Káosz diszkrét dinamikai rendszerekben Sélley Fanni Témavezet : Buczolich Zoltán Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar BSc szakdolgozat (Alkalmazott matematikus szakirány) 2012. május 28.
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Buczolich Zoltánnak a munkámban nyújtott segítségéért és hasznos észrevételeiért, valamint Simon Péternek a kezdetben nyújtott iránymutatásáért, és kiváló könyvek ajánlásáért, amelyek nélkül ez a dolgozat nem készülhetett volna el. Végül, de legf képpen, köszönettel tartozom a családomnak a kitartó támogatásukért.
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Dinamikai rendszerek 3 2.1. Dinamikai rendszerek.................................. 3 2.1.1. Diszkrét dinamikai rendszerek......................... 3 2.1.2. Hiperbolikus dinamikai rendszerek...................... 4 2.2. Szimbolikus dinamika................................. 5 2.2.1. A szimbolikus dinamika alapjai........................ 5 2.2.2. Szimbolikus dinamika és dinamikai rendszerek: Markov-partíciók..... 7 2.3. Káosz, kaotikus dinamikai rendszerek......................... 9 3. Káosz kétdimenzióban 11 3.1. A triadikus Cantor-halmaz.............................. 11 3.2. A Smale-féle lópatkó leképezés............................ 12 3.2.1. Az invariáns halmaz megszerkesztése..................... 15 3.2.2. Az invariáns halmaz dinamikája....................... 20 3.2.3. Káosz...................................... 23 3.3. A Conley-Moser tétel.................................. 24 3.3.1. Káosz...................................... 33 4. A Conley-Moser tétel alkalmazásai 35 4.1. Alkalmazások...................................... 35 4.1.1. A kapcsolt twist-leképezések.......................... 35 4.1.2. Káosz-szabályozás............................... 39 5. Összefoglalás 41 Irodalomjegyzék 43 iii
TARTALOMJEGYZÉK iv
1. Bevezetés A dinamikai rendszerek matematikai elmélete dierenciálegyenletek és iterált leképezések elemzésének módszereit foglalja magába. A dinamikai rendszerek vizsgálata nagyban támaszkodik az analízis, a geometria és a topológia eredményeire. Mint ahogy a neve is mutatja, a terület fejl dését zikai kutatások inspirálják, számos zikai jelenség modellezésére nagyszer en használhatók a dinamikai rendszerek. Dolgozatom témája diszkrét dinamikai rendszerek kaotikusságának vizsgálata. A bevezetés utáni második fejezetben az olyan továbbiakhoz szükséges fogalmakat tekintjük át, mint a dinamikai rendszer, hiperbolicitás, káosz. Valamint betekintünk a szimbolikus dinamika világába is, hiszen hasznos eszköznek fog bizonyulni pontok pályájának a lekódolására. Bemutatásra kerülnek a shift terek, a shift operátor és a Markov-partíciók. A harmadik fejezetben bemutatjuk Smale lópatkó-leképezését, amelyr l belátjuk, hogy rendelkezik egy invariáns taszító halmazzal, azaz egy olyan halmazzal, melynek pontjai sosem hagyják el az egységnégyzetet, ebben az értelemben invariáns, és taszító, mert "minden más pontot kilöknek" az egységnégyzetb l, azaz rajtuk kivül id vel minden pont pályája kivezet az általunk vizsgált tartományból. Megmutatjuk, hogy található egy homeomorzmus e halmaz és a két ponton vett teljes shift tér között, és ennek segítségével belátjuk, hogy a nevezett invariáns halmaz pontjai kaotikus pályájúak. Ezután bemutatjuk a Conley-Moser tételt, amely egy általános leképezésre ad elégséges feltételt, hogy hasonlóan viselkedjen, mint a Smale-féle lópatkó leképezés, azaz elégséges feltételt kapunk a kaotikusságra. Smale leképezése nyomán az ilyen, invariáns taszító halmazzal rendelkez leképezéseket lópatkóval rendelkez leképezéseknek nevezzük. Lópatkóval redelkez nemlineáris rendszerek a zika számos területén megjelennek, például: egy oszcilláló felületen ugráló részecske mozgásának (lásd: [6]), atom-mez interakcióknak ( lásd: [11]), bistabil optikai rendszereknek (lásd: [15]), folyadékáramlásoknak a modellezése (lásd: [13]). A negyedik fejezetben bemutatjuk Conley és Moser tételének alkalmazását a kapcsolt twist-leképezések családján. Ismert példa twist-leképezésre a Hénon-leképezéscsalád. Belátjuk, hogy teljesülnek a nevezett kritériumok, így a rendszer kaotikus. Ezután röviden beszélünk a káosz szabályozásának lehet ségér l (azaz hogyan lehet az invariáns taszító halmaz hatását 1
1. BEVEZETÉS féken tartani a leképezés iterációnkénti perturbálásával), amely egy érdekes és aktívan kutatott terület, hiszen a zikában és a mérnöki tudományokban is hasznos alkalmazásokra talál [4]. 2
2. Dinamikai rendszerek 2.1. Dinamikai rendszerek Dinamikai rendszer alatt érthetünk bármilyen, id elteltével újabb és újabb állapotba fejl d rendszert. A matematikai értelemben vett dinamikai rendszereknek két fontos invariáns tényez je van: egy fázistér, amely általában egy metrikus tér a céljainknak megfelel en kialakított metrikával, valamint egy leképezés err l a fázistérr l önmagára, amely a rendszer viselkedési szabályát formalizálja. Ez a leképezés nem csak a fázistér egy pontjának a függvénye, hanem az id nek is, így egy kétváltozós leképezésr l beszélhetünk. Az id t tekinthetjük folytonosnak (tehát a leképezés folytonosan végrehajtódik a fázistér pontjain, a rendszer folytonosan fejl dik), vagy diszkrétnek, ekkor szakaszosan ugrik a rendszer egyik állapotból a másikba egy-egy id pillanat eltelte után. A dinamikai rendszer deníciója a fentiek alapján, igen nagy általánosságban a következ képpen adható meg: 2.1. Deníció. Legyen (M, d) egy adott metrikus tér, és φ : R M M transzformáció. Ezeket együtt dinamikai rendszernek nevezzük. 2.1.1. Diszkrét dinamikai rendszerek Fontos speciális esete a dinamikai rendszereknek, melyben R M helyett Z M a leképezés értelmezési tartománya (tehát az id t diszkréten tel nek tekintjük), ekkor diszkrét dinamikai rendszerr l beszélünk. Ebben az esetben egységnyi id közönként alkalmazunk egy adott f leképezést M pontjain. Ha a következ jelölést alkalmazzuk p pont pályájának leírására: p, f(p), f(f(p)) = f 2 (p), f(f(f(p))) = f 3 (p)..., akkor a p pont t id pillanatbeli helyét f t (p) adja meg. A továbbiakban ilyen diszkrét dinamikai rendszereket fogunk tárgyalni. Az elkövetkez fejezetekben speciálisan vizsgált leképezések fázistere R 2 egy részhalmaza lesz. 3
2. DINAMIKAI RENDSZEREK 2.1.2. Hiperbolikus dinamikai rendszerek Mivel a szakdolgozat további részében M majd R 2 egy részhalmaza lesz, ezért a továbbiakban gondolkozzunk 2 dimenzióban. Ha a fent említett φ leképezés lineáris, akkor megadható a mátrixával, amely ebben az esetben 2 2-es, és a leképezés alkalmazása a kétdimenziós tér egy pontjának megfelel vektoron a következ képpen történik: A ( x y ) = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ( x y ) = ( a 11 x + a 12 y a 21 x + a 22 y Az A mátrix sajátértéke λ, ha létezik olyan nemnulla v vektor, hogy ). (2.1) Av = λv. (2.2) Ekkor v-t az A mátrix sajátvektorának nevezzük. Bázistranszformációval minden 2 2-es mátrix a következ három alak valamelyikére hozható (ahol λ, λ 1, λ 2 a mátrixok sajátértékeit jelölik): ( ) ( ) ( ) λ 1 0 λ 1 λ 1 λ 2 (2.3) 0 λ 2 0 λ λ 2 λ 1 Az els alak akkor hozható létre, ha a mátrix két különböz valós sajátértékkel rendelkezik, a második alak akkor, ha két azonos valós sajátértékkel, a harmadik eset pedig akkor fordul el, ha a mátrixnak két komplex sajátértéke van. A bázistranszformációval kapott mátrixok hasonlóak az eredetihez, és a nekik megfelel leképezések ugyanazokkal a dinamikai tulajdonságokkal rendelkeznek. Tehát elég csupán az ilyen formájú mátrixokkal foglalkoznunk. Ismert, hogy minden lineáris leképezés xpontja a (0,0): vizsgáljuk meg, hogy konkrétan a 0 xpont esetében hogyan hat a rendszer dinamikájára a sajátértékek nagyságrendje, mert ez egy egyszer és szemléletes eset. Könnyen látható, hogyha mindkét sajátérték abszolútértéke nagyobb, mint 1, akkor a leképezés nyújtja a vektorokat, tehát távolítja a pontokat az origótól (ekkor az origó forrás), ha pedig a sajátértékek abszolútértéke kisebb mint 1, akkor a pontokat közelíti az origóhoz (ekkor az origó nyel ). Fennálhat még az az eset, hogy az egyik sajátérték abszolútértéke kisebb mint 1, a másiké pedig nagyobb: ekkor az egyik sajátvektor irányában közelednek, a másik irányában távolodnak a pontok. Ekkor az origót nyeregnek nevezzük. Tehát, ha egyik sajátérték abszolútértéke sem egyezik meg 1-el, akkor jól látjuk, hogyan viselkedik ez a leképezés, ezért ilyen leképezésekkel szeretnénk (és fogunk, ebben a dolgozatban) foglalkozni. 2.2. Deníció. Legyen A egy lineáris leképezés R 2 -en. A-t lineáris hiperbolikus leképezésnek nevezzük, ha nem rendelkezik 1 abszolútérték sajátértékkel. Fordítsuk a gyelmünket a nemlineáris leképezések irányába, hiszen a szakdolgazatban ezekkel fogunk találkozni. Egy nemlineáris rendszer Jacobi-mátrixát a következ képpen deniáljuk: 2.3. Deníció. Legyen f = (f 1, f 2 ) T egy leképezés R 2 -en, és legyen p R 2. Ekkor f Jacobimátrixa a p pontban a következ Df(p) mátrix: ) Df(p) = ( f1 x f 2 x f 1 y f 2 y 4
2.2 Szimbolikus dinamika Egy nemlineáris leképezést lokálisan egy olyan lineáris leképezéssel közelíthetünk, amit a Jacobi-mátrixa ír le. Innent l hasonlóan folyik a xpont tulajdonságainak elemzése mint a lineáris esetben, tehát itt a Df(p) mátrix alapján értelmezhetjük egy xpont hiperbolikusságát, és láthatjuk be, hogy nyel, forrás, vagy nyereg-e. Vezessük be a dinamikai rendszer egy xpontjának a stabil és instabil alterének a fogalmát, erre még szükségünk lesz a kés bbiekben: a stabil altér egy olyan halmaz, amelyben a pontok a xpont vonzáskörzetébe tartoznak, az instabil altérben lev pontok pedig egyre jobban eltávolodnak a xponttól az id múlásával. 2.4. Deníció. Legyen M metrikus tér, f : M M a tér egy invertálható transzformációja. Ha p az f-nek xpontja, akkor p stabil altere a következ ponthalmaz: Az instabil altere pedig a következ : W s (f, p) = {q M : f n (q) p (n )}. W u (f, p) = {q M : f n (q) p (n )}. 2.2. Szimbolikus dinamika 2.2.1. A szimbolikus dinamika alapjai Tegyünk egy kitér t a szimbolikus dinamika területére. A szimbolikus dinamika igen hasznosnak fog bizonyulni egy dinamikai rendszer fázisterében az egyes pontok nyomonkövetésére. Pontosabban, a szimbolikus dinamika segítségével a pontok pályáját le fogjuk tudni kódolni. Tekintsük szimbólumok egy véges A halmazát, amelyet ábécének nevezünk, az elemeit pedig bet knek. A kés bbiekben az lesz számunkra hasznos, ha mindkét irányban végtelen, A elemeib l álló szimbólum-sorozatokat tanulmányozunk. Ezek a következ képpen néznek ki: x =... x 2 x 1 x 0 x 1 x 2..., ahol {x i, i Z} A. A továbbiakban kényelmesnek fog bizonyulni, ha a 0. szimbólumot megjelöljük egy "tizedesponttal", a következ képpen: x =... x 2 x 1.x 0 x 1 x 2..., 2.5. Deníció. Ha A egy véges ábécé, akkor a teljes A-shift tér az A-beli mindkét irányban végtelen szimbólum-sorozatok összessége. Jelölés: A Z = {x = (x i ) i Z : x i A minden i Z-re}. Az A Z szimbólum-sorozatait a teljes shift tér pontjainak nevezzük. Érdemes megjegyezni, hogy a teljesség csupán annyit jelent, hogy nincs "hiányzó pont": minden lehetséges A elemeit használó mindkét irányban végtelen szimbólum-sorozat el fordul benne. Egy szimbólum-sorozat egy blokkját a következ képpen értelmezzük: 5
2. DINAMIKAI RENDSZEREK x [i,j] = x i x i+1... x j 1 x j. 2.6. Deníció. A σ leképezés, amelyet shiftnek neveznek, hozzárendeli az A Z teljes shift tér egy x pontjához azt az y = σ(x)-et, amelynek i-edik koordinátájára fenáll: y i = x i+1. Szemléletesen arról van szó, hogy a korábban javasolt tizedesvessz t eggyel jobbra toljuk. A σ leképezésr l könnyen belátható, hogy inverze is értelmes (balra toljuk a tizedesvessz t), σ k = σ... σ (k tizedesjeggyel toljuk el a tizedesevessz t), valamint σ k = (σ 1 ) k. A következ fogalom a teljes shift tér pontjainak egy olyan részhalmazát nevesíti, amelyekre valamilyen megkötés érvényesül, konkrétan, megtiltunk a pontjainak megfelel szimbólumsorozatokban egy blokkot, vagy blokkok egy rendszerét. 2.7. Deníció. Egy A Z teljes shift tér egy X részhalmazát shift térnek nevezzük, ha X nem tartalmaz egy blokkot sem egy adott F tiltott blokkokból álló blokkrendszer elemeib l. Ekkor az X = X F jelölést is használhatjuk (ha F véges sok blokkot tartalmaz, akkor véges shift térr l beszélünk). Gyakran könnyebb úgy deniálni egy shift teret, hogy mely blokkok vannak megengedve, nem pedig hogy mely blokkok vannak megtiltva. Ez vezet a következ fogalomnak, a shift nyelvének a bevezetéséhez. 2.8. Deníció. Legyen X egy teljes shift tér egy részhalmaza és B n (X) jelölje azon n hosszú blokkok halmazát, amelyek el fordulnak X pontjaiban. X nyelve a következ unió: B(X) = B n (X). Tekintsük a következ állítást, ami igen hasznosnak fog bizonyulni a kés bbiekben. n=0 2.1. Állítás. Legyen X egy shift tér és L = B(X) a nyelve. 1. Ha w L, akkor a) w minden alblokkja is L-be tartozik; b) léteznek u és v nemüres blokkok, úgy hogy uwv L. 2. A shift tér nyelvét jól karakterizálja az 1. pont. Tehát, ha L blokkok egy rendszere A felett, akkor L = B(X) egy X shift térre pontosan akkor, ha L teljesíti az 1. feltételt. 3. A shift tér nyelve meghatározza a shift teret. Konkrétan, X = X B(X) C (a teljes shift tér összes lehetséges szavának összes lehetséges blokkját tartalmazó rendszerre vett komplementer). Két shift tér pedig pontosan akkor egyezik meg, ha megegyezik a nyelvük. 6
2.2 Szimbolikus dinamika 2.2.2. Szimbolikus dinamika és dinamikai rendszerek: Markov-partíciók Hogyan használható fel a szimbolikus dinamika dinamikai rendszerek reprezentálására? Az alapötlet a következ : osszuk fel az M fázisteret véges számú partíció elemre, legyenek ezek E 0, E 2,..., E r 1. Kövessük a fázistér egy y pontjának a pályáját aszerint, hogy melyik id pillanatban melyik partíció elemben van a pont képe. Így ha f invertálható leképezés, akkor y pályáját egy mindkét irányban végtelen szimbólum-sorozatnak tudjuk megfelelteni a következ képpen: x =... x 2 x 1.x 0 x 1 x 2... {0,1... r 1} Z, ahol f n (y) E xn, n Z. Így a fázistér minden pontja megfeleltethet a teljes r-shift tér (tehát a {0,1,..., r 1} ábécén értelmezett teljes shift tér) egy pontjának, valamint az f leképezés megfeleltethet a σ shiftoperátornak. Most tegyük precízzé a fent vázolt alapötletet. 2.9. Deníció. Az R = {R 0, R 1,... R r 1 } véges halmazrendszert az M kompakt metrikus tér egy topológiai partíciójának nevezzük, ha a következ k teljesülnek: 1. Minden R i nyílt; 2. R i R j =, i j ; 3. M = R 0 R 1... R r 1. Láthatjuk, hogy ez nem egy hagyományos értelemben vett partícó, ugyanis általában partíció alatt egy halmaz olyan diszjunkt részekre való fölbontását értjük, hogy a részek uniója kiadja az egészet. Ebb l a gyengébb értelemben vett partícionálásból következik, hogy egyes pontoknak a pályája nem, vagy csak hiányosan lesz rögzítve. Ez mindenképpen a hátránya ennek a deníciónak, és arra ösztönözhet minket, hogy megvizsgáljunk más deníciókat is, hogy eldönthessük, melyik a leghasznosabb számunkra. A kés bbi fejezetekben majd egy kicsit lazább értelemben vett partícionálással fogunk találkozni, de hasznosnak gondoltuk megemlíteni ezt az általános deníciót is. A továbbiakban legyen (M, f) egy dinamikai rendszer, R = {R 0, R 1,... R r 1 } az M egy topológiai partíciója. A topológiai partíció elemeire teszünk még egy pluszfeltételt: a leképezésnek úgy kell viselkednie ezeken a partícióelemeken, hogy a partícióelem képe átfedje az eredeti partícióelemet, és a partícióelem a transzformáció hatására egy xpont stabil altérének irányában sz köljön (vagy megengedhet, hogy ne változzon), az instabil altér irányában táguljon (vagy ne változzon). Ennek a tulajdonságnak a hátterében egy (nyereg jelleg ) hiperbolikus xpont áll, ezt a hiperbolicitásról szóló bevezet alapján könny meggondolni. A 2.1 ábra mutatja ezt a tulajdonságot (W u az instabil, W s a stabil altér). Legyen A = {0,1,..., r 1}. Azt mondjuk, hogy egy w = a 1 a 2... a n, (a i A, i = 1... n) blokk megengedett (R, f)-ben, ha n j=1 f j (R aj ) és legyen L R,f az ilyen megengedett blokkok halmaza. Könnyen belátható, hogy L R,f egy shift tér nyelve. Tehát a 2.1 állítás alapján 7
2. DINAMIKAI RENDSZEREK 2.1. ábra. Az átfedési tulajdonság egyértelm en létezik egy X R,f shift tér, aminek L R,f a nyelve. X R,f -et az R, f-nek megfelel szimbolikus dinamikai rendszernek nevezzük. Készen állunk, hogy deniáljuk a Markov-partíciót. 2.10. Deníció. Legyen (M, f) egy invertálható dinamikai rendszer. Az R = {R 0, R 1,... R r 1 } topológiai partíciója M-nek egy szimbolikus reprezentációját adja az (M, f) dinamikai rendszernek, ha minden x X R,f -re n n=0 k= n f k (R xk ) (2.4) pontosan egy pontból áll. Akkor nevezzük R-et (M, f) egy Markov-partíciójának, ha R egy szimbolikus reprezentációját adja (M, f)-nek, valamint X R,f egy véges shift. Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor a 2.4 metszetben található x pont pályáját leírja az... x 2 x 1.x 0 x 1 x 2... szimbólum-sorozat. Ez a következ képpen látható: vizsgáljuk csak a pozitív irányba tel id t. Az x pont k = 0 id pillanatban R x0 -ban van. A k = 1 id pillanatban R x1 -ben van az f(x), ekkor ennek a tartománynak a f inverzét messük össze R x0 -al: ebben a metszetben x-nek nyilván benne kell lennie. Haladjunk így tovább k-t növelve egy x n- ig. Ezután nézzük, hogy mir l van szó, ha k = 0-tól a negatív irányba megyünk: k = 1 id pillanatban R x 1 -ben van az f 1 (x), ekkor ennek a tartománynak a f-képét messük össze R x0 -al: ebben nyilván benne kell lennie x-nek. Ezután haladjunk tovább a negatív irányba n-ig. Ha minden n-re nézzük a metszetet abban is nyilván benne kell lennie x-nek. Arra lenne szükségünk, hogy ebben a metszetben x-en kív l ne is legyen más, mert akkor egyértelm a szimbólum-sorozattal kódolás. Ezt követeli meg a deníció. Valamint, hogy a tiltott blokkok (tiltott útvonalak) száma véges legyen. Természetesen egy adott dinamikai rendszerre a Markov-partíció megszerkesztése nem triviális, és nem is mindig egyértelm. Fontos gyelembe venni lehetséges Markov-partíciók közti választásnál, hogy a pontokhoz rendelt szimbólum-sorozatok megfelel mennyiség információt közvetítsenek a pont pályájáról, de legyenek kell képpen egyszer ek. 8
2.3 Káosz, kaotikus dinamikai rendszerek 2.3. Káosz, kaotikus dinamikai rendszerek Egy dinamikai rendszert akkor nevezünk kaotikusnak, ha ugyan egy determinisztikus szabály írja le a rendszer viselkedését, viszont a jöv beli állapotára tett el rejelezések pontossága mégis megkérd jelezhet, mivel kezdeti kis mérési hibák el bb-utóbb makroszkopikus pontatlanságokká duzzadhatnak. Ahhoz, hogy matematikai igényességgel tudjuk deniálni a fenti ötletet, vezessük be a következ három fogalmat: 2.11. Deníció. Legyen M egy kompakt metrikus tér és f : M M egy folytonos leképezés. Az f leképezést topologikusan tranzitívnak nevezzük, ha minden nemüres U, V halmazra létezik olyan n 0, hogy f n (U) V. 2.12. Deníció. Legyen M egy kompakt metrikus tér és f : M M egy folytonos leképezés. Az x pontot akkor nevezzük periodikus pontnak, ha létezik olyan n 1, hogy f n (x) = x. 2.13. Deníció. Legyen (M, d) egy metrikus tér és f : M M egy folytonos leképezés. Az x pont ε-instabil, ha x bármely U környezetében létezik y és n 0 úgy, hogy d(f n (x), f n (y)) ε. Jelölje az ε-instabil pontok halmazát U ε (φ). Az (M, f) dinamikai rendszer érzékeny a kezdeti feltételekre, ha U ε (f) = M. A mi számunkra a káosz következ deníciója lesz a leghasznosabb: 2.14. Deníció. (Devaney káosz deníciója) Legyen M egy metrikus tér és f : M M egy folytonos leképezés. A dinamikai rendszer Devaney szerint kaotikus, ha: 1. (M, f) topologikusan tranzitív; 2. A periodikus pontok s r n helyezkednek el M-ben; 3. (M, f) érzékeny a kezdeti feltételekre. 9
2. DINAMIKAI RENDSZEREK 10
3. Káosz kétdimenzióban Ebben a fejezetben bemutatjuk a Smale-féle lópatkó leképezést Stephen Wiggins könyvének egy fejezete (lásd: [17]) alapján. Ez a leképezés rendelkezik egy invariáns halmazzal, amely topologikusan ekvivalens az általánosított Cantor-halmazzal, majd megmutatjuk, hogy ez jó bizonyíték a rendszer kaotikusságára. Ezután megfogalmazzuk és bebizonyítjuk az ezt a meggyelést általánosító Conley-Moser tételt, szintén [17] alapján, bár eredetileg a tételt Moser publikálta 1973-ban [10]. 3.1. A triadikus Cantor-halmaz Tekintsük az I = [0,1] intervallumot. Távolítsuk el bel le a [ ] [ 0, 1 2 3 ( ) 1 3, 2 3 nyílt intervallumot és legyen K 1 = harmadát is, így kapjuk a K 2 = 3 ].,1 A következ lépésben távolítsuk el K 1 két szegmensének a középs [ ] [ ] [ ] [ 0, 1 2 9 9, 3 6 9 9, 7 8 9 9 ]-t., 1 Majd töröljük ki K 2 szegmenseinek középs harmadát. Ismételve a folyamatot kapjuk K = K -t, amelyet triadikus Cantor-halmaznak neveznek. K azokat a pontokat tartalmazza, amelyek az összes K n -ben benne vannak. Formálisan megfogalmazva: 3.1. ábra. A triadikus Cantor-halmaz. (Forrás: [1]) K = [0,1] \ m=1 3 m 1 1 k=0 ( 3k + 1 3 m, 3k + 2 ) 3 m. (3.1) 11
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN Tekintsük most ennek a halmaznak a topológiai absztrakcióját, amelyet topologikus Cantorhalmaznak, vagy Cantor térnek neveznek. A kés bbiekben a Cantor-halmazzal ebben az általános értelemben fogunk találkozni 3.1. Deníció. Egy topologikus teret Cantor térnek (vagy topologikus Cantor-halmaznak) neveznek, ha létezik egy homeomorzmus közte és a klasszikus Cantor-halmaz között. Álljon itt egy alternatív deníció is, ami topologikus tulajdonságai alapján karakterizálja a Cantor-halmazt. 3.2. Deníció. Egy topologikus teret akkor nevezünk Cantor-halmaznak, ha nem üres, kompakt, perfekt és teljesen szétes. 3.2. A Smale-féle lópatkó leképezés Az ebben a fejezetben bemutatott leképezés egy kissé mesterkélt, de viszonylag egyszer példa olyan kétdimenziós leképezésre, amely tartalmaz egy invariáns Cantor-halmazt. Els lépésben megkonstruáljuk ezt az invariáns halmazt, majd belátjuk, hogy a pontjai kaotikus pályájúak. Az alábbi fejezet Wiggins [17] levezetését mutatja be. Tekintsük a következ leképezést: f : M R 2, ahol M az egységnégyzet, mint a korábbiakban. Legyen f olyan, hogy y irányban megnyújtja, x irányban összesz kíti az egységnégyzetet, majd meghajlítja lópatkó alakúra, ahogy a 3.2 ábrán látható. 3.2. ábra. A Smale-féle lópatkó leképezés Feltételezzük, hogy f egy an leképezés a következ "vízszintes" téglalapokon (nevezzük azokat a téglalapokat az egyszer ség kedvéért vízszintesnek, amelyek hosszabb oldala az x tengellyel párhuzamos, azokat pedig függ legesnek, amelyek hosszabbik oldala az y tengellyel párhuzamos): H 0 = [ ] [ 0,1 0, 1 ], (3.2) µ 12
3.2 A Smale-féle lópatkó leképezés H 1 = Valamint a következ "függ leges" téglalapokba viszi ket: Tehát f a következ formában adható meg H 0 -on és H 1 -en: ( ) ( ) ( x λ 0 x H 0 : y 0 µ y H 1 : ( x y [ ] 0,1 [1 1µ ],1. (3.3) f(h 0 ) V 0 = [0, λ] [0, 1], (3.4) f(h 1 ) V 1 = [1 λ,1] [0,1]. (3.5) ) ( λ 0 0 µ ) ( x y ) + ), (3.6) ( 1 µ ). (3.7) Válasszuk meg úgy a két paramétert, hogy 0 < λ < 1 2 és µ > 2 (ez nyilvánvalóan szükséges ahhoz, hogy a leképezés jóldeniált legyen). Tehát ez a leképezés H 0 -on lineáris, H 1 -en nemlineáris, és a paraméterek fent említett megválasztása mellett hiperbolikus. Jegyezzük meg, hogy ezeken a téglalapokon kívül nem is deniáltuk a leképezést, tehát valójában nincs szó patkóról, ez csak a vizualizálást segíti, igazából csak két téglalap megy át két másik téglalapba. Továbbá, ez nem egy hagyományos értelemben vett dinamikai rendszer, mivel a leképezés nincs az egész alaphalmazon értelmezve. Ezt a patkóval gondolkodással úgy értelmezzük, hogy azok a pontok, amiken a leképezés nincs értelmezve, megszöknek az egységnégyzetb l, így irrelevánssá válnak. H 0 és H 1 azt a szerepet fogja betölteni, mint a Markov-partíció esetén az egyes partíció elemek (láthatjuk, hogy hasonló dologról van szó: érvényesülni fog rájuk az átfedési tulajdonság, akár deniálhatjuk ket nyílt halmazokként is -itt most semmi szükség rá, és nem árt, ha nem feledkezünk meg a határpontokról teljesen-, annyi a gond, hogy lezártjuk uniója nem adja ki a teljes M-et) tehát a mindvégig az egységnégyzetben maradó pontokat az alapján fogjuk lekódolni, hogy a leképezés inverzének k-adik elvégzése után melyik téglalapban vannak. Így kapjuk meg a pont kódjának egyik felét. A másik felét hasonlóan, csak V 0 és V 1 téglalapokat tekintjük, és az f 1 leképezést. 3.3. ábra. A Smale-féle lópatkó leképezés inverze 13
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN Az f leképezés inverzének a hatását a 3.3 ábra mutatja: a lényeges rész, hogy a V 0 és V 1 függ leges téglalapokat a H 0 és H 1 vízszintes téglalapokra képzi le. (Ez természetesen csak a téglalapokon rendes inverz, a patkót megint csak odaképzeljük úgy, hogy a gondolkodásunkat segítsük). Lássuk be a következ lemmát, amely a kés bbiekben nagyon fontosnak fog bizonyulni: 3.1. Lemma. A Smale-féle lópatkó leképezésre teljesülnek a következ k: 1. Legyen V egy függ leges téglalap, amely teljesen átnyúlik M-en, ekkor f(v ) M pontosan két függ leges téglalapból áll, melyek közül egy V 0 -ban, egy V 1 -ben van, és mindkett szélessége λ-szorosa V szélességének. 2. Legyen H egy vízszintes téglalap, amely teljesen átnyúlik M-en, ekkor f 1 (H) M pontosan két vízszintes téglalapból áll, melyek közül egy H 0 -ban, egy H 1 -ben van, és mindkett szélessége 1 µ -szöröse H szélességének. Bizonyítás. (vázlat) Csak az els esetet látjuk be, a második hasonlóan történik, kisebb módosítással. Vegyük észre, hogy f deníciója alapján H 0 és H 1 függ leges és vízszintes határvonalainak képei V 0 és V 1 megfelel függ leges és vízszintes határvonalai. Legyen V egy függ leges téglalap: ekkor belemetsz H 0 és H 1 vízszintes határvonalaiba, tehát f(v ) M pontosan két függ leges téglalapból áll, melyek közül egy V 0 -ban, egy V 1 -ben van. A szélesség zsugorodása abból következik, ahogy f a H 0 -on és H 1 -en deniálva van: x irányban H 0 és H 1 is λ-szoros kontrakciót szenved el. 3.4. ábra. A 3.1 lemma állítása szemléletesen 14
3.2 A Smale-féle lópatkó leképezés 3.2.1. Az invariáns halmaz megszerkesztése Ebben a fejezetben megszerkesztjük azon pontok halmazát, amelyek f minden (pozitív és negatív) iterációjára az egységnégyzetben maradnak. Jelöljük ezt a halmazt Λ-val. Tehát: Λ = n= f n (M). (3.8) A szerkesztés menete a következ lesz: el ször f pozitív iterációjára szerkesztjük meg a metszetet, majd f negatív iterációjára, végül vesszük ennek a két halmaznak a metszetét. Vezessük be a következ jelölést: legyen S = {0,1} egy indexhalmaz, és jelölje s i (i = 0, ± ±1, ±2... ) az S valamely elemét. Kés bb világos lesz, hogyan használjuk, és miért szükséges. Tehát, el ször szerkesszük meg az f pozitív iterációiára invariáns halmazt, azaz n=0f n (M)-et. Ezt úgy tesszük meg, hogy megszerkesztjük k n=0f n (M)-t, majd k-val tartunk a végtelenbe. M f(m): f deníciója alapján M f(m) két függ leges λ szélesség téglalapból áll, V 0 -ból és V 1 -b l, ahogy korábban is láttuk. Jelöljük most ezeket a következ képpen: M f(m) = s 1 S V s 1 = {p M p V s 1, s 1 S}. (3.9) Tehát s 1 csak egy változó, ami befutja a {0,1} kételem hamazt. A -1-es alsóindex hasznossága is világossá fog válni f további iterálása során. 3.5. ábra. M f(m) M f(m) f 2 (M): Könnyen belátható, hogy ebbe a halmazba azok a tartományok kerülnek, amelyeket úgy kapunk, hogy az el bb keletkezett lópatkót "mégegyszer lópatkóvá hajlítjuk" és vesszük a metszetét az egységnégyzettel, hiszen: M f(m) f 2 (M) = M f(m f(m)). Hasznos a 3.6 ábrán követni a történéseket. Mivel az el z gondolatból tudjuk, hogy M f(m) a V 0 -ból és V 1 -b l áll, és ezek belemetszenek H 0 és H 1 vízszintes határaiba, a 3.1 lemma alapján láthatjuk, hogy M f(m) f 2 (M) négy függ leges téglalapból áll, melyek közül kett V 0 -ban van, kett V 1 -ben van, és a szélességük 15
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN 3.6. ábra. M f(m) f 2 (M) λ 2. Tehát, felhasználva (3.9)-et, kapjuk: ( M f(m) f 2 (M) = M f(m f(m)) = M f V s 2 ). (3.10) s 2 S Világos, hogy s 1 -et csak egyszer en helyettesítettük s 2 -vel: ez nem okoz gondot, a hasznossága a kés bbiekben világossá fog válni. Pár jól ismert halmazelméleti átalakítás után kapjuk a következ t: ( M f s 2 S V s 2 ) = s 2 S M f(v s 2 ). (3.11) A 3.1 lemma alapján világos, hogy f(v s 2 ) az M-b l csak V 0 -ba és V 1 -be metszhet bele, tehát a fenti a következ képpen egyszer södik: s 2 S M f(v s 2 ) = Mindent összevetve a következ t kapjuk: M f(m) f 2 (M) = s 2,s 1 S s 2,s 1 S V s 1 f(v s 2 ) V s 1 f(v s 2 ). (3.12) s 2,s 1 S V s 1s 2 = {p M p V s 1, f 1 (p) V s 2, s i S, i = 1,2}. (3.13) M f(m) f 2 (M) f 3 (M): Hasonló érvelés útján belátható, hogy ez a halmaz nyolc függ leges téglalapból áll, melyek λ 3 szélesség ek és a (3.13)-nál már megszokott jelöléseket alkalmazva: M f(m) f 2 (M) f 3 (M) = s 3,s 2,s 1 S s 3,s 2,s 1 S V s 1 f(v s 2s 3 ) V s 1s 2s 3 = {p M p V s 1, f 1 (p) V s 2, f 2 (p) V s 3 s i S, i = 1,2,3}. (3.14) 16
3.2 A Smale-féle lópatkó leképezés 3.7. ábra. M f(m) f 2 (M) f 3 (M) Ha ezt tovább folytatjuk, hamar komoly nehézségekbe ütközünk, ha el akarjuk képzelni, hogy pontosan merre kanyarog ez a sokszor meghajlított lópatkó. Szerencsére, a 3.1 Lemma és az s i -k által megvalósított számlálási technika segítségével könnyen láthatjuk, hogy mit kapunk a k-adik lépésben: M f(m) f 2 (M)... f k (M) = V s 1 f(v s 2...s k ) s 1...s k S s 1...s k S V s 1...s k = {p M f i+1 (p) V s i, s i S, i = 1... k}. (3.15) Ez a halmaz 2 k darab függ leges téglalapból áll, amelyek szélessége λ k. Jegyezzük itt meg, hogy mind a 2 k téglalapot le tudjuk kódolni egy k hosszú 0-1 sorozattal. Vegyük észre, hogy pontosan 2 k darab k hosszú különböz 0-1 sorozat létezik, és ezek mindegyike megfeleltethet egy téglalapnak, amely a k-adik lépésben keletkezett: tehát a függ leges téglalapok kódolása egyértelm minden lépésben (ez f deníciójának következménye, és annak, hogy V 0 és V 1 diszjunktak). Most tartsunk k-val a végtelenbe, mivel az egymásba ágyazott kompakt halmazok metszete nem üres, végtelen sok függ leges elfajuló téglalapot kapunk, amelyek szélessége 0, mivel lim k λ k = 0, hogyha 0 < λ < 1 2, mint ahogy ezt az elején feltettük. Tehát megmutattuk, hogy: f n (M) = n=0 s 1,s 2... S s 1...s k... S Most pedig szerkesszük meg 0 n= f n (M)-et. V s 1 f(v s 2...s k...) V s 1...s k... = {p M f i+1 (p) V s i, s i S, i = 1, 2... }. (3.16) 17
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN M f 1 (M): f deníciója alapján M f 1 (M) két vízszintes téglalapból áll, H 0 -ból és H 1 -b l, ahogy korábban is láttuk. Jelöljük most ezeket a következ képpen: M f 1 (M) = H s0 = {p M p H s0, s 0 S}. (3.17) s 0 S 3.8. ábra. M f 1 (M) M f 1 (M) f 2 (M): Ezt a halmazt az el bb megszerkesztett M f 1 (M)-b l kapjuk, méghozzá úgy, hogy vesszük ennek az f 1 -képét, majd elmetsszük M-el, mivel: M f 1 (M) f 2 (M) = M f 1 (M f 1 (M)). Valamint, mivel H 0 és H 1 belemetsz V 0 és V 1 függ leges határvonalaiba, a 3.1 lemma alapján M f 1 (M) f 2 (M) négy vízszintes téglalapból áll, melyek szélessége 1 µ. Írjuk ezt fel expliciten, felhasználva azt, amit 3.17-ban kaptunk: 2 ( ) M f 1 (M f 1 (M)) = M f 1 H s1 = M f 1 (H s1 ). (3.18) A 3.1 lemmából következik, hogy f 1 (H s1 ) az M-b l csak H 0 -ba és H 1 -be metszhet bele, ezért tovább írható a képlet a következ képpen: M f 1 (M f 1 (M)) = f 1 (H s1 ) H s0 s 0,s 1 S s 1 S s 1 S s 0,s 1 S H s0s 1 = {p M p H s0, f(p) H s1, s i S, i = 0,1}. (3.19) 3.9. ábra. M f 1 (M) f 2 (M) M f 1 (M) f 2 (M) f 3 (M): Az el z lépésben használthoz hasonló érvek alapján könny látni, hogy ez a halmaz nyolc vízszintes téglalapból áll, melyek szélessége 1 µ 3, és a 18
3.2 A Smale-féle lópatkó leképezés halmaz a következ képpen jelölhet : M f 1 (M) f 2 (M) f 3 (M) = f 1 (H s1s 2 ) H s0 s 0,s 1,s 2 S s 0,s 1,s 2 S H s0s 1s 2 = {p M p H s0, f(p) H s1 f 2 (p) H s2, s i S, i = 0,1,2}. (3.20) Ezt folytatva, a k-adik lépésben kapjuk M f 1 (M) f 2 (M)... f k (M)-et, ami 2 k függ leges téglalapból áll, melyek szélessége 1 µ k, és így jelöljük: M f 1 (M) f 2 (M)... f k (M) = s 0,s 1,...s k 1 S s 0,s 1,...s k 1 S f 1 (H s1...s k 1 ) H s0 H s0...s k 1 = {p M f i (p) H si, s i S, i = 0... k 1}. (3.21) 3.10. ábra. M f 1 (M) f 2 (M) f 3 (M) Pont mint az el refele vett iteráció esetében keletkezett függ leges téglalapoknál, itt is 2 k téglalapot kapunk a k-adik lépésben, amelyek mindegyike egyértelm en megcímkézhet egy k hosszú 0-1 sorozattal. Mivel egymásba ágyazott kompakt halmazok metszetét vesszük, ami nem lehet üreshalmaz, de lim k 1 µ k = 0 (mivel µ > 2), ezért ha k-val tartunk a végtelenbe, kapjuk 0 n= f n (M)-t, ami egy vízszintes szakaszsereg lesz, melyek mindegyike egyértelm en megcímkézhet egy végtelen 0-1 sorozattal. Azaz, a szokásos jelölésünkkel: 0 n= f n (M) = s 0,s 1,... S s 0,s 1,... S f 1 (H s1...s k...) H s0 H s0...s k... = {p M f i (p) H si, s i S, i = 0, 1... }. (3.22) 19
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN Tehát, foglaljuk össze, hogy mit kaptunk: Λ = n= [ 0 f n (M) = n= ] [ f n (M) n=0 ] f n (M). (3.23) Ez a halmaz végtelen sok pontból áll, mivel minden szakasz 0 n= f n (M)-b l pontosan egy pontban metsz minden n=0 f n (M)-beli szakaszt. Minden ilyen metszéspont egyértelm en megcímkézhet egy mindkét irányban végtelen 0-1 sorozattal, amelyet úgy kapunk, hogy összef zzük a vízszintes szakaszhoz tartozó balra végtelen 0-1 sorozatot a függ leges szakaszhoz tartozó jobbra végtelen 0-1 sorozattal. Precízebben, legyen s 1... s k... egy végtelen 0-1 sorozat, V s 1...s k... pedig a neki megfelel függ leges szakasz. Valamint legyen s 0... s k... is egy végtelen 0-1 sorozat és H s0...s k... a neki megfelel vízszintes szakasz. A vízszintes és a függ leges szakasz p-ben metszi egymást, amihez egyértelm en hozzárendelhetjük az... s k... s 1.s 0 s 1... s k... mindkét irányban végtelen 0-1 sorozatot. Tehát, van egy jóldeniált, egyértelm hozzárendelésünk, mely a p Λ pontokhoz rendel egy mindkét irányban végtelen 0-1 sorozatot. Nevezzük ezt φ-nek: φ : p... s k... s 1.s 0 s 1... s k.... Vegyük észre, hogy V s 1...s k... = {p M f i+1 (p) V s i, i = 1,2,... } = {p M f i (p) H s i, i = 1,2,... }, (3.24) hiszen f(h si ) = V si. Valamint: H s0...s k... = {p M f i (p) H si, i = 0,1,2,... }. (3.25) Tehát: p = V s 1...s k... H s0...s k... = {p M f i (p) H si, i = 0, ±1, ±2,... }. (3.26) Most már látjuk, hogy a p ponthoz tartozó 0-1 sorozat nem csak egyértelm en megjelöli a pontot, de még az f iterációja alatti pályáját is rögzíti! Egész pontosan a p-hez tartozó 0-1 sorozatnak az s k eleme azt jelenti, hogy f k (p) H sk. Vegyük észre, az f k (p)-hez tartozó 0-1 sorozatot úgy kapjuk, hogy p sorozatában a tizedesvessz t k hellyel jobbra toljuk, ha k pozitív, és balra, ha k negatív: a szimbolikus dinamikai bevezet nél láttuk, hogy a σ-val jelölt shift leképezés pont így m ködik. Már érezhetjük, hogy az f leképezés Λ-n és σ a {0,1} halmaz teljes shift terén hasonlóképpen viselkedik, és φ teremti meg a kett között a kapcsolatot. De lássuk is ezt be precízen! 3.2.2. Az invariáns halmaz dinamikája Jelöljük mostantól a {0,1} alaphalmazú teljes shift teret Σ-val. Emlékezzünk vissza, hogy az el z alfejezetben úgy deniáltuk φ-t, hogy egy p Λ ponthoz egyértelm en hozzárendel egy 20
3.2 A Smale-féle lópatkó leképezés végtelen 0-1 sorozatot. Valamint, hogy p iteráltjaihoz tartozó szimbólumsorozatot a tizedespont megfelel módon történ eltolásával kapjuk. Tehát σ φ(p) = φ f(p) fennál minden p Λ-ra. Ha φ invertálható és folytonos lenne (a folytonosság azért szükséges, mert f is folytonos), akkor a következ állna fenn: φ 1 σ φ(p) = f(p). (3.27) Tehát, hogyha p-nek az f hatására létrejöv pályáját a következ képpen jelöljük: {... f n (p),..., f 1 (p), p, f(p),..., f n (p),... } (3.28) Akkor a korábbiak szerint p-nek az n-edik id pontbeli képének a reprezentációja a következ : f n (p) = (φ 1 σ φ) (φ 1 σ φ)... (φ 1 σ φ)(p) = φ 1 σ n φ(p), n 0. (3.29) Hasonlóan kapjuk az inverz leképezés szerinti n-edik id pontban vett képppontnak a szimbolikus reprezentációját: f n (p) = φ 1 σ n φ(p). (3.30) Felhasználva a fentieket, láthatjuk, hogy egy p Λ pontnak az f általi pályája egyértelm en megfelel a φ(p) pont σ általi pályájának Σ-n. Konkrétan, σ egész pálya-szerkezetének Σ-n meg kell felelnie f pályaszerkezetének Λ-n! Hogy belássuk, ez valóban így van, be kell látnunk, hogy φ egy homeomorzmus Λ és Σ között. 3.1. Tétel. A φ : Λ Σ leképezés homeomorzmus. Bizonyítás. Elég azt megmutatnunk, hogy φ kölcsönösen egyértelm és folytonos, mivel az inverz folytonossága következni fog abból, hogy kölcsönösen egyértelm, szürjektív és folytonos, kompakt halmazokat Hausdor-terekre leképez függvények homeomorzmusok (lásd: Dugundji [5]). φ kölcsönösen egyértelm : Ezt azt jelenti hogy ha veszünk p-t és p -t Λ-ból, akkor ha p p, φ(p) φ(p ). Indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy p p, de φ(p) = φ(p ) = {... s n... s 1.s 0... s n... }. Ekkor, p és p a V s 1...s n... függ leges szakasz és H s0...s n... vízszintes szakasz metszéspontjában van: de két mer leges szakasz metszéspontja egyértelm, ezért p = p, és máris ellentmondásba keveredtünk. Tehát, ha p p, akkor φ(p) φ(p ). φ szürjektív: Ez azt jelenti, ha veszünk egy mindkét irányban végtelen 0-1 sorozatot Σ-ból, mondjuk {... s n... s 1.s 0... s n... }-et, akkor lesz olyan p Λ, hogy φ(p) = = {... s n... s 1.s 0... s n... }. Ezt a következ képpen láthatjuk be: emlékezzünk vissza 0 n= f n (M) és n=0f n (M) konstrukciójára: ha van egy végtelen 0-1 sorozatunk: 21
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN {.s 0... s n... }, akkor egyértelm en létezik egy vízszintes szakasz 0 n= f n (M)-ben, ami ennek a sorozatnak megfelel. Ugyanígy, egy {... s n... s 1.} szimbólum sorozatnak egyértelm en megfelel egy függ leges szakasz n=0f n (M)-ben. Mivel egy függ leges és egy vízszintes szakasz egy p pontban metszi egymást, ezért ehhez a metszésponthoz egyértelm en hozzárendelhet az el bbi két sorozat egymásután írása. Tehát beláttuk, hogy minden mindkét irányban végtelen 0-1 sorozathoz létezik egy p pont Λ-ban. φ folytonos: Ez azt jelenti, hogy bármely p Λ-ra és bármely ε > 0-ra létezik δ = δ(ε), hogy ha p p < δ akkor d(φ(p), φ(p )) < ε, ahol. az R 2 -en szokásos metrika és d(.,.) a következ távolságmérték a szimbólikus kódok terében: d(s, s s i s i ) =. 2 i i= Ez azt jelenti, hogy azok a pontok vannak közel egymáshoz, amelyek egy hosszú központi blokkon megegyeznek. Rögzítsük ε > 0-t. Vegyük észre, hogy d(φ(q), φ(q )) < ε azt jelenti, hogy léteznie kell egy N = N(ε) egész számnak úgy, hogy: φ(q) = {... s n... s 1.s 0... s n... }, φ(q ) = {... s n... s 1.s 0... s n... } és s i = s i, i = 0, ±1, ±2,... ± N. Tehát, q és q a V s 1...s N és a H s0...s N téglalapok metszetében helyezkedik el. Az alkalmas δ-t ehhez az ε-hoz úgy kellene megválasztanunk, hogy ekkor bármely p és t le legfeljebb δ távolságra lév bármely p szimbolikus dinamikai kódja egymástól legfeljebb ε távol legyen. Ez akkor van, ha p és p egy N-edik iteráció-beli függ leges és egy N-edik iteráció-beli vízszintes téglalap metszetében található kis téglalapban vannak, az észrevétel alapján. Vegyük észre, hogy az invariáns halmaz összes pontjára igaz, hogy egy ilyen téglalapok alkotta rendszer téglalapjaiban van, tehát csak azt kell gyelembe vennünk a δ megállapításánál, hogy ne legyen elég nagy, hogy áthidalja a kis téglalapok közti távolságot. 22
3.2 A Smale-féle lópatkó leképezés 3.11. ábra. Sávok távolságai, N=3 Egyszer számolással adódik, hogy a függ leges téglalapok közti távolság minimuma az N-edik iterációban λ N 1 2λ N, a vízszintes téglalapok közti távolság minimuma az 1 N-edik iterációban 2. µ N 1 µ N Tehát legyen δ = min{λ N 1 2λ N 1, 2 }. µ N 1 µ N Tehát, mivel beláttuk, hogy Λ és Σ homeomorfak, Σ tulajdonságait átvihetjük Λ-ra. Könnyen belátható, hogy Σ nem megszámlálhatóan végtelen sok elem, zárt és perfekt, teljesen szétes, és ezeket a tulajdonságokat φ átviszi Λ-ra. Egy ilyen tulajdonságú halmazt a korábbi deníció szerint topologikus Cantor-halmaznak nevezünk. 3.2.3. Káosz Most már készen állunk arra, hogy belássuk, f dinamikája a Λ-n kaotikus. Legyen p Λ, és a hozzá tartozó szimbólum-sorozat: φ(p) = {... s n... s 1.s 0... s n... }. Meg akarjuk vizsgálni, hogy a p-hez közeli pontok mennyire maradnak közel p-hez f ismételt elvégzésének hatására. Legyen ε > 0 adott, deniáljuk p-nek egy ε-sugarú környezetét a sík szokásos távolságmértékével. Ekkor meggondolható, hogy léteznie kell egy ε-tól függ N számnak is, úgy, hogy φ(p) megfelel környezetében azok az s = {... s n... s 1.s 0... s n... } pontok vannak, amelyekre s i = s i ha i < N. Tegyük fel, hogy N + 1 szimbólum 0 a φ(p)-nek megfelel szimbólum-sorozatban, és az N + 1-edik szimbólum egy s -ben 1 (ilyen pont lesz, a teljes shift tér teljessége miatt). Szóval, N iteráció után, akármilyen kicsi is ε, p a H 0 -ban van, és az s -nek megfelel pont, legyen ez p, pedig H 1 -ben van, tehát legalább 1 2λ := ε távolságra vannak. Azaz, minden p Λ-ra igaz, hogy bármilyen kis környezetüket is tekintjük, van legalább egy pont ebben a környezetben, hogy f véges sokszori elvégzése után p és ez a pont eltávolodtak egy x ε távolságra: ekkor ezen pontok által alkotott rendszer ε -instabil. Továbbá belátható, hogy a Σ teljes shift téren a σ shift topologikusan tranzitív és a periodikus pontjai 23
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN s r n helyezkednek el (a részletekért lásd: [17]), ezeket a tulajdonságokat a φ homeomorzmus pedig átviszi (Λ, f)-re, tehát a (Λ, f) dinamikai rendszer kaotikus. 3.3. A Conley-Moser tétel Az a célunk, hogy az el bbi fejezetben elért eredményeket más, általánosabb dinamikai rendszerekre is tudjuk alkalmazni. A címben említett kritériumok teljesülése azt jelenti, hogy egy leképezés nagyjából úgy viselkedik, mint a Smale-féle lópatkó leképezés, amir l pedig már láttuk, hogy kaotikus. Tehát, kicsit percízebben, egy elégséges feltételt fogunk mutatni arra, hogy egy kétdimenziós leképezésnek legyen egy invariáns Cantor halmaza, amely topologikusan konjugált az N- szimbólumon vett teljes shift térrel. Hasonlóan a két szimbólumos esethez belátható, hogy ez jó bizonyíték a rendszer kaotikusságára. A tételt erdetileg Conley és Moser dolgozta ki [10], mi a Wiggins [17] által kicsit továbbfejlesztett változatot mutatjuk be ebben a fejezetben. Ebben az általános esetben is az egységnégyzet egy transzformációját fogjuk tekinteni, tehát a továbbiakban ebben a tartományban gondolkodunk. El ször vezessünk be két deníciót, amelyek a Smale-féle lópatkó leképezésnél használt téglalapok és szakaszok általánosításait fogalmazzák meg. 3.3. Deníció. Egy µ v -függ leges görbe az x = v(y) függvény grakonja, melyre 0 v(y) 1, v(y 1 ) v(y 2 ) µ v y 1 y 2, 0 y 1, y 2 1. Hasonlóan, egy µ h -vízszintes görbe az y = h(x) függvény grakonja, melyre 0 h(x) 1, h(x 1 ) h(x 2 ) µ h x 1 x 2, 0 x 1, x 2 1. Tehát olyan függvényekr l beszélünk, amelyeknek a meredeksége korlátos, azaz Lipschitztulajdonságúak. 3.12. ábra. Vízszintes és függ leges sávok 24
3.3 A Conley-Moser tétel 3.4. Deníció. Tekintsünk az egységnégyzetben két nem metsz µ v -függ leges görbét, v 1 (y)-t és v 2 (y)-t. Ekkor a µ v függ leges sávot a következ képpen deniáljuk: V = {(x, y) R 2 x [v 1 (y), v 2 (y)]; y [0,1]}. Hasonlóan, ha két nem metsz µ h -vízszintes görbét tekintünk, akkor a µ h vízszintes sáv a következ : A sávok szélességét pedig így deniáljuk: H = {(x, y) R 2 y [h 1 (x), h 2 (x)]; x [0,1]}. d(h) = max h 2(x) h 1 (x) x [0,1] d(v ) = max v 2(y) v 1 (y). y [0,1] A 3.12 ábrán jól látszik, hogy pontosan mir l van szó. A következ két lemma bár szemléletesen nyilvánvaló tényeket állít, mégis bizonyításra szorul, lásd [17]. A továbbiakban legyen S az N szimbólumon vett teljes shift tér szimbólumainak a halmaza, azaz S = {1,2,..., N}. 3.2. Lemma. Legyen V 1 V 2... V k... µ v -függ leges sávok egymásba ágyazott sorozata, melyekre d(v k ) 0, (k ). Ekkor k=1 V k V egy µ v -függ leges görbe. Legyen H 1 H 2... H k... µ h -vízszintes sávok egymásba ágyazott sorozata, melyekre d(h k ) 0 (k ). Ekkor k=1 Hk H egy µ h -vízszintes görbe. 3.3. Lemma. Legyen 0 µ v µ h < 1. Ekkor egy µ v -függ leges görbe és egy µ h -vízszintes-görbe egy pontban metszi egymást. Miel tt kimondanánk a tételt, tegyünk három feltevést, ezeket szokás a Conley-Moser kritériumoknak nevezni. A feltevések analitikus és geometriai jelleg kritériumok: a geometriai kritériumok általánosítják a Smale-féle leképezésnél szerepelt téglalapokat: itt sávjaink vannak, amelyek oldalai korlátos meredekség ek. Továbbra is fenntartjuk, hogy határ mindig határra képez djön le. Az analitikus kritérium pedig azt biztosítja, hogy ahogy el z fejezetben szakaszokká sz kültek a téglalapok, most görbékké sz küljenek a sávok a leképezés végtelen sokszori iterálása hatására. 3.1. Feltétel. 0 µ v µ h < 1. 3.2. Feltétel. Legyen f : M M leképezés, amelyre f(h i ) = V i homeomorzmus i = 1... N- re. Mitöbb, f a H i vízszintes sávok vízszintes határait a V i függ leges sávok vízszintes határvonalaira képezi le, és H i vízszintes sávok függ leges határait a V i függ leges sávok függ leges határvonalaira. 3.3. Feltétel. Legyen i S H i tetsz leges diszjunkt vízszintes sávok halmaza, és legyen H egy µ h -vízszintes sáv, amely benne van i S H i-ben. Ekkor: 25
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN egy µ h -vízszintes sáv bármely i S-re. S t, f 1 (H) H i H i d( H i ) ν h d(h) valamely 0 < ν h < 1-re. Hasonlóan, legyen i S V i diszjunkt függ leges sávok tetsz leges halmaza, és legyen V egy µ v - függ leges sáv, amely benne van i S V i-ben. Ekkor: egy µ v -függ leges sáv bármely i S-re. S t, f(v ) V i Ṽi d(ṽi) ν v d(v ) valamely 0 < ν v < 1-re. Most már készen állunk arra, hogy kimondjuk a Conley-Moser tételt. 3.2. Tétel. Tegyük föl, hogy f olyan leképezés, amely kielégíti a 3.1, 3.2 és 3.3 feltételeket. Ekkor f rendelkezik egy Λ invariáns Cantor-halmazzal, amely topologikusan konjugált az N szimbólumon vett teljes shift térrel, azaz φ σ f φ, ahol φ a Λ-t Σ N -re (az N szimbólumon vett teljes shift térre) leképez homeomorzmus, σ pedig a shift-leképezés, azaz az alábbi teljesül: Λ φ f Λ φ Σ N σ Σ N Bizonyítás. A bizonyítás négy lépésb l fog állni. El ször megszerkesztjük az invariáns halmazt, Λ-t, a második lépésben deniáljuk a φ : Λ Σ N leképezést, majd belátjuk, hogy ez egy homeomorzmus. Végül bebizonyítjuk, hogy φ f = σ φ. 1. lépés: Az invariáns halmaz konstrukciója. Ez a lépés egészen hasonló lesz ahhoz a konstrukciós eljáráshoz, amit a Smale-féle lópatkó esetében alkalmaztunk: el ször meghatározzuk azon pontok halmazát, amelyek i S V i-ben maradnak a leképezés inverz-iterálásának hatására. Ki fog derülni, hogy ez nem megszámlálhatóan végtelen sok µ v -függ leges görbe összessége. Majd meghatározzuk azon pontok halmazát, amelyek i S H i-ben maradnak a leképezés iterálásának hatására. Meg fogjuk látni, hogy ez a halmaz nem megszámlálhatóan végtelen sok µ h -vízszintes görbéb l áll. A görbék metszéspontjai pedig nyilván egy invariáns halmazt alkotnak az egységnégyzetben. A levezetés szinte teljesen analóg az el z fejezetben látotthoz, ezért csak a f bb lépéseket vázoljuk. Kezdjük annak a i S V i-beli ponthalmaznak a meghatározásával, amely elemei az i S V i- ben maradnak a leképezés inverzének tetsz leges számú iterációja hatására. Jelölje ezt a halmazt Λ, és Λ n, n = 1,2,... azoknak a i S V i-beli pontoknak a halmazát, amelyek i S V i-ben maradnak a leképezés inverzének n 1-szeri iterálása hatására. 26
3.3 A Conley-Moser tétel Tehát, tekintsük azon pontok halmazát, amelyek a leképezés (k + 1)-szeri elvégzése ellenére is az egységnégyzetben maradnak: Λ (k+1) = f(λ k ) = f = s 1 S V s 1 s i S,i= 2,..., (k+1) s 1 S V s 1 s i S,i= 1,..., (k+1) s i S,i= 1,..., (k+1) Jegyezzük meg a következ ket: f k 1 (V s (k+1) )... f(v s 3 ) V s 2 f k (V s (k+1) )... f(v s 2 ) V s 1 V s 1...s (k+1). (3.31) i. V s 1...s (k+1) = {p M p V s 1, f (i 1) (p) V s i, i = 1,... k + 1}, ahol V s 1...s (k+1) V s 1...s k... V s 1 }. ii. A 3.2 és 3.3 feltevésb l következik, hogy V s 1...s (k+1), s i S, i = 1,..., k + 1, N k+1 darab függ leges sávból áll, meghozzá N k darab van mind az N darab V i -ben. Vegyük észre, hogy összesen N k+1 darab különböz (k + 1) hosszú sorozatot lehet készíteni N szimbólumból (S elemeib l), és V s 1...s (k+1) elemei ezeknek a sorozatoknak egyértelm en megfeletethet k. iii. A 3.1 feltevésb l következik, hogy: d(v s 1...s (k+1) ) ν v d(v s 1...s k )... ν k v d(v s 1 ) ν k v. (3.32) A 3.13 ábra a k = 1, N = 3 esetet ábrázolja. 3.13. ábra. k + 1 = 2, N = 3 27
3. KÁOSZ KÉTDIMENZIÓBAN A 3.2 és a 3.3 feltevésb l következik, hogy ha k-val tartunk a végtelenbe, akkor a következ t kapjuk: Λ =... f k (V s (k+1) )... f(v s 2 ) V s 1 s i S,i=1,2,... s i S,i=1,2,... V s 1...s k... (3.33) Ez a 3.2 lemma következtében végtelen sok µ v -függ leges görbéb l áll. Valamint, bármely S elemeib l képzett végtelen sorozat, például: s 1 s 2... s k..., megfeleltethet Λ egy elemének, amit a következ képpen jelölünk: V s 1s 2...s k... A szerkesztési szabályok miatt V s 1s 2...s k... a következ egymásba ágyazott sáv-sorozat metszetében van:... V s 1...s k...... V s 1s 2 V s 1. Valamint 3.32-ból következ en: Tehát, a 3.2 lemma alapján d(v s 1...s k ) k 0. V s 1...s k... = k=1 V s 1...s k egy µ v -függ leges görbéb l áll. Az is következik a konstrukcióból, hogy V s 1...s k... = {p M f (i 1) (p) V s i i = 1,2,... }. (3.34) Ezután pedig meghatározzuk azoknak az i S H i-beli pontoknak a halmazát, amelyek i S H i-ben maradnak f tetsz leges számú iterációja után is. Ha csak k iterációt tekintünk, akkor valami hasonló képet kapunk, mint a 3.14 ábrán. A végtelen számú iterációra invariáns ponthalmazt Λ -nel fogjuk jelölni, valamint Λ n -nel azoknak a i S H i-beli pontoknak a halmazát, amelyek i S H i-ben maradnak f-nek n számú iterációja után. Mivel Λ konstrukciója nagyon hasonló Λ megszerkesztéséhez, ezért álljon itt csupán a végeredmény: Λ =... f k (H sk )... f 1 (H s1 ) H s0 és: s i S,i=0,1,... s i S,i=0,1,...,k H s0...s k... (3.35) 28
3.3 A Conley-Moser tétel 3.14. ábra. k + 1 = 2, N = 3 H s0...s k... = {p M f i (p) H si, i = 0,1,... }. A 3.2 lemma alapján Λ végtelen sok µ h -vízszintes görbéb l áll. Ez abból következik, hogy minden végtelen S-beli elemeket felhasználó sorozathoz: s 0 s 1... s k... egyértelm en hozzárendelhet Λ -nek egy eleme: H s0s 1...s k... A szerkesztés menete miatt H s0s 1...s k... az alábbi egymásba ágyazott halmazsorozat metszetében van: H s0 H s0s 1... H s0s 1...s k.... És nyilvánvaló, hogy d(h s0s 1...s k ) k 0. Tehát, a 3.2 lemma alapján H s0s 1...s k... egy µ h -vízszintes görbe. Összefoglalva: azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek f tetsz leges számú alkalmazása ellenére is az egységnégyzetben maradnak: {( ) ( )} Λ = {Λ Λ } H i V i M. (3.36) i S A 3.3 lemma és az alapján, hogy 0 µ v µ h < 1, Λ teljesen szétes halmaz. Világos, hogy nem megszámlálhatóan végtelen sok pontból áll, valamint zárt és perfekt, tehát Cantor halmaz. 2. lépés: φ : Λ Σ N deniálása. Legyen p Λ. Ekkor létezik két végtelen S elemeit felhasználó sorozat: s 0 s 1 s 2... s k... és s 1 s 2... s k... melyekre: i S p = V s 1s 2...s k... H s0s 1s 2...s k... (3.37) Így minden p Λ-t meg tudunk feleltetni egy S elemeit használó, mindkét irányban végtelen sorozatnak, azaz Σ N egy elemének: φ : Λ Σ N p (... s k... s 1.s 0 s 1 s 2... s k... ). (3.38) Tehát a p-nek megfelel mindkét irányban végtelen sorozatot úgy kaptuk hogy összef ztük az ahhoz a µ h vízszintes görbéhez és az ahhoz a µ v -függ leges görbéhez tartozó végtelen sorozatot, amelyek metszéspontjában a p elhelyezkedik. Mivel a metszéspont egyértelm, a leképezés jóldeniált. 29