Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W q az dimeziós tér k-dimeziós altere. 3. tétel. Legye K [,k,d] kód (k ). Ekkor d(k)w(k) Bizoyítás. Legye dd(k), ww(k). Ekkor u, v K, melyre d(u, v)d. A kód lieáris, így a két vektor külöbsége is kódszó: u vu K. w(u )d, így va d súlyú vektor K-ba, ezért w d. ww(k) miatt u K: w(u)w, d(u,)w, ezért d w. dw 27. május 3. Hibajavító kódok 2.
Defiíció. a, b skalár (belsı) szorzata F q a és b ortogoálisak, ha (a, b). ( a, b ) a T b a i i bi a öortogoális, ha (a, a). (, k ) W q 4. tétel. ortogoális altere (, k ) W q F q midazo vektoraiak a halmaza, melyek mide vektorára merılegesek: (, k ) W q (, k ) W q F q az ( k) -dimeziós altere. (, k ) (, k W q W q ) 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 2
Defiíció. (, k ) Legye W q [,k] kód (>k). A kód geerátormátrixa a (, k ) W q egy bázisáak elemeibıl, mit sorvektorokból álló G mátrix. A kód (paritás-)elleırzı mátrixa a W (, k ) q egy bázisáak elemeibıl, mit sorvektorokból álló H mátrix. Megjegyzés. Egy kódak általába több geerátormátrixa és több paritáselleırzı mátrixa is lehet. 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 3
5. tétel. Legye az F q fölötti [,k] kód geerátormátrixa G, elleırzı mátrixa H.. Ekkor G (k )-es, k ragú, H (( k) )-es, k ragú F q fölötti mátrix. 2. H G T. 3. v F q akkor és csak akkor kódszó, ha H v. Bizoyítás.. G (k )-es, k ragú, H (( k) )-es, k ragú mátrix: Következméye a defiícióak. 2. H G T : A szorzás sorá H egy-egy soráak a skalárszorzatát képezzük G egy-egy sorával. Mide skalárszorzat eredméye, mert H sorvektorai merılegesek G mide egyes sorvektorára. A H G T szorzat egy csupa -ból álló ( k)xk mérető mátrix. 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 4
F q 3. Legye v kódszó. Ekkor merıleges H mide sorára, tehát H v eredméye ( k) elemő ullvektor. F q Fordítva: Ha v em kódszó, akkor em merıleges H mide sorára, s így a H v szorzat eredméye sem ullvektor. 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 5
Kódolás lieáris kóddal: Legye K [,k] q kód. A kódszavak az dimeziós tér k dimeziós alteréek szavai, és az altér bármely bázisa alkalmas geerátormátrix képzésére. Közleméyszavakhoz kódszavakat redelük: egy rögzített G geerátormátrixszal dolgozuk. A k közleméyszavak k hosszú vektorok, az F q elemei. k u F egy lehetséges közleméyszó és u T Gv T q. v F q vektor az u kódja. A kódolás sémája: közleméyszavak kódszavak k F q F q k u F q u T Gv T v F q u v 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 6
8. példa. Az 6. példa kétszeres ismétlés kódja lieáris kód, geerátormátrixa G(I k I k ). (I k kxk mérető egységmátrix) A háromszoros ismétlés kódja szité lieáris, geerátormátrixa G(I k I k I k ). Hasolóa lieáris a paritáselleırzı kód is, geerátormátrixa G(I k I). ( I csupa -esbıl álló oszlopvektor.) 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 7
9. példa. Az alábbi kódok esetébe állapítsuk meg a miimális távolságot, a hibajelzı, illetve hibajavító képességet, valamit azt, hogy melyik lieáris, a lieárisokak pedig adjuk meg a geerátormátrixát. a. Legye k3, 4, és az üzeetekhez az alábbi szabállyal redeljük hozzá a kódszavakat. (α, α 2, α 3 ) (α, α 2, α 3, α +α 2 +α 3 +) ---------------------------------------------------------------------------- d2, mert ha az üzeetbe egy jelet megváltoztatuk, a kódszóba két jel változik. d d- hibajelzı és hibajavító. 2 A kód em lieáris, mert például a vektor em kódszó. 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 8
b. Legye k3, 5, és az üzeetekhez az alábbi szabállyal redeljük hozzá a kódszavakat. (α, α 2, α 3 ) (α, α 2, α 3, α, α 2 +α 3 ) ------------------------------------------------------------------------- d2, mert ha az üzeetbe egy jelet megváltoztatuk, a kódszóba két jel változik. d- hibajelzı d 2 hibajavító. A kód lieáris G 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 9
c. k3, 5, és az üzeetekhez az alábbi szabállyal redeljük hozzá a kódszavakat. (α, α 2, α 3 ) (α, α 2, α 3, α, max (α 2, α 3 )) ------------------------------------------------------------------------- d, mert va egymástól távolságra lévı két kódszó. Például ( ) és ( ). A kód d- hibajelzı és hibajavító. A kód em lieáris, mert va két olya kódszó, amelyek összege em kódszó, s így az összeadás (valamit a kivoás is) kivezet a kódszavak halmazából. Például u T ( ) és u 2T ( ) kódszavak, de u T + u 2T ( ) em kódszó. 27. május 3. Hibajavító kódok 2.
6. tétel. Ha egy [,k] kód geerátormátrixa G(I k P) k k ( k) alakú, akkor a H ( P T I -k ) mátrix a kód elleırzı mátrixa. ( k) ( k) k (P tetszıleges mátrix.) Bizoyítás. Elég belátuk azt, hogy H G T. Blokkokéti szorzással a következıt kapjuk: ( T ) I k T T P I P + P k Megjegyzés. Hasolóa igaz az is, hogy ha egy [,k] kód elleırzı mátrixa H (I -k R) alakú, ahol R tetszıleges (( k) k) mérető mátrix, akkor a G( R T I k ) mátrix megfelel geerátormátrixak. A kételemő test fölött P helyett P is irható, mert F 2 -be. 27. május 3. Hibajavító kódok 2. P T
27. május 3. Hibajavító kódok 2. 2. példa. Adjuk meg a 9. példába szereplı lieáris kód elleırzı mátrixát a geerátormátrix felhaszálásával. Az elızı tételt alkalmazzuk. H G
7. tétel. Egy [,k,d] kód H elleırzı mátrixába va d lieárisa összefüggı oszlop, de bármely d-él kevesebb oszlop lieárisa függetle. Bizoyítás. Egy [,k,d] kód H elleırzı mátrixába va d lieárisa összefüggı oszlop: a következı módo lehet ilyet találi: dd(k)w(k) miatt u K: w(u)d. u ba d helye em ulla érték áll, a többi helye ulla. H u: H oszlopaiak vesszük a lieáris kombiációit, és u elemei az együtthatók. A lieáris kombiációba potosa d számú együttható külöbözik ullától. A megfelelı d oszlop H-ba lieárisa összefüggı. 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 3
H-ba bármely d-él kevesebb oszlop lieárisa függetle: Legye <d <d és tegyük fel, hogy H-ba va d összefüggı oszlop. Így va H oszlopaiak olya lieáris kombiációja, amelybe ez a d oszlop em mid ullával szorzódik, a többi együttható azoba mid ulla, s az eredméy a ullvektor. Az együtthatókból készítsük egy u vektort. Egyrészt H u, emiatt u kódvektor. Másrészt w(u )d, így a kód súlya és ezzel együtt a távolsága kisebb lee d-él, ami elletmodás. Beláttuk, hogy mide d-él kevesebb oszlop lieárisa függetle H-ba. 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 4
. példa. Adjuk meg a. példába szereplı lieáris kód H elleırzı mátrixáak segítségével a kód távolságát és hibajelzı, valamit hibajavító képességét. ----------------------------------------------------------------------- Az elleırzı mátrixba va két összefüggı oszlop (a 2. és a 3.), bármely oszlop ömagába lieárisa függetle (em szerepel köztük a ullvektor), Így d2, -hibajelzı és -hibajavító a kód. (Más meggodolással a 7.b példába ugyaezt kaptuk.) 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 5
8. tétel. (Sigleto korlát) [,k,d] kódba d k+. Bizoyítás. H ragja k, emiatt H-ba a függetle oszlopok száma k. Elızı tétel szerit H-ba bármelyik d oszlop lieárisa függetle. Így d k d k+ Defiíció. Az [,k,d] kód maximális távolságú, ha d-k+. Jelölése: MDS kód. (S: szeparábilis). 27. május 3. Hibajavító kódok 2. 6
27. május 3. Hibajavító kódok 2. 7 3. példa. Egy biáris kód geerátormátrixa G. Adjuk meg a kód paritáselleırzı mátrixát és a távolságát. --------------------------------------------------------------------------------------- Bázistraszformáció a sorvektoroko: ugyaaak az altérek másik bázisát kapjuk, ugyaaz a mátrix lehet az elleırzı mátrix. Az. sort adjuk a 2.-hoz. 4--3-2 permutáció 2-3--4 permutáció G G G 2 2 H H H
27. május 3. Hibajavító kódok 2. 8 A kód távolsága d2, mert H-ba va két összefüggı oszlop (3. 7. ), de midegyik oszlop ömagába függetle. H H