Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30
7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1 F A 9 F B 12 11 13 A F Ax 10 B 6 3 kn 4 m 4 m 4 m 4 m 3 kn 3 kn x adott: a rácsos síkbeli serkeet kérdés: a támastó ER, a rudakban ébredő belső erők Mechanika III. előadás 2019. március 11. 2 / 30
7. Serkeetek statikája a) támastó ER sámítása a teljes serkeetre, mint egetlen merev testre 3 egensúli egenlet: Fx = 3 + F Ax 3 = 0 F Ax = 6 kn M b = 0 = 8F A + 3 4 + 3 4 + 3 4 3 4 F A = 3 kn F = 3 3 3 + F B = 0 F B = 3 kn F A = 6 e x + 3 e kn, F B = 3 e kn Mechanika III. előadás 2019. március 11. 3 / 30
7. Serkeetek statikája b) a belső ER sámítása (rúd iránú erők) alapfeltevések: a rudak súla elhanagolható a rudak a csomópontokban csuklókkal kapcsolódnak egmásho terhelés csak a csomópontokban hat 4 csomópont modell raj 8 7 követkemén: a rudakban csak rúdiránú erők ébrednek, jele: N 0, tehát például a 7-es rúd esetén: N 7 előjelek: N > 0, a rúd húott N = 0, a rúd terheletlen (vakrúd) N < 0, a rúd nomott a rúderők meghatároása: csomóponti módser (anagi pont egensúla) átmetső módser (merev test egensúla) Mechanika III. előadás 2019. március 11. 4 / 30
7. Serkeetek statikája példa: N 1 és N 2 meghatároása: C csomópont, mint anagi pont nugalma: geometriai egenlet: N 1 N 1x = 1 N 1x = N 1 3 kn C N 2 N 1x egensúli egenletek: N 1 N 1 F = N 1 = 0 N 1x = 0 Fx = 3 + N 2 = 0 N 2 = 3 kn Tehát a 1-es rúd vakrúd (N 1 = 0), a 2-es rúd pedig húott (N 2 = 3 kn). Hf. a N 3 és N 6 erők meghatároása a A csomópont nugalmából. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 5 / 30
7. Serkeetek statikája példa: N 4, N 5 és N 6 rúderők meghatároása átmetső módserrel geometriai egenlet: N 5 N 5x = 1, N 5x = N 5 3 kn N 4 N 5x egensúli egenletek: 6 kn N 5 N 5 F = 3 N 5 = 0 N 5 = 3 kn 3 kn N 6 tehát N 5 = N 5x = 3 kn nomatéki egenlet N 5 és N 6 hatásvonalának metséspontjára: M d = 0 = 3 4 + 3 4 + 4N 4 N 4 = 0 Íg a 4-es rúd vakrúd. Fx = 3 + 6 + 3 + N 6 = 0 N 6 = 6 kn Össefoglalva: N 4 = 0 vakrúd, N 5 = 3 2 + 3 2 = 4,24 kn húott, N 6 = 6 kn nomott Mechanika III. előadás 2019. március 11. 6 / 30
8. Rudak igénbevételei Alapfogalmak: rúd: olan 3D-s test, amelnek egik geometriai mérete lénegesen nagobb (hoss), mint a másik két iránú mérete rúd köépvonala: a rúd kerestmetseteinek súlpontjait össekötő fiktív vonal rúd modell: a rudat a köépvonalával helettesítjük, és a mechanikai jellemőket (terhelés, stb.) ehhe a vonalho kötjük primatikus rúd: egenes köépvonalú, állandó kerestmetsetű rúd Mechanika III. előadás 2019. március 11. 7 / 30
8. Rudak igénbevételei 8.1 A rúd belső erőrendsere és igénbevétele p x M S F x S S F M da S r e normálisú lap e normálisú lap F = pda M S = r pda (A) (A) terhelés után tartós nugalomba került rudat képeletben elmetsük, a elmetsett kerestmetsetben felületen megosló belső [ ] ER működik: sűrűségvektora p N mm 2 a r(x, ) kerestmetseti pontban p(x, ) a terhelés elemi erő a r helen: d F = pda = pdxd a súlpontba redukált vektorkettős: Mechanika III. előadás 2019. március 11. 8 / 30
8. Rudak igénbevételei A rúd kerestmetsetének igénbevétele (értelmeés): a rúd kerestmetsetében ( ) megosló belső ER-nek a kerestmetset S súlpontjába redukált vektorkettősét F ; MS a rúd igénbevételének neveük. a igénbevételek össetevői: F T F = N + T ; MS = MC + Mh }{{}}{{}}{{}}{{} rúderő níróerő csavarónomaték hajlítónomaték + előjellel értelmeett igénbevételek: S x N M h S x M S M c T x > 0 x x S N > 0 S M hx > 0 M c > 0 T > 0 M h > 0 Mechanika III. előadás 2019. március 11. 9 / 30
8. Rudak igénbevételei 8.2 A poitív előjelű igénbevételek semléltetése a elemi rúdsakason Ha a T x, T, N, M hx, M h és M c igénbevételek poitív előjelűek, akkor a redukált vektorkettős a poitív e normálisú kerestmetsetben: F = T x e x T e + N e, M S = M hx e x M h e + M c e x, x x, N > 0 Tx > 0 T > 0 Mc > 0 x, x x, N < 0 Tx < 0 T < 0 Mc < 0 x Mh > 0 x Mh < 0 Mhx > 0 Mhx < 0 Mechanika III. előadás 2019. március 11. 10 / 30
8. Rudak igénbevételei tört-vonalú tartó esetén a igénbevételek ábráolása (síkbeli eset) serepét a s ívkoordináta vesi át s s s s s x Mechanika III. előadás 2019. március 11. 11 / 30
9. Rudak igénbevételi ábrái igénbevételi ábra: terhelés után tartós nugalomba került rúd kerestmetseteiben ébredő igénbevételeket a rúd köépvonala mentén ábráoljuk 9.1 Megosló erőrendserrel terhelt rúd egensúli egenletei a) terhelés a síkban adott: f () f () f k = 0 = l M hx T 2 M hx + M hx T + T }{{} fk Feltételeések: f () a visgált sakason foltonos Mechanika III. előadás 2019. március 11. 12 / 30
9. Rudak igénbevételi ábrái a hossúságú rúd-darabra ható ER egensúli: e : 0 = 0 e : T + f k T T = 0 T lim : 0 f k f (); T = f k differencia-egenlet dt d dt () = f () (1) a erők egensúla iránban d [ ] e x : MC = M hx + T + (T + T ) 2 2 + M hx + M hx e x = 0 T + M hx + T 2 = 0 M hx határátmenet: 0; T 0 dm hx () d = T T 2 = T () (2) nomatéki egensúli egenlet differencia-egenlet a (1) és (2) két lineáris, köönséges, elsőrendű, állandó egütthatós differenciál-egenlet (DE) Mechanika III. előadás 2019. március 11. 13 / 30
9. Rudak igénbevételi ábrái A DE-k megoldása integrálással l 0 dt () d = f () dt () l d = dt = T (l) T (0) d 0 tetsőleges helen: l T (l) = T (0) + 0 f ()d T () = T (0) + f (ζ)dζ ζ=0 M hx () = M hx (0) T (ζ)dζ ζ=0 (1) egenlet integrális alakja (2) egenlet integrális alakja Mechanika III. előadás 2019. március 11. 14 / 30
9. Rudak igénbevételi ábrái b) terhelés a x síkban, analógia alapján: (1) dt x () d = f x () T x () = T x (0) + f x (ζ)dζ ζ=0 (2) dm h () = T x () M h () = M h (0) T x (ζ)dζ d ζ=0 Mechanika III. előadás 2019. március 11. 15 / 30
9. Rudak igénbevételi ábrái 9.2 Egenes rudak igénbevételi ábrái: F f F = fl F 2 F l 2 l 2 2 fl 2 fl l 2 l 2 2 F 2 T () fl 2 T () F 2 fl 2 M hx () M hx () F l 4 fl2 8 fl2 4 Mechanika III. előadás 2019. március 11. 16 / 30
9. Rudak igénbevételi ábrái M 1 M 1 M1 l a l b M1 l M1 a a M1 a l b T () T () M 1 M 1 M1 l M hx () M1 l a M1 a M hx () M 1 M 1 M1 b l Mechanika III. előadás 2019. március 11. 17 / 30
B) Silárdságtan Mechanika III. előadás 2019. március 11. 18 / 30
1. Matematikai alapfogalmak A Silárdságtan tárga: terhelés után tartós nugalomba került silárd testek elmodulási, alakváltoási és fesültségi állapotának visgálata, sámítása, teherbíró képességük meghatároása (méreteés, ellenőrés) 1.1 Vektorok soratai a) Skaláris sorás... b) Vektoriális sorás... kétseres vektoriális sorás (kifejtési tétel): a ( b c) = b( a c) c( a b) ( a b) c = b( a c) a( b c) Mechanika III. előadás 2019. március 11. 19 / 30
1. Matematikai alapfogalmak c) Diadikus (v. tenoriális) sorás a b = C : másodrendű tenor kisámítás adott KR-ben [ ] [ ] a b = C = ax a a [ bx b b ] ax bx a b x ax b a b ax b a b a b x a b a b = Cxx C x Cx C Cx C C x C C a tenornak 9 db koordinátája van, pl.: C xx = a x b x, C = a b, stb. Tulajdonság: [ [ ] abx C = }{{} Cx ab }{{} C ab }{{} C ] = b T a x b T a b T a Mechanika III. előadás 2019. március 11. 20 / 30
1. Matematikai alapfogalmak C invariáns (KR-től független) alakja a oslopában álló vektorokkal: C = C x e x + C e + C e igaolás: [ ] Cx e x = [ ] C e = [ ] C e = ax bx a b x a b x ax b a b a b ax b a b a b [ 1 0 0 ] = [ 0 1 0 ] = [ 0 0 1 ] = ax bx 0 0 a b x 0 0 a b x 0 0 0 ax b 0 0 a b 0 0 a b 0 0 0 ax b 0 0 a b 0 0 a b Mechanika III. előadás 2019. március 11. 21 / 30
1. Matematikai alapfogalmak A diadikus sorat nem kommutatív: b a = bx b b [ a x a a ] = bx ax b a x bx a b a bx a b a b a x b a b a E a mátrix C mátrixa a főátlóra tükröve (transponált). Követkemén: = [C T] b a = ( a b ) T ; a b = ( b a ) T Mechanika III. előadás 2019. március 11. 22 / 30
1. Matematikai alapfogalmak 1.2 Tenoralgebra nulladrendű tenor: skalár, 3 0 = 1 eleme van elsőrendű tenor: vektor, 3 1 = 3 eleme van másodrendű tenor: tenor, 3 2 = 9 eleme van... n-edrendű tenor: 3 n eleme van a) alapműveletek: tenorok össeadása/kivonása: A ± B = C pl.: C xx = A xx ± B xx, stb. tenorok egseres skaláris sorata: A B = D Axx A x Ax A Ax A A x A A Bxx B x Bx B Bx B B x B B pl.: x KR-ben = Dxx D x Dx D Dx D D x D D ahol D xx = A xx B xx + A x B x + A xb x, D = A x B x + A B + A B,..., stb. két tenor kétseres skaláris (belső) sorata: A B = s = A xx B xx + A x B x + A xb x +... + A B }{{} 9 tagból álló össeg Mechanika III. előadás 2019. március 11. 23 / 30
1. Matematikai alapfogalmak tenor és vektor skaláris sorata: A c = v = Axx A x Ax A Ax A A x A A cx c c = Axx cx + Ax c + Axc A x c x + A c + A c A x c x + A c + A c = vx v v legen A = a b, vagis A xx = a x b x, A x = a x b, stb. Eeket helettesítsük be a fenti v vektorba: v x = a x b x c x + a x b c + a x b c = a x (b x c x + b c + b c ) = a x ( b c ) v = a b x c x + a b c + a b c = a (b x c x + b c + b c ) = a ( b c ) v = a b x c x + a b c + a b c = a (b x c x + b c + b c ) = a x ( b c ) ( ) ( ) követkemén: v = a b c, illetve v = A c = a b c, tehát ( ) ( ) ( ) a b c = a b c, c a b = ( c a ) b Mechanika III. előadás 2019. március 11. 24 / 30
1. Matematikai alapfogalmak b) simmetrikus és asimmetrikus tenorok: értelmeés: a A tenor simmetrikus, ha A = A T koordinátákkal: A x = A x, A = A, A x = A x, követkemén: a simmetrikus tenornak 6 független koordinátája van értelmeés: a A tenor asimmetrikus (ferdesimmetrikus) tenor, ha A = A T koordinátákkal: A xx = A = A = 0 a főátlóban, A x = A x, A = A, A x = A x, követkemén: 3 érustól különböő, független koordinátája van asimmetrikus tenor vektor invariánsa: ha A asimmetrikus, akkor léteik olan a vektor, hog A v = a v, ahol v tetsőleges, és a a A vektor invariánsa A mátrixa: 0 a a a 0 a x a a x 0 a = A e x + A x e + A x e A x = a = A x A = a x = A A x = a = A x igaolás: 0 a a a 0 a x a a x 0 vx v v = av + a v a v x a x v a v x + a x v = [ a v ] Mechanika III. előadás 2019. március 11. 25 / 30
1. Matematikai alapfogalmak c) a egségtenor értelmeés: olan tenor, amelnek a főátlójában 1 áll, a többi koordinátája érus jele: 1 mátrixa: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 tulajdonsága: 1 v = v bármel v esetén invariáns előállítása: 1 = e x e x + e e + e e Mechanika III. előadás 2019. március 11. 26 / 30
1. Matematikai alapfogalmak 1.3 A homogén, lineáris vektor-vektor függvén a) skalár-skalár függvén: = f (x) inhomogén lineáris függvén: = mx + b homogén lineáris függvén: = mx b) vektor-vektor függvén: w = f ( v) homogén lineáris vektor-vektor függvén: w x = A xx v x + A x v + A xv w = A x v x + A v + A v w = A x v x + A v + A v invariáns alakban w = A v a homogén lineáris vektor-vektor függvén legáltalánosabb alakja, ahol A a függvén operátora jelentése: a tér v vektoraiho a tér w vektorait rendeljük hoá Mechanika III. előadás 2019. március 11. 27 / 30
1. Matematikai alapfogalmak báisvektorok leképeése (x): A e x = w x = A xx e x + A x e + A x e = A ] x [A 1. oslopa A e = w = A x e x + A e + A e = A ] [A 2. oslopa A e = w x = A x e x + A e + A e = A ] [A 3. oslopa homogén lineáris függvének tulajdonságai: A v 1 + A v 2 = A ( v 1 + v 2 ) A (λ v ) = λa v Mechanika III. előadás 2019. március 11. 28 / 30
1. Matematikai alapfogalmak 1.4 Tenormeők a) értelmeés: skalármeő: f ( r) = f (x,, ); r = x e x + e + e vektormeő: v( r) = v(x,, ) tenormeő: A( r) = A(x,, ) = e x x + e + e a "nabla" operátor x KR-ben b) tenormeők differenciálása (megváltoások sámítása) skalármeő gradiense: f = f (x,, ) (egváltoós eset: f (x) = df dx, df = f (x)dx) df = f f f dx + d + x d df = (grad f ) d r = (f ) d r = ( f ) d r grad f = f = f = f f f ex + e + x e d r = dx e x + d e + d e Mechanika III. előadás 2019. március 11. 29 / 30
1. Matematikai alapfogalmak vektormeő gradiense: v = v(x,, ) jobb oldali gradiens: v = V [ ] V = [ v ] = vx v v [ x ] = v x x v x v x v x v v v x v v bal oldali gradiens: v = V T [ V T] = [ v ] v x v x = [ ] x x v x v v = v x v v x v a v( r) vektormeő megváltoása: d v = ( v ) d r = d r ( v ) vektormeő divergenciája: d = v = v = vx x vektormeő rotációja: a = v = v + v + v = div v v x v v a x = v v ; v a = x vx ; vx a = v x Mechanika III. előadás 2019. március 11. 30 / 30