Pere Balázs október 20.

Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20.

Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?

Rugalmasságtani alapok Dinamika Anyagtörvények Rugalmasságtani peremérték feladat megfogalmazása Rugalmasságtani peremérték feladat közeĺıtő megoldása Virtuális munka elve Virtuális elmozdulás elve Potenciális energia minimuma elv Lagrange-féle variációs elv Ritz-módszer

A végeselem módszer felépítése 3D-s feladatra Tetraéder, pentaéder és hexaéder végeselemek Elmozdulások, alakváltozások és feszültségek közeĺıtése egy végeselemen Egy végeselem alakváltozási energiája és merevségi mátrixa Külső erők munkája egy végeselemen Egy végeselem potenciális energiája Teljes szerkezet merevségi mátrixa és tehervektora i peremfeltételek figyelembevétele Megoldás: elmozdulás-, alakváltozás- és feszültségmező előálĺıtása Speciális terhelések i terhelés Rugalmas ágyazás Kiegészítések a végeselem módszerhez Numerikus integrálás: Gauss kvadratúra

Mechanikai modellek a végeselem módszerben Rúd-modellek Bernoulli-féle rúdelmélet Timoshenko-féle rúdelmélet 2D-s feladatok Általánosított síkfeszültség feladat Síkalakváltozási feladat Forgásszimmetrikus feladat Lemez- és héj-modellek Mebrán elmélet Kirchhoff-Love elmélet Reissner-Mindlin elmélet

: A kinematika a testek mozgását, alakváltozását írja le, és nem keresi a mozgást vagy alakváltozást létrehozó okokat. A kinematika szó eredete: κινε ιν (kinein), jelentése: mozogni.

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformálatlan test pontjaiba mutató vektor r = x e x + y e y + z e z

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformált test pontjaiba mutató vektor ahol r = x e x + ỹ e y + z e z x = x (x, y, z) ỹ = ỹ (x, y, z) z = z (x, y, z)

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y u = r r = ( x x) e x + (ỹ y) e y + ( z z) e z = u e x + v e y + w e z ahol u = u (x, y, z) v = v (x, y, z) w = w (x, y, z)

Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y χ ( r) egy vektor-vektor függvény, amely megadja a deformálatlan test pontjainak leképezését a deformált test pontjaira. Ez a függvény nem feltétlenül lineáris! χ ( r) = χ (x, y, z) = r

χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y vagy ugyan ez másként χ ( r P ) = r P χ ( r Q + r) = r Q + r

χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y Kérdés: Mekkora a u, ha r és r tetszőleges?

χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y r + r + ( u + u) = r + r

χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r r }{{ + u } + r + u = χ ( r + r) r

Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z r + u = χ χ χ x + y + x y z z

r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z = = ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z

Azonosság ( ) ( a b c = a ) b c

= r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z = ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z

( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z = ( ) χ = x e x ( χ + y e y ( χ + z e z ( ) ( ) χ χ e x x + x e x e y y + x e x e z z+ ) e x x + ) e x x + ( χ y e y ( χ z e z ) e y y + ) e y y + ( χ y e y ( χ z e z ) e z z+ ) e z z =

= ( ) χ = x e x ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + y e y ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + z e z ( e x x + e y y + e z z) = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z )

= r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r = χ r

Mivel χ ( r) = r és r = r + u r + u = r r = r r r = ( r + u) r = r = ( r r + u ) r r = r r }{{} I r + u u r = r + r r r

r + u = r + u r r u = u r r

Definíció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z (xyz) [ ] D = u x v x w x u y v y w y u z v z w z

A deriválttenzor felbontása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részekre D = 1 ( D + D T ) + 1 ( D D T ) } 2 {{}} 2 {{} A Ψ

Tétel Ha az u, v és w sokkal kisebb mint a test jellemző méretei, azaz az elmozdulások nagyon kicsik, akkor az A jó közeĺıtéssel az alakváltozást írja le, a Ψ pedig a tengely körüli szögelfordulást. A az alakváltozási tenzor, Ψ a forgató tenzor.

Definíció Az A = 1 ( D + D T ) = 1 ( u + u) 2 2 egyenletet kinematikai egyenletnek nevezzük. A kinematikai egyenlet kapcsolatot teremt az elmozdulások és az alakváltozások között.

Elemi triéder e z Q e x e y

A deriválttenzor szemléltetése u = D r = A r + Ψ r Ha r = e x u x = A e x + Ψ e x = α x + β x r = e y u y = A e y + Ψ e y = α y + β y r = e z u z = A e z + Ψ e z = α z + β z

Deriválttenzor szemléltetése α z βz u z e z β x e y α y Q u x u y β y e x α x

Forgás szemléltetése [ ] Ψ = (xyz) Megjegyzés: ahol ( 1 v 2 1 2 1 0 ) 2 x u y ( w x u z = ) ( u y v 1 ( u x) 2 z w ( x 1 0 v 2 z w y ( 1 w 2 y v z ) 0 ψ z ψ y ψ z 0 ψ x ψ y ψ x 0 β n = Ψ n = ψ n. ψ = ψ x e x + ψ y e y + ψ z e z 0 ) ) =

Forgás szemléltetése ψ y β z ψ x ϕ x ϕ y e z ϕ y Q ψ y β x ψ x βy ψ z ϕ z e x ϕ x ϕ z e y ψ z

szemléltetése [ ] A = (xyz) 1 2 1 2 vagy tömörebben u ( x v x + u y ( w x + u z ) ) ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ( u x) 2 z + w x ) A = 1 ( u + u) 2 1 2 ( v z + w y w z ) )

Alakváltozás szemléltetése w z ( 1 u + ) w 2 z x α z ( 1 v + ) w 2 z y e z ( 1 w + ) u 2 x z Q ( 1 w + ) v 2 y z α x ( 1 v + ) u u x 2 x y e x e y v y α y ( 1 u + ) v 2 y x

Ha a kezdetben egységnyi hosszúságú szakaszok hossza csak kis mértékben változik meg és a koordináta-tengelyek kezdetben kilencven fokos szöge csak kis mértékben csökken vagy növekszik, azaz u x 1 v y 1 w z 1 és 1 2 ( u y + v ) 1 x ( 1 v 2 z + w ) 1 y ( 1 w 2 x + u ) 1 z

akkor a fajlagos nyúlások az ε x u x ε y v y ε z w z összefüggésekkel, a szögtorzulások pedig a 1 2 γ xy = 1 ( ( 1 u 2 γ yx = arc tg 2 y + v )) 1 ( u x 2 y + v ) x 1 2 γ yz = 1 ( ( 1 v 2 γ zy = arc tg 2 z + w )) 1 ( v y 2 z + w ) y 1 2 γ zx = 1 ( ( 1 w 2 γ xz = arc tg 2 x + u )) 1 ( w z 2 x + u ) z összefüggésekkel kaphatók.

[ ] A = (xyz) 1 2 1 2 u ( x v x + u y ( w x + u z ) ) ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ε x 2 γ xy 1 1 ( u x) 2 z + w x ) 1 2 γ xz 2 γ 1 yx ε y 1 2 γ 1 zx 2 γ zy ε z 2 γ yz 1 2 ( v z + w y w z ) )

Alakváltozás szemléltetése ε y 1 2 γ xz α z 1 2 γ yz e z α x 1 2 γ zx e x Q e y 1 2 γ zy α y 1 2 γ xy 1 2 γ yx ε x ε y

i egyenlet Skalár egyenletek ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x γ yz = v z + w y γ zx = w x + u z ε z = w z

/ A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2 = 1 u 2( }{{} + }{{ } u ) = 0 0 0

i egyenlet Az A = 0 egyenletet kompatibilitási egyenletnek nevezzük.