BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
1. AZ ESEMÉNY FOGALMA, ESEMÉNY TÉR, MŐVELETEK ESEMÉNYEKKEL 1.1 Véletlen esemény Véletlen kísérlet (vagy természeti jelenség): amelynek kimenetelét az általunk figyelembe vett (ismert feltételek nem határozzák meg egyértelmően. Kísérlet lehetséges kimenetele = elemi esemény Jelölése: ω Elemi események összessége az esemény tér (halmaz), jele: Ω ; ω Ω 1. ábra. Elemi események, esemény tér, véletlen esemény Véletlen (lehetséges) esemény : elemi események egy halmaza: A, B,.. Ha ω * A és egy kísérlet esetén ω * kimenetel adódik, azt mondjuk, hogy A véletlen esemény bekövetkezett. Pl. Ha egy élettartam vizsgálat esetén az N t törési ciklusszámra A = {N t > 10 6 ciklus} és egy kísérletben N t =2,3.10 6 adódik, akkor A bekövetkezett! Kitüntetett események: - Ω, amely minden elemi eseményt tartalmaz: Biztos esemény Valósz. alapok/márialigeti 2008 1/15
- O, üres halmaz, amely nem tartalmaz elemet, így Ω minden halmazának eleme: Lehetetlen esemény 1.2. Mőveletek eseményekkel: Összeadás: A+B, vagy A (U) B a két esemény közül legalább az egyik bekövetkezik (egyesítés) 2. ábra. Események összeadása (unió) Szorzás: AB, vagy AI B mindkét esemény bekövetkezik (metszet) 3. ábra. Események szorzata Komplementer esemény: A komplementer eseménye: A, A+ A=Ω, A A=0 Valósz. alapok/márialigeti 2008 2/15
4. ábra. Komplementer esemény 2. GYAKORISÁG, RELATÍV GYAKORISÁG, VALÓSZÍNŐSÉG 2.1. Gyakoriság Véletlen kísérlet kimenetelét nem tudjuk megjósolni. Kísérlet sorozatot végezve, a kimenetelek alkotta esemény sorozat áttekinthetetlennek tőnik. Legyen A és B két lehetséges esemény, kimenetel. Azt tapasztaljuk, hogy a kísérletek számát növelve a k A és k B, az A és B események bekövetkezése gyakoriságainak (számának) a k A /k B hányadosa relatív stabilitást mutat, és a kísérletek n számát növelve egy meghatározott értékhez tart. Tehát az egyes események (kimenetelek) gyakoriságainak relatív súlya állandó. 2.2. Valószínőség fogalma Hozzárendelve így egy eseményhez egy tetszésszerinti számot, a relatív gyakoriságok hányadosa alapján, minden eseményhez egyértelmően tudunk egy számot hozzárendelni. Egy tetszés szerinti A eseményhez ilyen módon hozzárendelt számot P(A)-val jelöljük, és az A esemény valószínőségének nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti 2008 3/15
2.3. Relatív gyakoriság és valószínőség A valószínőség skálájának meghatározásához válasszuk ki a minden kísérlettel kapcsolatban meghatározható Ω biztos eseményt. Rendeljük ehhez az 1 értéket. n kísérlet esetén Ω gyakorisága k Ω =n. Mivel pl. k A /k Ω =áll., k A is állandó, és k A /n = áll. 1, mivel k A k Ω.. 2.2. pont alapján: P(A)=k A /k Ω.P(Ω)= k A /n.1= k A /n 1, n. A k A /n az A esemény relatív gyakorisága, és n< esetén k A /n~p(a). 0 P(A) 1. Megjegyzés: Legyenek A és B egymást kizáró események, AB=O. Ekkor k A+B = k A + k B, illetve k A+B /n = k A /n + k B /n, így P(A+B) = P(A) + P(B) 3. A VALÓSZÍNŐSÉG AXIÓMÁI (i) O P(A) 1 (ii) P(Ω) = 1 (iii) A 1, A 2,. Egymást páronként kizáró események véges vagy végtelen sorozata, azaz A i A k =O, i k, akkor P ( A ) = P( ) k A k k k A P(..) függvényt valószínőségnek vagy valószínőségeloszlásnak nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti 2008 4/15
4. ESEMÉNYEK VALÓSZÍNŐSÉGÉNEK NÉHÁNY ALAPVETİ ÖSSZEFÜGGÉSE 4.1. A lehetetlen esemény valószínősége 0, azaz P(O)= 0, és A+O=A, AO=O 4.2. P( A)= 1- P(A) 4.3. Tetszıleges A és B eseményre igaz, hogy P( AU B) = P( A) + P( B) P( AI B) 4.4. Ha a B esemény tartalmazza A-t, vagyis A B, akkor P(A) P(B) és P(A-B) = P(B) P(A) 5. ábra. Események kivonása 4.5. Feltételes valószínőség Legyen A és B két esemény, P(B)>0. T. f. h. egy kísérletsorozatban a B esemény gyakorisága k B, és ezek között k AB gyakorisággal az A is bekövetkezett. A k AB / k B hányadost az A esemény B-re vonatkoztatott relativ gyakoriságának nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti 2008 5/15
Mivel k AB /n ~ P(AB) és k B /n ~ P(B), k AB k /n P(AB) = AB ~. k k /n P(B) B B P(AB) A számot az A esemény B eseményre vonatkoztatott P(B) feltételes valószínőségének nevezzük, és P(A B)-vel jelöljük: P(A B )= P(AB) P(B) (1) 6. ábra. A feltételes valószínőség értelmezése 4.5./ Események függetlensége Az A eseményt a B eseménytıl függetlennek nevezzük, ha P(A B)= P(A). Ebbıl következik, az (1) egyenlet átrendezésével, hogy ha A független B tıl, akkor: P(AB)= P(A)P(B) (2) Valósz. alapok/márialigeti 2008 6/15
A fenti egyenlet átrendezésével: P(AB)/P(A)=P(B)=P(B A), vagyis ha A független B-tıl, akkor B is független A-tól. 5. A VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓ FOGALMA A valószínőségi változó az ω elemi események Ω halmazán értelmezett függvény. Egydimenziós eset. Olyan esetekben, amelyekben az elemi eseménnyel egyetlen számértéket lehet vagy kívánunk kapcsolatba hozni, a függvény (hozzárendelés) az elemi események terének a számegyenesre vagy annak egy részhalmazára való leképezés. 7. ábra. A valószínőségi változó értelmezése Azt a számot, amit az elemi eseményhez ilyen módon hozzárendelünk görög betővel jelöljük, és kiírhatjuk azt az ω elemi eseményt is zárójelben, amelyhez a hozzárendelés történik: ξ (ω) vagy η(ω).., egyszerően ξ vagy η. Megjegyzés: Gyakran a kísérlettel kapcsolatos esemény eleve számértékkel definiálható. Ebben az esetben az elemi eseményt önmagához rendeljük. Valósz. alapok/márialigeti 2008 7/15
Valószínőségi vektorváltozó Ebben az esetben az elemi eseményhez több számértéket rendelünk, amelyek egy vektor változó komponenseiként értelmezhetık. Ez tehát egy, az Ω halamazon értelmezett vektor függvény: ω ~ ξ ω (ξ 1, ξ 2, ξ 3,.. ξ n ) n< 8. ábra. A valószínőségi vektorváltozó értelmezése kétdimenziós esetben: ξ 1 = ξ, ξ 2 =η Sztochasztikus folyamatok Idıben lejátszódó véletlen folyamatok esetén az ω elemi eseményhez egy T idıtartományon értelmezett függvényt rendelünk. Miközben a véletlen folyamat az idıben lefut, a vizsgált rendszer egy jellemzıje minden t T idıpillanatban t tıl függı ξ t, (vagy ξ(t)) értéket vesz fel, az adott ω elemi esemény esetén. A ξ= ξ (t);ω) tehát egy kétváltozós függvénynek tekinthetı: ω=áll., rögzített ω esetén egy ξ ω (t) idıfüggvény, rögzített t T esetén ξ t (ω) függvény. Valósz. alapok/márialigeti 2008 8/15
9. ábra. Sztochasztikus folyamat értelmezése 6. VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK ELOSZLÁSAI, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY Legyen A Ω esemény, P(ω A) = P(A). Legyen továbbá a ξ(ω) E valószínőségi változóra ω A, és minden ω A-ra ξ(ω) E. Ebben az esetben P(ω A)=P(ξ(ω) E) A P(ξ(ω) E) valószínőségeloszlást a ξ(ω) valószínőségi változó valószínőségeloszlásának nevezzük. Valósz. alapok/márialigeti 2008 9/15
10. ábra. A valószínőségi változó valószínőségeloszlásának értelmezése Erre is teljesülnek a valószínőségeloszlás axiómái, ahol Ω szerepét a ξ(ω) értelmezési tartománya veszi át. ξ esetén ez az egész számegyenes. A valószínőségeloszlás megadása. A P(ξ(ω) E) események megadása tetszésszerinti E halmazra meglehetısen nehézkes. Ezért az alábbiak szerint járunk el. Legyen x a számegyenes egy tetszés szerinti, rögzített pontja, és tekintsük a valószínőséget. P(ξ(ω) E)= P{ξ(ω) ( < x )}=P(ξ<x)= F(x) Ha x et a ξ valószínőségi változó értéktartományán, pl. a x tartományon végigfuttatjuk, egy függvényt kapunk. Ezt az F(x) függvényt a ξ valószínőségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük (rövidítve eof). Valósz. alapok/márialigeti 2008 10/15
11. ábra. Az eloszlá függvény értelmezése Az F(x) eloszlásfüggvény tulajdonságai, tartomány esetén. a./ Értékkészlete: 0 F(x) 1 x a x x értelmezési b b./ F(x 1 ) F(x 2 ), ha x 1 < x 2, mivel ha ξ< x 1 ξ< x 2 c./ F x) = 0, F( x) 1, lim ( lim = x xa x xb d./ F(x) minden x-ben balról folytonos. (Mi csak folytonos eof.-al foglalkozunk) e./ ξ [a;b) esemény valószínősége P(ξ<a) + P(a ξ <b)=p(ξ<b), átrendezve P(a ξ <b)= P(ξ <b)-p(ξ<a) = F(b)-F(a) f./ ξ= a esemény valószínősége, folytonos val. vált. és eof. esetén P( a - ε < ξ < a +ε )= F(a +ε) F(a - ε) ε 0 esetén F(a ±ε) F(a), mivel F folytonos, így P(ξ=a)=0, de ez nem lehetetlen esemény. Tehát abból, hogy a lehetetlen esemény valószínősége 0, nem következik, hogy a 0 valószínőségő esemény lehetetlen. Valósz. alapok/márialigeti 2008 11/15
12. ábra. Az eloszlásfüggvény 13. ábra. A P(ξ=a ) értelmezése g./a ξ valószínőségi változót és annak F(x) eloszlásfüggvényét folytonosnak nevezzük, ha van olyan f(x) 0 függvény, hogy a számegyenes minden (a;b) intervallumára: F ( b) F( a) = P( a< x< b) = f ( x) dx Az f(x) függvényt a ξ val. vált. sőrőségfüggvényének nevezzük. a = x a, b = x esetén F( b) F( xa ) = P( xa < x< b) = f ( x) dx= F( x) x x a b a a = x, b= esetén: a x b P( xa < ξ < xb ) = f ( x) dx= 1, Valósz. alapok/márialigeti 2008 12/15 x b x a
Vagyis a sőrőségfüggvény alatti terület 1. 14. ábra. A sőrőség- és eloszlás függvény kapcsolata h./ Mivel F(x) folytonos, P(a ξ b)= P(a ξ<b)= P(a< ξ b) = P(a< ξ <b) Az elıbbiekbıl következik, hogy F(x) differenciálható, tehát df( x) f ( x) = = F ( x) dx 7. VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK JELLEMZİI 7.1. Várható érték (vé) Legyen ξ folytonos eloszlású, az xa x x folytonos F(x) eof-al. A várható érték: Valósz. alapok/márialigeti 2008 13/15 b értelmezési tartományon
x = b M (ξ ) xf ( x) dx Összeg v.é. Ha ζ= ξ+η és ξ és η v.é. létezik, akkor M(ζ)=M(ξ)+M(η), speciálisan M(ξ+c)=M(ξ)+c, c=áll. Szorzat v.é. Ha ζ= ξη és ξ és η v.é. létezik, akkor M(ζ)=M(ξ)M(η), speciálisan M(ξc)=cM(ξ), c=áll. x a 15. ábra. A várható érték értelmezése 7.2. Szórásnégyzet, szórás A D 2 (ξ ) szórásnégyzet definíció szerint a ξ-m(ξ) valószínőségi változó négyzetének várható értéke: D 2 (ξ) = M[(ξ-M(ξ)) 2 ], a D(ξ) szórás ennek pozitív négyzetgyöke: D ( ξ ) = D 2 ( ξ ) Kiszámítása a v.é. összefüggése alapján: 2 x = b D ( ξ ) ( x M ( ξ )) f ( x) dx x a Valósz. alapok/márialigeti 2008 14/15 2
16. ábra. A szórásnégyzet értelmezése Valósz. alapok/márialigeti 2008 15/15