Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +.... (Ötlet: A gyakorlaton szerepelt feladat mintájára deniáljuk az operátort és fejtsük sorba.) A(s) = e Bs A e Bs (3 pont). Egy gumilabda rugalmasan pattog a föld homogén gravitációs terében. Legyen a maximális magasság, ameddig felpattan, a. Kvantáljuk meg a BohrSommerfeld kvantálási feltétellel. Milyen lehetséges a magasságokat kapunk, illetve mekkora a legkisebb nem nulla a magasság, amivel tud pattogni? 3. Bizonyítsuk be az alábbi Ehrenfest-tételt a Schrödinger egyenlet felhasználásával: d V (x) dt ˆp = x 4. Legyen a végtelen falú potenciálgödörben, aminek a potenciálja 0 0 < x < a V (x) := egyébként, egy részecske a állapotban, ahol ψ 1 és ψ az el adáson szerepelt függvények. Ψ(x, 0) = A [ψ 1 (x) + ψ (x)] ψ n (x) = a sin ( nπ a x ) a) Határozzuk meg az A normálási faktort (Megj.: Nehogy valaki nekiálljon integrálni.) (3 pont) ( pont) b) Írjuk fel Ψ id fejl dését, vagyis Ψ(x, t)-t, és számoljuk ki Ψ(x, t) -t (Ehhez használhatjuk az Eulerformulát: e iθ = cos θ + i sin θ.) Vezessük be az ω = π h/ma jelölést. c) Számoljuk ki ˆx -t. Vegyük észre, hogy oszcillál. Mi az oszcilláció frekvenciája és amplitúdója? (a/-nél nem jöhet ki több). d) Számoljuk ki ˆp -t. (Az el adáson tanultak alapján van egy gyors módszer rá.) e) Számoljuk ki az energiájának várható értékét: Ĥ -t. Fejezzük ki E 1-gyel és E -vel. f ) Egy klasszikus részecske csak oda-vissza pattogna a falak között. Ha ennek a klasszikus részecskének ugyanannyi lenne az energiája mint az e)-részben a kvantumosnak, mi lenne a klasszikus mozgás frekvenciája? Hasonlítsuk össze a kvantumoséval, ami c)-ben szerepel. (6 pont)
5. Fizikai operátorok szórását egy adott állapotban így deniáljuk: σ A := A A. Tekintsük az alábbi hullámcsomagot: a és k 0 konstansokkal és A normálási faktorral. Ψ(x, t = 0) = A e x /4a e ik0x, a) Határozzuk meg a normálási faktort és mutassuk meg, hogy ez a hullámcsomag minimalizálja a Heisenbergféle határozatlansági relációt: σˆx σˆp h. (Ötlet: Használhatjuk az el adáson szerepelt módszereket, mint pl. a Fourier-transzformációt.) b) Írjuk fel az id fejl dését a hullámcsomagnak, ha tudjuk, hogy az energiája ahol k a hullámszám, vagyis a Fourier-tér változója. E = hω = h k m, (6 pont) Össz. pont: 0 Jó munkát!
QM 015 beadandó feladatok. beadási határid : 6. heti gyakorlatok eleje 1. feladat. Egy m tömeg részecske a Ψ(x, t) = Ae a[(mx / h)+it] állapotban van, ahol A és a pozitív, valós konstansok. Határozza meg az A- t, amivel a hullámfüggvény normája 1! Milyen V (x) potenciálra teljesíti Ψ az 1D Schrödinger-egyenletet? Számítsa ki az x, x, p és a p várható értékeket! Számítsa ki a σ p és σ x mennyiségeket, és ellen rizze, hogy teljesül-e a Heisenberg-féle határozatlansági reláció!. feladat. Tegyük fel, hogy a potenciális energiához hozzáadunk egy V 0, x-t l és t-t l nem függ konstanst. Klasszikus mechanikában ez nem változtat semmit a zikán, de mi a helyzet kvantummechanikában? Mutassa meg, hogy a hullámfüggvény felszed egy exp ( iv 0 t/ h) fázisfaktort! Milyen hatással van ez a dinamikai változók várható értékeire? 3. feladat. Határozza meg a, ha x < 0 V (x) = 0, ha 0 x a V 0 > 0, ha x > a alakú potenciálgödörben kötött m tömeg részecske energiáit és hullámfüggvényeit! 4. feladat. Határozza meg, hogy egy a { V 0 > 0, ha n(a + b) < x < n(a + b) + a, V (x) = 0, egyébként, alakú (n tetsz leges egész szám), periodikus potenciálban mozgó részecske energiaspektrumát! (Mivel a potenciál eltolásra invariáns, ezért a valószín - ségs r ség is periodikus.) 6p p 5p 1
5. feladat. Egy, a + -b l érkez m tömeg részecske a { 0, ha x 0 V (x) = V 0, ha x < 0 alakú potenciálon szóródik (E > 0, V 0 > 0). Mekkora valószín séggel halad át a részecske a potenciállépcs n, és mekkora valószín séggel ver dik róla vissza? Határozza meg a T transzmissziót és az R reexiót! 3p
QM 015 beadandó feladatok 3. beadási határid : szi szünet utáni els gyakorlatok 1. feladat. Határozza meg az energianívókat a {, ha x < 0, V (x) = 1 mω x, ha x 0 potenciálvölgyben! p. feladat. Határozza meg az elektrosztatikus potenciált a hidrogén atom 1s állapotában! 3. feladat. Határozza meg a λ ik = [x i, [L, x k ]] mátrix sajátértékeit! 4. feladat. Határozza meg a rögzített tengely körül forgó, Θ tehetetlenségi nyomatékú merev test (síkrotátor, H = L z ) stacionárius állapotainak hullámfüggvényeit és energianívóit! Mit tudunk mondani a nívók degeneráltságáról? Θ Egy síkrotátor hullámfüggvénye a t = 0 id pillanatban ψ(φ, t = 0) = A cos φ, ahol A normálási tényez. Határozza meg A értékét és a hullámfüggvényt tetsz leges 0 < t-re! 6p 5. feladat. A részecskét leíró hullámfüggvény (x y ) f(x + y + z ). Milyen valószín séggel vesz fel L z meghatározott értékeket?
1. Koherens állapot (Harmonikus oszcillátor) Kvantummechanika gyakorlat 015 4. Beadandó feladatsor Határid : 13. hét szerdáig Jelölje α az a léptet operátor sajátállapotát: a α = α α, ahol α tetsz leges komplex szám. a) Mutassuk meg, hogy az α sajátállapot a következ képpen állítható el : b) Létezhet-e a + -nak jobboldali sajátállapota? α = e αa+ 0 c) Hogyan módosítanánk az e αa+ operátort egy U unitér operátorra, hogy szintén generálja az α koherens állapotokat a 0 alapállapotból, vagyis α = U 0. (Ötlet: Használhatjuk az els háziban belátott e A+B =... formulát.). Moshinsky-atom Tekintsük a következ két elektron állapotát leíró Hamilton operátort: H = p 1 m + p m + 1 m Ω (x 1 + x ) + 1 m ω (x 1 x ) (5 pont) a) Vezessük be az X = x 1 + x és x = x 1 x koordinátákat, és mutassuk meg, hogy az új változókkal szétesik a Hamilton operátor két független harmonikus oszcillátor Hamilton operátorának összegére. b) Figyelembe véve a részecskék feles spinjét (fermionok!), írjuk fel a rendszer hullámfüggvényeit! 3. Impulzus összeadás (5 pont) Egy s 1 = 3 és egy s = 1 spin részecskét dobozba zárunk. A második részecskének milyen z irányú spin értékeket, és ezeket milyen valószín séggel mérhetek, ha a két részecske az s = 3, m = 1 teljes spin kvantumszámokkal jellemzett együttes állapotban van. 4. Perturbációszámítás alkalmazása (4 pont) Egy paramágneses ion állapotai kristályrácsban a paramágneses rezonancia elmélete szerint az alábbi Hamilton operátor sajátállapotai: H S = a H S z + b H I z + 1 D (3 cos θ 1) (Sz 1 3 S ) + 1 [ ( D sin θ S + S z + 1 ) ( + S S z 1 )] + + 1 4 D sin θ (S + + S ) + A S z I z + A (S + I + S I + ) ahol S és I spinoperátorai az elektronnak és az atommagnak, a, b, D, A konstansok, a b, és θ pedig a kristály szimmetriatengelye és a H mágneses tér között bezárt szög. Legyen a H (0) = ahs z + bhi z perturbálatlan Hamilton operátor sajátállapota S, M S I, M I -vel jelölve, ahol M S = S,..., S és M I = I,..., I. Számoljuk ki a teljes H S Hamilton operátor els és másodrend energiakorrekcióit, amikor A és D már nem nulla. Jó munkát! (6 pont) Össz. pont: 0