Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Vektorok, tenzorok Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011

TARTALOMJEGYZÉK 1. Ismétlés 7 1.1. Indexek, összegzések, szorzatok kezelése................... 7 1.. Mátrixok.................................... 9 1..1. A determináns............................. 9 1.3. Tenzorok.................................... 10 1.4. Vektorok..................................... 10 1.4.1. A (nabla) operátor......................... 17 1.5. A koordináta rendszer folytonos szimmetriatranszformációi........ 0 1.5.1. A koordinátarendszer eltolása..................... 0 1.5.. A koordinátarendszer elforgatása................... 1 1.6. Forgatások.verzió............................... 31 1.6.1. Az innitezimális elforgatások..................... 33 1.6.. A forgatások ábrázolása........................ 37 1.7. Tenzorok.................................... 41 1.7.1. A háromdimenziós másodrend tenzorok............... 41 1.7.. Magasabbrend háromdimenziós tenzorok.............. 44 1.8. A tértükrözés.................................. 45 1.8.1. A tértükrözés, mint nemfolytonos tértranszformáció........ 45 1.9. Kiegészítések és alkalmazások......................... 47 1.9.1. Cayley-Klein paraméterek....................... 47 1.9.. Ferdeszög koordinátarendszerek................... 49 1.10. Példák, gyakorlatok és feladatok....................... 51 1.10.1. M veletek vektorokkal......................... 51 1.10.. A gömbi háromszögek......................... 54 1.11. Skalár és vektormez k............................. 56 1.11.1. Vetormez meghatározása divergenciájából és rotációjából..... 60 1.11.. Görbe vonalú ortogonális koordonáta-rendszerek.......... 61 1.11.3. Lokális derékszög koordinátarendszer................ 65 1.1. Divergencia, divergencia tétel......................... 70

6 TARTALOMJEGYZÉK

1. FEJEZET Ismétlés 1.1. Indexek, összegzések, szorzatok kezelése a R 1 db. szám Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 1, a,..., a n {a i } i=1,n a i R a 11 a 1... a 1m a 1 a... a m........ a n1 a n... a nm {a ij } i=1,n,j=1,m R a ij két index mennyiség (i sor index, j oszlop index) n db. szám n m db. szám a i b j a 1 b 1 a 1 b... a 1 b m a b 1 a b... a b m........ a n b 1 a n b... a n b m a ii, a i b i egy szabad index mennyiségek. c ijk R, i = 1, n, j = 1, m, k = 1, p három index mennyiség, n m p db. szám Három dimenzióban téglatestszer elrendezésben képzelhet el (függ leges réteg, sor, oszlop). Kisebb indexszámú mennyiségekb l nagyobb, pl. a i b jk, a ij b k, a i b j c k. Nagyobb indexszámú mennyiségekb l kisebb, pl. c iij, c jij, c ijj, (kett ) c iii, (egy). a = b egy db. egyenlet a i = b i, i = 1, n azaz a 1 = b 1, a = b,..., a n = b n n db. egyenlet. Érvénytelen egyenl ségek: a i = b k, a = b i a ij = b ij = c i d j, i = 1, n, j = 1, m n m db. egyenlet. Érvénytelen egyenl ségek: a ij = b i, a ij = b ik, a ij = b Szabály: 7

8 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Egy egyenlet mindkét oldalán elhelyezked mennyiségek azonos szabad indexekkel rendelkeznek. A a 1 + a + + a n n i=1 a i i a i, egyetlen érték i futó(összegzési) index B b 1 + b + + b n i b i = k b k = α b α, A + B = i a i + i b i = (a 1 + a + + a n ) + (b 1 + b + + b n ) = = (a 1 + b 1 ) + (a + b ) + + (a n + b n ) = i (a i + b i ) αa = α i a i = α(a 1 + a + + a n ) = αa 1 + + αa n = i αa i Kétindex mennyiség pl. mátrix a 11 a 1... a 1m a 1 a... a m....... a n1 a n... a nm n m különböz érték. a 11 + a 1 + + a 1n = i a 1 + a 1 + + a n = i. a n1 + a n + + a nn = i a ij, a 1i = b 1, a i = b,. a ni = b n, b j = a j1 + a j + + a jn = i a ji, j szabad index, i futó index, n darab érték b 1 + b + + b n = i b i = i a 11 + a 1 + + a 1n + a 1 + a 1 + + a n +. a n1 + a n + + a nn i,k ( ) a ik = k. a ik.

1.. MÁTRIXOK 9 Egy index mennyiség felösszegzése szám Két index mennyiség felösszegzése egy szabadindex mennyiség Két index mennyiség kétszeres felösszegzése (mindkét index szerint) szám a ij i,j i a ii. ( n ) ( n ) A B = a i b i = (a 1 + a + + a n ) (b 1 + b + + b n ) = i=1 i=1 a 1 b 1 + a 1 b + + a 1 b n + a b 1 + a b + + a b n +. a n b 1 + a n b + + a n b n = i,j a i b j a 1 b 1 + a b + + a n b n = i a i b i 1.. Mátrixok A {a ij } i=1,n,j=1,m dim(a) = n m 1 1..1. A determináns det(a) {P i1 i...in } ( 1) Pi1i...in a1i1 a i... a nin, n = 1, det(a) = a 11 1 MEGJ.: Matrixjelolesrol atterve az indexes jelolesre az egyik szabaly, hogy ket matrix szorzasanal, amennyiben a belso meretek megegyeznek, akkor osszegzes tortenik a megfelelo kozos (a bal oldali matrix masodik es a jobb oldali matrix elso) index szerint (pl. sor matrix szorozva oszlop matrixal). Amennyiben nem, tenzori szorzatot feltetelezunk azaz a belso indexek kulonboznek es nem tortenik osszegzes (pl. oszlop matrix szorozva sor matrixal). Ez forditva is ervenyes: indexes mennyisegek matrixszorzatra valo atirasakor, ha osszegzes tortenik olyan kozos indexre mely egyiknel a masodik es a masiknal az elso index, akkor ez matrix szorzatnak felel meg a ket mennyiseg kozott. Ha kulonboznek, akkor tenzori szorzat. a bemutatasi sorrend: vektor deníciója (iranyitott szakasz nagysaggal), elemi vektormuveletek (osszeadas->paralelogramma szabaly (kommutativ, asszociativ), szammal valo szorzas, egysegvektor de- nicioja, tukrozes, linearis kombinacio, felbontás két/három irány szerint, lineáris függetlenség)), skalaris szorzat es tulajdonsagai (kommutativ, szam kiemelheto, geometriai ertelmezes), ortogonalitás, egységvektor, vetület Descartes-i bázis, komponensek, összeadás, skálázás, tükrözés, skaláris szorzat komponensekkel. Tenzoriális jelöléssel az összest. Kronecker-szimbólum Vektori szorzat deníció, nagyság, irány tul: mikor nulla, antikommutativitás, skálázás, asszociatívitás, Jacobi azonosság, disztributívitás Descartes-i bázisvektorok esetén. Matrixokkal vegzett muveletek ismétlés gyakorlatokkal. Magasabbrendu tenzorokkal vegzett muveletekre peldak pl. xx-es tenzort letrehozni es szorozni mindenfelevel.

10 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS n =, det(a) = ( 1) Pij a 1i a j {P ij} P 1 = 0, P 1 = 1 det(a) = a 11 a a 1 a 1 n = 3, det(a) = ( 1) P ijk a 1i a j a 3k {P ijk } P 13 = 0, P 13 = 1, P 13 = 1, P 31 = 1, P 31 =, P 31 = det(a) = a 11 a a 33 + a 1 a 3 a 31 + a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 1 a 1 a 33 a 11 a 3 a 3 n det(a) ε i1i...i n a 1i1 a i... a nin, i 1,i...i n=1 ε 1...n = 1, ε...i...j... = ε...j...i... teljesen antiszimmetrikus n-edrend tenzor. ε...i...i... = 0 Ha két indexe megegyezik, akkor az elem értéke nulla. 1. det(a ) = det(a). det(λa) = λ n det(a) 3. det(ab) = det(a)det(b) 3 1.3. Tenzorok 1.4. Vektorok Vektor irányított szakasz: nagyság, irány, irányítás a nagysága a = a. Nullvektor nagysága nulla. MEGJ.: Biz: det(a ) i 1,i...i n ε i1 i...i n a 1i 1 a i... a ni n = i 1,i...i n ε i1 i...i n a i1 1a i... a inn Az összeg minden tagjában úgy cserélgetjük fel az a-s tényez ket, hogy a 1k1 a k... a nkn alakúvá váljon. A szükséges permutációk száma ugyanaz lesz, mint ami az 1,,... n-b l i 1 i... i n-t alakít ki, tehát nem változik az egyes tagok el jele. 3 MEGJ.: Biz: n i 1,i...i n=1 ε i1 i...i n det(b) = n j 1,j...j n=1 ε i1 i...i n a 1i1 a i... a nin det(b) = } {{ } det(a) ε j1 j...j n b i1 j 1 b i j... b inj n a 1i1 a i... a nin n n ε j1 j...j n a 1i1 a i... a nin b i1 j 1 b i j... b injn j 1,j...j n=1 i 1,i...i n=1 }{{} (A B) 1j1 (A B) j...(a B) njn

1.4. VEKTOROK 11 Két vektor által bezárt szög az ket tartalmazó egyenesek által bezárt szög. Két vektor párhuzamos, ha az egyenesek melyeken fekszenek párhuzamosak és ugyanaz az irányításuk A zikai tér, amiben a körülöttünk zajló jelenségek lejátszódnak, matematikailag egy háromdimenziós Euklideszi-térrel modelezhet. Ez egy vektortér melynek minden pontjához rendelhetünk egy r helyzetvektort. A vektorterek lényege abban áll, hogy bármely két r 1 és r vektorra értelmezett ezek összeadása és valamely α skalár, például valós, számmal való szorzása. Mindkét m velet eredményeképpen egy újabb vektort kapunk. A vektortereknek létezik egy, az összeadásra vonatkoztatott semleges eleme. Ha ezt a vektort hozzáadjuk bármely más vektorhoz az utóbbival megegyez vektort kapunk eredményül. Ezt a zikában a koordinátarendszerünk... pontjának nevezzük. Viszonyitási rendszerként válasszuk az u.n.descartes-féle koordináta rendszert, amely egy O ponton(origón)átmen három egymásra mer leges egyenesböl u.n.koordináta tengelyböl(valós számtengelyböl) áll. Ezt a három tengelyt gyakran x, y és z-vel jelöljük és ezek mentén határozzuk meg mer leges vetitéssel a térbeli pont(esetleg anyagi pont) koordinátáit. A tengelyek mentén ha felvesszük az i, j és k egységvektorokat,akkor az origótol a pontig mutató r u.n. helyzetvektor(1.ábra) felirható: (1.ábra) r = xi + yj + zk A következ kben x x 1, y x és z x 3 illetve i e 1, j e és k e 3, valamint r x jelöléseket használjuk. A fenti összeget egyszer bb alakban is felirhatjuk: x = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 = 3 x i e i i=1 Bevezetjük a következ összegezési megállapodást: ha egy több ingexet tartalmazó kifejezésben két indexnek ugyanaz az értéke, akkor a kifejezéseket összegezzük az indexek teljes halmazán. Latin betükkel jelzet indexek esetén pl. {i, j, k, l, m, n... } stb. az összegezést {1,, 3} index értékekre végezzük. Példák: a ijklj 3 j=1 a ijklj és b ijkijl 3 3 i=1 j=1 b ijkijl. Kettönél több azonos index esetén, a kifejezésre nem alkalmazható az összegezési megállapodás. Két azonos index esetén, csak akkor nem összegezünk, ha erre külön felhivjuk a gyelmet. A helyzetvektor fenti kifejezését, tehát az összegezési megállapodás alapján x = x i e i egyszer formában irható. A háromdimenzios vektorok halmaza R (3) lineáris tér, ami azt jelenti, hogy ha a, b R (3) akkor tetszöleges {α, β} R valos állandók esetén αa + βb R (3). A vektortér dimenzióját a lineárisan független vektorok számával egyenl. Ezt a kérdéskört, mivel az alapzika szempontjábol lényegtelen, tovább nem részletezzük. Az érdeklöd olvasó részleteket,lineáris algebra témakör számtalan könyvben talál. Legyen a és b két azonos tipusú (zikai dimenziojú) vektor és α, β számmennyiségek.ha c = αa + βb akkor c i = αa i + βb i,.

1 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS - A vektorok skaláris szorzata Skaláris szorzat révén, két vektorhoz egy skaláris mennyiséget rendelünk. Két a és b skaláris szorzata komutativ müvelet, melynek során a vektorokhoz rendelt skaláris mennyiséget meghatározza, a közöttük lév szög â, b-vel, a vektorok nagysága(modulusza) a illetve b a következ képpen: Két nullátol különböz vektor esetén nyilván: a b = b a = a b cos (â, b) (1.1) a b = 0, a b A skaláris szorzat disztributiv az összeadással szemben és fennáll, hogy: c = a ± b, a (βb + γc) = βa b + γa c c c = (a ± b) (a ± b) c = a + b ± a b cos(â, b). A fentebb bevezetett egységvektorok esetén: e 1 e 1 = 1 ; e 1 e = 0 ;... Általános esetben bevezetve a δ ij ú.n. Kronecker szimbólumot e i e j = δ ij = 1 ha i = j; 0 ha i j; Az a és b vektorok skaláris szorzatát megadhatjuk komponenseik esgítségével: a = a i e i ; b = b j e j = a b = a i b j δ ij = a i b i mivel b j δ ij = b i. Könny belátni, hogy δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ij δ jk = δ ik és x = x x = x i = x. Az a és b vektorok közötti szöget a cos (â, b) = a i b i a b kifejezés adja. Az elemi munka F er hatására dx elemi elmozdulás esetén dl = F dx = F i dx i A teljes munka egy er tér esetén két P 1 és P pont között a C görbe mentén: L C (P 1 P ) = (C) P P 1 P F(x) dx = (C) F i (x)dx i P 1 Ha a görbe parametrikus egyenlete x i = x i (α) és a P 1 ill.p pontoknak az α 1 ill.az α paraméter értékek felelnek meg, a végzett munka kifejezése: L C (P 1 P ) = P P 1 F i (x(α)) dx i(α) dα dα

1.4. VEKTOROK 13 V (x) V (x) Potenciáltérben F i = x i és az elemi munka dl = F i dx i = x i dx i = dv (x), egy teljes diferenciál. Ilyen esetben a két pont közötti munka L C (P 1 P ) = (C) P P 1 dv (X) = V (P 1 ) V (P ) tehát független a két pontot összeköt útvonal konkrét alakjátol.ez azt jelenti, hogy zárt görbe mentén (P 1 P ) a végzett munka értéke nulla. Az ilyen id töl független potenciál teret konzervativ er térnek nevezzük. Az A(x, t) vektormez esetén a Γ A (C) = (C) A dx görbevonaló integrált az A vektormez C görbe menti cirkulációjának nevezzük. A vektorokra vonatkozó, egy másik szorzási müvelet, a vektoriális szorzás. Az a és b vektorok vektoriális szorzatának az eredmënye egy vektor, amit c - vel jelölünk. a b = c A c vektor nagysága c = a b sin (â, b),tehát két párhuzamos vektor vektoriális szorzata nulla. a b = 0 a b A c vektor iránya mer leges az a és b vektorok közös sikjára. Az irányítását pedig a furó(jobbkéz)-szabály adja meg. E szerint, az szorzatbeli els a vektort a másodikra b-re forgatva (a kisebb szög mentén),az eképpen forgatott furó elörehaladási iránya adja meg a kelletkezett c vektor irányitását. Másképpen, ha jobbkezünk begörbitett ujai jelölik a forgatás irányát, akkor nagyujunk jelöli a szorzásbol kapott vektor irányitását. Innen azonnal következik, hogy a vektoriális szorzat antikomutatív, tehát; a b = b a A vektoriális szorzat akárcsak a skaláris szorzat szintén disztributiv az összeadásra vonatkozóan: a (βb + γc) = βa b + γa c Három veca, b és vecc vektorok esetén képezhetjük ezek dupla vektoriális szorzatát a következ képpen : (a b) c. Könny belátni, hogy a keletkez vektor benne van a a és a b síkjában, tehát ezek lineáris kombinációja ás ezenkivül lineáris mindhárom vektorban. Tehát (a b) c = αa(b c) + βb(a c) Mivel a = b esetén nullát kell kapnunk, következik, hogy α+β = 0. Válaszuk a vektorokat a következ képpen : c = a b és a = b = 1. Mivel az eredmény b, következik, hogy β = α = 1 és a végsö képlet : (a b) c = b(a c) a(b c) Hasonló gondolatmenet alapján kajuk, hogy : a (b c) = b(a c) c(a b,

14 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS tehát a vektoriális szorzat nem asszociativ. Alkalmazva a vektoriális szorzatot a bázisvektorokra: e 1 e 1 = 0 ; e 1 e = e e 1 = e 3 ;... nem nehéz belátni, hogy a többi szorzatot a fenti eredmény indexeinek cirkuláris permutációjábol kaphatjuk meg. Az eredményeket összefoglalhatjuk az alábbi általános kifejezéssel: e i e j = ε ijk e k ahol az ε ijk u.n. Levi-Civita simbolum vagy más nevén harmadrendü teljesen antisimetrikus egységtenzor és azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ε 13 = 1 és a ε ijk két idex felcserélése (transzpoziciója) során el jelt vált. Innen következik: 1 ha (i,j,k)-bol (1,,3)-hoz az indexek páros számu transzpoziciója során jutunk ε ijk = 1 ha (i,j,k)-bol (1,,3)-hoz az indexek páratlan számu transzpoziciója során jutunk 0 ha két index megegyezik konkrétan: ε ijk = ε jki = ε kij = ε jik = ε ikj = ε kji Amint látható, ε ijk étéke(el jele) nem változik az indexek cirkuláris permutációja során.tehát az elöbbi két vektor vektoriális szorzatából kapott vektor konkrét alakja: a b = a i e i b j e j = a i b j e i e j = ε ijk a i b j e k = = c és a megfelel komponensek kifejezése: c = c k e k = c k = a i b j ε ijk A Levi-Civita szimbolumot kifejezhetjük a Kronecker szimbolumok segitségével az alábbi módon: δ i1 δ j1 δ k1 ε ijk = δ i δ j δ k δ i3 δ j3 δ k3 amiböl következik, hogy δ i1 δ i1 δ i1 ε ijk ε lmn = δ j δ j δ j δ k3 δ k3 δ k3 δ 1l δ l δ 3l δ 1m δ m δ 3m δ 1n δ n δ 3n = δ il δ jl δ kl δ im δ jm δ km δ in δ jn δ kn Az indexek egybeejtése során, felhasználva az összegezési megállapodást, sorra kapjuk, hogy: ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl ε ijk ε ljk = δ il ε ijk ε ijk = 6

1.4. VEKTOROK 15 Tetszöleges 3 3-as tipusu mátrix esetén A = A ik = A 11 A 1 A 13 A 1 A A 3 A 31 A 3 A 33 felhasználva a Levi-Civita szimbolum determináns formáját ha det A A ε i1i i 3 A i1j 1 A ij A i3j 3 = A ε j1j j 3 Legyen a, b és c három tetszöleges vektor, melyböl képezzük az alábbi skaláris mennyiséget, az u.n. vegyes szorzat formában a 1 a a 3 (a b) c = ε ijk a i b j c k (a, b, c) = b 1 b b 3 c 1 c c 3 Mivel a determináns két sorának felcserélésekor, értéke elöjelt vált (a, b, a) = (b, c, a) = (c, a, b) = (b, a, c) = (a, c, b) = (c, b, a) a vegyes szorzat mértani jelentése és alkalmazása a sík egyenleténél, ábra Skalaris szorzat: ε ijk δ jk = 0 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 ε i1i i 3 ε j1j j 3 = δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c) a = 3 a i e i a i e i ; i=1 3 a i b i a i b i a j b j i=0 e i = 1; i, j, k,... ɛ (1,, 3) a b = a b cos α; α (a, b) a b = b a = Kommutativ a (b ± c) = a b ± a c = Disztributiv a b = 0 a b e i e j δ ij Tulajdonsagok: δ ij = δ ji ; δ ij δ jk = δ ik ; δ ii = 3; a i δ ij a j ; δ i1 δ i δ i3 0; i, j, k ɛ (1,, 3) a a i e i ; b b j e j ; a b = (a i e i ) (b j e j ) = a i b j e i e j = a i b j δ ij = a i b i Vektorialis szorzat: {a, b} = c; a b = c

16 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS c {a, b}; c = a b sin α a b = 0 a b a a 0; a b = b a = Antikommutativ a (b ± c) = a b ± a c = Disztributiv (a b) c a (b c) = Nem aszociativ e 1 e = e 3 e e 1 = e 3 e e 3 = e 1 e 3 e = e 1 e 3 e 1 = e e 1 e 3 = e = e i e j = ε ijk e k a b = (a i e i ) (b j e j ) = a i b j e i e j = ε ijk e k = c c k e k = c k = ε ijk a i b j ε ijk = ε jki = ε kij = ε jik = ε ikj = ε kji ; ε 13 = 1 δ i11 δ i1 δ i31 ε i1i i 3 = δ i1 δ i δ i3 δ i13 δ i3 δ i33 δ 1j1 δ 1j δ 1j3 ε j1j j 3 = δ j1 δ j δ j3 δ 3j1 δ 3j δ 3j3 δ i11 δ i1 δ i13 δ 1j1 δ 1j δ 1j3 = ε i1i i 3 ε j1j j 3 = δ i1 δ i δ i3 δ j1 δ j δ j3 δ i31 δ i3 δ i33 δ 3j1 δ 3j δ 3j3 = δ i1j 1 δ i1j δ i1j 3 δ ij 1 δ ij δ ij 3 δ i3j 1 δ i3j δ i3j 3 i 3 = j 3 = k; ε i1i kε j1j k = δ i 1j 1 d i1j δ ij 1 d ij = δ i 1j 1 δ ij δ i1j δ ij 1 i = j = j; ε i1jkε j1jk = δ i1j 1 δ jj δ i1jδ jj1 = 3δ i1j 1 δ i1j 1 = δ i1j 1 i 1 = j 1 = i; ε ijk ε ijk = δ ii = 6 a = a i e i ; b = b j e j ; c = c k e k (a b) c = a i b j c k (e i e j ) e k = a i b j c k ε ijl e l e k = a i b j c k ε ijl ε lkm e m = = a i b j c k ε ijl ε kml e m = a i b j c k (δ ik δ jm δ im δ jk )e m = a i b j c k δ ik e j a i b j c k δ jl e i (a b) c = b(a c) a(b c)? a (b c) = b(a c) c(a b) e 1 e e 3 b c = b j c k ε jkl e l = b 1 b b 3 c 1 c c 3 a 1 a a 3 a (b c) = a i b j c k ε ijk = b 1 b b 3 (a, b, c) c 1 c c 3 (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = (b, a, c) = (a, c, b) = (c, b, a)

1.4. VEKTOROK 17 (a b) (c d) =? (a b) e? = e (c d) = (e, c, d) = (c, d, e) = c (d e) = c [d (a b)] = = c [a(b d) b(a d)] = = (a c)(b d) (a d)(b c) (a b) (c d) =? (a b) e? = e (c d) = c(e d) d(e c) = c(a, b, d) d(a, b, c) (c d) f? = (a b) f = b(a f) a(b f) = b(a, c, d) a(b, c, d) 1.4.1. A (nabla) operátor b(a, c, d) a(b, c, d) c(a, b, d) d(a, b, c) Descartes-i koordináta rendszerben dolgozzunk, mely rendszer globális, azaz a bázis ugyanaz minden pontban: e i x j = 0, i, j = 1,, 3 Ugyanakkor x i x j = δ ij. Descartes-i koordináta rendszerben a gradiens meghatározása: gradϕ ϕ = ϕ x 1 e 1 + ϕ x e + ϕ x 3 e 3 = ϕ x i e i i ϕe i e i i ϕ, A nabla meghatározás szerint: = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 x i e i i e i = e i i ; Kett s tulajdonsága van. Egyrészt egy dierenciál operátor (mindig jobbra hat) és ugyanakkor vektor. Belátható, hogy az operátor lineáris azaz: (aϕ + bψ) = a ϕ + b ψ Operátor jellege miatt az utóbbi felírás (e i i ) javasolt, mivel más koordináta rendszerekben a bázis helyfügg ezért fontos, hogy a dierenciál operátortól balra, annak hatótávolságán kívül helyezkedjen el. Megfelel zárójelezéssel is biztosítható az egyértelm ség. diva A = (e i i ) (A j e j ) = ( i A j )e i e j + e i A j i e j = ( i A j )δ ij = i A i,

18 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS rot A A e 1 e e 3 x 1 x x 3 A 1 A A 3 = ε ijke i j A k (fϕ) = i (fϕ)e i = (f i ϕ + ϕ i f)e i = f ϕ + ϕ f Anélkül, hogy tenzoriális (indexes) jelölést használnánk úgy foghatjuk fel a szorzatra ható nabla operátor hatását, mintha két tagot összegét számolnánk. Az egyikben az egyik tényez lenne állandó másodikban a másik. Azaz: (fϕ) = (f c ϕ) + (fϕ c ) = f c ϕ + ϕ c f A c indexel átmenetileg az állandó jellegét jelezzük az egyes tagoknak. A legvégén egyszer en töröljük ket. f(ϕ) = df(ϕ) dϕ ϕ; (a f + b ϕ) = a f + b ϕ; {a, b} = const. r = (x 1 + x + x 3) = (x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 ) r r = x 1 + x + x 3 = r r (A r) = (A j x j ) = e i (A j x j ) = A j e i δ ij + A j x j e i = A + x j A j x i x i A = cons = (A r) = A f(r) = df(r) dr r = f(r) = df(r) r dr r (a (r b)) = (r (b a)) = b a ( a r r n ) = a r)r n(a rn r n+ ((a r) (b r)) = ( (a b)r (a r)(b r) ) = = (a b)r (a r)b (b r)a = a (r b) + b (r a) A = A i x i diva r = x i x i = 3 (aa + bb) = a A + b B; {a, b} = const. (ϕ A) = ( ϕ) A + ϕ( A) (f(r)r) = f (r)r + 3f(r) r r = 3 r r r r 4 = 1 r r r 3 = 3 r 3 3r r r 5 = 0; r 0

1.4. VEKTOROK 19 (A B) = B ( A) A ( B) A ( B) = (A c B) (A )B B ( A) = (A B c ) (B )A (A c B) + (A B c ) = (A B) (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (A B) = (A c B) + (A B c ) = A( B) (A )B + (B )A B( A) ϕ rot grad ϕ 0; ( A) div rot A 0; A ( B) = (A c B) (A )B rot rota ( A) = ( A) ( )A div grad = x + 1 x + x 3 = rot rot A = grad diva A dϕ ϕ = ϕ(r, t); dt = ϕ + (v )ϕ t dw w = w(r, t); dt = w + (v )w t Határozzuk meg az alábbi id ben változó terek teljes deriváltját, a hordozó közeg adott sebességter mozgása mellett: ϕ = e t r n, v = e t r, v = v(r, t); dϕ dt =?; w = e t r n a, v = e r r, a = dv dt = v + (v )v t v = e (r+t) r, a =? dw dt =? ab; a b; a b; a b; a b; a b; a; a; a; ab; [(a r) b r ]; (r r a ln r); (r3 a) ; (u v) = (u v) = ( u v + u v) = u v + u v + u v r n ; ln r; (a r) r n ; (x sin(y z)); v = a ln r; v = (x 3 y z )e 1 + (x y z 3 )e + (z x y z)e 3 grad div v =?; rot rot v =? Igazoljuk, hogy az alábbi vektorterek rotációja azonosan zérus (örvénymentesek): a.) v = 3r r ; b.) v = r r ; c.) v = a r + (a r)r ; Igazoljuk, hogy az alábbi vektorterek divergenciája azonosan zérus (forrásmentesek): a.) w = (r a) ; b.) w = r a r ; c.) w = 3(a r).

0 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS 1.5. A koordináta rendszer folytonos szimmetriatranszformációi A derékszögü háromdimenziós kooordinátarendszert végtelen sok féleképpen választhatjuk. Abban az esetben ha a tengelyek irányai nem változnak csupán ezek közös metszéspontja - az origó - akkora koordinátarendszer eltolásárol beszélünk. Ha viszont az origó marad változatlan és a koordináta tengelyek rányai változnak megörizve a kölcsönösen meröleges voltukat akkor a koordinátarendszer elforgatásárol beszélünk. Mivel az emlitett koordinátarendszer választása önkényes, nem befolyásolja a testek relativ viszonyát, ezért az egyikröl egy másikra való áttérés egy folytonos szimmetriatranszformáció. Ezekre a transzformációkra az jellemz, hogy folytonosan változó paraméterekkel jellemezhet. 1.5.1. A koordinátarendszer eltolása ábra A koordináta tengelyek irányai nem változnak, csupán az uj koordinátarendszer O origóját a megelöz O origóhoz képest a -val eltoljuk. x = x a Mivel a koordinátarendszerek bázissai megegyeznek, a koordináták transzformációja: x i = x i a i i {1,, 3} Az a -val történ eltolásnak megfelel transzformációt T (a) -val, majd az ezt követ, b -vel történ eltolásnak megfelel transzformációt T (b) -vel jelölve: ahonnan következik, hogy x = T (a)x ; x = T (b)x x = T (b)t (a)x = x a b A T (a) transzformáció lineáris reprezentációját megadhatjuk mátrix formában 1 0 0 a 1 x 1 T (a) 0 1 0 a 0 0 1 a 3 x = x x 3 0 0 0 1 1 ahol fennáll, hogy T (a) T (b) = T (b) T (a) = T (a + b) a transzformáció pedig x 1 x x 3 1 = 1 0 0 a 1 0 1 0 a 0 0 1 a 3 0 0 0 1 x 1 x x 3 1

1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI1 Mivel létezik az egység- és az inverz-transzformáció T (0) = I 4 ; T (a)t ( a) = I 4 az eltolások, egy három paraméteres, folytonos, abel-féle(komutativ) u.n. Lie-csoportot alkotnak és irhatjuk az alábbi formában T (a) = I 4 + a i T i ahol T 1 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 T 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a Lie-csoport (innitezimális) generátorai és segitségükkel el álíthatunk egy véges eltolást innitezimális eltolások sorozatábol. T (a) = lim N T ( a N )N = lim N (I 4 + at N )N Az eltolás transzformációja, a generátorok és a paraméterek fuggvényében T (a) = exp (a k T k ) exp (a T) Mivel a generátorok komutativak T i T j T j T i [T i, T j ] = 0 T (a) = 3 exp (a i T i ) i=1 ahol a két azonos index ellenére, nem alkalmaztuk az összegezési megállapodást. Javasoljuk az olvasonak, hogy probálja meg, igazolni az alábbi összefüggéseket: 1. feladat f(x + a) = exp (a d dx )f(x). feladat f(x + a) = exp (a )f(x) 1.5.. A koordinátarendszer elforgatása Amint már emlitettük, a koordonátarendszer megválasztásának, egy más módja az amikor nem változtatjuk meg az origó helyzetét, viszont elforgatjuk a koordináta tengelyeket (lásd az ábrát ). A koordináta tengelyek irányának megváltoztatásával a rajtuk elhelyezett egységvektorok megváltoznak. Más szóval, az eredeti {e 1 e e } 3) bázis helyébe az ój {e 1 e e 3} bázis lép amely szintén ortonormált e i e j = δ ij. ábra

1. FEJEZET. ISMÉTLÉS A pont helyzettvektorát felirhatjuk mindkét koordináta rendszerben, a megfelel bázisokat használva, melyekben a koordináták {x 1 x x 3 } ill. {x 1 x x 3} és közöttük fennállnak az alábbi összefüggések: x = x j e j = x ke k = x e i = x j e j e i = x ke k e i = x i = e i e j x j Bevezeetve az R ij = e i e j kétindexü mennyiségeket, megadhatjuk za ój és régi koordináták közötti összefüggést x i = R ij x j A koordinátarendszert mint merev rendszert forgattuk el egy origón átmen tengely körül egy bizonyos szöggel. A forgástengelyt egy n egységvektorral adhatjuk meg, a forgás szögét jelöljük ϕ-el. A feladatunk az marad, hogy a koordináták transzformációját megadó R ij együtthatókat megadjuk a forgástengely irányának és a forgás szögének függvényében! R ji (n, ϕ) =?! ábra Az ábrán látható OA vector, az n irányu tengely körül elforgatva, az OA vektorrá vállik. A vektorok a forgástengely irányába mutató OB összetev i a forgatás során nem változik ezért OA = OB + BA ; OA = OB + BA ahol OB = (OA n)n ; BA = OA OB = OA (OA n)n A forgástengelyre meröleges BA vektor nagysága forgatáskor nem változik BA = BA Válasszunk két egymásra és a forgástengelyre meröleges egységvektort u = BA BA ; v = n BA n BA ; u = v = 1 Mivel n BA = BA ; n BA = n OA a BA vektornak a ϕ szöggel történ elforgatásábol létrejöv BA vektor kifejezése BA = BA (u cos ϕ + v sin ϕ) = BA cos ϕ + n OA sin ϕ ahonnan OA = OB + BA = (OA n)n + (OA (OA n)n) cos ϕ + n OA sin ϕ és csoportositások után OA = OA cos ϕ + (1 cos ϕ)n(n OA) + n OA sin ϕ Az elforgatott vektor legyen éppen a bázisvektor OA e i ; OA e i

1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI3 aminek a forgatásbol ered transzformációja e i = e i cos ϕ + (1 cos ϕ)n(n e i ) + n e i sin ϕ és a koordináta transzformációját megadó együttható R ij = e i e j = e i e j cos ϕ + (1 cos ϕ)(n e j )(n e i ) + (n e i ) e j sin ϕ Felhasználva, hogy Az együtthatók végs formája: e i e j = δ ij ; n e i = n i ; n e j = n j (n e i ) e j = (e i e j ) n = ε ijk n k R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ɛ ijk n k sin ϕ 1.5..1. A forgatások ábrázolása mátrixok segítségével A forgatásoknak megfelel lineáris transzformáció x i = R ij x j két derészögü koordinátarendszer esetén, ahol R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ɛ ijk n k sin ϕ kifejyezhet mátrixok segitségével az alábbi módon: x 1 R 11 R 1 R 13 x = R 1 R R 3 x 3 R 31 R 3 R 33 A helyzetvektornak az oszlopmátrixot feleltethetjük meg x = x i e i x) = x 1 x x 3 = x 1 x x 3 = x 1 1 0 0 + x 0 1 0 + x 3 ahol a koordinátarendszer bázisát képez egységvektoroknak az e 1 e 1 ) = 1 0 0 ; e e ) = 0 1 0 ; e 3 e 3 ) = 0 0 1 0 0 1

4 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS oszlopmátrixok felelnek meg. A helyzetvektor ezeknek lineáris kombináciojaként irható fel. Egy más lehetöség a vektorábrázolásra a sormátrixxal történik x (x = (x 1, x, x 3 ) = x 1 (1, 0, 0) + x (0, 1, 0) + x 3 (0, 0, 1) amely az oszlopmátrix transzponáltja (x = x) T Az egységvektoroknak sormátrixok is megfeleltethetök e 1 (e 1 = (1, 0, 0) ; e (e = (0, 1, 0) ; e 3 (e 3 = (0, 0, 1) A bázis vektorok ortonormáltságát kifejez skaláris szorzatot e i e j = δ ij mátrix formában felirva (e i e j ) = δ ij. A vektor nagyságának a négyzete x = x x = (x x) Általában két x és y vektorok skaláris szorzatát,irhatjuk az alábbi (x y) = (x y) = x i y i = (y x) formában. A vektornak megfelel sormátrixot brá- mig az oszlop mátrixot ket- vektornak nevezzük. Az elforgatást megadó lineáris transzformációnak, amint látható, egy 3 3 négyzetes R mátrix felel meg: R 11 R 1 R 13 R(n, ϕ) = R 1 R R 3 R 31 R 3 R 33 Az elöz ekben bevezetett jelölések segitségével a következ egyszer módon irhatjuk az elforgatásnak megfelel lineáris transzformáciot és annak transzponált formáját x ) = R x) ; (x = (x R T Ha az n egységvektorral megadott forgástengely a koordinátarendszer egyes tengelyei mentén helyezkedik el, a megfelel elforgatások mátrixai, a megfelel elforgatási szögeket α, β ill. γ-val jelölve: n (1, 0, 0) R (1) (α) = 1 0 0 0 cos α sin α 0 sin α cos α n (0, 1, 0) R () (β) = cosβ 0 sin β 0 1 0 sinβ 0 cos β

1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI5 n (0, 0, 1) R (3) (γ) = cos γ sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1 x t, x t, ϕ, ϕ, x i 1.5... A forgásmátrix tulajdonságai Mivel a vektor elforgatása során annak nagysága nem változik x = (x x ) = (x R T R x) = (x x) = x amiböl az következik, hogy R T R = RR T = I 3 R T = R 1 tehát az elforgatás mátrixának inverze megegyezik a mátrix transzponáltjával. Az elöz összefüggéseket felirva a mátrix elemeivel R ij R ik = R ji R ki = δ jk a következ képpen értelmezhet. Ha a forgásmátrix egyes sorainak (ill. oszlopainak) elemeit egy - egy vektor elemeinek tekintjük, akkor ezek a vektorok (sorok ill. oszlopok) egy - egy ortonormált rendszert alkotnak. Ez azzal kapcsolatos, hogy ortonormált bázisrol egy másik ortonormált bázisra transzformálunk. Az ilyen transzformáciokat ortogonális transzformációnak nevezzük. ket-vektor ábrázolásnál a forditott transzformáció x ) = R x) = x) = R T x ) mátrixa R T lesz, de ugyanaz marad a bra-vektor ábrázolásban: (x = (x R T = (x = (x R tehát a ket-(oszlop) bra-(sor)cserének az R R T mátrixcsere felel meg. Felhasználva az elöz leg bevezetett jelöléseket, könnyü bizonyitani, hogy két vektor skaláris szorzata nem változik az elforgatás során, tehát egy invariáns, skaláris mennyiség. y ) = R y) ; x ) = R x) = (y x ) = (y x) = inv.

6 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Két pont P 1 (x (1) ) és P (x () ) távolsága sem változik az elforgatás során. Mivel x (1) ) = R x (1)) ; x () ) = R x ()) = x (1) x () ) = R x (1) x () ) a távolság négyzete l (1) = (x (1) x () x (1) x () ) = (x (1) x () x (1) x () ) = inv. Felhasználva azt, hogy a mátrixok szorzatának a determinánsa megegeyezik a mátrixok determinánsainak szorzatával, valamint, hogy egy mátrix determinánsa egyenl a transzponált mátrix determinánsával, következik, hogy: det(rr T ) = det(i 3 ) = (det(r)) = 1 Tehát det(r) = ±1, azonpan " tiszta forgatás" esetén, mindig det(r) = +1. Végül bizonyitsuk be, hogy az elforgatások egy folytonos Lie csoportot alkotnak. Ha R 1 és R két elforgatás mátrixa, tehát R 1 R T 1 = I 3 det(r 1 ) = 1 ; R R T = I 3 det(r ) = 1 Ezek egymásutáni alkalmazásábol kapott R 3 mátrix esetén R 3 = R R 1 = R 3 R T 3 = I 3 det(r 3 ) = 1 A fenti tulajdonságokkal rendelkez mátrixok halmazát jelöljük SO(3, R) -el. Az elöz ek alapján {R 1, R } SO(3, R) = R 1 R = R 3 SO(3, R) Mivel nyilván I 3 és R 1 R T is eleme az emlitett halmaznak az SO(3, R) a háromdimenziós, valós háromparaméteres ortogonális, speciál(egységdeterminánsó) csoport. Nem nehéz belátni, hogy azonos tengely menti forgatások az SO(3, R) csoportnak egy abel-féle (kommutativ) alcsoportját alkotják. Általában R(n, α)r(n, β) = R(n, α + β) = R(n, β)r(n, α) R(n 1, α)r(n, β) R(n, β)r(n 1, α) az egymást követ különböz tengelyek körüli forgatások nem komutativak, tehát fontos sorrendjüknek pontos meghatározása. 1.5..3. A forgásmátrix forgásszögének és forgástengelyének meghatározása Legyen R = R ij ; RR T = I 3 ; det R = 1 tehát egy forgásmátrix, melynek elemeit felirhatnánk R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ

1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI7 formában, ha ismernénk a forgatás ϕ szögét és a forgástengely n egységvektorát. Célunk a következ kben, ezen ϕ =? ; n =? mennyiségek meghatározása lesz. Két különböz módszert mutatunk be, amellyel meghatározhatjuk a keresett mennyiségeket. Legyen A egy 3 3 mátrix. 1.megoldás: A = A ij A mátrix átlós elemeinek összege, nyoma, angolul trace-e T r(a), németül spur-ja Sp(A), tehát A ii T r(a) Sp(A) Két azonos tipusu B és C mátrixok esetén B = B ij C = C ij T r(ab) = A ij B ji B ji A ij = T r(ba) Még több mátrix esetén, az elöz höz hasonló módon, könnyen igazolhatjuk, hogy T r(abc) = T r(bca) = T r(cab) stb. Alkalmazva az R(n ϕ) forgásmátrixra T r(r) = R ii = δ ii cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n i + ε iik n k sin ϕ = 1 + cos ϕ ahonnan, az elforgatás szögére cos ϕ = T r(r) 1 A forgástengely irányát megadó n egységvektor meghatározásához felhasználjuk azt a tényt, hogy forgatáskor ez a vektor nem változik n n) = R n) = n) = (R I 3 ) n) = 0 tehát n a forgásmátrix sajátvektora. A megfelel sajátérték egységnyi. Az n sajátvektortol még megköveteljük, hogy egységnyi legyen. (n n) = 1 A fenti lineáris homogén (sajátérték-)egyenletrendszernek, akkor és csak akkor van nullátol különböz megoldása, ha det(r I 3 ) = 0 aminek, minden forgásmátrixra teljesülnie kell. A forgástengely egységvektorának komponenseire fenálló feltételek (R ij δ ij )n j = 0 ; n j n j = 1

8 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS A bemutatott módszer hátránya, a kivánt {ϕ n 1 n n 3 } mennyiségek egyértelmü meghatározásának körulményes módja. Ezzel a problémával a következ, bemutatott módszernél, nem találkozunk!.megoldás : Kiindulva a forgásmátrix elemeinek R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ konkrét kifejezéséböl, észrevesszük, hogy a jobboldal els két tagja szimmetrikus, az utolsó pedig antiszimmetikus az i és j indexekben. Fennáll az alábbi összefüggés: konkrétan: R ij = ɛ i j k n k sin ϕ R 3 R 3 = n 1 sin ϕ ; R 31 R 13 = n sin ϕ ; R 1 R 1 = n 3 sin ϕ ahonnan n i n i = 1 - b l következik, hogy sin ϕ = ± 1 (R3 R 3 ) + (R 31 R 13 ) + (R 1 R 1 ) A fenti négy egyenlet, egyértelmüen meghatározza a forgásvektort, mivel ϕ nϕ ( n)( ϕ), és az egyidöben történ egységvektor irányitásának és a forgás irányának a megváltoztatása nem változtatja meg a forgást. 1.5..4. Az Euler szögek ábra Az elforgatott koodináta-rendszert, általános esetben, három paraméterrel jellemezhetjük. Gyakori, az ó.n. Euler szögekkel megadni a három paramétert, amelyeket a következ képpen határozhatunk meg. Elöször az eredeti koordináta rendszert φ szöggel forgatjuk el a 3-as tengely körül alkalmazva az R 3 (φ) forgásmátrixot. Ezt követöen, az igy kapott x 1 x x 3 uj koordináta rendszer x 1 tengelye körül forgatunk θ szöggel alkalmazva az R 1(θ) forgásmátrixot. Majd az igy kapott x 1 x x 3 koordináta- rendszer x 3 tengelye körül forgatunk ψ szöggel az R 3 (ψ) mátrix alkalmazásával. Az eredmény: R(ψ, θ, φ) = R 3 (ψ)r 1 (θ)r 3 (φ) behelyettesítve a megfelel forgás-mátrixokat = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1 R(ψ, θ, φ) = 1 0 0 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ cos φ sin φ 0 sin φ cos φ 0 0 0 1

1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI9 A mátrixok szorzása után kapott végeredmény R(ψ, θ, φ) = cos ψ cos φ sin ψ cos θ sin φ cos ψ sin φ + sin ψ cos θ cos φ sin ψ sin θ sin ψ cos φ cos ψ cos θ sin φ sin ψ sin φ + cos ψ cos θ cos φ cos ψ sin θ sin θ sin φ sin θ cos φ cos θ. alkalmazás : A gömbi ϑ polár és χ azimut szögekkel megadott tengely körüli forgatás A forgástengely egysévektorának komponensei: n (n 1, n, n 3 ) = (sin ϑ cos χ, sin ϑ sin χ, cos ϑ) és e körül forgatunk ϕ szöggel. Határozzuk meg a forgatás R(n, ϕ) mátrixát. A mátrix elemei R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ által képezett mátrix cos ϕ 0 0 R(n, ϕ) = 0 cos ϕ 0 + (1 cos ϕ) 0 0 cos ϕ + 0 n 3 n n 3 0 n 1 n n 1 0 sin ϕ n 1 n 1 n 1 n n 1 n 3 n n 1 n n n n 3 n 3 n 1 n 3 n n 3 n 3 Behelyetesitve a tengely n egységvektorának komponenseit és összevonva a jobboldali els és harmadik mátrixot R(n, ϕ) = = R(ϑ, χ, ϕ) = + sin ϕ cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ sin χ sin ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϕ sin ϑ cos χ sin ϕ sin ϑ sin χ sin ϕ sin ϑ cos χ sin ϕ cos ϕ sin ϑ cos χ sin χ sin ϑ sin sin χ sin ϑ cos ϑ sin χ sin ϑ cos χ sin ϑ cos χ sin χ sin ϑ cos ϑ cos χ sin ϑ cos ϑ cos χ sin ϑ cos ϑ sin χ cos ϑ Beátható, hogy R(nϕ)n = n, amint az elvárható. 3. alkalmazás + +

30 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS???inkább az R R(n, ϕr 1 = R(R n, ϕ) A koordináta rendszer elöször az x 1 tengely körül forgatjuk el α = π 6 szöggel, majd ezt követöen, az??? x tengely körül forgatunk β = π szöggel. Határozzuk meg;; 3 a) A teljes forgatás mátrixát b) Bizonyitsuk be, hogy valoban egy forgásmátrix c) Ha az eredeti koordinátarendszerben egy pont helyzetvektora (x = (1,, 3), határozzuk meg a vektor komponenseit az uj, elforgatott koordinatarendszerben. d) a teljes forgatás szögét e) a forgástengely egységvektorának komponenseit. Megoldás a) Az els forgatás mátrixa R (1) (α) és az ezt követ, második forgatás mátrixa R (1) (α)r () (β)r 1 (1) (α). A teljes forgatás mátrixa R (1) (α)r () (β) lesz. Tehát: R = R (1) (α)r () (β) = = 1 0 0 0 3 0 1 1 3 0 cos α sin α 1 0 0 0 sin α cos α 1 0 3 0 1 0 3 1 0 = cos β 0 sin β 0 1 0 sin β 0 cos β 1 0 3 3 4 3 3 4 1 1 4 3 4 = b) Forgatás esetén, a mátrix inverze, meg kell egyezzen annak transzponáltjával 1 0 3 1 3 3 4 4 1 0 0 RR T = 3 3 1 4 4 0 3 1 = 0 1 0 I 4 0 0 1 3 4 1 3 4 3 Tehát a transzponált mátrix, inverz mátrix és eleme az SO(3R) csoportnak. c) A forgatás során kelletkez uj ket-vektor x ) = R x) 1 0 3 1 [1 3 3]/ x 1 x x 3 = 3 4 3 3 4 1 1 4 3 4 1 4 3 3 4 = [3 + 5 3]/4 [ 1 + 3 3]/4 Ellenörzésképpen igazoljuk, hogy forgatáskor a vektor hossza nem változik, tehát (x x) = (x x ) = 14. Ismét megemlitjük, hogy két vektor forgatásakor változatlan marad azok skaláris szorzata, tehát a kettejük közötti szög is. d) A második módszert alkalmazva sin ϕ = 1 (R3 R 3 ) + (R 31 R 13 ) + (R 1 R 1 )

1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 31 Az értékek behelyetesitése után: sin ϕ = 1 3(13 + 4 3 = 0.9167, ahonnan ϕ = 66.45 o. 8 e) A forgástengely egységvektorai, sorra: n 1 = R 3 R 3 sin ϕ = 0.409 n = R 31 R 13 sin ϕ = 0.881 n 3 = R 1 R 1 sin ϕ = 0.36 1.6. Forgatások.verzió Egy P pont helyzetvektora a háromdimenziós E 3 euklideszi térben, a K(O, e 1, e, e 3 ) koordináta-rendszerben x = x j e j, ahol a {e 1, e, e 3 } ortonormált bázisvektorok esetén e i e j = δ ij és e i e j = ε ijk e k Választva egy másik, az el z höz képest elforgatott K (O, e 1, e, e 3) koordinátarendszert, ugyanannak a P pontnak a helyzetvektora : x = x ie i. A kapcsolat az új {x 1, x, x 3} és a régi {x 1, x, x 3 } koordináták között, az összefüggés alapján : x = x j e j = x ie i x i = e i e j x j R ij x j Ha a K koordináta rendszert ϕ szöggel van elforgatva a K-hoz képest az n verszor által megadott tengely körül, akkor R ij = R ij (n, ϕ) A következ kben megadjuk a e j bázis vektorok elforgatásából kapott új e i bázisvektorokat, amelyekkel meghatározhatjuk az R ij e i e j együtthatókat. Az OB b vektor ϕ szöggel való forgatás után az OB b vektor (lásd az ábrát) lesz. Az a OA = (b n)n és b = a + AB, b = a + AB = (b n)n + AB. Belátható, hogy AB = AB mivel forgatáskor a forgástengelyt l mért távolság nem változik. Bevezetjük az u = AB AB és a v = n u mer leges egységvektorokat. Látható, hogy AB = AB (cos ϕu + sin ϕv) = cos ϕab + n AB sin ϕ Mivel AB = b a = b (b n)n Tehát AB = cos ϕb cos ϕ(b n)n + n b sin ϕ b = a+ab = (b n)n+cos ϕb cos ϕ(b n)n+n b = cos ϕb+(1 cos ϕ)(b n)n+n b sin ϕ.

3 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Legyen b e i, következik, hogy : e i = cos ϕe i + (1 cos ϕ)n i n + n e i sin ϕ R ij (n, ϕ) = e i e j = cos ϕδ ij + (1 cos ϕ)n i n j + e j (e k e i )n k sin ϕ. Tehát a végeredmény : R ij (n, ϕ) = cos ϕδ ij + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ R ij (n, ϕ) e i e j = cos ϕδ ij + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ, Hasonlóan : x 1 x = x = x) ket-vektor x 3 1 0 0 x) = x 1 0 + x 1 + x 3 0 = x i e i ). 0 0 1 x = (x 1, x, x 3 ) (x ú.n.bra-vektor (x = x 1 (1, 0, 0)+x (0, 1, 0)+x 3 (0, 0, 1) = x i (e i. (1.) ahol : x) T (x (x T x), x x = x i (x x). A bázis vektorok ortonormáltsága és teljessége : 1 0 0 (e i e j ) = δ ij, e i )(e i = I 3 0 1 0 egységmátrix (1.3) 0 0 1 Az R ij együtthatókból alkotott R(n, ϕ) = R 11 R 1 R 13 R 1 R R 3 R 31 R 3 R 33 ú.n. forgásmátrix segítségével az elforgatott koordonáta-rendszerben a vektor komponenseit röviden az alábbi módon x ) = R(n, ϕ) x), vagy (x = (x R T (n, ϕ) számoljuk. Mivel a vektor nagysága forgatása során nem változik x = (x i ) = (x x) = (x x ) invariáns, és innen : (x x ) = (x R T R x) = (x x) R T R = I 3 R T = R 1.

1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 33 R T R = I 3 = R T ikr kj = I 3ij = R ki R kj = δ ij Tehát az R mátrix oszlopai ortonormált rendszert alkot.hasonlóan RR T = I 3 = R ik R T kj = R ik R jk = δ ij, ami azt jelkenti, hogy a sorok is ortonormáltak (ortogonális transzfonació). Ugyancsak a fenti tulajdonságból következik, hogy a det(r) = ±1. Legyen két tetsz leges R (1), R () forgatás, azaz R (1)T R (1) = R ()T R () = I 3 akkor belátható, hogy R (3) = R () R (1) szintén egy forgatás mivel R (3)T R (3) = I 3. Egy háromkomponens v = v i e i mennyiség vektor ha komponenseinek transzformációja a koordonáta-rendszer forgatásakor : v i = R ij v j. A skalár mennyiségek értéke nem változik a koordináta-rendszer elforgatásakor. Ha x, y, z,... vektorok komponenseib l képezhetünk számtalan módon egy kétindex T ij i, j ε (1,, 3) mennyiséget például a következ módon : T ij = αx i x j + βy i z j +.... ahol α, β,... invariáns skalármennyiségek. A koordonáta-rendszer elforgatásakor az alábbi módon transzformálódnak : T ij = R ik R jl T kl Az így transzformálodó mennyiségeket másodrend hármastenzornak nevezzük. Mivel R ik R il = δ kl, ezért T ii = T kk invariáns (skalár) Legyen A ij és B ij két másodrend hármastenzor. Ezek lineáris kombinácioja szintén egy másodrend tenzor :αa ij + βb ij = C ij. Másodrend tenzort másképpen is kaphatunk :A ij B jk = D ik. A δ ij is egy másodrend, invariáns tenzor, ugyanis : δ ij = R ik R jl δ kl = R ik R jk = δ ij 1.6.1. Az innitezimális elforgatások Nagyon kis abszolut értékü, forgásszög esetén 1 ϕ δϕ ; δϕ 1; az alábbi, els rendü, megközelitéseket tehetjük cos δϕ 1 ; sin δϕ δϕ

34 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS A forgásmátrix elemei ebben a közelitésben Rij(n, δϕ) δ ij + ε ijk n k δϕ és a koordináta transzformációk x i = R ij x j = x i + ε ijk x j n k δϕ ahonnan következik, hogy δx i x i x i = ε ijk x j n k δϕ vektoriális formában, mivel nδϕ δϕ δx = x nδϕ δx = x δϕ Elosztva az egyenletet δt-vel és bevezetve a δx δt v ; jelöléseket ( a v sebességre és az ω szögsebességre ),következik hogy: δϕ δt ω = v = x ω Itt fontos megjegyezni,hogy a koordinátarendszert forgatom, amennyiben az anyagi pont forogna a koordinátarendszerhez képest akkor: v = ω x 1.6.1.1. Az elforgatások generátorai Bevezetjük a következ mátrixokat I k = iε kij = (I k ) ij ; amelyeket az innitezimális elforgatás-transzformáció generátorainak nevezzük. Felhasználva a Levi-Civita szimbolum értékeit, a generátorok konkrét alakja: I 1 = 0 0 0 0 0 i 0 i 0 I = 0 0 i 0 0 0 i 0 0 I 3 = 0 i 0 i 0 0 0 0 0 A generátorok tulajdonságainak vizsgálatához, szükségünk van a komutátor fogalmának a felhasználására. Legyen adott a következ három A, B, C azonos tipusu, négyzetes mátrix. Az A és B mátrixok komutátora [A, B] AB BA [B, A]

1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 35 anti-komutativ kifejezés. Könnyen beláthatok a fenti mellett, még a következ alaptulajdonság is fenáll, tetszöleges α és β állandók esetén: [αa + βb, C] = α[a, C] + β[b, C] Az olvasora bizuk a következ egynlöségek igazolását és kifejezések kiszámitását: 4a.feladat 4b.feladat [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B 4c.feladat [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C Igazoljuk a Jacobi azonosságot [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 5a.feladat A (4a) és (4b) alapján számitsuk ki: 5b.feladat 5c.feladat kifejezéseket. Kiszámitva a generátorok komutátorait [AB, CD] = [A, B] = 1 [(A) n, B] = [A, B] = 1 [f(a), B] = [I 1, I ] = ii 3 ; [I, I 3 ] = ii 1 ; [I 3, I 1 ] = ii röviden, az alábbi formákban foglalhatjuk össze: [I i, I j ] = iε ijk I k I I = ii A generátorok komutátorait, minden folytonos Lie-csoport esetén, felirhatjuk a generátorok lineáris kombináciojaként. A generátorok közötti, eképpen létrejött összefüggések, alkotják a Lie-algebrát. A jobboldalon lév generátorok lineáris kombinációjának egyutthatói az u.n. struktura állandók, amelyek között a Jacobi azonosság következtében levezethet a következ összefüggés ε ijk ε klm + ε jlk ε kim + ε lik ε kjm = 0 Az innitezimális, háromdimenzios forgatás kifejezése, a generátorok, valamint az innitezimális δϕ = nδϕ = ( n)( δϕ) = δϕ i e i forgási paraméterek segitségével, felirható az alábbi formában: R(n, δϕ) = I 3 + ii k n k δϕ = I 3 + ii nδϕ = I 3 + ii δϕ

36 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Fennállnak az alábbi összefüggések 0 n 3 n n I = i n 3 0 n 1 n n 1 0 (n I) = I 3 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 3 n n 1 n n n n 3 n 3 n 1 n 3 n n 3 n 3 ahol (I n) antiszimmetrikus, az (I n) pedig szimmetrikus mátrixok. Az elöz k fontos következménye: (n I) 3 = n I 1.6.1.. A forgásmátrix el állítása exponenciális alakban A forgatás " végtelen kis" δϕ szögét irhatjuk δϕ = ϕ N ; N formában. A megfelel forgásmátrix: R(n, ϕ N ) = I 3 + ii n ϕ N melynek egymásutáni N-szeri alkalmazása megadja a véges ϕ szöggel történ forgatás mátrixát, mivel mint láttuk, az adott tengely körüli egymásutáni forgatások forgásszögei összeadódnak. R(n, ϕ) = lim 3 + ii n ϕ N N ) (I 3 + ii n ϕ N ) = lim 3 N }{{} + ii n ϕ N )N N Az eredmény R(n, ϕ) = exp (ii nϕ) viszonylag egyszer formában megadja, a generátorok felhasználásával, a forgatás mátrixát. Bizonyitsuk be, hogy ez a kifejezés megegyezik a forgásmátrixra elöz leg már kapott eredménnyel. Elvégezve az exponenciális függvény Taylor sorba történ kifejtését. exp (ii nϕ) = I 3 + 1 1! (ii nϕ) + 1! (ii nϕ) + 1 3! (ii nϕ)3 + 1 4! (ii nϕ)4 + = = I 3 + i 1 1! I nϕ 1! (I n) ϕ i 1 3! (I n)3 ϕ 3 + 1 4! (I n)4 ϕ 4 + i 1 5! (I n)5 ϕ 5 1 6! (I n)6 ϕ 6 i 1 7! (I n)7 ϕ 7 +... Alkalmazva az elöz leg megadott (n I) 3 = n I összefüggést és elvégezve a megfelel csoportosítást: [ ] ϕ exp (ii nϕ) = I 3 + i(i n) 1! ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7! +... +

1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 37 [ ] + (I n) ϕ! + ϕ4 4! ϕ6 6! +... felismerjük, hogy a szögletes zárojelbeli kifejezéesek, a sin ϕ ill. a cos ϕ 1 sorfejtései és az eredmény: R(n, ϕ) = exp (ii nϕ) = I 3 + i(i n) sin ϕ (I n) (1 cos ϕ) A kapott kifejezés, formailag még nem hasonlit a forgásmátrix ismert alakjához, azonban felhasználva az elözöleg már megadott I n és (I n) mátrixok elemeit (I n) ij = iε ijk n k (I n) ij = δ ij n i n j visszakapjuk a forgásmátrix elemeinek R ij = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ jolismert kifejezésével. Javasoljuk, az olvasónak, hogy igazolja a 6a.feladat (I m)(i n) = (m n)i 3 n m valamint a 6b.feladat összefüggéseket és adja meg a 7a.feledat 7b.feladat (I m)(i n)(i p) = exp(iαi 3 )I 1 exp( iαi 3 ) = exp(iαi 3 ) exp(iβi 1 ) exp( iαi 3 ) = kifejezéseket. 1.6.. A forgatások ábrázolása 1.6..1. A kétdimenziós ábrázolás Az SO(3, R) háromdimenzios ortogonális valos speciál forgáscsoport elemei 3 3-as mátrixok. Célunk, minden három folytonos paramétert tartalmazó, 3 3-as ortogonális mátrixnak olyan -es mátrixot megfeleltetni, amely megörzi a csoport tulajdonságait, másszóval a háromdimenziós ábrázolást egy kétdimenziós ábrázolással váltjuk fel. A forgáscsoport lineáris ábrázolásának általános elméletét a függelékben fogjuk részletesen kifejteni. Bevezetjük a következ három -es tipusu, u.n. Pauli mátrixokat σ 1 = ( 0 1 1 0 ) σ = ( 0 i i 0 ) σ 3 = ( 1 0 0 1 )

38 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS melyeknek fontosabb tulajdonságainak megadása elött emlékeztetünk arra, hogy egy négyzetes A = A jk mátrix transzponáltját (A T ) és komplex konjugáltját (A ) a mátrix adjungáltjának (A ) nevezzük: A T A. Amenyiben a mátrix megegyzik annak adjungáltjával, vagyis A = A A jk = A kj, akkor a mátrixot önadjungált-nak, vagy másképpen hermitikus-nak nevezzük. Amenyiben a mátrix adjungáltja megegyezik a mátrix inverzével A = A 1, akkor a mátrixot unitér-nek nevezzük. Megjegyezzük, hogy a forgatás ortogonális transzformáció-ját megadó valos mátrixok is unitér-ek. A Pauli-mátrixok átlos elemeinek összege nulla, determinánsa 1 és hermitikusak, tehát: T r(σ i ) = 0 det(σ i ) = 1 σ T i σ i = σ i i (1,, 3) A közöttük fennálló összefüggések általános kifejezése: amiböl következik, hogy σ i σ j = I δ ij + iε ijk σ k σ i σ j + σ j σ i {σ i, σ j } = δ ij I σ i σ j σ j σ i [σ i, σ j ] = iε ijk σ k Az elöz összefüggés következménye T r(σ i σ j ) = δ ij Javasoljuk, az alábbi kifejezések kiszámitását 8a.feladat T r(σ i σ j σ k ) = 8b.feladat T r(σ i σ j σ k σ l ) = és egyenlöségek igazolását 9a.feladat (a σ)(b σ) = a bi + i(a b) σ (a σ) = a I 9b.feladat [ σi, σ ] j σ k = iε ijk Vegyük észre, hogy a fenti összefüggések megegyeznek a forgáscsoport háromdimenziós ábrázolásának, generátorai közötti Lie-algebrával.Tehát az analogia folytán, a kétdimenziós ábrázolás generátorai I i σ i A -es mátrixokkal megadott(ábrázolt) generátorok, lehetövé teszik a forgás kétdimenziós ábrazolását, exponenciális formában. R(n, ϕ) = exp (in Iϕ) R(n, ϕ) = exp (in σ ϕ )

1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 39 Fejtsük ki a forgáscsoport, kétdimenziós exponenciális ábrázolását. R(n, ϕ) = exp (in σ ϕ ) = I + 1 1! (in σ ϕ ) + 1! (in σ ϕ ) + 1 3! (in σ ϕ )3 + Alkalmazva az alábbi összefüggéseket (n σ) j = I ; (n σ) j+1 = n σ ; j (0, 1,, 3,... ) elvégezhetjük a tagok megfelel csoportositását R(n, ϕ) = I (1 1! (ϕ ) + 1 ) ( 4! (ϕ )4 + i(n σ) 1 1 1! (ϕ ) + 1 ) 3! (ϕ )3 A zárojelekben lév kifejezések a cos ϕ ill. a sin ϕ végeredmény: függvények Taylor sorfejtései, ezért a R(n, ϕ) = I cos ϕ + i(n σ) sin ϕ Behelyetesítve a Pauli-mátrixok konkrét formáit a forgatás kétdimenziós unitér alakja cos ϕ + in 3 sin ϕ (in 1 + n ) sin ϕ R(n, ϕ) = (in 1 n ) sin ϕ cos ϕ in 3 sin ϕ mátrix Alapvet tulajdonságai: R = R 1 ; T rr = cos ϕ ; det R = 1, tehát kétdimenziós, unitér, egységnyi determinánsu (speciális) mátrix. Ezek a mátrixok alkotják az u.n.su() csoportot. Tehát R SU(), ami azt jelenti, hogy az SO(3, R) forgáscsoport homomorf az SU() csoportal. Lényeges megemlítemünk, hogy R(n, π) = = I 1 0 0 1 és nem I. Ez azt jelenti, hogy R(n, ϕ) ± R(n, ϕ) összefüggés van a három- és két- dimenziós ábrázolások között. A forgástengelyeket az egyes koordináta tengelyek irányában választva, a megfelel kétdimenziós forgásmátrixok: n (1, 0, 0) R 1 (α) = cos α i sin α i sin α cos α n (0, 1, 0) R (β) = cos β sin β sin β cos β