakított új háromdmnós lmstébn trméstsn térbl fladatokho folamodtnk... Sík tst-fladatok Bár nagon sok llnőrő sámítást égtünk a bmtatott két égslmml, ckk krtébn csak g pár alaptő példátmlítünk, k a. ábránláthatók.
a. b. q =k/m P=k c. P=k d. q =k/m. q =k/m f. q =k/m g. q =k/m h. q =k/m. p =/( π r) k/m j. P=k. ábra Sík tst-fladatok lső hét fladat () mm-s négsögű acéllmr onatkok. Két stbn(a és c), a lm síkjára mrőlgs P =k pontsrű trhléssl, a több stbn q =k/m gnltsn mgosló thrrl sámoltnk. lső nég példánál, a főtnglkh soníta smmtrks oldakötéskt (mr bfogást llt gsrű támast) alkalmatnk. két kötkőnél csak g tnglh soníta smmtrks, míg a htdknél g nm smmtrks kombnácót (két oldalon gsrű támas, g oldalon mr bfogás, a ngdk oldal sabad) alkalmatnk. nolcadk fladatnál g mm-s acéllmt sgáltnk, gsrű támassal a rödbb sélkn és sabad hossú sélkkl, a lm síkjára mrőlgs gnltsn mgosló q =k/m trhléssl. klncdk példát gt = 5 mm astag, R = mm-s külső sgarú lapos, gűrű alakú lm alkotta, mr bfogással a külső sélén és gnltsn mgosló, a lm síkjára mrőlgs trhléssl a blső sélén. Et a fladatot öt áltoatban tanlmánotk, a külső R és blső r sgár kötkő hánadosaal: R/r =,, és 5. tolsó példa g t = 5 mm astag, R =mm sgarú, asélén mrn bfogott sík körlm, g a lm síkjára mrőlgs P = k pontsrű trhléssl köépn. Műsak Sml 9
.. érbl tst-fladatok háromdmnós fladatok köül algléngsbbk a. ábrában bmtatott klassks példák. Ek köül a lső g ílt alátámastású, önsúllal trhlt clndrks héjsrkt, mlll lég gakran találkotnk a sakrodalomban. öbb ktató foglalkoott ln srkt lmésél, lég hacsakgnéhánról tsünk mlítést:.c.scordls és K. S. Lo (96-bn, sokan Scordls-Lo -ttőnk s nk ért t a srktt), H. ottnham és C. Brbba (97-bn), R. Cook (97-bn), R. H. Macal és R.C.Hardnr (95-bn), llt O. C. Znkc és R. alor (99-bn). általnk s lmtt héjsrkt (.a. ábra) főbb jllmő akötkők oltak: ) Mértk: R = 7,6 m-s sgár; α = º =º anílássög; L = 5, m-s hoss; t = 7,6 cm-s héjastagság. ) nagjllmők: Yong-fél rgalmasság modls: E =,9 7 k/m ; Posson-fél güttható: µ =. ) önsúlból sármaó trhlés érték: q =,9 k/m. másodk példát (.b. ábra) lősör R. H. Macal és R. C. Hardnr jaasolta 95-bn háromdmnós srktlmő ljárások tstlésér, d többk köött O. C. Znkc és R. alor s lmt 99- bn. E a srkt g félgömbsrű kpola alakú héjsrkt, a kötkő jllmőkkl: ) Mértk: R =, m-s sgár; α =º-os nílássögű körürg a kpola ttjén; t =, cm-s héjastagság. ) nagjllmők: Yong-fél rgalmasság modls: E = 6,5 7 k/m ; Posson-fél güttható: µ =,. ) rhlés: nég pontsrű gségn rő a alapkör kardnáls pontjaban, a két smmtratngl ránában.. ábra D tst példák a. Scordls-Lo -fél ttősrkt; b. Hmsférks héjsrkt fnt mlíttt példákon kíül más térbl srktkt s tanlmánotnk a új háromdmnós égslm sgítségél, mnt példál a 5. ábrán látható ngd félgömbkpolamtst alakú héjbrkolat, különfél trhléskkl. Műsak Sml
5. ábra Képrnő résltk g gömbtrapé héjbrkolat modlléséről. Erdménk és ésrétlk Mnt a ckk ljén már mlítttük, lsősorban a új síklmr onatkoó adatokat kíántk köétnn. mlíttt fladatkörökbn lért rdménkt áttknt (trméstsn nmcsak a mlíttt példákból, hanm más srktk lméséből s)akötkő tanlságokat és ésrétlkt állapítottk mg: ). bmtatott új égslm alkalmaásából rdő hbrd alakáltoásos ljárás során kapott rdménk nagon köl álnak, sőt gs stkbn gbsők a analítks ljárások által nújtott értékkkl a sakrodalomból [9], [], ha a optmáls flostás kötlmént btartjk. 6. ábrán jól köthtő a rdménk sonlagos sáalékos ltérés (a HYBFL égslm hasnálatáal a. ábrán bmtatott f példa stébn,) a mosnko által lírt mgoldástól. Hasonló ltéréskt kaptnk a több tst-fladat stébn s. Ésrhtő, hog a hbasáalék, a égslmk sámának a nökdésél trméstsn csökkn. flső ísnts tngln a g oldal mnt égslmk sámát jlöltük, k a értékk a 7. ábrán látható dskrtálás alakatokból sármanak ( lm stébn a goldalra sőksáma, míg6lmstébn, 6lmstébn, és 56 lm stébn 6). rdménk sonlagos ltérés (égslm ljárás/mosnko) [%] - - - - -5-6 6 6 lm köpénk a khajlása () M hajlítónomaték almköpén M hajlítónomaték almköpén g oldalra ső égslmk sáma 6. ábra rdménk hbasáalékának alaklása a dskrtálás függénébn (a. ábrán bmtatott f. példánál alkalmaott HYBFL lm stébn) Műsak Sml
. Rács lm 7 9. Rács 6 lm 5 5 6 mm 5 mm mm. Rács 6 lm 7 77 5 mm. Rács 56 lm 7 9 7 5 mm 7 5 mm 5 9 mm 9 7 mm 7. ábra lső hét példa síkacéllménél hasnált rácsoatok..) rdménk pontossága és értéklhtőség mgfll a mérnök gakorlatnak, még akkor s, ha nm sokános flostással olan égslm alakatokat képünk, amlk nm fllnk mg a optmáls kötlménknk (példál: alakjk ltér a négttől; a sélk arána nagobb mnt,5 ; éls ag lapos sögkt alkotnak a sarkak; mértk hrtln áltonak, nm fokoatosan; nncsn sűrítés/fnomítás a éréknbb réskn stb.). új égslm tstlés során különlgs flostásokat s tanlmánotnk, hsn ln stkbn mtatkok mg a hbrd ljárások sajátos lőn a sokános égslm ljárásokkal smbn. Ekből a már-már frcsa dskrtálásokbóllátható néhán a. és 9.ábrán..) bmtatott új égslmk alkalmahatósága légsélskörűnk és mgbíhatónak bonlt, alós rdménkh t mégkssámú,különfélképpn bfogott csomópontok stébn s..) hagomános, lmodlásokra alapoott srktlmő programokho képst, aonos dskrtálás stébn a új égslm pontosabb rdménkh t a fsültségk és rők értékét lltőn.. ábra Síklm konolban, sokatlan flostással (a HYBFL lm tstlés során). Műsak Sml
. Rács: 6 háromsög() négt (D). Rács: háromsög() 9. ábra Sík körlmk sokatlan flostással (a HYBFL lm tstlés során) m a toább ktatásankat llt, a bmtatott égslmt és a tána kfjlsttt háromdmnós lmt más sokatlan rácsoással s tstln kíánjk, hog a modll stabltásáról és éréknségéről tljsbb képt kaphassnk.. és. ábrán látható néhán ln jllgű rácsoat, a HYBFL sík lmtoább tanlmánoásáho (a. fjtbn mlíttt lső hét példában srplő acéllm stébn). Ekt a flostásokat Hrabok és Hrd tanlmánota a általk kalakított HYBSLB égslmml [], [].. Rács: háromsög() ötsög(p). Rács: konká négsög(q) rombs(r). ábra Sokatlan rácsoatok g négt alakú acéllm stébn Műsak Sml
. Rács: háromsög() 6 rndhagó négsög(d) 5négsög(Q) trantínégsög(r) ötsög(p) 6 rúd (G). Rács: négsög(d) trantínégsög(r). ábra oább sokatlan rácsoatok g négt alakú acéllm stébn Bfjésképpn kjlnthtjük, hog a új égslm a hbrd alakáltoás módsrénk alkalmaásáal mgfllt a lárásanknak. Ha a új háromdmnós égslmt s fglmb ssük, akkor ddg tapastalatnk srnt mgfllő skötárat kaptnk mnd a sík lmknk, mnd a térbl ílt héjaknak a astag lmk lméltér alapoott lméséh. bmtatott HYBFL sík lm alkalmaható garánt trés és ktatás folamatokban, ganakkor a bmtatott ljárások kndlásként solgálhatnak más égslmk ag srktlmő módsrk kfjlstéséh s. 5. Flhasnált sakrodalom [] Wash, K., aratonal Mthods n Elastct and Plastct; nd Edn., Prgamon Prss, York, 975. [] Pan,. H. H., ong, P., Bass of Fnt Elmnt Mthods for Sold Contna, Intrnatonal Jornal for mrcal Mthods n Engnrng, ol., o., 969 (.-. oldal). [] ong, P., Pan,. H. H., aratonal Prncpl and th Conrgnc of a Fnt Elmnt Modl Basd on ssmd Strss Dstrbtons, Intrnatonal Jornal of Solds and Strctrs, ol. 5, o. 5, 969 (6.-7. oldal). [] Bath, K. J., Fnt Elmnt Procdrs, Prntc-Hall, Jrs, 996 (7.-9. oldal). [5] COOK, R. D., Concpts and pplcatons of Fnt Elmnt nalss, John Wl, York, 97 (9.-. oldal). [6] Znkc, O. C., h Fnt Elmnt Mthod; Forth Edn., McGra-Hll, London, 99 (.-. oldal). [7] Chslar, J. D., Ghal,., Hbrd Stran chnq for Fnt Elmnt nalss of Plats and Shlls, Comptrs and Strctrs, ol., o.5, 96 (79.-765. oldal). [] Pan,. H. H., Draton of Elmnt Stffnss Matrcs b ssmd Strss Dstrbton, I J., 96 (.-6. oldal). [9] moshnko, S. P., Wonosk-Krgr, S., hor of Plats and Shlls; nd Edn.,McGra-Hll,York, 96 (5., 6., 9.,., 5. és 6 fjt). [] Marţan, I., ora lastctăţ ş plastctăţ pntr constrctor, Unrstata hncă dn Clj-apoca, 999 (5.-. oldal). [] Hrabok, M. M., Hrd,. M., Stffnd Plat nalss b th Hbrd Strss Fnt Elmnt Mthod, Strctral Engnrng Rport, o., Dpartmnt of Cl Engnrng, Unrst of lbrta, Edmonton-lbrta, 9. [] Hrabok,M.M.,Hrd,.M., HYBSLB Fnt Elmnt Program for Stffnd Plat nalss (Usr's Manal), Strctral Engnrng Rport, o., Dpartmnt of Cl Engnrng, Unrst of lbrta, Edmonton-lbrta, 9. [] rda, D.., t al, Fnt Elmnt nalss Sstm, cta chnca apocnss, scton: Cl Engnrng rchtctr, o. 5, chncal Unrst of Clj-apoca, (5.-56. oldal). [] Cc, H. L., t al, o Hbrd Fnt Elmnts for hck Plats and Shlls, Procdngs of th Intrnatonal Confrnc Constrcton, chncal Unrst of Clj-apoca, (.-. oldal). Műsak Sml