Matematika A2b. 1. Előadás. Lineáris Algebra. 2 - és 3 változós lineáris egyenletrendszerek

Átírás

1 Matematika A2b Előadó: Wettl Ferenc Jegyzetkészítő: Gangl Attila József. Előadás A honlapon fenn lesznek a dolgok (ZH időpontok stb.) Lineáris algebra is lesz anyag A lineáris algebra a lineáris egyenletek megoldásáról szól kb. Lineáris Algebra 2 - és 3 változós lineáris egyenletrendszerek Példa: (a) x-y= x-y=x-y= x=2 x+2y=4 3y=3 y= y= (b) (c) (,)x + (-,2)y = (.4)

2 Példa: 2 = 4 2 Példa : = 3 = =2 x=2; y=; (x,y,z)=(3-2s-t,s,t)=(3,,)+(-,,)t+(-2,,)s = (, 2, ) 2 Példa: 2 dimenzióban 3 x+2y+z=3 3 2 = Példa: 3 dimenzióban (a) (b) megoldás megoldás ( dim) megoldás ( dim) megoldás (2 dim) megoldás

3 megoldás Definíció: lineáris egyenletrendszer - véges sok elsőfokú egyenlet - véges sok ismeretlen Az általános alakja m egyenlet n ismeretlen esetén a, x +a,2 x 2 + +a,n +x n =b a 2, x +a 2,2 x 2 + +a 2,n +x n =b a m, x +a m,2 x 2 + +a m,n +x n =b Definíció: Mátrix: téglalap alakú táblázat (pl.: számtáblázat),,, = =,,, = [ ],,, Megjegyzés: a i-,j A A Definíció: egyenletrendszer együtthatómátrixa:,,,,,, kibővített mátrixa:,,,,,, Definíció: nxn-es mátrix négyzetes mátrix nx.es mátrix oszlopvektor, vektor xn-es mátrix sorvektor Definíció: [ 3 5] és 3 azonosak 5 Jelölések: = = = [ ] = [ ] = Megjegyzés: = Definíció: a rendezett szám n-eseket n-dimenziós vektoroknak nevezzük (,,, ) = ezek tere R n =R*R* *R

4 Definíció: v=(v,,v n ) w=(w,,w n ) (a) v = w i=..n; v i =w i (b) v + w := (v + w,, v n + w n ) (c) cv := (cv,,cv n ) (d) v * w := (v w,, v n w n ) (e) v = (v 2 + +v n 2 ) (f) d(v,w)= (v -w ) 2 + (v n -w n ) 2 (g) cos=(v * w)/ ( v * w ) (h) v w v * w = Tétel: (a) Pitagorasz tétel: ha v w, akkor v 2 + w 2 = v + w 2 (b) háromszög egyenlőtlenség: v + w v + w ill. d(u, v) + d(v, w) d(u, w) Példa: 4 dimenziós kocka (kép) 2 dimenzió 3 dimenzió 4 dimenzió Gauss Jordan elimináció: (kiküszöbölés) Példa: = 2 = = 3

5 2. előadás Egyenletrendszer elemi átalakulásai: () Két különböző egyenlet felcserélése (2) Egyenlet számmal való leosztása (3) Egyenlet szorosának egy másikhoz adása Tétel: elemi átalakítás az egyenlet megoldásainak halmaza nem változik (azonos, ekvivalens) Bizonyítás: () (2) (3) Definíció: mátrix elemi átalakulásai () 2 különböző sor cseréje elemi sorművelet (2) egy sor val való szorzása (3) egy sor szorosának egy másikhoz adása Példa: amelyik véletlenül nullázódik szabad változó itt az: y ++2 = = = + egyes paraméteres egyenletrendszer ez a Gauss módszer: mindig működik csak alatta lévőt nullázzuk (fölé nem megyünk, mint a Gauss Jordan ban) Itt egy változót, mihelyt megtudjuk, visszahelyettesítjük. Itt: z = 2 x = - t 2!!! Gauss Jordan: = + = redukált sorlépcsős alak (alatta, felette db -es van) Definíció: sorlépcsős alak az M mátrix sorlépcsős alakú (row echelon form), ha. a csupa sorok M utolsó sorai 2. a nem sorok első nem eleme (vezető -es, priot) 3. a kisebb sorszámú sor vezető egyese balra van a nagyobb sorszámúétól. ha még az is igen, hogy 4. minden sor vezető -ese fölött áll. akkor M redukált sorlépcsős alakú sorlépcsős alakú

6 2 3 redukált sorlépcsős alakú ha ez egy egyenletrendszer kibővített mátrixa nincs megoldás Tétel: (a) bármely mátrix elemi sorműveletekkel sorlépcsős alakra hozható (b) bármely mátrix elemi sorműveletekkel redukált sorlépcsős alakra hozható (ez magába foglalja az (a) pontot is.) Definíció: Gauss elimináció (Gauss módszer, Gauss kiküszöbölés): Tétel (a) Gauss Jordan: Tétel (b) Megjegyzés: Egy egyenletrendszer megoldhatósága és ha megoldható, akkor megoldási halmaz azonnal leolvasható a (redukált) sorlépcsős alakból. Gauss módszerrel visszahelyettesíteni kell. Mátrixok Definíció: A mxn + B mxn := [a ij ] mxn + [b ij ] mxn := [a ij + b ij ] mxn c: konst c*a mxn = c[a ij ] mxn := [ca ij ] mxn Példa: = Magyarázat: ax=b együttható mátrixa: [a] [a][x]=[b] : = : A*x = b ennek kell lennie = A mxn * x mxn = B mxn Definíció: mátrixszorzás A mxn *B nxk =[a ij ] mxn + [b jl ] nxk := [c il ] mxk, ahol c il = (a ij * b jl ) Példa:. sor. oszlop skaláris szorzata első elem, = = + sor oszlop (azonos sorszámút szorzunk azonos oszlopszámúval) = +

7 3 Példa: = Megjegyzés: az egyenletrendszer mátrix szorzatos alakja A*x=b Megjegyzés: = [ [ =[ =[ lineáris kombinácó =[ A minden oszlop az A oszlopának lineáris kombinációja. 3. előadás Definíció: Az a, a 2,, a n vektorok lineáris kombinációin a k a + k 2 a k n a n vektorokat értjük. Megjegyzés: Az A x = b azaz [a,a 2,,a n ]x = b egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha az a,a 2,,a n vektoroknak van olyan lineáris kombinációja mely = b. a, x +a,2 x 2 + +a,n +x n = b = a 2, x +a 2,2 x 2 + +a 2,n +x n = b = : + : + + = : : i[ - ] j[ ] = i j [+ Állítás: (a) Az AB szorzat bármelyik oszlopa (oszlopvektora) az A oszlopainak lineáris kombinációja. (b) Az AB szorzat bármelyik sor (sorvektora) a B sorainak lineáris kombinációja. [ ] mxn *[ ] nxk = [ ] mxk i[ -]* = i[ -] Definíció: Több egyenletrendszert, melyeknek azonos az együtthatómátrixuk, szimultán egyenletrendszernek nevezzük: Ax = b, Ax 2 = b 2,, Ax k = b k, = A[x, x 2,,x k ]=[ b, b 2,, b k ] = AX=B Oldjuk meg: x+y=2 x-y= x+y=4 x-y=-2 Megoldás: Tétel: (a mátrix összeadás, szorzás és skalárral való szorzás tulajdonságai) A, B, C mátrixok és k, l R (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B + C) = AB + AC (e) (A+ B)C = AC + BC

8 (f) k(a + B) = ka + kb (g) (k + l)a = ka + la (h) (kl)a = k(la) (i) k(ab) = (ka)b Megjegyzés: általában AB BA = = Bizonyítás: (c) A:= [a ij ] mxn B:=[b jk ] nxr C:=[c kl ] rxs (AB) ik = (i és k rögzítve) ((AB)C) il = ( ) (i és l fix) (BC) jl = (j és l rögzítve) ) (A(BC)) il = ( ( ) Definíció: mátrix transzponáltja a sorok és oszlopok felcserélésével kapott mátrix. Jel: A T Állítás: A mxn, B nxk szorzata: (AB) T = B T A T Definíció: zérus mátrix (nullmátrix), amelynek minden elem. Példa: ; ; Definíció: csupa -mátrix J = Példa: = Definíció: egységmátrix I n = E n =

9 Állítás: A mxn, B nxk mátrixra A mxn I n = A mxn I n B nxk = B nxk Példa: = Definíció: Az A mxn mátrix inverzén az A - -el jelölt mátrixot értjük melyre: A*A - = A - *A = I n Állítás: Ha A invertálható, akkor csak inverze van. Bizonyítás: X és X két inverz: AX = XA = AX = X A = I X = XI = X(AX ) = (XA)X = IX = X Példa: AX = I = = Ellenőrzés: 3 2 = Példa: 2x2-es mátrix inverze = Megoldás: = 2 3 Példa: 2 2 Megoldás: Tehát a mátrix nem invetálható! nincs megoldás (ellentmondtás) Állítás: Ha A és B nxn-es invertálható mátrixok akkor AB is invertálható és: (AB) - =B - A - Bizonyítás: (AB)*(B - A - ) = ((AB)*B - )*A - = (A*(BB - ))A - = AA - = I hasonlóan: (B - A - )(AB) = I Következmény: Ha A, A 2,, A m invertálható nxn-es mátrixok, akkor szorzatuk is invertálható és: (A, A 2,, A m ) - = A m -,, A 2 -, A -

10 Megjegyzés: a nem invertálható négyzetes mátrixokat szinguláris mátrixoknak nevezzük. (Az invertálhatók a nem szingulárisak) Definíció: az A mátrix a ii alakú elemeit az A főátlójának nevezzük. Ennek összege a mátrix nyoma (trace). Jelölés: tr(a) Példa: A = 3 tr(a)=+5=6 2 5 Tétel: (transzponálás tulajdonságai) () (A T ) T = A (2) (A±B) T = A T ±B T (3) (ca T ) = c*a T c R (4) (AB) T = B T *A T Tétel: (inverz tulajdonságai) () (A - ) - = A (2) (A n ) - = (A - ) n = A -n (3) (AB) - = B - *A - (4) (ka) - = k - *A - k R/{} 4. előadás Tétel: (nyom tulajdonságai) A és B négyzetes mátrixok () tr(a±b) = tra ± trb (2) tr(ca) = c*tr(a) (3) tr(a T ) = tr(a) (4) tr(ab) = tr(ba) Megjegyzés: u és v nx-es mátrixok, akkor vektorként tekintve őket, skaláris szorzatuk u T *v [ ] = [ ] Megjegyzés: u*v T.. : [....] = : : : Megjegyzés: Ha A négyzetes invertálható, akkor az Ax = b egyenletrendszer egyértelműen megoldható, megoldása: x = A - b Megjegyzés: Hasonlóképp, ha A négyzetes, invertálható, akkor Ax = B szimultán egyenletrendszer egyértelműen megoldható, megoldása: x = A - B Példa: A = 4 B = 2 2 A - : 2 /2 /2 : = /2 /2 /2 /2

11 = = = 2 3 Következmény: Az Ax= egyenletrendszer mindig megoldható (az x= mindig megoldás ez az úgynevezett triviális megoldás). Ha A invertálható, akkor a triviális megoldás az egyetlen megoldás. Azaz, az Ax = homogén lineáris egyenletrendszernek négyzetes A esetén pontosan akkor van nem triviális megoldása, ha A szinguláris. Altér Definíció: v, v 2,,v n vektorok, k, k 2,, k n R A v,,v n vektorok k,, k n számokkal vett lineáris kombinációján a k v + + k n v n vektorokat értjük. Definíció: A V R n vektorhalmazt az R n alterének nevezzük, ha V zárt az összeadás és a skalárral való szorzás műveletére. Példa: R 3 alterei: {}, R 3, bármely origón átmenő egyenes, bármely origón átmenő sík! Állítás: Legyen v, v 2,,v k R n. Ezek összes lineáris kombinációja altér R-ben. Példa: R 2 -ben egy -n nem átmenő egyenes pontjai (pontjaiba mutató helyvektorok) nem alkotnak alteret. Példa: De egy origón átmenő egyenes már alkot. a b + c = b = a + c *a + *c = Definíció: a v, v 2,,v k vektorok lineárisan függetlenek, ha v + k v k = csak akkor lehet, ha = 2 = = k = Definíció: A lineárisan nem független vektorokat lineárisan összefüggő vektoroknak nevezzük. Tétel: A következő két állítás ekvivalens a.) v, v 2,,v k lineárisan függetlenek, azaz v + 2 v k v k = = 2 = = k = b.) a v, v 2,,v k vektorok egyike sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjaként.

12 Bizonyítás: (a) (b) (b) v i pl.: v = 2 v k v k (-)v + 2 v k v k = ( ) (b) (a) (a) (b) Tfh.: k v + + k n v n =, de pl.: v = - ( 2 / ) v ( k / ) v k (a) Tétel: A következő két állítás ekvivalens (a) v,,v k lineárisan összefüggőek, azaz k nem mind, hogy v + + k v k = (b) Van olyan v i, amely kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. Megjegyzés: Az nem igaz, hogy ha v,,v k lineárisan összefüggőek, akkor bármelyik kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. (b=2a) - E három vektor lineárisan összefüggő, mert 2a b + c = - b = 2a + c - c nem fejezhető ki a és b lineáris kombinációjaként Állítás: R n ben n-nél több vektor mindig lineárisan összefüggő. Megjegyzés: a, x +a,2 x 2 + +a,n +x n =b a 2, x +a 2,2 x 2 + +a 2,n +x n =b a m, x +a m,2 x 2 + +a m,n +x n =b + + = Az egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha együttható mátrixának oszlopvektorai által kifeszített altérben benn van b. Állítás: Az Ax = homogén lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van nem triviális megoldása, ha együttható mátrixának oszlopvektorai lineárisan összefüggők. 5. előadás Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldási kapcsolatai Tétel: Az Ax = (A mxn, x nx, mx ) homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alteret alkotnak R n -ben.

13 Bizonyítás: ha x megoldás, akkor cx is Ax = A(cx) = c(ax) = c = x és y megoldás akkor x+y is : Ax = és Az = = A(x+y) = Ax + Az = + = Példa: n=3 a homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai lehetnek. () a(,,) pont (triviális megoldás) (2) origón átmenő egyes vektorai (3) az origón átmenő sík vektora (4) a tér összes vektora Példa: Ax = b megoldásai n=3 esetén: () üres halmaz, azaz nincs megoldás () pont (2) egy egyenes összes pontja/vektora (3) egy sík összes pontja/vektora (4) a tér összes pontja/vektora Tétel: Ax = b egyenletrendszerhez tartozó homogén lineáris egyenletrendszer Ax = legyen x az Ax = b egy tetszőleges megoldása. Ekkor: {Ax = b összes megoldása} = x + {Ax = összes megoldása} Bizonyítás: legyen y az Ax = egy megoldása x +y az Ax = b megoldása: A(x +y) = Ax + Az = b + = b x : Ax = b y: Az = és x = x +y Állítás: y = x - x és ez valóban megoldása az Ax = nak Ay = A(x - x ) = A x Ax = b b = Példa: x + 2y z = 2-2x- 4y + 2z = x = 2-2t + s x + 2y z = 2 y = t z = s 2 2 = + + A homogén megoldása x + 2y z = x = -2t + s 2 y = t = + z = s Definíció: az A mátrix oszlopvektorainak összes lineáris kombinációja altere R m -nek. E teszt az A oszlopterének nevezzük. Állítás: Az Ax = b lineáris egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha b benne van az A oszlopterében.

14 Állítás: Az Ax = egyenletrendszer minden megoldásvektora merőleges A minden sorvektorára, és az ilyen vektorok mind megoldások. [A]*[x] : Speciális alakú mátrixok Definíció: Legyen A nxn-es mátrix (a) A diagonális, ha főátlóján kívül minden eleme. (b) A felső háromszögmátrix, ha főátlója alatt csupa áll. (hasonlóan alsó háromszögmátrix) (c) A szimmetrikus, ha a ij = a ji ij =,2,,n re. (d) A ferdén szimmetriukus, ha a ij = - a ji ij =,2,,n re. (ekkor a főátlóban -ák vannak) Állítás: = (h egész) Példa: = = Állítás: Minden A négyzetes mátrix előáll egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus összege ként. A = (A + AT ) + (A - AT ) Bizonyítás: [ 2 ( + )] = 2 ( + ) = 2 ( + ) [ 2 ( )] = 2 ( ) = 2 ( ) é Determináns Definíció: az f n változós valósértékű R n x R n x R n x R n -en értelmezett függvényt előjeles térfogatnak nevezzük, ha: () f(,,, ) = (2) f( a,a i,,a j,,a n ) = -f( a,a j,,a i,,a n ) (3) f( a,,a n ) = f( a,a i,,a j a i,,a n ) (4) f( a,,c*a i,,a n ) = c*f( a,,a i,,a n ) Állítás: Ilyen függvénye csak egy van. Ezt nevezzük az n db vektor determinánsának. Példa: megmutatható, hogy n=2 és 3 esetén ez megegyezik az ismert determináns értékkel Jelölés: f(a a n ) = det : = :

15 Állítás: () = (2)? = a *a 2 *...*a n Példa: (determináns kiszámítása) sorlépcsős alakra hozzuk majd az előző Állítás szerint kiszámítjuk az értékét = 4 2 = 4 4 = 8 = 8 = 8 = = 8 itt nem kell vezető egyest csinálni. Tétel: Cramer- szabály A nxn-es nem szinguláris mátrix. Ekkor az Ax = b megoldásaira:,,,,,,,,, =,,,,,,,,, (a b oszlopvektort az i-edik oszlopba helyettesítettük be) 6. előadás Tétel: A determináns ekvivalens definíciói Az A nxn-es mátrix determinánsára az alábbiak ekvivalensek: (a) az A oszlopvektorai által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata ( lásd a korábbi definíció f függvénye). (b) sor ill. oszlop szerinti kifejtés - deta = a, ha A = [a] - deta = ( ) = ( ) (a ij - hez tartozó előjeles aldetermináns (-) i+j det A ij (c) az (,2,,n) egy (i, i 2,, i n ) permutációja páros, ha páros sok sorcserével (d) megkapható az (,2,,n) permutációból. egyébként páratlan. = ( ) ahol k= ha ((i,, i n ) páros és k=, ha (i,, i n ) páratlan a 2 a 2 a 33 (23)

16 (23) (32) (23) (23) (32) (32) ha a főátlóhoz képest egy (páratlan) sorcserével kapom meg akkor (-) Példa: = # 2 2 (b) menet: # = * * + * * 2 = 2 = (c) szerint: 2*5*2*2 + -() a 4 *a 2 * a 32 *a 43 a 2 *a 24 * a 33 *a 4 (423) (243) 3 Példa: (a) 3 2 = (b) 3 = 2 3 = = (c) a 3 *a 2 * a 32 *a csere (324) 324 páros permutáció: 24 Tétel: determináns tulajdonságai (a) det(a) = det(a) T (Bizonyítás a (b) definícióból) (b) ha A-nak van 2 azonos sora akkor det(a) = (Bizonyítás a 2 azonos sor cseréje miatt ellenkezőjére vált, másképp nem változik tehát csak a megoldás) (c) ha A-nak van -sora vagy oszlopa akkor értéke. (Bizonyítás a sor szerint kifejtve) (d) ha A-ban vannak lineárisan összefüggő sorvektorok akkor A értéke. Sőt, pontosan akkor, ha A sorvektorai lineárisan összefüggőek. (e) A pontosan akkor invertálható. ha deta (Bizonyítás: A invertálható pontosan akkor, ha elemi sorműveletekkel nem keletkezik sor deta ) (f) det(ka) = k n deta (g) det(ab) = deta*detb (h) det(a - ) = /deta (Bizonyítás: det(a-a - ) = deta*det(a - ) = det I = (i) det(a m ) = (deta) m (j) = a *a 22 * *a nn (Bizonyítás (b) def. eslő oszlop szerint kifejtve)

17 (k) ( ) = ( ) = ha a j-edik sor elemét a k-adik sor eleihez tartozó előjeles aldetermináns szorozzuk ezek összege. (Bizonyítás: a k-adik sor helyébe írhatok bármit, hisz nem szerepel a fenti összegben. Ezért beírom a j-edik sort. Így viszont olyan determináns kifejtését kapom amiben a j-edik és k-adik sor megegyezik.) (l) = Tétel: inverz kiszámítása determinánssal A nxn + A ij az a ij -hez tartozó aldetermináns A * ij= (-) i+ j*a ij az előjeles aldetermináns = : : : Bizonyítás: : : : : = : : Példa: - = /(ad-bc) T = /(ad-bc) = : Ell.: /(ad-bc) = (Bizonyítás(b) def. eslő oszlop szerint kifejtve) Bizonyítás: Cramer szabály bizonyítása Ax = b A nxn-es : x = A - *b = /deta : : = : : ennek i-edik koordinátája x i = /deta [A * i* A * 2i* *A * ni] = az A i-edik oszlopának előjeles aldeterminánsai 7. előadás Lineáris leképezések (a b-s oszlop az i-ediket helyettesíti) Példa: D: f f (derivált) - D(cf) = cd(f) - D(f+g) = D(f) + D(g) Példa: I: f (integrált) - I(cf) = ci(f) - I(f+g) = I(f) + I(g) Példa: I f Példa: T: x Ax, ahol A mxn-es mátrix tehát T: R n R m - T(cx) = ct(x) (T(cx) = A(cx) = cax = ct(x)) - T(x+y) = T(x) + T(y) (T(x+y) = A(x+y) = Ax+Ax = T(x) + T(y))

18 Definíció: Legyen H és H 2 két halmaz, melyek elmein értelmezve van egy összeadás és egy skalárral való szorzás művelet. (az az pl.: x,y H és i R 2, akkor x+y, cx H ) Definíció: Legyen f: H H 2. Azt mondjuk, hogy F (a) homogén, ha H és c R esetén f(cx) = cf(x) (b) additív, ha, H esetén f(x+y) = f(x) + f(y) (c) lineáris, ha homogén és additív. Példa: A mxn-es mátrix. T A : R n R m : x Ax lineáris Példa: Az x ax+b leképezés nem lineáris leképezés. Csak akkor b = x R Állítás: f H H 2 f pontosan akkor lineáris leképezés, ha x,x 2,,x n H és c,c 2,,c n R esetén f(c x +c n x n ) =c f(x )+ +c n f(x n ) ahol n tetszőleges véges természetes szám Megjegyzés: f lineáris x,x 2 H és c,c 2 R esetén f(c x +c 2 x 2 ) =c f(x )+ +c n f(x 2 ) Tétel: az R n R m lineáris leképezéseinek jellemzése: legyen T: R n R m lineáris leképezés legyen e,e 2,,e n az R n standard bázisa (azaz e i = (,,,,(i.),,,)). Ekkor A mxn-es mátrix, hogy x R n -re T(x) = Ax és A = [T(e ) T(e 2 ) T(e n )] Bizonyítás: T(x) = T(x e +x 2 e x n e n ) = x T(e )+ x 2 T(e 2 )+ + x n T(e n ) = [T(e ) T(e 2 ) T(e n )] Példa: körül szöggle való forgatás. Ez a geometriai transzformáció lineáris : R 2 R 2 leképezés u.i. homogén és additíc cos sin 2. T(i) = A = sin sin sin T(j) = cos Példa: Forgassuk el az (5,3) vektort 3 o -kal. 3 sin 3 = = sin =

19 Példa: z tengely körüli forgatás Tehát a forgatás mátrixa cos sin sin cos T(i) = sin T(j) = cos T(k) = Állítás: Ha T: R n R m lineáris leképezés, akkor R n bármely alterének képe altér R m -ben. Bizonyítás: lineáris kombináció lineáris kombinációba megy. Következmény: a képtér mindig altér! Következmény: T() = Állítás: Azon vektorok halmaza melyeket a lineáris T leképezés a -ába visz alteret alkotnak. Ennek neve magtér. Bizonyítás: T(x) =, T(y) = T(cx) =, ami T(cx) = ct(x) = c = T(x+y) =, ami T(x+y) = T(x) + T(y) = + = Tehát, ha x,y magtérnek, akkor x+y és cx magtér, tehát a magtér altér. Sajátérték, sajátvektor Definíció: Legyen T lineáris leképezés R n R m Az x R n vektor sajátvektor és a hozzá tartozó sajátrérték, ha x T(x) = x ( R ) E sajátvektorok és sajátértékek a T lineáris leképezéshez, és egyúttal a T-hez tartozó A mátrix tartozó sajátértékek ill. sajátvektorok.

20 Példa: Az xy-síkra való merőleges vetítés sajátértékei és sajátvektorai sajátvektor k (z tengeyl irányú vektorok) az xy sík összes vektora sajátérték Tétel: T lineáris leképezés, A a mátrixa sajátérték det(a- I) = 8. előadás Definíció: A det(a- I) függvény a polinomja. Ezt nevezzük az A mátrix karakterisztikus polinomjának. Karakterisztikus egyenlet: det(a- I) = Példa: A = 3 3 det(a- I) = 2 2 = Tétel: Legyen A nxn-es mátrix. A következők ekvivalensek:. az A sajátértéke 2. az (A I)x = homogén lineáris egyenletrendszernek van nem triviális megoldása. 3. megoldása a karakterisztikus egyenletnek, azaz det(a I) = Bizonyítás: 2: az A sajátértéke x : Ax = x = (x) (A- I)x = és x 23: Igaz, mert egy homogén lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van nem triviális megoldása, ha a determinánsa = ; Megjegyzés: Aszerint keressük a karakterisztikus egyenlet gyökeit R-ben ill. C-ben, hogy az A mátrixot R n R n ill. C n C n leképezés generáltjának tekintjük. Példa: A = 2 det(a- I) = = (2 )(3- ) = sajátértékei: =2 2 =3 T A = 2 3 sajátvektorok: v = ; v 2= Sajátvektor kiszámítása: =2 2 2 = 3 2 x = t; y = = = Tétel: A felső vagy alsó háromszögmátrixok ill. a diagonális mátrixok sajátértékei a főátlóbeli elemek. Bizonyítás: = (a - )* *(a nn - ) = = a, 2 = a 22,, n = a nn. Tétel: A pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha A szinguláris azaz nem invertálható.

21 Bizonyítás: sajátérték x : Ax = x = az Ax = homogén lineáris egyenletrendszernek van nem triviális megoldása det (A) = A nem invertálható. Tétel: Ha A sajátértéke,, n akkor det(a) =,, n és tr(a) = + 2 +,,+ n. Példa: det(a) = 4 * 2 = 4 = tr(a) = = 5 2 = 4 Ellenőrzés: = (2 )(3- ) = Bizonyítás: = (a - ) (a nn - )+ + (-)a 3 *a tr(a)=(a +a 2 + +a nm ) det(a)=(- ) n- = ( - ) ( 2 - ) ( n - ) = (- ) n + ( + 2 +,,+ n )(- ) n- + + * 2 n Bázis és dimenzió Definíció: Legyen L- az R n egy altere és legyen a,a 2,,a k L. Azt mondjuk, hogy a,a 2,,a k kifeszíti L-et, ha L vektora megkapható az a,a 2,,a k lineáris kombinációjaként, és ezek a lineáris kombinációk nem vezetnek ki L-ből. Példa: Az x+y+z= egyenletű sík vektorai R 3 -ben alteret alkotnak. Ezt kifeszíti (-,,); (-,,) vektor. Megjegyzés: Oldjuk meg az x+y+z= egyenletrendszert! [,] x = t s y = t a megoldás = = + z = s Definíció: L altere R n -nek. B= {a,,a k } bázisa L-nek, ha B kifeszíti L-et és lineárisan független vektorrendszer. Tétel: Ha L-nek B és B 2 két bázisa, akkor B = B 2. Definíció: az L R n altér dimenziója = egy bázis elemszáma. Tétel:. ha L n dimenziós, és B={b,,b n } lineárisan független rendszer, akkor B bázis. 2. ha L n dimenziós. és B={b,,b n } kifeszíti L-et, akkor B bázis! Rang Definíció: A mátrix sortere a sorvektorai által kifeszített altér ( R n ) Az A oszloptere az oszlopvektorok által kifeszített altér ( R m )

22 Tétel:. Elemi sorművelet nem változtatja a sorteret. 2. A sorlépcsős alak nem sorai a sortér bázisát adják. Tétel:. Elemi sorműveletek közben nem változnak az oszlopok közti lineáris kapcsolatok 2. A (redukált) sorlépcsős alakban vezető egyest kapott oszlopok az eredeti mátrixban (is) lineárisan független rendszert alkotnak. Definíció: Vektorrendszer rangján a kifeszített altér dimenzióját értjük. Mátrix rangja a sorvektorok által kifeszített altér dimenziója. 9. előadás Példa: a.) (,,,4) (,,-,2) (2,2,,6) (,,2,2) altér bázisa b.) (,,2,) (,,2,) (,-,2,) 4,2,6,2) max. lin. független Megoldás: b.) mivel lineárisan függetelenek 4 a.)-ra egy lehetséges válasz Példa: Oldjuk meg a homogén lineáris egyenletrendszert a fenti mátrixxal. 3 x + x 2 + 3x 4 = x = -t 3s kötött változók x 3 + x 4 = x 2 = t x 3 = -s x 4 = s = 3 + r = k; s = n r; d = s; m, n, r, k, s kötött -, szabadváltozók száma Tétel: egyenletrendszer megoldhatósága és az oszlopvektor dimenziója (a) Ax = b megoldható b A oszloptere (b) Ax = b megoldható A és [A/b] oszloptere azonos (c) Ax = b pontosan akkor oldható meg rang(a) = rang([a/b]) (d) Ax = b egyértelműen megoldható rang(a) = rang(a/b) = n Tétel: Az A mátrixra: A magterének dimenziója + A képterének dimenziója = n.

23 Következmény: A mxn rangja : (a) A magterének dimenziója n r (b) A sorlépcsős alakjában hány zárósáv van m r zárósáv van. (c) A - ban r vezető es van (d) Ax = megoldásában r kötött és n r szabad változó van. Példa: 4 dimenziós térben egy hipersík egyenlete ax + bx 2 + cx 3 + dx 4 = ennek normálvektora (a,b,c,d) u egységvektor x 2(u x) u = (mátrix alakban) Ix 2 u(u T x) = Ix 2(uu T )x = (I 2(uu T ))x T = I 2uu T az u-ra merőleges hipersíkra való merőleges tükörzés mátrixa. 2 tulajdonsága: T T =T (szimmetrikus); T 2 = I T - = T Megjegyzés: Ax = b hiba ( b- Ax^) b képtér keressük at az x^-ot, melyre ax^ a b merőleges vetülete az A oszlopterében (b Ax^) A oszloptvektorára A T (b Ax^) = A T *Ax^ = A T *b A vetítés mátrixa: (projekció) (a vetület) p = Ax = A(A T *A) - *A T *b (A T *Ax^ = A T *b x^ = (A T *A) - *A T *b Ax = A(A T *A) - *A T *b) 6 Példa: A = b = 2 Megoldás: A T A = 2 = (A T A) - = A(A T A) - *A T = = (a vetület) p = = 2 2 5

24 az x^ megoldás = (A T *A) - *A T *b = = = = = Megjegyzés: v v n : páronként egységvektor Q = [v v 2 v n ] Q T *Q= [v v 2 v n ] = I = = I n tehát: Q - = Q T. előadás Ortogonális mátrixok Definíció: a négyzetes C mátrixot ortogonálisnak nevezzük, ha C - = C T Tétel: A következő állítások ekvivalensek. A - = A T (A ortogonális) 2. minden x R n -re: Ax = x (T A távolságtartó) 3. minden x R n -re: Ax*Az = x*y (T A skalárszorzattartó) 4. A oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak 5. A sorvektorai ortonormált rendeszert alkotnak B (3) mátrixjelöléssel: (Ax) T *Az = x T *A T *Ay = x T *A - *A*y = x T *y = x*y (32) = =() = Ax Ax = = = skaláris Állítás: Ha :R 2 R 2 lineáris leképezés ortogonális, akkor vagy egy origó körüli elforgatás vagy egy origón átmenő egyenesre való tükrözés. Mátrixa tehát: cos sin sin vagy cos sin cos sin cos Ellenőrzés: - -val való elforgatás az -való elforgatás inverze cos sin sin =cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos = Megjegyzés: R 2 -ben 2 bázis E = {e,e 2 } ; F = {f,f 2 } [f ] F = F f = ae + be 2 azaz [f ] E = [a/b] E f 2 = ce + de 2 azaz [f 2 ] E = [c/d] E Áttérés másik bázisra

25 x tetszőleges vektor [x] F = + + : azaz x = x f + x 2 f 2 = x (ae + be 2 ) + x 2 (ce + de 2 ) = (x a + x 2 c)e + (x b + x 2 d)e 2 = = Állítás: R n -ba 2 bázis: E = {e,,e n } ; F = {f,,f n } Legyen C az FE áttérés mátrixa, azaz [f,,f n ] = [e,,e n ] C F E Példa: áttérés mátrixa C = [[f ] E [f n ] E ] Ε mátrixxal [x] E = C F E *[x] F e = ; e 2 = 2 e = = f + f 2 f = ; f 2 = e 2 = 2 = -f + 2f 2 2 = = 2 3 = = Tétel: A = R n R n lineáris leképezés [A] E és [A] F a két mátrixa. [A] E = [[Ae ] E [Ae n ] E ] [A] F = [[Af ] F [Af n ] F ] [A] F = C - [A] E C 2 = Feladat: Írjuk fel a mátrixot az E bázisában. Példa:. előadás = 3 = 3 3 C - A E C = 2 2 = = 5 2 4

26 Bizonyítás: x E = C*x F y E = C*A F *x E = C*A F *C - *x E = A E x E Példa: A = y F = A F x F det(a-i) = =2; 2 =; sajátvektorok: =2 2 = határozzuk meg sajátértékeit, sajátvektorait. Írjuk át diagonális alakba. = = = = ( )( 2) -x + y = x = t; y = t = 2x + y = x = t; y = -2t = 2 Tétel: Ha E és F is ortonormált bázisok, akkor az áttérés mátrixa C - = C T Definíció: Az azonos méretű és négyzetes A és B mátrix hasonló, ha létezik olyan invertálható C mátrix, hogy: B = C - AC Tétel: Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha létezik két olyan bázis, hogy az egyik mátrix az egyik, a másik mátrix a másik bázisban ugyanannak a lineáris leképezésnek a mátrixa. Megjegyzés: A és B polinomja (B = C - AC) det(a - I) det(b - I) = det(c - AC - C - IC) = det(c - (A - I)C) = det(c - )* det(a - I)* det(c) = det(a - I) Tétel: Hasonló mátrixoknak megegyezik a: - karakterisztikus polinomjuk - sajátértékeik - nyomuk - determinánsuk - rangjuk Példa: 2 2 nem hasonlóak mert különböző a determinánsuk 3 2 Definíció: A négyzetes A mátrix diagonalizálható, ha invertálható C mátrix, hogy C - AC diagonális.

27 Tétel: (a) Az A nxn mátrix diagonalizálható lineárisan független sajátvektora. (b) Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek. (c) Ha A nak n különböző valós sajátértéke van, akkor diagonalizálható. Állítás: Szimmetrikus mátrix minden sajátértéke valós, ferdén szimmetrikus mátrix minden sajátértéke imaginárius. Tétel: főtengelytétel Szimmetrikus mátrix sajátvektorából kiválasztható ortonormált rendszer. Ha A szimmetrikus sajátértékei, 2 sajátvektorai s,s 2,,s n (és ortonormált rendszer), akkor T T A = [s,s 2,,s n ] = s s + 2 s 2 s n s n s n = s s + + n s n s n Ezt nevezzük A spektrálfelbontásának. Vektorterek Példa: Tekintsük a legfeljebb másodfokú polinomokat! {ax 2 + bx + c a,b,c R} polinom előáll az, x, x 2 lineáris kombinációjaként. x 2 = *x 2 + *x + Példa: +, R} Megjegyzés: vektorok, skalárok test [ + * kommutatív, asszociatív, semleges elem ( + a = a, a = a), additív inverz (-a), a t kivéve multiplikatív inverz (a - ), disztibutivitás ((a+b)c = ac + bc)] Definíció: V halmazt F fölött vektorterének nevezzük, ha F test (pl.: R,Q,C, ), és V-n definiálva van két művelet (összeadás, skalárral való szorzás), melyekre igaz () V zárt az összeadásra nézve ( Vx V V) (2) u,v V: u + v = v + u (3) u,v,w V: u + (v + w) = (u + v) + w (4) o V, v V: v + o = v (5) v V, w V: v + w = (w = -v) (6) V zárt a skalárral való szorzásra (FxV V) (7) k(u + v) = ku + kv (k F), (u V) (8) (k + l)(u) = ku + lu (k,l F), (u V) (9) k(l*u) = (k*l)*u () u = u 2. előadás Többváltozós függvények : R n R n változós függvény. (x,x 2,,x n ) tekinthető úgy is, hogy n valós változós, és hogy változós, de az egy n dimenziós vektor.

28 Magyarázat: belső pont Definíció: r sugarú, a,a 2,,a n közepű, nyíltgömb R n ben: (a, an),r = {(x,x 2,,x n ) R: ((x -a ) 2 + +(x n -a n ) 2 ) < r} Definíció: H R n ; P(pont) H belső pontja H nak, ha létezik olyan ( ) p,r H P R n a H határpontja, ha minden ( ) p,r gömbnek van H beli és H komplementer beli pontja. H nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. H zárt halmaz, ha tartalmazza az összes határpontját se nem zárt nyílt zárt zárt se nem nyílt Megjegyzés: - A nyílt intervallum nyílthalmaz, a zárt intervallum zárt halmaz. - Az egész számegyenes nyílt is és zárt is egyszerre. Definíció: H R n korlátos, ha p,r, hogy H p,r (r R) Többváltozós függvények ábrázolása : R 2 R f(x,y) értelmezési tartomány (x,y) f grafikonja az (x,y,f(x,y)) pontok halmaza. Definíció: : R 2 R, c R(f) (érték készlet) szintvonala (nívóvonal) f(x,y) = c

29 Definíció: : R 3 R c R(f) f szintfelülete f(x,y,z) = c Példa: f(x,y,z) = ( + + ) Példa: f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 Határérték és folytonosság Definíció: : R 2 R határértéke az (x,y ) helyen L, ha > >, hogy ha < ( ) + ( ) <, akkor f(x,y) L < és ilyen (x,y) (f) minden -ra létezik. Jelölés: lim (, ) = vagy lim,, (, ) = Definíció: : R n R határértéke L az a,a 2,,a n helyen, ha > >, hogy ha (x,x 2,,x n ) (a,a2,,an) \ {(a,a 2,,a n )} f(x,x 2,,x n ) L < és ilyen (x,x 2,,x n ) (f) pnt. Tétel: lim (,,, ) = lim (,,, ) =,, R,. lim (,,, )( ± ) = ± 2. lim (,,, )( ) = 3. lim (,,, )( ) = 4. lim (,,, ) = ha M 5. r és s relatív prímek (egész számok) és s, akkor lim (a,a2,,an) f r/s = L r/s, ha L r/s valós. (Ha s páros, akkor feltesszük, hogy L>). Példa: lim = lim ( )( ) ()( ) = lim = lim =,,,,,,,, A nevező =, ha =, azaz ha y = x Definíció: : R n R függvény folytonos az (a,a 2,,a n ) helyen, ha. (a,a 2,,a n ) (f) 2. lim (,,, ) 3. lim (,,, ) = (,,, ) f folytonos, ha folytonos az értelmezési tartományának minden pontjában. Példa: f(x,y) = { (2xy)/(x 2 +y 2 ) (x,y) (,) { (x,y) = (,) így csak azt mutatjuk meg, hogy nincs határértéke lim 2 ; ( + ) = lim lim 2 + = 2 + (, ) háéé! 2 + =

30 Példa: f(x,y) = { (2x 2 2y)/(x 4 +y 2 ) ha (x,y) (,) { ha (x,y) = (,) H y = mx mentén tartok (,)-ba, akkor, a határérték, de ha y = mx 2 mentén tartok, akkor változó nincs határértéke f-nek. 3. előadás Parciális derivált Definíció: Az F: R n R függvény i-edik ( ) változója szerinti parciális deriváltja az (a,a 2,,a n ) helyen a: lim h (f(a,a 2,,a i+n,a n )-f(a,a 2,,a n ))/h határérték. Jelölése: (a,a 2,,a n ), Dif(a,a 2,,a n ), f x i (a,a 2,,a n ) Megjegyzés: n = 2, i =, 2 változós függvény, változó szerinti kifejtés Példa: (e xy +x 2 y 3 )x = ye xy + 2xy 3 Példa: függvény, mely parciálisan diffható -ban, de nem folytonos f(x,y) = { ha xy = { ha xy (a,a 2 ) y = a 2 egyenletű sik (,) (,) (,) = lim = lim =

31 Mik a magasabb rendű deriváltak: = (2 f)/(x 2 ) = (2 f)/(x j x i )*(f x i ) x i = f x i x i (f x i ) x j = f x i x j ugyanazt jelenti Példa: (x 3 y 4 ) xy = (3x 2 y 4 ) y = 3x 2 4y 3 (x 3 y 4 ) yx = (4x 3 y 3 ) x = 2x 2 y 3 Tétel: ha az f x, f y, f xy, f yx parciális deriváltak léteznek és folytonosak is az (a,b) pont egy nyílt környezetében, akkor F xy(a,b) = f y,x(a,b) diffhatóság f(x) f(x) = f (x ) (x-x ) + (x) (x-x ) Δy Δx Δx Tétel: növekménytétel 2 változóra f értelmezve van R-en melynek (x,y ) belső pontja ebben a pontban f (x), f (y) folytonosak ekkor Δ z = f(x,y) f(x,y ) = f x*(x,y )* Δx + f y*(x,y )* Δy + Δx + 2 Δy ahol, 2, ha xx hoz. Definíció: az f(x,y) függvény diferenciálható az (x,y ) helyen, ha fx és fy és és 2 függvények, hogy Δ z = f(x,y) f(x,y ) = f x*(x,y )* Δx + f y*(x,y )* Δy + Δx + 2 Δy ahol, 2, ha (x,y) ( x,y ) hoz. Megjegyzés: a derivált tekinthető egy R 2 R lineáris leképezésnek melynek mátrixa: [f x(x,y ), f y x,y )] Δ z = [f x(x,y ), f y x,y )] Δ Δ + [ 2 ] Δ Δ Következmények:. ha f x és f y folytonosak a nyílt R tartomány pontjában, akkor f diffható az R pontjában. 2. ha f diffható pontban, ((x,y )-ban), akkor ott folytonos is. Láncszabály Megjegyzés: i r: R R n (R 2 v R 3 ) térgörbét írjuk le (t ) (t ) (t ) = (t ) R R 3 lineáris leképezés. (t ) Megjegyzés: a derivált meghatározása annak a lineáris leképezésnek a meghatározását jelenti, amely az adott pontban illetve annak kicsiny környezetében a legjobban közelíti az eredeti függvényt

32 Példa: f (x,y) = 2xy x 2 (x,y ) = (,2) ez a derivált [fx(,2) fy(,2)] = [2,2] parciális derivált fx = 2y - 2x úgy viselkedik mint ez kb. ez a lineáris leképezés fx = 2x Δ =,; Δ =,2; Δ =,63 2*,*2,2 =, 2 = 3,63 2**2 2 = 3 [2 2] Δ Δ = [22], =,6,2 Tétel: Láncszabály: f x f y folytonosak, x(t), y(t) diffhatók t-ben, ekkor a w = f x(t),y(t) függvény diffható és df/dt = f x(x(t), y(t))x (t) + f y(x(t), y(t))y (t) = [f x(x(t),y(t)) f y(x(t),y(t)] () () 3 vektorral ugyan ez csak még egy tag + hosszabb :) Tétel: láncszabály f(x,y,z), x = g(r,s), y = h(r,s), z = k(r,s) diffható w = F(g(r,s), h(r,s), k(r,s)) ez egy R 2 R függvény valami derivált: = R 2 R 3 4. előadás Tétel: Implicit függvény derivált 2 változó F(x,y) diffható, és F(x,y) = olyan y(x) függvény-t definiál, mely diffható. Ekkor F y, ekkor = Bizonyítás: (F(x,y(x)) = Fx * + F y = = - Példa: x 3 y 2 sin xy =.megoldás = - = (3x2 y 2 y cos xy)/(2x 3 y x cos xy) 2. megoldás 3x 2 y 2 + 2x 2 y*y cos (y + xy ) = Megjegyzés: a derivált tekinthető vektornak is, neve gradiens vektor jele: f(p ) nabla Iránymenti derivált Definíció: Az f függvény u = (u u 2 ) irányú P (x,y ) beli iránymenti deriváltja ( ) = =, ( ( +, + ) (, ) ) = lim Ahol u egységvektor Megjegyzés: Általánosítás n változós függvényekre értelemszerűen.

33 Tétel: Iránymenti derivált kiszámítása Ha f(x,y) differenciálható egy nyílt tartományban, amely tartalmazza a P (x,y ) pontot, akkor uf(p ) = ( f)(p )*u, ahol u egységvektor. Bizonyítás: x y ( +, + ) (, ) ( ) = lim = ( ) + = ( ) + ( ) = f( ) Tétel: Gradiens és iránymenti derivált. f a f irányában növekszik a leggyorsabban, és ebben az irányban az iránymenti derivált: uf = f 2. f a - f irányban csökken a leggyosrabban és uf = - f ebben az irányban. 3. Ha u merőleges f, akkor uf(p ) = (ez a vonal egy szintvonal iránya) Bizonyítás:. f u f*u f *cos ez max, ha cos =, azaz =, tehát u = Ekkor uf = f*u = f* = f 3. Ha f u uf = f*u = Megjegyzés: A f a szintvonalra f(x,y) r(t) = (g(t),h(t)) f(g(t),h(t)) = c szintvonal = + =,, = f*(t) = Tétel: gradiens algebrai tulajdonságai. (kf) = k f (k R) 2. (f±g) = f + g 3. (f*g) = f*g + f* g 4. = Érintősík Definíció: f diffható P -ban akkor az f (x,y,z) = c szintfelület P -beli (P rajta van a szintfelületen) érintősíkja a P -on átmenő f normálvektorú sík. Állítás: f (x,y,z) diffaható P -ban, f, érintősíkjának egyenlete: f x(x,y,z )(x-x ) + f y(x,y,z )(y-y ) + f z(x,y,z )(z-z ) =

34 Példa: x 2 -y 2 +z-9 = P (,2,4) f(x,y,z) c fx(,2,4) = 2x Po = 2; fy(,2,4) = 2y Po = 4; fz(,2,4) = Po = ; 2(x-) + 4=y-2) + (z-4) = Megjegyzés: z = f(x,y) grafikonja = a 3 változós függvény szintfelületével éspedig a konstanssal f(x,y)-z = a pontok P (x,y,f(x,y ) Érintősík egyenlete f x(x,y )(x-x ) + f y(x,y )(y-y ) + (z-z ) = Definíció: lineáris közelítés, linearizáció L(x,y) = f(x,y ) + f x(x,y )(x-x ) + f y(x,y )(y-y ) L(x,y) f(x,y) ha (x,y) közel van (x,y )-hoz Definíció: Differenciál df = f x(x,y ) dx + f y(x,y ) dy ahol dx = x-x, dy = y-y (df f) = f xx *f yy f 2 xy > f xx < max f xx > min nyeregpont < 5. előadás Többváltozós függvények szélsőértékei Definíció: lokális max. P R n ben, ha k környezete P -nak, hogy P () (P ) (lokális min. ) globális maximum az R tartományban P -ban van, ha P () (P ) Állítás: Ha P lokális maximum helye f-nek és fx i (P ) =. Definíció: Kritikus pont: - parciális derivált és = (ebben a pontban) - valamelyik parciális derivált nem létezik

35 Definíció: Nyeregpont: Olyan kritikus pont, amelynek k környezetében P: () (P ) P : ( ) (P ) Példa: y 2 -x 2 f x(,) = -2x (,) = f x(,) = 2y (,) = Tétel: f: R n R, tegyük fel, hogy P egy környezetében léteznek és folytonosak az első és második parciális deriváltak, továbbá: f x (P ) = = f x n (P ) Tekintsük a következő mátrixot: " ( ) " ( ) " ( ) " ( ) " ( ) " ( ) Tekintsük a fődeterminánsok előjeleit, ha ez MIN MAX Speciális eset: (n = 2) f: R 2 R; (x,y) f(x,y) P (x,y ) f x(p ) = f y(p ) = f xx(p ) > és f xx(p )* f yy(p ) - f xy(p ) 2 > min f xx(p ) < és f xx(p )* f yy(p ) - f xy(p ) 2 > max Ha f xx(p )* f yy(p ) - f xy(p ) 2 < nyeregpont Ha = -val, akkor nem tudjuk, hogy mi van. Példa: f(x,y)= y 2 -x 2 f x = -2x, f y = 2y f xx = -2, f xy =, f yy = 2 (.)-ban: f x(,) = f y(,) = második deriváltnál: 2 = 4 < tehát nyeregpont 2 Példa: globális szélsőérték keresés f(x,y) = 2 + 2x + 2y x 2 y 2 T(tartomány): x =, y =, y = 9 x által határolt tartomány Megoldás: f x = 2-2x = } (x,y ) = (,) f y = 2-2y = } f xx = -2 = f yy f xy = 2 > MAX 2. x = : f(,y) = 2 + 2y y2 y [,9] f y(,y) = 2y + 2 y = (x y ) = (,) (x 2 y 2 ) = (,) (x 3 y 3 ) = (,9)

36 2. y = F(x) = f(x,) = 2 + 2x x 2 F (x) = 2-2x x = (x 4 y 4 ) = (,) (x 5 y 5 ) = (9,) 3. y = 9 x F(x) = f(x, 9-x) = 2 + 2x +2(9-x) x 2 (9-x) 2 = 2 + 2x + 2x x 2 = -6 +8x 2x 2 F = 8 4x = x = ; y = (x 6 y 6 ) =, f(p ) = f(,) = 4 Maximum f(,9) = f(9,) = -6 Minimum hely (be kéne mindegyiket helyettesíteni) Tétel: Iránymenti derivált kiszámítása Ha f(x,y) diffható a P (x,y )- + tartalmazó valamely nyílt tartományon, akkor bármely u egységvektorra lokális az u irányú iránymenti derivált és P(x,y) uf(p ) = ( f)(p )*u P (x,y ) Bizonyítás: u = (u,u 2 ),(x,y) = (x +su,y+su 2 ) * f(x +su,y +su 2 ) uf(p ) = u,po *= (P )* + (P ) * = (P )*u + (P )*u 2 = ( (P ), (P ))*(u, u 2 ) Példa: legkisebb négyzetek, regresszió egyenes: adva (x,y ),,(x n,y n ), keressük: y = mx + b f(m,b) = (mx +b-y ) (mx n +b-y n ) 2 min = ( + ) f m(m,b) = 2( + ) = 2m + 2b 2 = f b(m,b) = 2( + ) = 2m b*n = m = ( )( ) ( ) b = Példa: f(x) = x 3 g(x) = a(x-) 2 + b(x-) + c f (x) = 3x 2 g (x) = 2a(x-) + b f (x) = 6x g (x) = 2a x = f() = = g() = c c = f () = 3 = g () = b b = 3 f (x) = 6x = g () = 2a a = 3 Taylor polinom, Taylor formula Definíció: Taylor polinom egy változós függvényre f legalább n-szer diffható az x = a pont egy környezetében: T n (x) = f(a) +f (a)*(x-a) + () 2! (x-a) ()! (x-a) n = () ()! 2 változóra: x - a = h, y - b = k T n (x,y) = f(a,y) + (hfx + kfy) a,b +, + +!,! ( )

37 Példa: sin Taylor polinomja pontban sin (hk) () = sin (hk+2) () = sin (hk+2) () = sin (hk+3) () = x -! +! +! 6. előadás Megjegyzés: az n edrendű Taylor polinom az a polinom, hely az adott függvényt az adott helyen n edrendben érinti, azaz: f(x ) = T n (x ), f (x ) = T n (x ) f (n) (x ) = T n (n) (x ) Megjegyzés: többváltozós Taylor polinom az egyváltozósból f(x,y) f(a,b) (x,y) = (a+h, b+k) ~ () () ( ) =! () (a,b) (x,y) = (a+h, b+k) (a+th, b+tk) t [,] F(t):= f(a+th, b+tk) F (t):= f x(a+th, b+tk)*h + f y(a+th, b+tk)*k (= h + = f xh + f yk) = (h + k )f F (t)= f xx*h 2 + f xy*hk + f yx*kh + f yy*k 2 = h 2 * f xx + 2hk*f xy + k 2 *f yy = (h + k )2 f F (n) (t) = (h + k )n f F t = helyen a Taylor polinomja () () (h + )! =! Definíció: Maradéktag: a függvény és a Taylor polinomjának különbsége (a) ha az változós f (n+) - szer folyamatosan diffható akkor a maradékig () () ()! ahol az a és x közé esik ( ) (b) 2 változós f-re, ha f (n+) edik parciális deriváltjai is folyamatosak, akkor a maradéktag: (x,y) (a+ch, b+ck) (a,b) (h + ) ( + )! Integrálhatóság (,) Definíció: [a,b] x [c,d] beosztása = < < < < = ; = < < < < = P = a legnagyobb területű téglalap területével = P = (x-)

38 Integrál közelítő összeg: (, ) f integrálható [a,b] x [c,d]-n, ha lim (, ) létezik a beosztássorozat és a reprezentáns rendszer választásától függetlenül. Integrálj = határérték Példa: f(x,y) = x+y T:[,]x[,] (, ) =, + = () = Tétel: Fulini (a) f folytonos az [a,b] x [c,d] tartományon [ öé:,, (, ) ] [,] [,] = ( (, )) = (, ) (é) (b) f folytonos az R tartományon, melyet x=a, y=b, g=g (x) y= g 2 (x) határolnak, olyan módon, hogy a x b; g (x) g 2 (x) () = (, ) () (c) f folytonos az R tartományon c y d; h (y) h 2 (y) () = (, ) ()

39 (d) f folytonos az R tartományon: a x b; g (x) y g 2 (x), h (x,y) z h 2 (x,y) () (,) = (,, ) () (,) Példa: f(x,y) = x+y R:[,gx[,] (A határ mindig konstans) = + = + 2 = + 2 = = Példa: (, ) Megjegyzés: = ( ) ( ) 4 = Megjegyzés: = (, )

40 7. előadás Példa: kör területe (, ) = (, + 2) = (, + (2 + )) r = const k Z (, ) = (, ) Kör kerülete: Példa: origón átmenő kör = = = 2 = 2 = r = 2a cos r = 2a sin Példa: r = r = + cos metszéspont r : = + cos = 2 + = = = 2 = cos + = = + cos = sin sin + 2 cos =

41 Definíció: Hengerkoordináta Példa: Megjegyzés: áttérés derékszögű és henger koordinátára x = r cos } = + + y = r sin } cos = ; sin = } tg = z = z } = Definíció: gömbi koordináták térbeli polár = = = Megjegyzés: derékszögű és gömbi közt = sin cos } = + + = sin sin } cos = = cos } tg = Példa: Kúp h.k. g.k. z = z = = = = cos

42 Példa: Kúp térfogata z = h = = = [] = h h = 2 h h 3 = h( 8. előadás 2 3 = h 3 Példa: y=2x 2 } y = vx 2 v = y=x 2 } y= y= } y= } u = xy Fejezzük ki x -,y-t u- és v vel: v = x = u = y = Definíció: Jacobi mátrix determinánsa Tétel: (, ) (. ) = (, ) = (, ) = (, ), (, ) (,)

43 Példa folytatása: a tartomány területe = = (, ) = = Példa: polárkoordináták Jacobi determinánsa: = cos sin = (, ) = = sin cos Állítás: gömbi koordináta Jacobi determinánsa: (,, ) = sin Sorozatok, sorok Példa: csoki ( pengő) = = 9 Megjegyzés: lim = > : > () < Definíció: Sorozat pozitív egészeken értelmezett függvény (vagy nem negatív egészeken)=(v. ezek valamelyik végtelen rész halmazán) Példa: a n = n =,2, Definíció: Az {a n } sorozat konvergens és határértéke L, ha: Jelölés: lim = > : > < Definíció: lim =, ha : > > Tétel: Ha f folytonos az L helyen és lim a n = L, akkor lim f(a n ) = f(l) (kép). lim = 2. lim = 3. lim = ( > ) 4. lim = ( < )

44 5. lim + = ( ) 6. lim =! ( ) Tétel: Egy monoton növekvő sorozat pontosan akkor konvergens, ha felülről korlátos. Ekkor a határérték = a legkisebb felső korlátjával. Példa: =? (Végtelen) sorok Definíció: {a n } sorozat, + + = végtelen sor = a sor n edik részletösszege. A sor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata konvergens. Ennek határértékét nevezzük a sor összegének, azaz: Definíció: Mértani sor = lim Pontosan akkor kovnergens ha r <, akkor: Bizonyítás: = = = = = r*s k = ar + ar ar k + ar k+ S k rs k = a ar k+ = ( ) < Példa: a = ; r = = 8 3 = 9 ( 3 ) = 6 Tétel: konvergens a n Példa: a megfordítás nem igaz Harmonikus sor = divergens (mert az összege végtelen) ; ; 2 8; Tétel: divergens teszt /

45 Tétel: Integrál teszt / integrál kritérium f folytonos, monoton csökkenő függvény = (). Ekkor és egyszerre konvergens vagy divergens. 9. előadás Példa:! = ( ) 2 ( ) Megoldás: abszolút konvergencia a hányados teszttel: =! e sor konvergencia tartománya (, ) ( + )! =! = < + miatt konvergens a sor Példa: ez csak a pontban konvergens.! = = ( + )!! = ( + ) > Tétel: Konvergencia tétel hatványsorokra / Ábel tétel (a) ( ) sor konvergens az x = c helyen, akkor abszolút konvergens < helyen. Ha az x = d helyen divergens, akkor divergens > helyen. (b) ( ) sor konvergencia tartománya az alábbiak valamelyike:. >, hogy a sor divergens : > abszolút konvergens > abszolút konvergens, feltételesen konvergens vagy divergens az x a = R és x + a = R helyeken ( azaz az x = a-r és x = a+r helyeken.). 2. A sor abszolút konvergens ( = ) 3. a sor csak az x = a helyen konvergens ( = ) Tétel: hatvány tagonkénti diffhatósága, inthatósága: ( ) konvergens az a-r< x <a+r tartományon és legyen a sor összege a tartományon f(x) (a) E tartományon a sor tagonként diffható és az a-r< x <a+r tartományon. (b) E tartományon tagonként intható is, és az a-r< x <a+r tartományon. () = ( + ) ( ) () = + +

46 Példa: Megoldás: (a) hol konvergens (+) abszolút konvergens (-,) intervallumon, azaz R = = + < = = =? tagonkénti integrálás = ( ) = ( ) Példa: arctg hatványozása = = () ()= = ( ) 7 2+ Megoldás: konvergencia tartomány ()= + + = + = + =arctg+ x = arctg +c = c } f() = } c = arctg x = + Tétel: Hatványsorok szorzása é << ú < é é = = ú < á,é = Megjegyzés: ( + + )( + + )= +( + )+( + + ) + c c c 2 Definíció: f akárhányszor diffható x = a ban Taylor sor: () () ( )! Maclaurin sor, ha a =, azaz: () ()! Taylor polinom = a Taylor sor részletösszege

47 Tétel: A Taylor sor pontosan akkor egyezik meg a függvénnyel egy T tartományon, ha a Taylor polinom maradéktagja T n hoz konvergál. f megegyezik a Taylor polinomjával nem igaz Példa: Taylor sor Maclaurin sora: Maradéktag: Hasonlóképpen Definíció: Komplex z számokra legyen Megjegyzés: ( ) () = ( ) () =! ()! ( és x közé esik c) tehát =! sin = ( ) = + 2! 3! + 4! 5! + 6! = cos + sin (2 + )! R cos = ( ) (2)! =! sin = ( ) C (2 + )! cos = ( ) (2)! Példa: a legszebb egyenlet (minden benne van de más semmi) = cos + sin = + = R 7! + = 2! + + 4! 3! + 5! 7! + Fournier sorok = cos x () = + cos + sin + cos 2 + sin 2 + = () ; 2 = () cos ; = () sin (Hangtan: szintetizátor így működik Fournier sorral közelítik.)