Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát! f() f(a) ( 3) ( 3)( + 3) D f = R, lim = lim = lim = lim ( 3) = 6 a a 3 ( 3) 3 + 3 3 3. B Számolja ki az f() = függvény a = 4 helyhez tartozó differenciálhányadosát! f() f(a) 4 D f = 0,, lim = lim = lim a a 4 4 4 ( )( + ) = lim = 4 + 4 4. Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit! (a) f() = 5 4 + 3 3 4 4 f () = 5 4 3 + 3 3 4 0 = 0 3 + 9 4 (b) f() = 3 cos 7e + 5 3 + 6 f () = 3 ( sin ) 7 e + 3 5 5 + 0 = 3 sin 7e + 3 5 5 = 3 sin 7e + 3 5 5 (c) f() = 4 cos + 5 3 4 + e3 f () = 4 ( sin ) + 5 ln 5 3 ( 4) 5 + 0 = 4 sin + 5 ln 5 + 4 sin + 5 ln 5 + 5 (d) f() = 7 + log 4 + 3 π f () = 7 ( ) 3 + ln4 + 3 0 = 7 + 3 ln4 + 3 = 7 + 3 ln4 + 3 (e) f() = 3 f() = 3 5 f () = 3 5 5 5 3 (f) f() = 5e 4 ln log + e ln 3 f () = 5e 4 ln 4 ln + 0 0 = 5e 4 ln 4 ln 5. Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit! (a) B f() = 3 4 + 7 7 4 f() = 3 4 + 7 4 7 f () = ( ) 3 ( 4) 5 + 7 ( ) 3 ( 4 7) 7 = + 4 3 7 5 + 8 3 7 7 5 =
Bodó Beáta (b) B f() = 4 6 + 83 4 5 f() = 5 4 6 + 8 7 4 f () = 5 3 4 ( 6) 7 + 8 7 4 3 4 = 5 3 + 4 + 4 4 3 7 (c) B f() = (3 5 + )(5 3 7 ) f() = 5 8 7 + 0 4 4 3 f () = 0 7 47 6 + 40 3 4 (d) B f() = ( + 5 3 )( 5 ) f() = 5 5 + 0 5 5 f () = 5 3 5 + 0 0 5 ( 5 ) 7 5 = 5 3 5 + 0 0 + 5 7 (e) B f() = 37 + 8 9 6 + 5 f() = 3 5 + 8 7 4 + 5 f () = 5 4 + 56 6 8 3 0 3 = 56 6 + 5 4 8 3 0 3 (f) B f() = 4 + 4 5 3 f() = 7 + 3 4 3 f () = 7 5 + 3 4 4 3 ( ) 3 = 7 5 + 3 (g) B f() = 3 5 f() = 30 = 39 30 f () = 39 69 30 30 = 3 0 30 69 6. Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit! (a) f() = cos 3 f () = sin 3 + cos 3 ln 3 (b) f() = log (3 + 7) f () = ln (3 + 7) + log 6 (c) f() = ( 4 + 3 7) ctg f () = ( 4 3 + 3) ctg + ( 4 + 3 7) 4 4 + 3 3 ( ) sin (d) f() = (3 sin + )(log 5 tg ) f () = (3 cos + )(log 5 tg ) + (3 sin + ) ( ln 5 ) cos (e) f() = sin 8 f () = cos 8 sin 8 ln8 = cos 8 sin 8 ln8 (8 ) 8 (f) f() = sin 4e + f () = cos (4e +) sin (4e +) (4e +) = (8 3 + 3)ctg (4 +3 7) sin
Bodó Beáta 3 (g) f() = ln( + ) f () = + = (h) (i) + f() = 4 3 + 4 f() = ( 3 + 4) 4 f () = 4 (3 + 4) 3 4 (3 + 4) = 3 +4 4 4 ( 3 +4) 3 f() = sin(5) f () = cos(5) 5 (j) f() = sin 5 f () = cos 5 5 4 (k) f() = sin 5 f () = 5(sin ) 4 cos = 5 sin 4 cos (l) f() = (4e + ) 0 f () = 0(4e + ) 9 (4e + ) 7. Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit! (a) B f() = f () = 4 + 3 sin 4 ( + 3) 3 4 sin 4 + 3 cos sin (b) B f() = cos (3 + π) f () = cos(3 + π) ( sin(3 + π)) 3 (c) B f() = 5 ln (4 + 7) f () = 5 (ln(4 + 7)) 4 5 4 + 7 8 (d) B f() = 8 3 7 f () = 8 ln 8 3 7 + 8 3 ( 7) 3 ( 7) (e) B f() = 7 6 + 3 ctg() f () = 7 (6 + 3) ( 6 7 7 ( + 3) ctg() + 6 + 3 ) sin cos( + 3) (f) B f() = 6 f () = sin( + 3) 3 6 cos( + 3) 6 5 6 3 (g) B f() = sin ( 3 7 ) f () = cos ( 3 7 ) 3 (7 ) 3 ( )
Bodó Beáta 4 (h) B f() = 4 cos(83 5 ) f () = 4 cos(83 5 ) ln 4 ( sin(8 3 5 )) (4 0) (i) B f() = sin(3 + ) 3 f () = cos(3 + ) 3 3 sin( 3 + ) 3 ln 3 3 (j) B f() = sin ( 4 + 5) 7 f () = cos ( 4 + 5) (4 3 + 0 4 ) 7 + sin ( 4 + 5) 7 ln 7 (k) B f() = + 9 e 4+3 f () = ( + 9) e4+3 ( + 9) e 4+3 4 (e 4+3 ) 9 3 (l) B f() = + 7 cos f 9 () = (3 + 7) 8 9 6 cos 9 3 + 7 ( sin ) cos (m) B f() = cos ( 6 3) f () = sin ( 6 3) (6 ln 6 3 + 6 3 ) (n) B f() = ln 7 f () = ( ln + )(7 ) ln ( ) (7 ) = ( ln +)(7 )+ ln (7 ) (o) B f() = 3 e f () = 3 3 e 3 ( ) = 3 + e (p) B f() = ln ( ) + f () = + (+) = (+) (r) B f() = cos(4 ) ln(5) + 6 + f () = sin(4 ) ( ) ln(5) + 6 + ( ) + cos(4 ) 5 5 + 6+ 6 (s) B f() = 3 4 + ( f () = 3 4 + ( 3 ) 3 ) (t) B f() = tg 5 f() = tg ( 5 3 ) 5 f () = cos ( 3 5 ) 5 (4 +) 8 (4 +) (v) B f() = e sin f () = e ( sin sin + ) cos
Bodó Beáta 5 8. Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit! (a) V f() = sin(6 4 4 3 + 5) lg 5 f () = cos(6 4 4 3 + 5) (4 3 ) lg 5 + sin(6 4 4 3 + 5) 5 ln 0 54 3 4 5 (b) V f() = e 3 f 3 () = (4 5) 3 ( 5) e 3 3 4 5 e 3 3 e 6 (c) V f() = cos ( 8 3 9 ) f () = sin ( 8 3 9 ) 8 (3 9) 7 8 ( 9) (d) V f() = sin ( 4 + 5) 7 3+ f () = cos ( 4 + 5) (4 3 + 0 4 ) 7 3+ + sin ( 4 + 5) 7 3+ ln 7 3 (e) V f() = cos(3) e 5 +6 f () = sin(3) 3 e5 +6 cos(3) e 5 +6 (0 + 6) (e 5 +6 ) (f) V f() = ( 8) 5 tg(3 ) f () = 5 ( 8) 4 ( 8) tg(3 ) + ( 8) 5 ( ) log3 (g) V f() = sin ( ) ( f log3 ln 3 () = cos ) log 3 4 (h) V f() = cos ( 4 3 + 0 ) f () = sin ( 4 3 + 0 ) 4 ( 3 + 0) 3 4 ( 3) (i) V f() = 3 ln (4 5) f () = 3 (ln (4 5)) 3 4 5 4 cos (3 ) 6 9. Adja meg az alábbi függvények 0 helyen vett érintőinek az egyenletét! (a) B f() = e 6 5, 0 = 6, D(f) = R y = 5 + 7 5 (b) B f() = ln(3 ), 0 = 3, D(f) = 3 ; y = 3 (c) B f() = 3, 0 =, D(f) = R \ {0} (d) B f() = 7 + 4, 0 = 3, D(f) = ; 7 y = 3 4 + 9 4 y = 4 + 7 4
Bodó Beáta 6 (f) B f() = 4 + 5, 0 = 3, D(f) = R \ {0} y = 4 9 + 7 3 (g) B f() = ( + 3) 3 5, 0 =, D(f) = R y = 9 3 (i) B f() = ln( 3), 0 =, D(f) = ; 3 3; y = 4 8 0. Írja fel a következő hozzárendeléssel adott függvények 0 pontjához tartozó érintőinek az egyenletét! (a) V f() = sin 3, 0 = 0, D(f) = ; y = 5 + 3 (b) V f() = e + 4, 0 = 0, D(f) = R y = e + 4 3 + 3 (c) V f() =, 0 =, D(f) = ; \{0} y = + 5 (d) V f() = ( ) sin(3) + 5, 0 = 0, D(f) = R y = 3 + 5. V Hol metszi az f() = 8 + 9 függvény 0 = 5 -beli érintője az tengelyt? az érintő egyenlete: y = 6, az tengelyt a (3, 0) koordinátájú pontban metszi. V Hol metszi az f() = + 3 függvény 0 = -beli érintője az és az y tengelyeket? az érintő egyenlete: y = +, az tengelyt a ( 4, 0), az y tengelyt a (0, ) koordinátájú pontban metszi 3. V Írja fel az f() = függvénynek azt az érintőjét, amelyik átmegy a Q(, 3) ponton! Ha 0 = 3, akkor az érintő egyenlete:y = 6 9 Ha 0 =, akkor az érintő egyenlete:y = 4. V Határozza meg az f() = ln( + 6) függvény 5y = 0 egyenessel párhuzamos érintőjének az egyenletét! Ha 0 =, akkor az érintő egyenlete:y = 5 ( ) + ln 0 Ha 0 = 3, akkor az érintő egyenlete:y = 5 ( 3) + ln 5 5. V Írja fel az f() = függvény y = 3 egyenessel párhuzamos érintőjének az egyenletét! Ha 0 =, akkor az érintő egyenlete:y = 3 Ha 0 = 3, akkor az érintő egyenlete:y = 3 4 6. V Írja fel az f() = 3 + 5 ln függvény 4 y = 3 egyenessel párhuzamos érintőjének az egyenletét! y = 4( 5) + 5 + 5 ln 5 7. V Írja fel az f() = 3 3 + függvény m = 9 meredekségű érintőjének az egyenletét! Ha 0 = 3, akkor az érintő egyenlete:y = 9( 3) + = 9 6 Ha 0 =, akkor az érintő egyenlete:y = 9( + ) 3 = 9 + 6 8. V Írja fel az f() = + 4 + 7 függvény m = 7 meredekségű érintőjének az egyenletét! ( 6) y = 7( + 0) 6 = 7 6
Bodó Beáta 7 9. B Legyen h() = ( ). Milyen -re lesz h () = 0? D f = R, = 0, =, = 0. B Legyen h() = ( 3 + 3 ) 3. Milyen -re lesz h () = 0? Df = R, = 3, =, = 0. V Legyen h() = +. Milyen -re lesz h () = 0? D f = R, =, =. V Legyen h() = ln ( ). Milyen -re lesz h () = 0? Df =,,, =, = 3. Határozza meg az alábbi függvények második deriváltfüggvényét! (a) B f() = 3 + 6 3 f () = 6 + 6, f () = + (b) V f() = cos() f () = cos() sin(), f () = ( 4 ) cos() 8 sin() (c) V f() = e f () = e ( ) (d) V f() = ( + ) 4 3 f () = 6 (77 3) 5 4 4. Adott a függvény első deriváltjának képlete. Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az függvénynek? (a) B f () = ( ) 5 ( + 3), D(f) = R f () zérushelyei: 3; 0; D(f) ; 3 = 3 3; 0 = 0 0; = ; f () 0 0 + 0 f() csökken X csökken lok.min. nő lok.ma. csökken (b) B f ( + 8)5 () =, D(f) = R \ {3} (3 ) 8 f () zérushelyei: 4 D(f) ; 4 = 4 4; 3 = 3 3; f () 0 + nincs ért. + f() csökken lok.min. nő nincs ért. nő (c) B f () = ( 5) (3 6) 3, D(f) =; f () zérushelyei:; 5
Bodó Beáta 8 D(f) ; = ; 5 = 5 5; f () 0 + 0 + f() csökken lok.min. nő X nő (d) B f () = ( 3)3 ( + ) 4 e +3, D(f) = R \ {0} f () zérushelyei: ; 3 D(f) ; = ; 0 = 0 0; 3 = 3 3; f () 0 nincs ért. 0 + f() csökken X csökken nincs ért. csökken lok.min. nő (e) B f () = ( ) ln, D(f) =0; f () zérushelyei:; D(f) 0; = ; = ; f () 0 + 0 + f() csökken lok.min. nő X nő 5. V Hol van értelmezve, hol nő, hol csökken, hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f() = 4 8 3 függvénynek? D(f) = R f () = 8 3 4 = 8 ( 3) f () zérushelyei: 0; 3 D(f) ; 0 0 0; 3 3 3; f () 0 0 + f() csökken X csökken lok.min. nő f (3) = 54 6. V Hol van értelmezve, hol nő, hol csökken, hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f() = + függvénynek? D(f) = R \ {0} f () = 3 = 3 f () zérushelyei:
Bodó Beáta 9 D(f) ; ; 0 0 0; f () 0 + nincs ért. f() csökken lok. min nő nincs ért. csökken f ( ) = 4 7. V Hol van értelmezve, hol nő, hol csökken, hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f() = 4e függvénynek? D(f) = R f () = 4e + 4e ( ) = e (4 8 ) f () zérushelyei: ;. f D(f) ; ; ; f () 0 + 0 f() csökken lok.min. nő lok.ma. csökken ( ) ( ) = 4 e =, 7 f ( ) = 4 e =, 7 8. V Hol van értelmezve, hol nő, hol csökken, hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f() = ( ) függvénynek? D(f) = R\{} f () = ( ) ( )( ) = ( ) ( ) = 4 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 3 f () zérushelyei: f() = D(f) ; ; ; f () + nincs ért. 0 + f() nő nincs ért. csöken lok.min. nő 9. V Hol van értelmezve, hol nő, hol csökken, hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f() = 6 + függvénynek? D(f) = R f () = 6( +) 6 = 6 6 ( +) ( +) f () zérushelyei: ;
Bodó Beáta 0 f( ) = 3; f() = 3 D(f) ; ; ; f () 0 + 0 f() csökken lok.min. nő lok.ma. csökken 30. V Adja meg az f() = ln( + ) függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az függvénynek? D(f) = R f () = ( +) ( + ) = 4 ( +) f () zérushelyei:0 f(0) = 0 D(f) ; 0 0 0; f () 0 + f() csökken lok.min. nő 3. V Adja meg az f() = e függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az függvénynek? D(f) = R \ {0} f () = e + e ( ) = e e = e ( ) f () zérushelyei: f ( ) = 4 e D(f) ; 0 0 0; = ; f () nincs ért. 0 + f() csökken nincs ért. csökken lok.min. nő 3. V Adja meg az f() = ln függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az függvénynek? D(f) =0; f () = ln + = ln + f () zérushelyei: e D(f) 0; e e e ; f () 0 + f() csökken lok.min. nő
Bodó Beáta f ( ) e = e 33. V Adja meg az f() = ln( ) függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az függvénynek? D(f) = R \ {0} f () = ln( ) + = ( ln( ) + ) f () zérushelyei: ; e e D(f) ; e e e ; 0 0 0, e e e ; f () 0 + nincs ért. 0 + f() csökken lok.min. nő nincs ért. csökken lok.min. nő ) ( ) f ( e = e f e = e 34. V Adja meg az f() = ln( + + ) függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az függvénynek? D(f) = 3; 4 f () = ( + ) = + ++ f () zérushelyei: f ( ( ) = ln 49 ) 4 ++ D(f) 3; = ; 4 f () + 0 f() nő lok.ma csökken 35. V Mekkorának kell választani egy 0cm kerületű téglalap oldalait, hogy területe maimális legyen? Mekkora ez a maimális terület? a téglalap oldalai:5cm;5cm. A terület maimumának értéke tehát 5cm. 36. V Két pozitív szám összege. A szorzatuk maimumát keressük. 4 t 37. V Egy termék iránti keresletet a t egységár függvényében K(t) = t függvény írja le. + 4 Vizsgáljuk meg, hogy milyen egységár mellett lesz a termék iránti kereslet a legnagyobb? A feladat szövegéből következik, hogy a termék utáni keresletet megadó függvény értelmezési tartománya csak a pozitív valós számok halmaza lehet.t= 38. V Két pozitív szám szorzata 00. Melyik ez a két szám, ha összegük minimális? Mekkora a minimális összeg? poitív számok:0;0. Minimális összeg 0.
Bodó Beáta 39. V Adott egy 3 és 4 egység befogójú derékszögű háromszög. Tekintsük azokat a háromszögbe írható téglalapokat, amelyeknek egyik csúcsa a háromszög derékszöge, az ezzel szemközti csúcs pedig az átfogóra esik. A legnagyobb területű ilyen téglalapnak mekkorák az oldalai? a téglalap oldalai:, 3. A maimális terület 3 területegység. 40. V Egy tó egyenes partján szeretnénk elkeríteni egy téglalap alakú telket. Ehhez 00 m drótfonat áll rendelkezésünkre. A legnagyobb területű téglalapot szeretnénk elkeríteni úgy, hogy a tó felőli oldalon nem lesz kerítés. Mekkorának kell választani az oldalait, hogy területe maimális legyen? A partra merőleges oldal 50 m, a parttal párhuzamos oldal 00 m. 4. V Valamely joghurt iránti keresletet az f() = e 0,0+0 függvény fejezi ki, melyben a joghurt egységára Ft-ban, f() pedig a hozzá tartozó heti kereslet. Milyen egységár mellett lenne a heti árbevétel maimális? Mekkora heti kereslet tartozik ezen egységárhoz, s mekkora a maimális heti árbevétel? maimális árbevétel akkor érhető el, ha a joghurt egységára 50 Ft;f(50) = 803;ilyen áron tehát 803 darab joghurt adható el hetenként 4. V Egy adott termék termelési költségét a termelt mennyiség függvényében az f() = + 500000 függvény adja meg, ahol a termelt mennyiség, f() pedig ezen termékmennyiség előállításának a költsége. Határozzuk meg, hogy mekkora termelés esetén lesz az egy termékre jutó átlagköltség minimális? Az átlagköltség a termelési költség és a termelt mennyiség hányadosa: f() = + 500000 ; = 500 a lokális minimumhely, azaz a minimális termelési átlagköltség 500 darabos szériával érhető el