Bevezetés az elméleti fizikába vizsgatételek A három kategóriába tartozó kérdések relatív súlya megközelítőleg: (A.) : (B.) : (C.) 20 : 5 : 2 A vizsgán nem egy az egyben az alábbi módon kerülnek megfogalmazásra a kérdések. Az alábbi lista egyes pontjáinál több vizsgán megjelenő kérdés is össze van vonva. Pl. (A.)Newton törvényei, tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer (IR), Galilei relativitási elve két három vizsgakérdést is magába foglal. Ezek különálló kérdésként jelennek meg majd a vizsgalapon, és egyenként teljes értékű (A.)kategóriás kérdésként lesznek értékelve. 1 Tömegpont mechanikája 1. (A.)Tömegpont, vonatkoztatási rendszer, sebesség, gyorsulás, impulzus, erő, impulzusnyomaték, erőnyomaték, mechanikai munka, mozgási energia 2. (A.)Newton törvényei, tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer (IR), Galilei relativitási elve 3. (A.)Mechanikai munka és mozgási energia kapcsolata 4. (A.)Konzervatív erőtér, potenciáltér, centrális erőtér 5. (A.)Energiamegmaradás törvénye (kijelentés) 6. (A.)Impulzusmegmaradás törvénye 7. (A.)Impulzusnyomaték megmaradásának törvénye (kijelentés) 8. (A.)Erőnyomaték eltűnésének feltétele 9. (B.)Energiamegmaradás törvénye (levezetés) 10. (B.)Impulzusnyomaték megmaradásának törvénye (levezetés) 11. (A.)Centrális erőtér síkmozgással való viszonya (kijelentés) 12. (B.)Síkmozgás centrális erőtérben (bizonyítás) 13. (A.)Brachisztochron feladat kijelentése 2 Pontrendszerek mechanikája 1. (A.)Pontrendszer energiája, impulzusa, impulzusnyomatéka (meghatározás) 2. (A.)Külső és belső erők, az utóbbi iránya 3. (A.)Pontrendszer energiájának, impulzusának, impulzusnyomatékának megmaradása (kijelentés) 4. (B.)Pontrendszer energiájának, impulzusának, impulzusnyomatékának megmaradása (levezetés) 5. (B.)Impulzus transzformációja IR váltás esetén (levezetés) 6. (A.)Tömegközépponti sebesség 7. (B.)Tömegközépponti sebesség és tömegközéppont levezetése 8. (B.)Impulzusnyomaték transzformációja IR váltás és koordinátarendszer kezdőpont eltolás esetén (levezetés) 9. (B.)Mozgási energia transzformációja IR váltás esetén 10. (A.)König-tétel kijelentése 11. (B.)König-tétel levezetése 3 Görbék 1. (A.)Görbe 2. (B.)Frenet-féle triéder 3. (A.)(Elemi) ívhossz 4. (B.)Természetes paraméterezés meghatározás 5. (B.)Evoluta, evolvens, ezek kapcsolata 6. (B.)Pont kinematikája meghatározások, végeredmények 7. (C.)Pont kinematikája levezetések 8. (A.)Területi sebesség szóbeli 9. (B.)Területi sebesség matematikai, tulajdonságai 10. (A.)Görbületi sugár, görbület, torziós sugár, torzió szóbeli 11. (B.)Görbületi sugár, görbület, torziós sugár, torzió matematikai 1
12. (C.)Görbületi sugár, torziós sugár levezetése 13. (B.)Serret-Frenet képletek (szóbeli meghatározás) 14. (B.)Darboux vektor 15. (C.)Darboux vektor levezetése 16. (C.)Helyzetvektor változásának sorfejtése ívhossz szerint (levezetés) 17. (B.)Helyzetvektor változásának sorfejtése ívhossz szerint (következtetések) 4 Felületek 1. (A.)Felületek felírása explicit, implicit és paraméteres alakban 2. (A.)Sík felírása explicit, implicit és paraméteres alakban 3. (B.)Sík felírás normálvektor segítségével, két bennfoglalt vektor segítségével, determináns alakban 4. (A.)Gömb felírása explicit, implicit és paraméteres alakban 5. (B.)Henger, kúp és csavarfelület felírása 6. (C.)Egyéb felületek 7. (B.)Első alapforma, Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek (felírás) 8. (C.)Első alapforma, Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek (levezetés) 9. (B.)Felületi normális egységvektor felírása 10. (B.)Második alapforma, Gauss-féle másodrendű főmennyiségek (felírás, szóbeli magyarázat) 11. (C.)Második alapforma, Gauss-féle másodrendű főmennyiségek (levezetés) 12. (C.)Euler-Monge ábrázolás 13. (B.)Dupin-féle indikatrix szóbeli 14. (C.)Dupin-féle indikatrix matematikai 15. (B.)Főgörbületek szóbeli 5 Lokális koordinátarendszerek 1. (A.)Görbe vonalú (lokális) koordináta rendszer 2. (A.)Koordináta transzformáció matematikai 3. (B.)Koordináta görbe, koordináta felület 4. (B.)Lamé-együtthatók 5. (B.)(Elemi) felület és térfogat 6. (B.)Sebesség 7. (C.)Gyorsulás 6 Kötések, szabadsági fokok, Lagrange-tétel 1. (A.)Meghatározásuk 2. (A.)Osztályozásuk (időtől függő/független, holonóm/anholonóm, szkleronóm/reonóm, stb., példák) 3. (A.)Kényszererő vs. szabaderő 4. (B.)Geometriai kényszerek integrál és Pfaff-alakja 5. (A.)Holonóm kényszer felírása egy tömegpontra felület, görbe esetén. 6. (A.)Holonóm kényszer felírása mereven összekötött két tömegpont esetén 7. (B.)Kényszererő irányának a fenti két esetben 8. (A.)Lehetséges elmozdulás, virtuális elmozdulás, virtuális munka, kénszererő virtuális munkája 9. (A.)Virtuális munka elve (kijelentés) 10. (B.)Virtuális munka elve (levezetés) 11. (A.)Szabadsági fok, kapcsolat a kötésekkel 12. (A.)Merev test szabadsági fokainak száma 13. (B.)Merev test szabadsági fokainak száma (indoklás) 14. (A.)Általános koordináták 16. (C.)Főgörbületek levezetése 15. (B.)Általános koordináták haszna, előnyei 2
16. (B.)Kinetikus energia kifejezése időtöl függő/független koordinátatranszformáció esetén 17. (A.)D Alembert-elv (kijelentés) 18. (B.)D Alembert-elv (levezetés) 19. (A.)Általános erő 20. (A.)Lagrange elsőfajú egyenlete 21. (B.)Lagrange másodfajú egyenlete 22. (C.)Levezetések 23. (A.)Minimális hatás elve (kijelentés) 24. (C.)Minimális hatás elve (levezetés) 7 Variációszámítás 1. (A.)Egyváltozós függvény szélsőértékének szükséges/elégséges feltételei 2. (B.)Többváltozós függvény szélsőértékének szükséges/elégséges feltételei 3. (A.)Feltételes szélsőértékfeladat (kijelentés) 4. (B.)Feltételes szélsőértékfeladat (megoldás, Lagrangemultiplikátor) 5. (C.)Feltételes szélsőértékfeladat (levezetés) 6. (A.)Funkcionál, példák 7. (A.)Variációs feladat (kijelentése) 8. (A.)Euler-Lagrange egyenlet (ELe) 9. (A.)Legendre-feltételek 10. (B.)Plusz feltételek peremfeltételek hiányában. Mikor erősebb a szélsőérték? 11. (B.)ELe levezetése 12. (B.)ELe kibontása (másodrendű diff.egyenletté) 13. (A.)Brachisztochron feladat kijelentése, megoldása, cikloiszgörbe (szóban) 14. (B.)Brachisztochron feladat funkcionáljának levezetése, ELe-ének felírása, cikloiszgörbe matematikai 15. (C.)Brachisztochron feladat ELe-ének megoldása 16. (A.)Dido feladat kijelentése, megoldása (szóban) 17. (B.)Dido feladat funkcionáljának, ELe-ének felírása 18. (C.)Dido feladat funkcionáljának, ELe-ének megoldása 19. (B.)A variációs feladat invarianciája x = x(u, v), y = y(u, v) transzformációkkal szemben (kijelentés) 20. (C.)A fenti igazolása 21. (B.)A variációs feladat további invarianciái és egyéb tulajdonságai (kijelentés) 22. (C.)A fentiek igazolása 23. (B.)A variációs feladat primintegráljai (F y = 0, F x = 0 esetekben) 24. (C.)A fentiek igazolása 25. (B.)Legrövidebb út a síkban (funkcionál, primintegrál felírása, megoldás szóban) 26. (C.)A fenti megoldás levezetése 27. (B.)Minimális forgásfelület (funkcionál, primintegrál felírása, megoldás szóban) 28. (C.)A fenti megoldás levezetése 29. (B.)Láncgörbe alakja (funkcionál, primintegrál felírása, megoldás szóban) 30. (C.)A fenti megoldás levezetése 31. (A.)Variációs feladat többváltozós funkcionálra (kijelentés, ELe) 32. (B.)A fenti matematikai tárgyalása, Legendre-feltétel 33. (B.)A fenti feladat primintegráljai (F yi = 0, F x = 0 esetekben) 34. (C.)A fenti igazolása 35. (B.)Legrövidebb út a térben (funkcionál, primintegrál felírása, megoldás szóban) 36. (C.)A fenti megoldás levezetése 3
8 Geodetikus görbék 1. (A.)Meghatározás 2. (B.)Funkcionál felírása 3. (B.)Clairaut-tételének kijelentése szóban és matematikailag 4. (C.)Levezetés 5. (A.)Geodetikus görbe a térben, síkban, hengeren, kúpon, gömbön (szóban) 6. (C.)A fentiek levezetése 7. (B.)Loxodróma szóban, matematikailag, összehasonlítása a geodetikus görbével, egybeesésük feltétele 8. (B.)Geodetikus görbe főnormálisa és a felület normálisának viszonya 9. (C.)A fenti igazolása 10. (B.)Elemi ívhossz a Riemann-térben, metrikus tenzor az Euklideszi térben, kapcsolata az elsőrendű Gauss-féle főmennyiségekkel kétdimenziós felületek esetén. 11. (C.)A geodetikus görbe differenciálegyenletének levezetése 12. (B.)Geodetikus görbe, fényterjedés, tehetetlenségi mozgás, kifeszített húr kapcsolata 9 Analitikus mechanika alapjai 1. (A.)Szimmetria 2. (A.)Tér és idő folytonos szimmetriái (szóban, magyarázattal) 3. (A.)Minimális hatás elve, Lagrange egyenlet 4. (A.)Egydimenziós mozgás Lagrange függvénye Descartes-i és lokális koordináta rendszerekben konzervatív erőtér esetén 5. (A.)Egydimenziós mozgás fordulópontjainak 6. (C.)Egydimenziós periódikus mozgás periódusa mint az energia függvénye (levezetéssel) 7. (A.)A folytonos szimmetriák és megmaradási törvények kapcsolat (7+3 darab, szóban) 8. (B.)Energiamegmaradás bizonyítása (időhomogenitásból) 9. (C.)Az impulzusmegmaradás bizonyítása (tér homogenitásból) 10. (C.)Az impulzusnyomatékmegmaradás bizonyítása (tér izotrópiából) 11. (C.)Tömegközéppont megmaradása (IR-k egyenértékűségéből) 12. (B.)Elemi elforgatás szögvektora 13. (A.)Harmonikus rezgések jelentősége (egyensúlyközeli állapot) 14. (B.)Harmonikus oszcillátor Lagrange fg.-nek levezetése egyensúlyközeli állapotból 15. (B.)Egydimenziós oszcillátor mozgása (típusai, paraméterfüggéssel) 16. (C.)Teljes leírás (lásd tavalyi anyagot is) 17. (C.)Egydimenziós oszcillátor komplex leírása 10 Centrális erőtér, kéttest probléma, Kepler feladat 1. (A.)Centrális erőtér 2. (A.)Centrális erőterekre példa 3. (A.)Centrális erőtér Lagrange függvényének felírása (vektoriálisan/descartes-i koordinátákban) 4. (B.)Centrális erőtér Lagrange függvényének felírása (szférikus koordinátákban, polár koordinátákban) 5. (B.)Centrifugális és effektív potenciál 6. (C.)Síkmozgás bizonyítása Lagrange formalizmusban 7. (B.)Impulzusnyomaték mint ciklikus koordináta konjugált impulzusa és megmaradása 8. (B.)Impulzusnyomaték és területi sebesség kapcsolata 9. (B.)Energia mint prímintegrál 10. (C.)Pálya egyenletének felírása integrál alakban 11. (B.)Pálya zártságának feltétele, mely erőtereknél áll fenn. 4
12. (B.)Centrumba zuhanás feltétele (következtetések) 13. (C.)Centrumba zuhanás feltétele (levezetés) 14. (A.)Kepler-feladat 15. (A.)Kepler törvényei (kijelentés, második törvény kapcsolata az impulzusnyomatékmegmaradással) 16. (B.)Kúpszeletek egyenlete polár koordinátákban 17. (A.)Kúpszeletek geometriai és algebrai 18. (A.)Perihélium, ahélium, excentricitás, pályaparaméter 19. (C.)Pályaegyenlet és 3. törvény levezetése 20. (B.)Mechanikai hasonlóság (következtetés) 21. (C.)Mechanikai hasonlóság (levezetés) 22. (C.)Viriáltétel (levezetés) 23. (B.)Viriáltétel alkalmazásai 11 Hamilton formalizmus 1. (A.)Hamilton függvény 2. (A.)Kanonikus egyenletek (kijelentés) 3. (C.)Kanonikus egyenletek (levezetés) 4. (B.)Hamilton függvény és energia kapcsolata 5. (B.)Hamilton formalizmus használatának indoklása 6. (A.)Fázistér, konfigurációs tér 7. (B.)Egyszerű mozgás pályájának a fázistérben 8. (A.)Kanonikus transzformáció, indoklása 9. (B.)Alkotó függvény 10. (C.)Négyféle alkotó függvény esetén a kanonikus transzformációk tárgyalása 11. (C.)Példák transzformációra 12. (A.)Hamilton-Jacobi egyenlet (felírás, tulajdonságok) 13. (C.)Hamilton-Jacobi egyenlet (levezetés) 14. (C.)Alkalmazások (szabad test, ferde hajítás, harmonikus oszcillátor, centrális erőtér) 15. (B.)Poisson zárójelek (meghatározás, tulajdonságok) 12 Merev testek 1. (A.)Merev test, szabadsági fokainak száma 2. (B.)Merev test egy pontjának sebessége 3. (B.)A haladó és forgó mozgások viszonylagos/abszolút jellege 4. (A.)Pillanatnyi forgástengely 5. (A.)Mozgási energia (tehetetlenségi nyomaték tenzorral) 6. (B.)Tehetetlenségi nyomaték tenzor (matematikailag) 7. (C.)Tehetetlenségi nyomaték tenzor levezetése 8. (B.)Tehetetlenségi nyomaték tenzor tulajdonságai (szimmetriák) 9. (A.)Fő tehetetlenségi nyomatékok és főtengelyek 10. (C.)Egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere 11. (B.)Steiner-képlet 12. (A.)Impulzusnyomaték (tehetetlenségi nyomaték tenzorral) 13. (B.)Impulzusnyomaték és a szögsebesség viszonya 14. (C.)Newton-Euler egyenlet levezetése 15. (A.)Szabad mozgás, precesszió (levezetés) 16. (B.)Precessziós mozgás/szögsebesség 17. (B.)Euler szögek és kapcsolatuk a Föld mozgásával. 13 Kontinuumok bevezetés, mérlegegyenletek 1. (A.)Meghatározások 2. (A.)Deformáció vektor és tenzor (, a modell érvényességének feltételei) 3. (C.)Deformáció tenzor levezetése 4. (B.)Def.tenzor és relatív térfogatváltozás kapcsolata 5. (C.)Levezetés 5
6. (B.)Nyíró deformáció koord. rendszer függése, kitranszformálhatósága 7. (A.)Főirányok és főértékek 8. (B.)Def. tenzor szétválasztása nyírásra és kompresszióra 9. (B.)Euler-i leírás, Lagrange-i leírás, szubsztanciális derivált 10. (A.)Skalár és vektormennyiségek mérlegegyenletei 11. (C.)Skalár és vektormennyiségek mérlegegyenletei (levezetés) 12. (A.)Advekciós, reverzibilis, irreverzibilis áramok 13. (B.)Kontinuitási egyenlet (tömegmérleg) 14. (B.)Mozgás egyenlet (impulzusmérleg) 15. (A.)Feszültségtenzor 16. (B.)Feszültségtenzor kapcsolata az erősűrűséggel 17. (B.)Egy tartományra ható erő, egyensúly feltétele 18. (A.)Fluidumok és a nyírófeszültség 19. (B.)Izotróp fluidum feszültségtenzora 14 Rugalmas közegek elméleti leírása 1. (C.)Feszültségtenzor szimmetriájának igazolása 2. (B.)Tetszőleges felületelemre ható erő 3. (B.)Rugalmas erők által végzett munka 4. (C.)Levezetés 5. (B.)Termodinamkai potenciálok, feszültség és deformáció kapcsolata 6. (A.)Hooke-törvény szóban, a modell feltevései (nullában, linearitás, izotrópia) 7. (B.)Hooke-törvény, rugalmassági moduluszok 8. (C.)Levezetés 9. (B.)Izotrop testek egyensúlyi egyenletei 10. (A.)Rugalmas hullámok tulajdonságai (szóban) 11. (C.)Levezetés 12. (C.)Hooke törvénye kristályos anyagokban 13. (B.)Rugalmas hullámok tulajdonságai kristályos anyagokban (szóban) 15 Rugalmas közegek fenomenológikus tárgyalása, kapcsolat az elmélettel 1. (A.)Hooke-törvénye szóban és képletben, haránt irányú deformáció, Young modulusz és Poisson állandó 2. (A.)Szuperpozíció elve 3. (B.)Homogén deformációk levezetés 4. (A.)Nyírás, nyírófeszültség 5. (B.)Nyírás kiváltása összenyomással és nyújtással 6. (C.)Igazolás 7. (A.)Nyírófeszültség és elhajlási szög kapcsolata 8. (C.)Levezetés 9. (A.)Harántirányú összehúzódás nélküli nyújtás (meghatározás, következtetés) 10. (C.)Levezetés 11. (A.)Csavart rúd (problémafelvetés, következtetés) 12. (C.)Levezetés 13. (A.)Torziós hullám (problémafelvetés, következtetés) 14. (C.)Levezetés 15. (A.)Hullámegyenlet 16. (A.)Hajlítás (problémefelvetés) 17. (B.)Semleges felület, tehetetlenségi nyomaték 18. (B.)Eredmény, következtetések 19. (C.)Levezetés 20. (C.)Egyik végén befogott gerenda hajlítása 21. (C.)Homogén deformációk elméleti tárgyalása 6
16 Hidrodinamika 1. (A.)Kontinuitási egyenlet 2. (A.)Euler-egyenlet 3. (B.)Energia mérleg 4. (A.)Hidrodinamika, egyenletrendszer zártsága, állapotegyenlet, lokális egyensúlyi feltétel 5. (A.)Transzport folyamatok: gradiensek, hozzátartozó áramok 6. (B.)Határfeltételek 7. (B.)Hidrosztatika 8. (C.)Nehézségi erő által összetartott igen nagy folyadéktömeg (csillag) egyensúlya 9. (A.)Bernoulli-egyenlet 10. (C.)Levezetés 11. (B.)Navier-Stokes egyenlet, dinamikai/kinematikai viszkozitási együtthatók 12. (C.)Levezetés 13. (B.)Hanghullámok modellje, hangsebesség képlete 14. (C.)Levezetés 7