umerius módszere. emlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel Legye :[ a, b] R olyoos, a, b, és eressü az egyele egy [ a, b] -beli megoldásá. Bolzao éele: Legye olyoos a véges, zár [a,b] iervallumo. Tegyü el, hogy a és b ülöböző előjelűe, pl. a, b. or -e va legalább egy zérushelye ebbe az iervallumba. Felezzü sziszemaiusa az [ a, b] iervallumo úgy, hogy a é él-iervallumból midig az eijü, melyre a végpooo elve üggvéyérée ülöböző előjelűe. Jelölje az - edi lépésbe yer résziervallum özéppojá. or az így deiiál soroza a ei egyele egyi gyöéhez overgál. overgecia sebessége legalább egy / vóciesű mérai soroza overgeciájáa sebessége.
Egyelemegoldás iervallumelezéssel z iervallumelezés algorimusa szemléleese: ibabecslés: Legye : a b, aor yilvá b a
Baach-ipo-ierációs módszer Legye Baach-ér, : egy leépezés, és eressü az egyele egy megoldásá ez az üggvéy egy ipojáa evezzü. Baach-éle ipoéel: Legye Baach-ér, : oració -e, azaz alalmas számra y y eljesül mide, y melle. or -e egyeleegy ipoja va, és ez előáll az alábbi ierációs soroza limeszeé: esz., :,,,... valós üggvéye speciális esee. a : R R olya, hogy ma ', aor oració, mer a Lagrage-özépérééel mia y ' y ma ' y 3
4 ipoéel bizoyíása: Ké egymás öveő ag elérése:... Ez elhaszálva megmuaju, hogy az soroza Cauchy-soroza -be:............ Ezér a soroza overges,. Megmuaju, hogy a limesz ipoja -e. reurzív deiíció szeri: bal oldal yilvá -hez ar. jobb oldal olyoossága mia -hez. Ie =. Végül igazolju, hogy csa egy ipo va. a, y é ülöböző ipo vola, aor y y y y vola, ami leheele.
Baach-ipo-ierációs módszer, példá:. Oldju meg az cos egyelee. z : cos üggvéy oració, mer ' si. Ezér egyeleegy ipo léezi, és pl. az :, : cos soroza ide overgál. soroza első éháy eleme 4 izedesjegy poossággal:.,.5,.4387,.456,.4496,.45,.45,.45,.45,.... Legyee BM, g R adoa, és oldju meg az B g egyelee. a B, aor az : B g leépezés oració, mer y B g By g B y Ezér eor egyeleegy ipo léezi, és pl. az :, : B g veorsoroza ide overgál. 5
ewo-módszer egyválozós üggvéyere Legye : a, b R ado üggvéy. Keressü az egyele egy a, b -beli megoldásá. ewo-módszer: a a megoldás egy özelíése, aor legye a öveező özelíés az -beli ériő egyees zérushelye. z ériő egyelee: y ', ie:,,,... a, b : ezdei özelíés 6
ewo-módszer egyválozós üggvéyere módszer szemlélees jeleése : poos megoldás: a észer olyoosa diereciálhaó, -e va gyöe a,b-, és erre eljesül, aor a ewo-módszer vadraiusa overgál mide, az poos megoldáshoz elég özeli ezdei özelíés eseé, azaz alalmas C szám melle: C 7
8 Bizoyíás: Lagrage-özépérééel haszálju észer is: s Mivel, azér a deriválüggvéy egy egész zár öryezeébe is zérusól ülöböző marad. I pedig: mi ma mi ma C
ewo-módszer, példa: Legye rögzíe poziív szám, és Eor az :. ' egyele egyele poziív megoldása:. Kiidulva egy eszőleges ezdei özelíésből pl. :, a ewo módszer: : soroza agyo gyorsa -hoz ar. Megjegyzés: hasolóa lehe bármely egész ievős gyövoás özelíésére a ewomódszer haszáli. 9
ewo-módszer válozaai Probléma: a derivál számíása. szelőmódszer: i '. Legyee ehá, ezdő özelíése, és : a észer olyoosa diereciálhaó, -e va gyöe a,b-, és erre eljesül, aor a szelőmódszer mide, az poos megoldáshoz elég özeli, ezdei özelíése eseé legalább egy mérai soroza sebességével overgál, azaz alalmas C, melle: C
ewo-módszer válozaai Seese-módszer: Legye az : R R észer olyoosa diereciálhaó üggvéye poosa egy zérushelye. Tegyü el, hogy. or mide, özelíésből iidulva, az -hoz elég özel levő valós ezdei :,,,... soroza vadraiusa overgál -hoz.
Bizoyíás: Lagrage-özépérééel haszálju: ' ' ezér ' ' s w s s Mivel, azér a deriválüggvéy egy egész zár öryezeébe is zérusól ülöböző marad. I pedig: mi ma mi ma C s
Diereciálás Baach-ere özö érelmeze leépezésere Legyee,Y Baach-ere. z F : Y leépezés az poba diereciálhaó, deriválja pedig az : Y olyoos lieáris leépezés, ha a egy alalmas öryezeéből válaszo h veorora eljesül, hogy F h F h o h o h ahol o h olya iejezés, hogy h. h derivál lieáris leépezés még így is jelöljü: F vagy DF. Példa: F : R R, F :, ahol M öadjugál mári. or: F h h, h,, h h, h F, h O h, ezér F' R. 3
Álaláosío ewo-módszer ewo-módszer az F egyelere:,,,... DF F Máséppe elírva: w,,,... ahol a w javíó ag az alábbi lieáris egyele megoldása: DF w F a F észer olyoosa diereciálhaó, F-e va gyöe -be, és DF reguláris azaz iverálhaó, és az iverze is olyoos, aor a ewo-módszer vadraiusa overgál mide, az poos megoldáshoz elég özeli ezdei özelíés eseé, ehá alalmas C melle: C 4
5 Álaláosío ewo-módszer, példa Máriiverzió. Legye M egy reguláris mári. Teszőleges M reguláris márira jelölje: F : or F M M :, és az F egyele egyele megoldása:. lalmazzu a máriegyelere a ewo-módszer. z F leépezés deriváljá számíva: I I F a mos elég is ormájú eszőleges máriormába, aor. Felhaszálva a B eseé eálló... 4 3 B B B B I B I egyelősége, melyből B B I B I öveezi: o F o o I I F ahoa W W DF DF
Álaláosío ewo-módszer, példa Így a ewo-módszer algorimusa: : DF I. özelíés hibájára: I I. Ugyaaor I agyo gyorsa ar -hoz ha a ezdei özelíés elég jó vol, mer: I I I I I, ahoa I I 6