Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19.
Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása nem befolyásolja lényegesen a berendezés működését. Az egzisztencia és unicitás tétel utáni megjegyzés: a megoldás folytonosan függ a kezdeti feltételektől véges intervallumra vonatkozóan.
Alapfogalmak Definíció Az (1) KÉF x(.; t 0, x 0 ) megoldása Ljapunov értelemben stabilis, ha 1. ρ > 0, hogy ha x 1 x 0 < ρ, akkor az x(.; t 0, x 1 ) értelmezve van a [t 0, ) intervallumon. 2. ε > 0 esetén δ, 0 < δ ρ, hogy ha x 1 x 0 < δ, akkor x(t; t 0, x 1 ) x(t; t 0, x 0 ) < ε, t t 0.
Alapfogalmak Definíció Az (1) KÉF x(.; t 0, x 0 ) megoldása aszimptotikusan stabilis, ha 1. stabilis; 2. δ ρ, hogy ha x 1 x 0 < δ, akkor x(t; t 0, x 1 ) x(t; t 0, x 0 ) 0, ha t. Definíció Az (1) KÉF x(.; t 0, x 0 ) megoldása instabil, ha nem stabilis.
Lineáris rendszerek megoldásainak stabilitása Tétel Tegyük fel, hogy dx = A(t)x + b(t), t (, ) dt egyenletben A(.), b(.) folytonosak (, )-n, a t ϕ(t) egy megoldása a fenti egyenletnek, ami stabilis, illetve aszimptotikusan stabilis. Ekkor a fenti egyenlet bármely megoldása stabilis, illetve aszimptotikusan stabilis.
Állandó együtthatós homogén lineáris DE rendszerek Tekintsük az alábbi egyenletet. (H) dx dt = Ax, A Rn n. Az x(t) 0 mindig megoldása (H)-nak. Ha x 0 olyan, hogy Ax 0 = 0, akkor x(t; 0, x 0 ) x 0 szintén megoldás - ezt a (H) rendszer egyensúlyi helyzetének nevezzük. Általánosan használt elnevezés. Az x 0 állandó vektort az ẋ = f (t, x) DE rendszer egyensúlyi helyzetének (vagy más szóval pontmegoldásának, vagy szinguláris megoldásának) nevezzük, ha f (t, x 0 ) 0.
Stabilis polinomok (H) egyensúlyi helyzeteinek stabilitási viszonyait a karakterisztikus polinom gyökei határozzák meg. Definíció A p(λ) = a n λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 1 λ 1 + a 0, (a i R, i = 0, 1,...n) polinomot stabilis polinomnak vagy Hurwitz polinomnak nevezzük, ha p minden gyökének valós része negatív. Tétel Ha a p(λ) = a n λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 1 λ 1 + a 0, (a i R, i = 0, 1,...n) stabilis polinom, és a n > 0, akkor a j > 0, j = 0, 1,..., n 1.
Stabilis polinomok Megjegyzés. Ha n = 1, vagy n = 2, akkor a fenti feltétel elegendő is a p(λ) stabilitásához: n = 1 : aλ + b = 0, ha a > 0, b > 0, akkor λ = b a < 0. n = 2 : aλ 2 + bλ + c = 0, ha a > 0, b > 0, c > 0, akkor b 2 4ac < b 2 λ 1,2 = b ± b 2 4ac, Re λ 1,2 < 0. 2a Az n > 2-re ez már nem igaz!
Ruth-Hurwitz kritérium Tétel A p(λ) = a n λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 1 λ 1 + a 0, (a i R), a n > 0 akkor és csak akkor stabilis polinom, ha a k > 0, k = 0, 1,...n, és a a 1 a 0 0 0 0 0 0 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0..... a 2n 3 a 2n 4 a n a n 1 R (n 1) (n 1) mátrix determinánsa és összes bal felsõ főminorja pozitív, ahol a m = 0, m > n.
Egyensúlyi helyzet stabilitása sajátértékekkel A (H) DE rendszer x = 0 egyensúlyi helyzetére érvényes a következő: Tétel Jelölje λ k az A mátrix sajátértékeit, ha k = 1,..., n. a. k-ra Reλ k < 0, (k = 1,..., n, ) akkor és csak akkor teljesül, ha x = 0 aszimptotikusan stabilis. b. Ha k 0, hogy Reλ k0 > 0, akkor x = 0 instabil.
Kétdimenziós homogén lineáris DE rendszer egyensúlyi helyzetének osztályozása ( ) ( ) ẋ 1 = ax 1 + bx 2, a b ẋ 2 = cx 1 + dx 2,, A = x1, x =. c d x 2 Jelölje λ 1 és λ 2 az A mátrix sajátértékeit, amelyekre λ 1 λ 2 (így indexeztük). Tegyük fel, hogy 2 db lineárisan független sajátvektor: s 1, s 2. Ekkor x 1 (t) = e λ 1t s 1, x 2 (t) = e λ 2t s 2 lineárisan független megoldások, és bármely megoldás megadható alakban. x(t) = c 1 e λ 1t s 1 + c 2 e λ 2t s 2
I. Valós sajátértékek esete Tegyük fel hogy λ 1, λ 2 R. Ekkor s 1, s 2 valós vektorok. Jelölje: ξ 1 (t) = c 1 e λ 1t ; ξ 2 (t) = c 2 e λ 2t. Ez a trajektória paraméteres egyenletét adja az s 1, s 2 koordinátarendszerben. Tegyük fel, hogy λ 1 0, és c 1 0. Ekkor ) c1 ξ 2 (t) = c 2 ( λ 2 e λ λ 1t 1 c 1 tehát λ 2 λ ξ 2 = k ξ 1 1 görbe egyenlete az s 1, s 2 koordinátarendszerben.
I. Valós sajátértékek esete I./1. λ 1 > 0 > λ 2 Ekkor x = 0 instabil egyensúlyi helyzet, mégpedig nyeregpont. Itt x 1 (t), t, x 2 (t) 0 t. Vegyük észre, hogy c 1 = 0 esetén a trajektória az s 2 tengelyen, c 2 = 0 esetén a trajektória az s 1 tengelyen mozog. Ha az általános megoldásban c 1 0, c 2 0, akkor µ = λ 2 λ 1 jelöléssel egy általánosított hiperbola. ξ 2 = k ξ µ 1, 0 < µ
I. Valós sajátértékek esete I./2. λ 1 > λ 2 > 0 Ekkor x = 0 instabil egyensúlyi helyzet, mégpedig instabil csomó. Itt x 1 (t), t, x 2 (t), t. Vegyük észre, hogy most is c 1 = 0 esetén a trajektória az s 2 tengelyen, c 2 = 0 esetén a trajektória az s 1 tengelyen mozog. Ha az általános megoldásban c 1 0, c 2 0, akkor µ = λ 2 λ 1 jelöléssel ξ 2 = k ξ µ 1, 0 < µ < 1 egy általánosított parabola, (másodfajú csomó).
I. Valós sajátértékek esete I./3. λ 1 < λ 2 < 0 Ekkor x = 0 stabilis egyensúlyi helyzet, mégpedig stabilis csomó. Itt x 1 (t) 0, t, x 2 (t) 0, t. A fázisportré analóg az I./2. esettel, csak a trajektóriák befutása ellentétes irányú.
I. Valós sajátértékek esete I./4. λ 1 = λ 2 > 0 ill. I./5. λ 1 = λ 2 < 0 Ekkor x = 0 I./4. esetben: instabil egyensúlyi helyzet, mégpedig instabil csomó, I./5. esetben: stabilis egyensúlyi helyzet, mégpedig stabilis csomó, (elsődfajú csomók). Most is c 1 = 0 esetén a trajektória az s 2 tengelyen, c 2 = 0 esetén a trajektória az s 1 tengelyen mozog. Mivel mindkét esetben µ = λ 2 λ 1 = 1, ezért ha az általános megoldásban c 1 0, c 2 0, akkor ξ 2 = k ξ 1, aminek a grafikonja egy egyenes, így a trajektóriák egy félegyenesen mozognak.
I. Valós sajátértékek esete Ekkor az I./6. λ 1 > λ 2 = 0 ill. I./7. λ 1 < λ 2 = 0 x = c 2 s 2 pontok nem izolált egyensúlyi helyzetek. Valóban, bármely megoldás megadható x(t) = c 1 e λ 1t s 1 + c 2 s 2 alakban, ami c 1 = 0 esetén az s 2 tengely egy pontját jelenti. Az s 2 tengely pontjai I./6. esetben: nem izolált instabil egyensúlyi helyzetek, I./7. esetben: nem izolált stabilis (de nem aszimptotikusan stabilis) egyensúlyi helyzetek. A trajektóriák az s 1 tengellyel párhuzamos egyenesek mentén mozognak.
I. Valós sajátértékek esete I./8. eset: A = ( 0 0 0 0 A sík minden pontja egyensúlyi helyzet, mégpedig nem izolált stabilis (de nem aszimptotikusan stabilis) egyensúlyi helyzet. Itt NEM tárgyalt esetek: λ 1 = λ 2 > 0, λ 1 = λ 2 < 0, λ 1 = λ 2 = 0, ) és nincs két lineárisan független sajátvektor.