Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek) - 11.EA-ig (Fourier-sorok már nem) Az els zh elötti EA-ok kézzelírott változata elérhet a fenti címen. 7. El adás - 2013.10.25. (Cauchy-formula) Tfh: f,g:i R (I R nyílt); f,g folytonosak; (τ, ξ) I R Ekkor x + f x = g, x(τ) = ξ KÉP 1 a) globálisan egyértelm en oldható meg b) a ϕ teljes megoldás, ÉT az egész I intervallum c) ϕ-re: ϕ(t) = ξ ϕ 0 (t) + ϕ 0 (t) t (ϕ τ 0(s)) 1 g(s)ds (t I) ahol ϕ 0 (t) = e t τ f Adottak: n N, I R nyílt A : I R n n folytonos b : I R n folytonos Tfh: a fenti feltételek teljesülnek Ekkor (τ, ξ) I R n esetén x (t) = A(t) x(t) + b(t), x(τ) = ξ KÉP: a) globálisan egyértelm en oldható meg b) a teljes megoldás, ÉT az egész I intervallum 1 Kezdeti Érték Probléma 1
Jel: M h az x = A x homogén lineáris DE 2 teljes megoldásainak halmazát Ekkor: 1) M h C 1 (I, R n ) := {f : I R n f C 1 } altér, dimm h = n 2) {ϕ (i) i = 1, 2,..., m} M h lineárisan független t 0 I : {ϕ (i) (t 0 ) i = 1, 2,..., m} R n vektorok lin. függetlenek Deníció: 8. El adás - 2013.11.08. 1) Az x = A x homogén lin. DER 3 alaprendszere az M h egy bázisa 2) Ha ϕ (1), ϕ (2),..., ϕ (n) egy alaprendszer ϕ (1) 1 ϕ (n) 1 Φ =..... : I R n n az x = A x egy alapmátrixa. ϕ (1) n ϕ (n) n Állítás: Ha Φ az x = A x egy alapmátrixa Φ (t) = A(t) Φ(t) mátrixegyenlet (A homogén általános megoldása) Legyen: ϕ (1), ϕ (2),..., ϕ (n) az x = A x egy alaprendszere, Φ alapmátrixa M h = { n k=1 c k ϕ (k) c k R, k = 1, 2,, n} = {Φ c c = c 1. c n R n } 2 Dierenciálegyenlet 3 Dierenciálegyenlet Rendszer 2
(Az inhomogén általános megoldása) Jel: M IH az x = A x + b a teljes megoldásainak a halmazát Legyen ψ 0 az inhomogén egy (partikuláris) megoldása Ekkor M IH = {ϕ + ψ 0 ϕ M h } (Az inhomogén DER megoldóképlete) Legyen Φ az x = A x egy alapmátrixa, (τ, ξ) I R n Ekkor: 1) az x = A x + b inhomogén DER összes(teljes) megoldása: ψ(t) = Φ(t) c + Φ(t) t τ Φ 1 (s) b(s)ds (t I, c R n ) 2) az x = A x + b, x(τ) = ξ KÉP teljes megoldására: ψ(t) = Φ(τ) Φ 1 (τ) ξ+φ(t) t τ Φ 1 (s)ds (t I) (Cauchy formula) Legyen A R n n és tfh. A-nak van n db lineárisan független s (1), s (2),..., s (n) R n sajátvektora és λ 1, λ 2,..., λ n R nem feltétlenül különböz sajátértéke ϕ (1) (t) = e λ 1 t s (1), ϕ (2) (t) = e λ 2 t s (2),..., ϕ (n) (t) = e λn t s (n) (t R) az x = A x egy alaprendszere 9. El adás - 2013.11.15. (A homogén általános megoldása) Tfh: K(z) = (z λ 1 ) m1... (z λ r ) mr, m 1 +...+m r = n; λ i -ik különböz ek Ekkor a f i,j (t) = t i e λ j t, (i = 0, 1... m j 1 ), (j = 1... r), (t R) függvények a Homogén egyenlet komplex alaprendszere. Az általános megoldás ezek lineáris kombinációi. (Próbafüggvény módszer) kvazipolinom { }} { y (n) (t)+a n 1 y (n 1) (t)+...+a 0 y(t) = P (t) }{{} e λ t (c 1 cos(β t) + c 2 sin(β t)) t nek egy polinomja csak kvázipolinom jobboldal esetén jó ez a módszer. 3
Legyen: α + i β =: λ C és { 0, ha λ nem gyöke K(λ)-nak k = k, ha λ K(λ)-nak k-szoros gyöke Ekkor az IH-nak van következ alakú megoldása: ψ 0 (t) = t k G(t) e }{{} λ t (A cos(β t) + B sin(β t)) polinom degg degp Másik módszer ψ 0 el állítására: Az állandók variálása Tfh: ϕ 0... ϕ n a homogén egy alaprendszere; az általános megoldása: ϕ(t) = c 1 ϕ 1 (t) +... + c n ϕ n (t) Keressük ψ 0 (t)-t: ψ 0 (t) = c 1 (t) ϕ 1 (t) +... + c n (t) ϕ n (t) Legyen: Φ = c(t) := ϕ 1 (t)... ϕ n (t) ϕ 1(t)... ϕ n(t).. ϕ (n 1) 1 (t)... ϕ n (n 1) (t) c 1 (t)... c n (t) Itt kezd dik a tétel: 0 Ha c(t)-re igaz: Φ(t) c 0 (t) =. b(t) (c 1... c n-re ez egy lineáris egyenletrendszer) ψ 0 (t) = n i=1 c i(t) ϕ i (t) megoldása az IH egyenletnek. 10. El adás - 2013.11.22. 4
Deníció: Az (f n ) : N R A ( = A R) fv. sorozat egyenletesen konvergens az A halmazon ha ɛ > 0 : n 0 N : n, m n 0 : f m (x) f n (x) < ɛ : x A Az (f n ) : N R A fv. sorozat egyenletesen konvergens f : A R : ɛ > 0 : n 0 N : n n 0 : f n (x) f(x) < ɛ : x A (Pontonkénti egyenletes konvergencia kapcsolata) a) Ha (f n ) : N R A egyenletesen konvergens A-n (f n ) pontonként is konv. A-n és a pontonkénti határfv. az egyenletes határfv.-el b) 11. El adás - 2013.11.29. (Weierstrass-kritérium) Legyen A R, f n : A R (n N) Tekintsük f n fv-sort és tfh. a) sup x A f n (x) a n (n N) b) a n sor konvergens Ekkor a f n sor egyenletesen konvergens. 5
("Folytonosság") Tfh. A R, f n : A R (n N) a) f n C(A) n = 1, 2,... b) f n egyenletesen konvergens Ekkor f := lim(f n ) határfv. is folytonos A-n. ("Integrál" Fv. sorozatra) Legyen f n : [a, b] R (n N) Tfh. a) f n R[a, b] n = 1, 2,... b) (f n ) egyenletesen konvergens [a, b]-n Ekkor 1) f := lim(f n ) R[a, b] b 2) f = lim b a n f a n ("Integrál" Fv. sorokra) Legyen f n : [a, b] R (n N) Tfh. a) f n R[a, b] n = 1, 2,... b) f n egyenletesen konvergens [a, b]-n Ekkor 1) f := + n=1 f n R[a, b] b 2) f = + b a n=1 f a n 6
("Deriválhatóság") Legyen f n : (a, b) R (n N) Tfh. a) f n D(a, b) n N és f n C(a, b) b) x o (a, b) : (f n (x o )) számsorozat konvergens c) az (f n) egyenletesen konvergens Ekkor 1) az (f n ) egyenletesen konvergens (a, b)-n 2) f := lim(f n ) D(a, b) 3) f (x) = lim n + f n(x) x (a, b) Ezekb l nem lesz számonkérés. 12. El adás - 13. El adás 7