6. gyakorlat: Lineáris rendszerek fázisképei

Átírás

1 6. gyakorlat: Lineáris rendszerek fázisképei A fáziskép meghatározása az együtthatómátrix nyoma és determinánsa segítségével a következőképpen lehetséges. Az x'ax egyenletben ahol A a b az együtthatómátrix karakterisztikus egyenlete: c d Λ adλadbc. Az A mátrix nyoma és determinánsa: T :TrAad D:detAadbc A sajátértékek: Λ T T 4D. Tegyük fel hogy T 4D. Ekkor. T 4D T azorigóstabilfókusz (negatív valós részű komplex sajátértékek). T 4D T azorigóinstabilfókusz (pozitív valós részű komplex sajátértékek). T 4D T azorigócentrum (nulla valós részű komplex sajétértékek) 4. T 4D D azorigónyereg (egy pozitív és egy negatív valós sajátérték) 5. T 4D D T azorigóinstabilcsomó (két különböző pozitív valós sajátérték) 5. T 4D D T azorigóstabilcsomó (két különböző negatív valós sajátérték) D stabil fókusz instabil fókusz centrum stabil csomó instabil csomó nyereg T

2 transzport-gy6.nb Feladatok. Vázolja az alábbi rendszerek fázisportréit. Oldjuk meg a feladatot kétféleképpen a sajátértékek kiszámításával illetve az együtthatómátrix nyoma és determinánsa segítségével is.. a) x'xy y'xy b) x'xy y'xy c) x'x y'xy d) x'xy y'6x5y e) x'4x y y'x4y f) x'x5y y'xy g) x'xy y'y h) x'xy y'xy Vázolja az x'ax rendszer fázisportréit a paraméter lényegesen különböző értékeire. A paraméter mely értékeinél lép fel bifurkáció? a) A a b) A p c) A p p p HF: d) A p p e) A p Megoldások. feladat. a) x'xy y'xy A ; EigensystemA StreamPlotxy xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4

3 transzport-gy6.nb. b) x'xy y'xy az origó nyereg A ; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA StreamPlotxy xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. c) x'x y'xy az origó instabil csomó A ; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA 4 4 StreamPlotx xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. d) x'xy y'6x5y az origó stabil fókusz A 6 5; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA 4 6

4 4 transzport-gy6.nb StreamPlotxy 6x5y x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. e) x'4x y y'x4y az origó stabil csomó A 4 4; EigensystemA 5 TrA DetA TrA 4DetA StreamPlot4x y x4y x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. f) x'x5y y'xy az origó centrum A 5 ; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA 6 4

5 transzport-gy6.nb 5 StreamPlotx5y xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. g) x'xy y'y az origó instabil elfajult csomó A ; EigensystemA StreamPlotxy y x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. h) x'xy y'xy az origó instabil fókusz A ; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA 5 6

6 6 transzport-gy6.nb StreamPlotxy xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 Megoldások. feladat. a) első megoldás Az A a mátrix sajátértékei: Eigensystem a a a a a ) Ha a akkor A-nak két negatív valós részű komplex sajátértéke van az origó stabil fókusz ) Ha a akkor A mindkét sajátértéke az origó stabil elfajult csomó ) Ha a akkor A-nak különböző valós sajátértékei vannak: Λ 4a és Λ 4a. Látható hogy Λ mindig negatív de Λ lehet pozitív nulla és negatív. a) Ha a.5 akkor Λ Λ elfajult eset a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll b) Ha a.5 akkor Λ Λ az origó stabil csomó c) Ha a.5 akkor Λ Λ az origó nyereg A rendszernek bifurkációja van a -nél és a.5-nél. Néhány ábra a következő paraméterértékekre: a4.8.5.

7 transzport-gy6.nb 7 plota : StreamPlotxay xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 plot4 plot plot.8 plot.5 plot plot. a) második megoldás Az A a mátrix nyoma és determinánsa: T Da T 4D44a68a Az alábbi hat (nemelfajuló) esetet vizsgáljuk:. T 4D T 68a a az origó stabil fókusz. T 4D T : nemlehet. T 4D T : nemlehet 4. T 4D D 68aés a a.5 az origó nyereg 5. T 4D D T : nemlehet 5. T 4D D T 68aés a a.5 az origó stabil csomó A rendszernek bifurkációja van a -nél és a.5-nél (elfajult esetek).. b)

8 8 transzport-gy6.nb Az A p mátrix sajátértékei: Eigenvalues p 4p 4p ) Ha p 4 akkor A-nak két pozitív valós részű komplex sajátértéke van az origó instabil fókusz ) Ha p4 akkor A mindkét sajátértéke az origó instabil elfajult csomó ) Ha p4 akkor A-nak különböző valós sajátértékei vannak: Λ 4p és Λ 4p. Látható hogy Λ mindig pozitív de Λ lehet pozitív nulla és negatív. a) Ha p akkor Λ Λ elfajult eset a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll b) Ha 4 p akkor Λ Λ az origó instabil csomó c) Ha p akkor Λ Λ az origó nyereg A rendszernek bifurkációja van p 4-nél és p -nál. Néhány ábra a következő paraméterértékekre: p plota : StreamPlotxy axy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 plot8 plot4 plot.5 plot plot plot. c) Az A a a a mátrix sajátértékei: Eigenvaluesa a a a a Látható hogy a Λ a és Λ a sajátértékek mindig valósak. Elfajult esetek: ha a akkor Λ 6 Λ a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll

9 transzport-gy6.nb 9 ha a akkor Λ Λ 6 a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll Nemelfajult esetek:. Λ és Λ pontosanakkor ha a az origó instabil csomó. Λ és Λ különböző előjelű pontosan akkor ha a az origó nyereg. Λ és Λ pontosanakkor ha a az origó stabil csomó A rendszernek bifurkációja van a -nél és a -nál. Néhány ábra a következő paraméterértékekre: a5 5. plota : StreamPlotaxay ax x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 plot5 plot plot plot plot plot5