A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás: A logritmus értelmezése mitt 0 A logritmus zonosságink lklmzásávl kiinduló egyenlet más lkb is írhtó: (log log ) log (log log ) + log, illetve () ( log ) log ( log ) + log A műveletek elvégzése és rendezés után: () log + log log 0 () bl oldl szorzttá lkíthtó: () log ( + log ) 0 Ez kkor és csk kkor 0, h vlmelyik tényezője 0 H log 0, kkor H pedig + log 0, kkor log, innen 8 Mind 0, mind 0, és behelyettesítve látjuk, hogy kielégítik z egyenletet Tehát mindkettő megoldás feldtnk Összesen: 8 pont
feldt Melyek zok z, y rcionális számokból álló számpárok, melyekre teljesül, hogy 65 4 y 65 4y? y és Megoldás: A kiinduló egyenletekből következik, hogy sem, sem y nem lehet 0, továbbá z is, hogy () 4y y 65 és 4y 65 Az () összefüggések mitt () 4y + 4 y ( + y ) 0 () bl oldlát szorzttá lkítjuk: () ( + y) (5y y ) 0 Ez kkor és csk kkor 0, h vlmelyik tényezője 0 H + y 0, kkor y, innen pedig vlmelyik eredeti egyenletbe helyettesítve z 65 5, mjd z (4) 5 egyenlethez jutunk (4) megoldás ezért következik 5, y 5 Ellenőrizve látjuk, hogy z 5 és y 5 rcionális számok, és mindkét kiinduló egyenletet kielégítik, ezért megoldási feldtnk H ()-ból 5y y 0, kkor y nem egyenlő 0-vl osztv
(5) 5 0 y y egyenletre jutunk Az jelöléssel z (5) egyenlet y (6) 5 + 0 (6) megoldási: 5 + és 5 A kpott, számok irrcionálisk, de h, y rcionális, kkor hánydosuk is rcionális lenne Ezért és feldtnk nem megoldási Tehát rcionális számokból álló számpárok hlmzán z egyenletrendszernek csk z 5, y 5 számpár megoldás Összesen: 8 pont feldt Egy körbe beírtunk egy szbályos háromszöget Egyik oldlávl párhuzmosn olyn szelőt húztunk, mely metszi háromszög másik két oldlát és kpott húr 7 5 -ed része vn háromszögön belül Tudjuk még zt is, hogy mind háromszög oldl, mind húr háromszögön belüli és zon kívüli drbjink mérőszám egész szám ) Mekkor legkisebb ilyen háromszög oldl? b) Milyen távol vn ez húr kör középpontjától? Megoldás: Jelöléseink z ábrán láthtók C - G E O K L D F A H B
Jelöljük GF húr hosszúságát h -vl! A feltétel mitt 5 () ED h 7 A GE és DF szkszok CH egyenesre nézve szimmetrikusn helyezkednek el, tehát ()-ből következően: () GE DF h 7 A D ponton átmenő húrok drbjink szorzt állndó, ezért () és () felhsználásávl: 6 () ( ) h h 7 7 Ugynkkor CED háromszög szbályos háromszög, miből 5 (4) h 7 következik Ezt beírv ()-b: 6 (5) h 5 (4)-ből és (5)-ből (6) h 5 A feltétel szerint háromszög -vl jelölt oldl egész szám (6)-ból láthtón legkisebb ilyen egész számot kkor kpjuk, h h 5 legkisebb egész számú többszöröse, zz h 5 Ekkor, és ED 5, vlmint DF6 is egészek, tehát feldtnk megfelelnek Ezután kiszámítjuk z OK d távolságot Tudjuk, hogy O z ABC háromszög súlypontj, ezért Az OLC és HBC háromszögek hsonlók, így Mivel AB, ezért HB OC HC OC HC OL HB
Az utóbbik mitt OL Az ABC háromszög körülírt körének sugrát R -rel jelölve és felírv z egymáshoz hsonló KDC, vlmint OLC háromszögek oldlink rányát: R + OK R KD OL Ebbe behelyettesítve z ismert KD és OL értékeket kpjuk, hogy: R + OK R 5 75 6 Ebből következik, hogy innen pedig Mivel ezért zz OK R 6 OK R 6 R, R, OK, 6, honnn középpont és húr távolság d OK 6 Összesen: 0 pont
4 feldt Az ( n ) soroztbn n+ 4 n n Milyen egész szám esetén lesz sorozt egy bizonyos tgtól kezdve állndó? Megoldás: A sorozt tgjir vontkozó feltétel mitt tudjuk, hogy h sorozt első tgj egész szám, kkor minden további tgj is egész szám H vn olyn n melyre n negtív egész szám, kkor n+ is negtív egész szám, és z is nyilvánvló, hogy n+ n Ezekből következően negtív egész esetén sorozt monoton csökkenő, ezért nem állndó H vlmilyen n -re n 4 -nél ngyobb egész szám, kkor feltétel mitt n+ ismét negtív egész, vgyis 4-nél ngyobb egész számr sorozt ismét monoton csökkenő, zz nem állndó A fentiek mitt z csk 0,,, és 4 számok vlmelyike lehet Ezek számok mind megfelelnek feldt követelményeinek, mert: 0 esetén nyilvánvló, hogy sorozt minden tgj 0; esetén második tgtól kezdve sorozt minden tgj -ml egyenlő; esetén hrmdik tgtól kezdve sorozt minden tgj 0-vl egyenlő (z első két tg illetve 4); esetén sorozt minden tgj -ml egyenlő; 4 esetén második tgtól kezdve sorozt minden tgj 0 Összesen: pont
5 feldt Az ABC derékszögű háromszögben C csúcsból z AB átfogór rjzolt mgsságvonl z AB átfogót D pontbn metszi A CD szksz felezőpontj O, z A pontot z O-vl összekötő egyenesnek BC-vel vló közös pontj M CM Mutss meg, hogy cos α, hol α háromszög A MB csúcsánál levő belső szöget jelenti! Megoldás: Jelöléseink z ábrán láthtók D A K O B M C Az ábrán párhuzmost húztunk C ponton keresztül z AM szksszl, ez z egyenes z AB egyenesét K pontbn metszette A DO és CO szkszok hosszánk egyenlőségéből, és AM, illetve CK párhuzmosságából következik, hogy AD KA, mivel OA középvonl DCK háromszögnek Írjuk föl párhuzmos szelők tételét z ABC háromszög B csúcsánál levő belső szögre: CM KA () MB AB Mivel () AD KA, ezért () helyett írhtó, hogy: CM AD MB AB A () összefüggés jobb oldlát bővítjük AB-vel: CM AD AB () MB AB Az ABC háromszög AC befogójár felírt befogótétel szerint: (4) AC AD AB
A () és (4) összefüggések együttesen zt jelentik, hogy: CM AC AC (5) MB AB AB Viszont z ABC háromszögből ezért (5) szerint és ez z mit bizonyítni krtunk AC AB CM MB cosα, cos α, Összesen: pont