. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk. A mérés eredméyt egy számmal (a mértékszámmal) és a mértékegységgel adjuk meg. A mérés törtéhet mérőeszközzel vagy műszerrel. A mérőeszközzel való mérésél az objektum valamlye tulajdoságát közvetle összehasolítással kapjuk meg (pl. ha hosszúságot méterrúddal vagy tömeget mérleggel mérük). A műszerrel való mérés vszot közvetett, az objektum és a műszer valamlye kölcsöhatásából kalbrálással adja meg a mér kívát meység értékét. (Pl. az elektromos áram erősségét mérő Deprez-redszerű ampermérőbe a szögelfordulás az áram, a mágeses tér és a rugó kölcsöhatásáak az eredméye, de a műszer skálája már áramerősségre va kalbrálva.) Sok esetbe azoba em s tudjuk a jellemez kívát meységet közvetleül mér, haem csak más, vele kapcsolatba álló meységet, lletve meységeket, és az ezekre kapott mérés eredméyekből számítással kapjuk a kívát adatot. Ekkor s mérésről - közvetett, lletve összetett mérésről beszélük. A mérést megsmételve általába em kapuk azoos mérés eredméyeket. Egyrészt, mert a méredő meység változhat az dővel. De ha a méredő meység álladó s, a mérés eredméyt a műszer állapota és a megfgyelést végző ember s befolyásolja. Jelöljük a mér kívát meység valóságos értékét x-szel, a mérés eredméyt x m -mel. A mérés hbája a mért érték és a valóságos érték külöbsége: x = x m - x. és a relatív hba: δ x = x / x. A mérés megbízhatóságát elsősorba a műszer jellemző határozzák meg. A műszerek jellemző a./ Érzékeység: Meghatározza, hogy a méredő meység egységy változásához a műszerről közvetleül leolvasható érték mlye változása tartozk. Ez a műszerről leolvasható legksebb egységek (skálarészek) megfelelő méredő meység recproka. (Pl. ha egy mutatós ma-mérő végktérése 50 ma, skálája leárs és 50 beosztású, a műszer érzékeysége 50 skr / 50 ma = 0, skr/ma, és a mutató egy skálarészy ktérése 5 ma áramak felel meg.) Ha a skála em leárs, akkor az érzékeység függ attól, hogy mlye érték közelébe mérük. b./ Potosság: A mért és valód érték maxmáls lehetséges eltérése, a hba abszolút értékéek maxmuma. c./ Reprodukálhatóság: A műszerrel törtéő smételt mérésekkel kapható mérés eredméyek lehetséges maxmáls eltérése egymástól. Hbatípusok Véletle hba: A mérés eredméyek a valóságos értéktől mdkét ráyba azoos valószíűséggel, véletleszerűe térek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletle hba tetszőlegese csökkethető. Redszeres hba: A mérés eredméyek a valóságos értéktől eltérő érték körül gadozak. Oka a hbás vagy rosszul beállított műszer, de redszeres hbát okoz az s, ha elhayagoluk vagy rosszul veszük fgyelembe valamlye, a mérést befolyásoló külső téyezőt (pl. hőmérsékletet vagy yomást). 3
.. A hbaszámítás alapja A hbaszámítás a valószíűségszámítás és matematka statsztka felhaszálásával a mérés sorá fellépő véletle hbák becslésére ad módot. Valószíűségszámítás alapfogalmak; a valószíűség sűrűség- és eloszlásfüggvéy Méréssel emcsak egyetle objektum valamlye álladó értékű sajátosságára kaphatuk számszerű értéket, haem jellemezhetjük egy objektum olya sajátosságát s, mely dőbe vagy helyleg változk. Vagy jellemezhetük egy olya egyedekből álló sokaságot, melyekre ézve a méredő tulajdoság külöböző mértékű. Beszélhetük a terem hőmérsékletéről, akkor s, ha a hőmérséklet a radátor mellett más mt az ajtó mellett, éjszaka más mt appal. Vagy megadhatjuk az évfolyamo a hallgató láyok átlagos magasságát. Egy sokaság eseté az egyed mérések valamlye átlaga lesz az egész sokaság jellemzője, de tsztázuk kell, hogy értjük ezt az átlagot. A sokaságot jellemző számak az egyedekre s jellemzőek kell le valamlye módo, a sokaságra voatkozó adatból bzoyos mértékg meg kell tuduk jósol az egyed mérések eredméyét, azaz a sokaság jellemzéséél azt s meg kell aduk, hogy a megadott átlagérték körül adott valószíűséggel mlye tervallumba leszek az egyes mérések eredméye. Hasoló a probléma a terem hőmérsékletéek megadásáál s. Ha a terem hőmérséklete dőbe változk, a termet külöböző dőpotokba elképzelve tekthetjük sokaságak, melyek eleme az egyes dőpotokba a terem pllaaty állapota, és ezekbe az állapotokba mérhetjük az egyed hőmérséklet értékeket. De ha egy jól meghatározott, dőbe álladó meységet smételte mérük, a műszer dőbe külöböző állapota, a műszer és a mért objektum, valamt a köryezet dőbe változó kölcsöhatása matt az smételt mérés eredméye változ fogak. Ezek az elképzelt smételt mérések megt egy sokaság elemeek tekthetők. Tételezzük fel egy sokaságot, és egy, a sokaságo értelmezett ξ meységet. ξ külöböző értékeket vehet fel, de egyeseket agyobb, másokat ksebb valószíűséggel. (Egy dákláy magasságát gyakra mérjük 60 és 70 cm között értékek, és a terem hőmérséklete kevéssé valószíű, hogy -0 C alatt va.) Azt modjuk, hogy ξ valószíűség változó. Egy valószíűség változó lehet folytoos (mt a magasság vagy hőmérséklet), és lehet dszkrét (mt a kockadobálás eredméye). A sokaság lehet véges elemű (mt a másodkos vegyészláyok sokasága), vagy végtele elemű (mt a terem állapota tetszőleges dőpotokba). Amkor mérük, kválasztjuk egy egyedét a sokaságak, és eze végezzük el a mérést. Azt s modhatjuk, hogy mtát veszük a sokaságból és azo egy kísérletet végzük. A kísérlet eredméyes vagy skeres, ha azt kaptuk, amt vártuk, pl. 6-ost a kockadobálásál. A skeres kísérletet evezzük eseméyek. Az eseméy valószíűsége P: az összes lehetséges kedvező kmeetelű mtavétel, kísérlet száma ( k ) osztva az összes lehetséges kísérlet számával (N Ö ): P = k / N Ö.3 A valószíűséget potos értékét meghatározhatjuk, ha va formácók az egész sokaságról, külöbe a sokaság több-kevesebb elemé végzett kísérlet alapjá becsüljük P értékét. Legye például a sokaság 00 skatulya gyufa, és a ξ dszkrét valószíűség változó a gyufaszálak száma egy dobozba. Ha a 00-ból 0 dobozba va 40 szál gyufa, akkor aak az eseméyek a valószíűsége, hogy egy véletleül kválasztott skatulyába pot 40 szál gyufát találjuk, P (ξ=40) = P (40) = 0 / 00 = 0,. Ha a valószíűség változó folytoos, akkor csak azt kérdezhetjük, hogy egy bzoyos tervallumba eső értéket mlye valószíűséggel vehet fel. Pl. ha a valószíűség változó a láyok magassága, és az évfolyam 50 hallgatóláyából 0-ek a magassága 60 és 70 cm közé esk, akkor aak a valószíűsége, hogy egy véletleszerűe kválasztott láy h magasságát 60 és 70 cm közöttek találjuk: P (60<h<70) = 0 / 50 = 0,. 4
Ismételjük meg a kísérletet N-szer, és tegyük fel, hogy esetbe kaptuk kedvező eredméyt (pl. 40 szál gyufát a gyufaszámlálás kísérletbe). Az eseméy relatív gyakorsága: q = / N.4 Ha N ő, a relatív gyakorság a valószíűséghez tart: lm q = P.5 N Jelöljük a ξ folytoos valószíűség változó aktuáls mért értékét x-szel. P (x < x < x + x) aak valószíűsége, hogy x értéke x és x + x közé esse. A Px lm ( < x< x + x ) = f (x ).6 x 0 x határérték a ξ változó valószíűség sűrűsége x -él, és f(x) ξ eloszlásáak valószíűség sűrűségfüggvéye vagy frekveca függvéye. Aak valószíűsége, hogy ξ x és x + x között értéket vegye fel, közelítőleg P (x x x + x ) = f(x ) x,.7 ha x elég kcs. Általába aak valószíűsége, hogy ξ x és x közé esse: P (x x x ) = x fxdx ( ).8 x A valószíűség sűrűségfüggvéy tegrálja a valószíűség változó teljes értelmezés tartomáyára f( x') dx' = P( x ) =. A valószíűség sűrűségfüggvéy tegrálfüggvéyét valószíűség eloszlásfüggvéyek evezzük és F(x)- szel jelöljük: x F(x) = f( x') dx' F() =.9 F(x ) aak a valószíűsége, hogy a valószíűség változó értéke em agyobb, mt egy adott x érték: P (x x ) = F(x ).0 Az eloszlásfüggvéyel megadhatjuk aak a valószíűségét, hogy a valószíűség változó értéke x és x közé esk: x x x P(x x x )= f( x) dx = f( x) dx f( x) dx = F( x ) F( x ) x Összetett kísérlet eredméyéek valószíűsége Ha két meységet, ξ-t és η-t mérük egymás utá, m a valószíűsége aak, hogy ξ-re x-et, η-ra y-t kapjuk eredméyül? Ha N(y/x) azokak az esetekek a száma, amkor η-ra y értéket kapuk, feltéve, hogy ξ-re már x értéket kaptuk, akkor a valószíűség értelmezéséből 5
Ny P(x,y) = lm ( / x ) Ny lm ( / x ) Nx ( ) = = P(y/x) P(x).. N N N Nx ( ) N P(y/x)-t feltételes valószíűségek evezzük. Ha az η változóra voatkozó kísérlet eredméye em függ a ξ változótól, akkor P(y/x) = P(y) és P(x,y) = P(x) P(y). Ebbe az esetbe a két eseméy vagy kísérlet vagy valószíűség változó egymástól függetle. Függetle eseméyek valószíűsége szorzódak, és ugyaez áll a valószíűség sűrűségfüggvéyekre s. A mérést általába megsmételjük, hogy bztosabb eredméyt kapjuk. Ilyekor feltesszük, hogy az egyes méréseket egymástól függetleül végeztük, hogy egy később mérés eredméyét em befolyásolja egy előző eredméy. Vgyázzuk, hogy ez téyleg teljesüljö! Nagyo gyakor a megsmételt mérés eredméyéek ökétele szubjektív torzítása! Az eloszlás paramétere, a mta jellemző A valószíűség sűrűségfüggvéybe szereplő kostasok és az azokból leszármaztatott meységek az eloszlás paramétere. Amkor mtát veszük a sokaságból és eze a mtá mérést végzük, a céluk az, hogy az eloszlásról kapjuk formácót. Az eloszlásfüggvéy alakja smert, vagy egy meghatározott függvéyel közelítjük, a függvéybe szereplő kostasokat vszot a mérésből akarjuk meghatároz, vagy megbecsül. A mérés eredméyekből az eloszlásparaméterekre kapott becsléseket evezzük a mta jellemzőek. A mérés lehetséges kmeetele, a jövőbel mérés eredméy s valószíűség változó és így valamlye valószíűség sűrűségfüggvéy redelhető hozzá. A mérésél téylegese kapott mérés eredméyek vszot kokrét számok, melyekkel kapcsolatba már cs értelme valószíűségről beszél. A mtavételél s beszélhetük a majda mtáról mt sokaságról, melyek eleme -az elképzelt mérés eredméyek- valószíűség változók. Eek az elképzelt mtáak mt sokaságak a jellemző szté valószíűség változók leszek. A következőkbe az eloszlás paraméteret -melyek a sokaságra jellemzők- görög, a mta jellemzőt pedg lat betűkkel fogjuk jelöl. A legfotosabb eloszlásparaméterek Legye a sokaságo egy ξ valószíűség változó (egy tulajdosága a sokaság elemeek) értelmezve, melyek értékét x-szel jelöljük. a./ A várható érték Tételezzük fel egy véges, N elemű sokaságot, melye értelmezett valószíűség változó dszkrét értékeket vehet fel. Pl. legye a sokaság 00 doboz gyufa és a valószíűség változó a gyufaszálak száma egy dobozba. Legye ξ értéke a sokaság számú elemé x. Akkor x átlagértéke N N x = ( x )/ N = x P( x ),.3a = = mvel P (x ) = / N..3a-t általáosítva, tetszőleges eloszlásra defálhatuk egy, az eloszlásra jellemző paramétert, az eloszlás várható értékét: Legye az eloszlás dszkrét, de a sokaság em feltétleül véges; a ξ valószíűség változó az x értéket P valószíűséggel vegye fel. Akkor a ξ valószíűség változó várható értéké, E [x]-e a következő összeget értjük: 6
E [x] = x P( x )= µ,.3 x ahol az összegzés a sokaság összes elemére törték. Ha az eloszlás folytoos, és az eloszlás valószíűség sűrűségfüggvéye f(x), akkor a várható érték,.3 aalógájára E [x] = x f(x) dx = µx.4 A valószíűség változó kostasszorosáak várható értéke a várható érték kostasszorosa: E [cx] = cx f(x) dx = c x f(x) dx = c E [x].5 Két valószíűség változó, ξ és η összegéek és szorzatáak várható értékéél az összetett kísérlet valószíűségével kell számoluk. Ha a valószíűség változók dszkrétek, aak valószíűsége, hogy a ξ tulajdoságra x-et, az η tulajdoságra y-t kapjuk mérés eredméyül,. szert P(x,y). Folytoos eloszlásál a valószíűségeket a sűrűségfüggvéyel határozzuk meg. Aak valószíűsége, hogy a ξ tulajdoság mért értéke x és x + dx közé esse, és az η tulajdoságé y és y + dy közé: P (x ξ x+dx, y η y+dy) = h(x,y) dx dy.6 és.-ek megfelelőe, ha a két valószíűség változó függetle, h(x,y) = f(x) g(y), vagys két, csak x-től, lletve csak y-tól függő sűrűségfüggvéy szorzata. Két folytoos valószíűség változó összegéek várható értéke a két várható érték összege: E [x+y] = (x+y) h(x,y) dx dy = x ( h(x,y) dy) dx + y ( h(x,y) dx) dy = = x f(x) dx + y g(y) dy = E [x] + E [y]..7 Két függetle valószíűség változó szorzatáak várható értéke az egyes várható értékek szorzata: E [xy] = xy h(x,y) dx dy = xy f(x) g(y) dx dy = = x f(x) dx y f(y) dy = E [x] E [y].8 Ha a valószíűség sűrűségfüggvéy szmmetrkus egy x 0 értékre, akkor y = x-x 0 várható értéke E [y] = 0, azaz az eredet várható érték éppe x 0 -lal egyelő. (Bzoyítás: E [y] = y f(y) dy = 0 y f(y) dy + y f(y) dy, 0 és mvel a szmmetra matt f(y) = f(-y), így 0 y f(y) dy + y f(y) dy = - 0 y f(-y) dy + y f(y) dy = 0. ) 0 0 7
b./ A medá és a módusz A eloszlás medája (µ e ) a valószíűség változóak az az értéke, melyél ksebb és agyobb érték s ugyaolya valószíűségű, azaz ahol az eloszlásfüggvéy értéke F(µ e ) = 0,5. Az eloszlás módusza a sűrűségfüggvéy maxmum helye. Szmmetrkus eloszlás várható értéke, medája és módusza azoos. c./ A varaca A valószíűség változó értéke ksebb vagy agyobb mértékbe eltérhet a várható értéktől a sokaság eleme. A varaca eek az eltérések a mértéke: Var [x] = (x-µx ) f(x) dx = E [(x-µ x ) ].9 Változó kostasszorosáak varacája a varaca szorozva a kostas égyzetével: Var [cx] = E [cx-cµ x ] = c E [x-µ x ] = c Var [x].0 Két függetle valószíűség változó összegéek varacája az egyes varacák összege: Var [x+y] = E [(x+y-µ x -µ y ) ] = = E [(x-µ x ) ] + E [(y-µ y ) ] + E [(x-µ x )(y-µ y )] = Var [x] + Var [y]. Itt felhaszáltuk az összeg várható értékére voatkozó.7 összefüggést, és mvel ξ és η függetleek,. harmadk tagjáál fel tudtuk haszál.8-at, mszert E [(x-µ x )(y-µ y )] = E [x-µ x ] E [y-µ y ] = 0. Két függetle valószíűség változó szorzatáak varacája em egyezk meg vszot a varacák szorzatával! A ormáls (Gauss) eloszlás Normáls eloszlást mutatak azok a valószíűség változók, melyek értékét sok ksmértékű véletleszerű hatás befolyásolja. A ormáls eloszlásál a valószíűség sűrűségfüggvéy az ú. Gauss-függvéy: f( x) = e πσ x µ σ,. ahol µ az eloszlás várható értéke, σ pedg az úgyevezett szórás, a varaca égyzetgyöke. Az ú. ormalzált Gauss-függvéyt.-ből az u = (x-µ) / σ.3 traszformácóval kapjuk, és a következő alakú: f(u) = π e u A ormalzált Gauss-eloszlás várható értéke 0, varacája..4 8
Bzoyítás: A várható érték.4 és a varaca.9 defícójából: E [u] = u f(u) du = π mert az tegradus páratla függvéy. u e u du = 0, Var [u] = u f(u) du = u e Felhaszálva, hogy u du = π u (u e u ) du u e u du = - e u és parcálsa tegrálva, kapjuk: u u u u ue du= ue + e du. Az első tag kesk, a másodk pedg π -vel egyelő, így Var [u] =. A ormalzált Gauss-eloszláshoz tartozó valószíűség eloszlásfüggvéy: u t F(u) = e dt = φ( u) (hbategrál), F()=..5 π A ormalzált Gauss-függvéy, a φ(u) hbategrál vagy az u erf (u) = π e t dt hbafüggvéy.6 0 értéket matematka kézköyvekbe táblázatosa megtaláljuk. A két függvéy összefüggése Φ(u) = 0,5 ( + erf (u/ ))..7 A Gauss-eloszlás alkalmazása Tételezzük fel, hogy smerjük egy adott sokaságba egy bzoyos valószíűség változó eloszlását, és ez ormáls eloszlás, adott µ várható értékkel és σ szórással. Mlye valószíűséggel esk a valószíűség változó értéke a várható érték körül, adott sugarú tervallumba, tehát x = µ- x és x = µ+ x közé? Ilye feladatokál az aktuáls változót.3 alapjá úgy traszformáljuk, hogy ormalzált Gauss-eloszlást kapjuk. Az tervallum végpotja: u = - x/σ és u = x/σ = v..8.-et alkalmazva P(u u u ) = F(u ) - F(u ) = φ(v) - φ(-v). A táblázatokba vszot csak poztív argumetumra találjuk meg a φ hbategrált. Az ábrá a két pöttyözött terület a függvéy szmmetrája matt egyelő, azaz φ(-u) = - φ(u) P(-v u v) = φ(v) -.9 9
Aak a valószíűsége pedg, hogy a változó értéke kesse az adott szmmetrkus tervallumból, tehát egy adott tűrésél jobba eltérje a várható értéktől: P(u -v U u v) = - (φ(v)-) = (-φ(v))..30 Példa Legye a másodéves láyok magasságeloszlásáak valószíűség sűrűségfüggvéye (a magasságot h-val jelölve és cm-be mérve): f( u) = e π 5 h 65 05, 5 a/ M aak a valószíűsége, hogy egy véletleül kválasztott láy magassága 60 és 70 cm között legye? b/ Ha az évfolyamo 80 láy va, várhatóa háy magasabb 60 cm-él, háyak a magassága 60 cm és 70 cm között, lletve 70 és 75 cm között érték? c/ Va-e 75 cm-él magasabb láy? És 50 cm-él alacsoyabb? Megoldás: Térjük át a ormalzált eloszlásra (A) és keressük k az. Táblázatból a φ(u) függvéy értéket (B). Az eloszlás várható értéke µ = 65 cm, szórása σ = 5 cm. A B h (cm) u v φ(v) φ(v)- 50-3 0 0,5000 0 60-0,843 0,686 70 0,977 0,9544 75 3 0,9986 0,997 a/ A 60-70 cm tervallum a várható érték körül σ sugarú tervallumak felel meg (v=), a táblázat szert ebbe az tervallumba 68,6% valószíűséggel esek a magasságok. b/ A 60 cm a ormalzált változóba u = --ek felel meg, aak valószíűsége, hogy u - legye, P(u -) = φ(-) = -φ() = 5,7 %, -P = 84,3%. Ey aak a valószíűsége, hogy valakek a magassága agyobb legye, mt 60 cm. Mvel P = kedvező /N összes, az évfolyamo 80 láy közül = 80 0,843 = 67 láyak a magassága 60 cm-él agyobb. Hasolóa, a 60 és 70 cm között magasságú láyok száma = 80 0,686 = 54,6, azaz 54-55 láy magassága esk 60 és 70 cm közé. A [70 cm, 75 cm] tervallum a ormalzált változóba az [,] tervallumak felel meg. P( u )=φ()-φ()=0,359. Ez személyt jelet. c/ A 75 cm-es magasság u = -ek felel meg. P(u>)=-P(u )=-φ()=0,08. Ez azt jelet, hogy várhatóa két 75 cm-él magasabb láy va. A 50 cm u = -3-ak felel meg, P(u<-3)=φ(-3)=-φ(3)=0,004. Ez 0, személyek felel meg, tehát az évfolyamo valószíűleg cs 50 cm-él alacsoyabb láy. 0
Célszerű megjegyez, hogy a ormáls eloszlásál a várható érték körül σ sugarú tervallumba (v=) a valószíűség változó értéke 68,3 % valószíűséggel esk, a σ sugarú tervallumba pedg (v=) kb. 95,4 % valószíűséggel. A középérték eloszlásáak tulajdosága Mérjük egy sokaságo a ξ sajátosságot -szer. Képzeljük el egy mérésből álló mtát, ahol az egyes mérések (egyelőre elképzelt) eredméye x,...,x. Ezek valószíűség változók, még em tudjuk, mlye értéket kapak a mérésél. Az x,...,x valószíűség változó számta közepe x x = = szté valószíűség változó, tehát tartozk hozzá egy f(x,...,x ) valószíűség sűrűségfüggvéy, és kérdezhetjük, m eek a várható értéke és varacája. Az egyes mérés eredméyek függetleek egymástól, tehát f(x,...,x ) = f(x )...f(x ). Mvel ugyaazt a mérést smételjük, az egyes mérés eredméyek várható értéke E[x ] = µ és varacája Var[x ] = σ azoos mde egyes mérésre. Az összeg és kostasszoros várható értékére és varacájára kapott.5,.7,.0,. formulákat alkalmazva kapjuk, hogy E [ x] = / = E [x ] = µ és Var [ x] = / Var [x ] = = σ.3 Azaz a középérték várható értéke megegyezk az egyes mérések várható értékével, varacája vszot -ed része az egyes méréséek. A cetráls határeloszlás tétele szert bármlye eloszlású sokaság eseté az elemű mta számta középértékéek eloszlása a mta elemszámáak övekedésével egy olya ormáls eloszláshoz tart, melyek várható értéke megegyezk az eredet eloszlás várható értékével. Ez azt jelet, hogy ha már egyetle mérés eredméy s átlagak, pl. dőátlagak tekthető, akkor várható, hogy az Gauss-eloszlású lesz. A mérés eredméyek vszot agyo gyakra lye átlagértékek. A mutató tehetetlesége matt egy átlagértékek megfelelő helyzetbe áll be. Ha elektrokusa gyűjtük adatot, azt s egy bzoyos deg tesszük, és az átlagjelet dolgozzuk tovább fel. Így a gyakorlatba legtöbbször ormáls eloszlású mérés eredméyekkel találkozuk. Az eloszlásparaméterek becslése A mtavétel és mérés célja, hogy formácót kapjuk a sokaságo az adott tulajdoság eloszlásáról, azaz meg tudjuk becsül az eloszlásparamétereket a sokaság elemszámáál sokkal ksebb mta alapjá. A becsült paramétereket hullámvoallal fogjuk jelöl. Egy becslés torzítatla a θ paraméterre ézve, ha a becsült és valóságos várható értékek megegyezek, azaz E [ ~ θ] = θ vagy E [ ~ θ - θ] = 0, a hba várható értéke 0.
A várható érték és a varaca becslése A várható értéket úgy vezettük be véges elemű, dszkrét sokaságra, mt a sokaságra vett átlagát az adott tulajdoságak (.3). Ha most em az egész sokaságot vesszük, csak egy mtát belőle, becsülhetjük úgy az egész sokaságra voatkozó átlagot, hogy csak a mtára átlagoluk, azaz a várható értéket, µ-t a következőképp becsüljük: ~µ = / x = Amíg a mérésről csak beszélük, ~ µ valószíűség változó, az x valószíűség változók számta közepe, melyek várható értéke megegyezk az egyes mérés várható értékével. Tehát ~ µ = µ, a becslés torzítatla. Hasolóa okoskodva, a varacát becsülhetjük az egyes mérések hbaégyzetéek átlagával: ~ σ = / = (x - x) Meg akarjuk határoz eek a becslések a várható értékét; de egyszerűbb, ha ~ σ számítjuk k. E [ ~ σ ] = E ( x x) = E ( ( x µ ) ( x µ )) = = E ( x ) x j µ µ j = E x x j ( µ ) ( µ ) = j = [ ] + E ( x µ ) E ( x µ )( x j µ ) E ( x j µ ) j j.3 várható értékét Az első tag éppe az egyes mérések varacájáak (-/) -szerese. A másodk tagba a j= tag kmarad, így tehát az összeg egyes tagjaba a téyezők függetleek, szorzatuk várható értéke a téyezők várható értékéek szorzata, am vszot 0. A harmadk tagot kfejtve (x j -µ) -es tagok fogak szerepel és vegyes szorzatok. Az utóbbak várható értéke, az előző okfejtés értelmébe 0. Így végül a fet összeg a következőképp alakítható: E [ ~ σ ] = σ + E[ ( x ] = j µ ) j ( ) σ = + ( ) = σ ( + ) σ = (-) σ, azaz a varaca -szereséek becsült értéke a valóságos varaca (-)-szerese, ~ σ = (-) / σ..33 Ez a becslés torzított, így célszerűbb a varacát a mérés eredméyekből a következőképp becsül: ( x x) ~ σ = s = x = s x -et az egyes mérés eredméyek korrgált tapasztalat szórásáak evezzük. Mvel.3 szert a középérték varacája az egyes mérések varacájáak -ed része, sx sx =,.35 a középérték korrgált tapasztalat szórása (stadard devácója):.34 s x = Σ( x x) Σ( x x) és s x = ( ).36
A mérés eredméyéek megadása A mérés eredméyek szórása; a tűrés Ha smerjük egy valószíűség változó eloszlását, azaz értékeek valószíűség sűrűségfüggvéyét, akkor egy bzoyos valószíűséggel meg tudjuk jósol, hogy a változó méréséél az eredméyeket mlye tervallumba kapjuk meg az eloszlás várható értéke körül. Láttuk a Gauss-eloszlásál, hogy az egyes mérés eredméyek a várható érték körül σ sugarú tervallumba 68,3% valószíűséggel, a σ sugarú tervallumba 95,4 % valószíűséggel esek. Ha más P valószíűséggel - P kofdeca szte - akarjuk megjósol a mérés eredméyeket, [µ - K σ, µ + K σ ] lesz az a kofdeca tervallum, melybe a mérés eredméyek az adott P valószíűséggel beleesek. Ha vásároluk valamlye előre csomagolt árut vagy alkatrészt, melyekek valamlye meység jellemzője va (pl. tömeg lletve elleállás), akkor az áru tömegé, vagy az elleállás évleges értéké kívül sokszor feltütetk a tűrést s, mely a évleges értéktől való megegedett eltérést jelet. Ez tulajdoképpe egy kofdeca tervallum, és általába 95% kofdeca sztre va megállapítva. Ha egy 00 darabos szállítmáyból 3 darab kesk a tűrésből, még em llk reklamál a szállítóál, de ha 0 kesk, akkor már lehet. A Studet-féle t-eloszlás és t paraméter Mérésél adottak a mérés eredméyek, és azt akarjuk tud, m közük va a méredő meység valóságos értékéhez. Hogya értékeljük k a méréssorozatot, hogy a legmegbízhatóbb formácót kapjuk a valóságos értékről (a valószíűség változó várható értékéről)? Ha legalább a mérés szórását smerék, modhaták, hogy a mérés eredméy ugyaolya távol va a valóságos várható értéktől, mt fordítva, azaz ha a valóságos érték Kσ sugarú köryezetébe esek P valószíűséggel a mérés eredméyek, akkor P valószíűséggel a mérés eredméy Kσ sugarú köryezetébe esk a méredő meység várható értéke. Ha pedg egy mérés sorozatuk va, akkor a sorozat számta közepéek a Kσ/ sugarú köryezetébe esk a valóságos érték. A baj ott va, hogy általába a szórást sem smerjük, ezt s csak becsül tudjuk, az egyes mérés lletve a középérték korrgált tapasztalat szórásával (.36). Mvel a szórás sem potos, ugyaahhoz a valószíűséghez agyobb számmal kell megszoroz a becsült szórást a kofdeca tervallum meghatározásáál, mt ezt egy smert szórású Gauss-eloszlásál teék. A jellemez kívát valószíűség változó várható értéke, µ x, valamt a méréssorozatból számított középérték, x és a középérték korrgált tapasztalat szórása, s x között álljo fe a következő egyelőség: x = µ x + τ s x..37 Mvel x és s x a kokrét méréssorozattól függ, tehát véletleszerűe változk, a τ paraméter τ = x µ x,.38 s x mt az x és s x valószíűség változók függvéye, szté valószíűség változó, melyek eloszlása meghatározható x és s x eloszlásából. Az eredet x változóra Gauss-eloszlást feltételezve W.S. Gosset határozta meg a τ paraméter valószíűség sűrűség- és eloszlásfüggvéyét, de mvel mukát Studet (dák) évvel szgálta, a τ paraméter eloszlását "Studet-féle t-eloszlásak" hívják. Az eloszlás- és sűrűségfüggvéy függ a mérések számától, ezek számáak csökkeésével az f(τ) sűrűségfüggvéy félértékszélessége ő. τ várható értéke 0, és f(τ) szmmetrkus, tehát az F(τ) eloszlásfüggvéyre feáll.9, éppúgy, mt a ormalzált Gauss-eloszlásál: 3
F (-τ) = - F (τ) és aak a valószíűsége, hogy τ értéke egy [-t, t] tervallumba esse: P (-t τ t) = F(t) -. Vsszatérve a τ paraméter értelmezésére, az előző modat így hagzk: "Aak valószíűsége, hogy x és µ x eltérése a [-t s x, t s x ] tervallumba esse, P = F(t) - -gyel egyelő". Vagy: "P = F(t) - valószíűséggel a meghatározadó µ x várható érték az x körül ts x sugarú tervallumba esk". Az adott P valószíűséghez (kofdecaszthez) és a mérések számához tartozó t paraméterérték a II. táblázatból határozható meg. Méréssorozat kértékelése A fetek alapjá egy mérésből álló sorozat kértékelése a következőképp törték. a./ Meghatározzuk a mérés eredméyek számta közepét: x = / x =.39a b./ Meghatározzuk a x devacákat, az egyes mérés eredméyek eltérését a középértéktől: x = x - x.39b c./ A devacákból meghatározzuk a középérték korrgált tapasztalat szórását: s x = x ( ).39c d./ A mérések számához és a kívát kofdecaszthez tartozó t paraméterértéket kkeressük a II. táblázatból. e./ Megadjuk a következő formába a mérés eredméyt: ξ (mért meység) = (x ± t s x ) [mértékegység].39d Ez azt jelet, hogy a méredő meység valóságos értéke a kofdecasztek megfelelő valószíűséggel az [x - t s x, x + t s x ] tervallumba esk. Megadhatjuk a relatív hbatervallumot s: ξ (mért meység) = x [mértékegység] ± 00 t s x / x %.39e 4
Közvetett mérés hbája (hbaterjedés) Láttuk, hogy a mérés hbáját a középérték varacájáak becsült értékéből (s x ) határoztuk meg. Tegyük fel, hogy meg akaruk határoz egy φ meységet, melyet em tuduk közvetleül mér, de φ függ az x,y,z,... meységektől és az utóbbak vszot megmérhetők, smerjük várható értéküket és varacájukat (lletve megbecsültük ezeket a paramétereket). Hogya függ össze φ várható értéke és varacája az x,y,z... várható értékével és varacájával? Fejtsük sorba φ-t változóak várható értéke körül, és álljuk meg a leárs tagokál: φ(x,y,..) = φ(µ x,µ y,...) + φ x (x-µ x) + φ y (y-µ y) +....40 A parcáls dfferecálháyadosok az x = µ x, y = µ y,... helye értedők. A leárs sorfejtés a várható értékektől való ks eltérések eseté jó közelítés. Most határozzuk meg φ varacáját, φ-t.40-el közelítve. Alkalmazva az összeg és kostasszoros varacájára voatkozó.0 és. formulát: φ φ Var [φ] = Var [x] + Var [y] +....4 x y Az x,y,... mért meységek varacáját a korrgált tapasztalat szórásuk égyzetével közelítjük, várható értéküket pedg a méréssorozatok középértékével. A φ meység korrgált tapasztalat szórásával közelítjük φ varacáját, melyet úgy kapuk, hogy.4-be az x,y,... meységek varacájáak helyébe s x -et, s y - et helyettesítük. Ugyaezt megtehetjük a középértékek korrgált tapasztalat szórásával s, és akkor φ középértékéek korrgált tapasztalat szórását kapjuk: φ φ sφ = sx sy + x +....4 y Az egyelőség érvéyes marad akkor s, ha a középértékek korrgált tapasztalat szórását beszorozzuk a t paraméterrel, azaz a hbatervallumokra s. Ha x-szel jelöljük x hbatervallumáak sugarát, és y-al y- ét, akkor a φ meységre a hbatervallum sugara: φ = ( ) ( ) φ + φ x y +... x y.43 5
.3 Regresszószámítás. A legksebb égyzetek módszere Sok esetbe az a feladat, hogy két meység között függvéykapcsolatot akaruk "kmér", méréssel meghatároz. Ez azt jelet, hogy a függvéy alakját smerjük, vagy smertek tételezzük fel, és a függvéy paraméteret akarjuk a méréssel megállapíta. Legye y = f(α,β,x),.44 ahol α,β a meghatározadó paraméterek. Tegyük fel, hogy x-et potosa tudjuk szabályoz lletve mér, és N darab x értékél meghatározzuk az y értékeket. Feltételezzük azt s, hogy y varacája függetle x értékétől, a mérés tervallumba álladó. Hogya határozzuk meg a függvéy paraméteret? Az (x, y ) potokra egy olya görbét kell lleszteük, mely ahhoz a "legközelebb" halad. A mérés potokak a görbétől való távolságát jellemezhetjük az y-bel eltérések égyzetösszegével: N ( ) S(α,β,...) = y f( x ) = Azt kívájuk, hogy S mmáls legye. Ehhez vszot az szükséges, hogy S α,β,... paraméterek szert parcáls derváltja zérussal legyeek egyelők: S / α = 0, S / β = 0 Ez a paraméterek számával azoos számú algebra egyeletet jelet, melyekből a paraméterek értéke meghatározható. Ha a függvéy -ed redű polom, a feladat vszoylag egyszerűe megoldható, mert a paraméterekre egy leárs egyeletredszert kapuk. Mérjük meg y értékét N külöböző x -él és legye f(x) = a 0 + a x + a x +... = a x k= 0 k k..45 N ( y) Az S = fx ( ) = meységek mmálsak kell le, azaz S a j N ( ( ) ) = f x y x = 0 = j, mde 0 j -re. Leárs regresszó Ha f leárs függvéy, y = a x + b, akkor csak két llesztedő paraméter va. S a = Σ (a+bx -y ) x = 0 a Σx + b Σ x = Σ x y.46 S b = Σ (a+bx -y ) = 0 N a + b Σ x = Σ y Bevezetve (.46)-ba a következő jelöléseket: 6
x = /N Σ x, y = /N Σ y, xy = /N Σ (x y ), x = /N Σ (x ),.47 az egyeletredszer megoldása: a = (x y-xy) / (x - x ), b = y - a x..48 Leárs regresszó eseté az a,b paraméterek varacáját a következőképp becsülhetjük: σy Nx σy Var [ a] = +, Var [ b] = N Σ ( x x) Σ ( x x) ahol σ y az úgyevezett rezduáls szóráségyzettel, s r -tel közelíthető: s r = Σ( y f ( x )) N..49.4 Irodalom. Matematka táblázatok: pl. Pattatyús Á. Géza: Gépész- és vllamosmérökök kézköyve I. Matematka képletek, táblázatok. A hbaszámítással, matematka statsztkával kapcsolatos: Dr. Keméy Sádor: Mérés eredméyek értékelése matematka statsztka módszerekkel BME Továbbképző Itézet, 978. 7
I. táblázat A ormáls eloszlás F(u) eloszlásfüggvéye u / t Fu ( ) = e dt= φ( u) π u 0 3 4 5 6 7 8 9 0,0,50000,50399,50798,597,5595,5994,539,5790,5388,53586 0,,53983,54380,54776,557,55567,5596,56356,56749,574,57535 0,,5796,5837,58706,59095,59483,5987,6057,6064,606,6409 0,3,679,67,655,6930,63307,63683,64058,6443,64803,6573 0,4,6554,6590,6676,66640,67003,67364,6774,6808,68439,68793 0,5,6946,69497,69847,7094,70540,70884,76,7566,7904,740 0,6,7575,7907,7337,73565,7389,745,74537,74857,7575,75490 0,7,75804,765,7644,76730,77035,77337,77637,77935,7830,7854 0,8,7884,7903,79389,79673,79955,8034,805,80785,8057,837 0,9,8594,8589,8,838,8639,8894,8347,83398,83646,8389,0,8434,84375,8464,84850,85083,8534,85543,85769,85993,864,,86433,86650,86864,87076,8786,87493,87698,87900,8800,8898,,88493,88686,88877,89065,895,89435,8967,89796,89973,9047,3,9030,90490,90658,9084,90988,949,9309,9466,96,9774,4,994,9073,90,9364,9507,9647,9786,99,93056,9380,5,9339,93448,93574,93699,938,93943,9406,9479,9495,94408,6,9450,94630,94738,94845,94950,95053,9554,9554,9535,95449,7,95543,95637,9578,9588,95907,95994,96080,9664,9646,9637,8,96407,96485,9656,96638,967,96784,96856,9696,96995,9706,9,978,9793,9757,9730,9738,9744,97500,97558,9765,97670,0,9775,97778,9783,9788,9793,9798,98030,98077,984,9869,,984,9857,98300,9834,9838,984,9846,98500,98537,98574,,9860,98645,98679,9873,98745,98778,98809,98840,98870,98899,3,9898,98956,98983,9900,99036,9906,99086,99,9934,9958,4,9980,990,994,9945,9966,9986,99305,9934,99343,9936,5,99379,99369,9943,99430,99446,9946,99477 9949,,99506,9950,6,99534,99547,99560,99573,99586,99598,99609,996,9963,99643,7,99653,99664,99674,99683,99693,9970,997,9970,9978,99736,8,99744,9975,99760,99767,99774,9978,99788,99795,9980,99807,9,9983,9989,9985,99830,99836,9984,99846,9985,99856,99860 3,0,99865,99869,99874,99878,9988,99886,99889,99893,99896,99900 8
II. táblázat A Studet-féle t paraméter értéke P kofdecasztél és N mérésszámál 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 3,078 6,34,706 5,45 63,657 7,3 3,886,90 4,303 6,05 9,95 4,089 4,638,353 3,8 4,76 5,84 7,453 5,553,3,776 3,495 4,604 5,598 6,476,05,57 3,63 4,03 4,773 7,440,943,447,969 3,707 4,37 8,45,895,365,84 3,499 4,09 9,397,860,306,75 3,355 3,83 0,383,833,6,685 3,50 3,690 0,38,79,093,433,86 3,74,8,645,960,4,576,807 9