EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül Mottók: - Aki tanít, az kétszeresen tanul. - Egy a valóság, ezer a ruhája. A logaritmikus differenciálás módszerét akkor alkalmazzuk, ha a differenciálandó függvény hatvány alakú és mind az alap, mind a kitevő x függvénye. Ezt a függvényt exponenciális hatványfüggvénynek nevezzük [1,102]. Az y= f(x) g(x) típusú exponenciális hatványfüggvény deriválásakor a differenciálszámítással ismerkedők gyakran az alábbi hibákat követik el: a fenti függvényt a g(x) exponenciális függvényként közvetlenül deriválják, ahol az f(x) alapot konstansnak tekintik a fenti függvényt f(x) n hatványfüggvényként deriválják, miközben a g(x) kitevőt tekintik konstansnak Egyszer az exponenciális hatványfüggvény deriválását adtam feladatként két magántanítványomnak, és egyáltalán nem csodálkoztam, amikor egyikőjük az első, másik a második hibát követte el. Mint kiderült, még nem ismerték a logaritmikus differenciálás szabályát. Mikor mindketten elmentek, gondolkodni kezdtem, milyen didaktikai módszert alkalmazzak, hogy a fenti hibát többé ne kövessék el. Miközben a hibás végeredményeket nézegettem észrevettem, hogy ha azokat összeadnám, akkor csodák csodájára helyes eredményt kapnék. Ezt természetesen nem akartam elhinni, ezért elővettem Bárczy Barnabás: DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS c. könyvét (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977, 280 p. ) és sorra elkezdtem deriválni a IV/7 fejezetben szereplő exponenciális hatványfüggvényeket a fenti hibás módszerek szerint és azok eredményeit összeadva továbbra is minden feladatnál helyes végeredményt kaptam. Ekkor már kezdtem sejteni, hogy ez nem lehet véletlen, valami új, általam nem ismert szabályra bukkantam. További vizsgálódásaim alapján rájöttem és bebizonyítottam, hogy ez nem egy hibás, hanem egy teljesen korrekt, módszer, és ráadásul még egyszerűbb is mint a régi, logaritmikus differenciálás módszere, mivel gyakorlatilag nem kell újabb szabályt megtanulni és begyakorolni. (Így az első mottó igazolódott.) Ezután következett a könyvtárazás, melynek során egy tucat egyetem ELTE, BME, Széchenyi István, stb. és főiskola Kandó Kálmán, Gábor Dénes, Kodolányi János, stb.- ANALÍZIS könyvét átnéztem, de erről a módszerről egyetlen szerzőnél sem találtam még csak utalást sem. Ebből gondolom, hogy egy kis gyöngyszemre bukkantam, de ha ez már korábban ismert és valaki által bizonyíthatóan publikált szabály, akkor szívesen osztozom vele a párhuzamos felfedezés örömében. Az exponenciális hatványfüggvény differenciálásának/deriválásának új, egyszerű módszere és lépései tehát a következők: 1. Deriváljuk le a függvényt exponenciális függvényként úgy, hogy az f(x) alapot konstansnak tekintjük.
2. Deriváljuk le ismét a függvényt hatványfüggvényként úgy, hogy deriválás közben most meg a g(x) kitevőt tekintjük konstansnak. 3. A két deriválás eredményét adjuk össze, és ha lehetséges, akkor a kapott kifejezést hozzuk egyszerűbb alakra. Még vizuálisabban ez az alábbi ábrával szemléltethető. EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül Bizonyítható, hogy így ugyanazt a végeredményt kapjuk, mintha a függvényt a bonyolultabb logaritmikus differenciálással deriváltuk volna. Ennek a módszernek előnye, hogy gyakorlatilag nem igényli újabb szabály ismeretét/megtanulását, hanem a már meglévő tudásra épít nagyon könnyű megjegyezni (memorizálni), mert szinte érzi az ember, hogy mivel a deriválandó függvény az exponenciális és a hatvány függvény tulajdonságait egyaránt magán viseli, ennek a deriválás módjában is meg kell nyilvánulnia gyorsabb, mert kevesebb lépésből áll, és emiatt kisebb a tévedés lehetősége könnyebb tanítani könnyebb megtanulni kevesebb szerkesztési munkát igényel pl. jegyzetek, előadás PPT-k, példatárak, honlapok szerkesztésénél Didaktikai okokból célszerű lenne az egyetemi/főiskolai tankönyvek legközelebbi kiadásában ezt a deriválási módszert (is) szerepeltetni exponenciális hatványfüggvények differenciálására. Nézzünk néhány példát: 1. y= x x ; y =? I. Megoldás: deriválás hagyományosan, azaz logaritmikus differenciálással y= x x (1); vegyük mindkét oldal e alapú logaritmusát, így kapjuk, hogy EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül oldal 2
ln y = x ln x; mindkét oldalt deriváljuk x szerint (a baloldalt összetett függvényként, a jobboldalt pedig szorzatként): y = 1 ln x + x = ln x + 1; y -t explicit alakra hozzuk y = y(ln x + 1) ; y helyére az eredeti (1) függvényt helyettesítve kapjuk a végeredményt: y = x x (ln x + 1). A logaritmikus differenciálás hátrányai: végrehajtása egy több lépésből álló eljárás megjegyzését kívánja meg a több lépés során nagyobb a tévesztés valószínűsége túl sok tudást -logaritmizálás, összetett függvény deriválása, egyenletmegoldás- igényel tanulása több gyakorlást igényel könnyű elfelejteni a sok lépés miatt II. Megoldás: deriválás a fentiek szerint ismertetett módszerrel 1. exponenciális függvényként deriválva: y e = x x ln x 1 2. hatványfüggvényként deriválva: y h = x x x-1 1= x x 3. A két derivált összege: y = y h + y e = x x (1+ln x). Tehát a két eredmény megegyezik. 2. y=x cosx ; y =? y = x cosx lnx (-sinx)[exponenciális függvény szerinti derivált] + + cosx x cosx 1 1[hatványfüggvény szerinti derivált] = = x cosx [ - sinx lnx ] A módszer helyességének bizonyítása Legyen y = alakú. A logaritmus ismert azonossága, után e lnx = x alakú lesz. Ezt felhasználva, y =. A kitevőben a hatvány logaritmizálása után kapjuk, hogy y = e g(x) ln f(x). Deriváljuk ezt az exponenciális függvényt: y = e g(x) lnf(x) [ g g(x) ]. Az e-ados szorzótényező helyett az eredeti hatványos alakot írva és a szögletes zárójelet felbontva írhatjuk, hogy y = f(x) g(x) lnf(x) g + g(x) f(x) g(x) 1. (2) Vegyük észre, hogy az összeg EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül oldal 3
az első tagja: [f(x)] g(x) lnf(x) g éppen y-nak exponenciális függvényként való deriváltja, melynek során az alapot jelen esetben f(x)-et az exponenciális függvény definíciója szerint konstansnak tekintjük, akkor is, ha az függvény! a második tagja: g(x) [f(x)] g(x) 1 pedig éppen y-nak hatvány függvényként való deriváltja, melynek során a kitevőt jelen esetben g(x)-et a hatvány függvény definíciója szerint konstansnak tekintjük, akkor is, ha az függvény! Ezzel a módszert bebizonyítottuk, és szép példát mutattunk a második mottóra is. (Igazolva a régi mondást: Egy a valóság, ezer a ruhája. ) Ezzel a felismeréssel viszont az első ránézésre bonyolultnak és megjegyezhetetlennek tűnő (2) képlet is azonnal és könnyen megjegyezhetővé válik és szinte egy új deriválási szabálynak tűnik. Erre szerettem volna a cikkemmel rámutatni, és ezt a kis felismerést közkinccsé tenni, mivel ezzel eddig még semmilyen matematika/analízis könyvben nem találkoztam. Lehet, hogy ez a deriválási módszer is a KÖNYV -be való? (Erdős Pál matematikus szerint: "Istennek van egy könyve, amelyben minden tétel és a legjobb - legegyszerűbb, legötletesebb, legrövidebb bizonyítások /eljárások benne vannak. Ha nem is hiszel Istenben, a Könyvben hinned kell! Talán az Isten maga a Könyv." hirdette, és ő maga is mindig keresett egyszerűbb bizonyításokat, eljárásokat, ha valamit túl bonyolultnak tartott.) Matematikatörténeti érdekesség kedvéért érdemes megemlíteni, hogy Kemény János (John G. Kemeny) matematika professzor, a BASIC programozási nyelv és az időosztásos operációs rendszer feltalálója az amerikai Dartmouth College-ban is, a logaritmikus differenciálás módszerével deriválta az exponenciális hatványfüggvényt, amit az, az előadásán készült alábbi fényképen is látható. Varga János EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül oldal 4
Irodalom 1. Bárczy Barnabás: DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977, 280 p. 2. Dr. Szelezsén János: Matematika példatár, INOK Kiadó, 2007,303 o. EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül oldal 5
Varga János szerző adatai: Név: Varga János Foglalkozás: mérnöktanár Szem. ig. sz.: 514 477 RA Születés ideje, helye: 1950.07.28, Nagyléta (Ma LÉTAVÉRTES) Anyja neve: Szűcs Julianna Email: vargaj@freemail.hu Mobil: 30/517-5537 Lakcím: 8000 Székesfehérvár, Tóvárosi ln. 15. 4/2. Magyarország Lakossági folyószla. száma: 11773360-00366465 OTP EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül oldal 6