Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1
A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő, dominánsan frekvenciatartománybeli analízis és szintézis (tervezési) módszerei az 1960-as évektől kezdődően kiegészültek új, főleg időtartománybeli rendszer- és irányításelméleti módszerekkel. 2018 2
Ezeket az ún. modern irányzatokat a rendszer állapot és az állapottér bevezetése jellemezte, így a hozzájuk illeszkedő tervezési módszereket állapottér módszereknek nevezzük. A modern kor egyik legjelesebb képviselője a magyar származású RUDOLF E. KALMAN, akinek 1961 és 1965 között megjelent cikkei számos alapvető koncepció letételét és probléma megoldását jelentették. 2018 3
A súlyfüggvény segítségével a bemenő- és kimenőjelek kapcsolata a következőképp adható meg (zérus kezdeti feltétel esetén) y(t) = 0 g(τ)u(t τ)dτ u(t) g(t) y(t) 2018 4
Az átviteli függvény definíciója a LAPLACE-transzformáltak segítségével G(s) = Y (s) U(s), ahol Y (s) = L{y(t)}, U(s) = L{u(t)}, tehát G(s) = L{g(t)}. 2018 5
1. Definíció (Állapot). A rendszer állapota egy t 0 időpontban az az információ (olyan jelek ismerete), a- melyből az u(t), t t 0 bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden t t 0 időpontra meghatározható. A rendszer válasza itt a jövőbeli, t t 0 időpontra vonatkozó állapotokat és a kimenőjeleket jelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük. 2018 6
Az állapotváltozók elektromechanikai rendszerekben tipikusan az elmozdulás, sebesség, szögelfordulás, szögsebesség, feszültség, áram vagy az ezekből (lineáris kombinációval, differenciálással, integrálással) képzett jelek lehetnek. Az állapot meghatározását a differenciálegyenlet, majd az átviteli függvény ismeretéből kiindulva a következő példákon keresztül mutatjuk be. 2018 7
1. Példa: Tekintsük az alábbi rezgő tömegpont dinamikáját. Az m tömeget a c rugómerevségű rugón keresztül gerjesztjük, elmozdulását egy potenciométerrel mérjük. 2018 8
Ekkor a rendszer differenciálegyenlete m l + k l = c(u l), amiből átrendezéssel kapjuk, hogy l + k m l + c m l = c m u. 2018 9
A mérési vagy megfigyelési egyenlet a feszültségosztó összefüggése alapján y = U 0 l 0 l. Legyenek az állapotváltozók a tömegpont elmozdulása és sebessége (ezeket a mechanikában szokás fázisváltozóknak nevezni), azaz x 1 = l, x 2 = l. 2018 10
Ekkor l = ẋ 2 és ẋ 1 = x 2, ezeket a dinamikát leíró differenciálegyenletbe és a megfigyelési egyenletbe helyettesítve kapjuk ẋ 2 = c m x 1 k m x 2 + c m u, y = U 0 l 0 x 1. 2018 11
Mátrixos jelölésekkel: ẋ1 = 0 1 x 1 ẋ 2 a 1 a 0 x 2 [ ] y = c 1 c 2 x 1, x 2 + b 1 b 2 u amiből a következő állapot egyenleteket kapjuk: ẋ f = A f x f + b f u y = c T f x f 2018 12
ahol a 1 = c m, a 0 = k m, b 1 = 0, b 2 = c m c 1 = U 0 l 0, c 2 = 0. Tekintettel arra, hogy az x f állapotvetor az ún. fázissík eleme, a fenti speciális alakú állapottér alakot fázisváltozós alaknak nevezzük, jelölésére pedig az f indexet használhatjuk. 2018 13
2. Példa: Tegyük fel, hogy adott egy rendszer átviteli függvénye: G(s) = b(s) a(s) = b 1s + b 0 s 2 + a 1 s + a 0 = Y (s) U(s). A bemenőjel LAPLACE-transzformáltja U(s) és a kimenőjel LAPLACE-transzformáltja Y (s) közötti kapcsolatot ekkor a következőképp írhatjuk: Y (s) = b(s)a 1 (s)u(s). 2018 14
Vezessük be a ξ(s) változót az alábbi módon: ξ(s) = a 1 (s)u(s). Ekkor a kimenő, ill. a bemenő jel LAPLACE-transzformáltja: Y (s) = b(s)ξ(s), U(s) = a(s)ξ(s), vagyis esetünkben: Y (s) = [b 1 s + b 0 ]ξ(s) és U(s) = [ ] s 2 + a 1 s + a 0 ξ(s). 2018 15
Időtartományban a ξ(t) változó, az y(t) kimenő- és az u(t) bemenőjel kapcsolatát leíró differenciálegyenletek: y(t) = b 1 ξ(t) + b0 ξ(t) u(t) = ξ(t) + a 1 ξ(t) + a0 ξ(t) 2018 16
Vezessük be a következő új változókat, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk: x 1 = ξ, x 2 = ξ. Figyelembe véve, hogy ẋ 1 = ξ és ẋ 2 = ξ = x 1, az alábbi elsőrendű differenciálegyenletekhez jutunk: ẋ 1 = a 1 x 1 a 0 x 2 + u ẋ 2 = x 1 állapotdinamika egyenletrendszere. 2018 17
Az állapotváltozókból a rendszer kimenőjele a következőképp kapható meg: y = b 1 x 1 + b 0 x 2 megfigyelési egyenlet. 2018 18
Mátrixos jelölésekkel: ẋ1 ẋ 2 = y = a 1 a 0 x 1 1 0 x 2 [ ] b 1 b 0 x 1, x 2 + 1 0 u amiből a következő állapotegyenleteket kapjuk: ẋ c = A c x c + b c u y = c T c x c 2018 19
ahol A c = a 1 a 0 1 0, b c = 1 0, c T c = [ ] b 1 b 0. Az állapotegyenletben szereplő mátrixok speciális struktúrája miatt ezt az állapottér reprezentációt irányítható alaknak nevezzük. 2018 20
Irányítható alak Irányítható alak: Ha egy rendszer átviteli függvénye G(s) = b(s) a(s) alakú, ahol a(s) = s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0 b(s) = b n 1 s n 1 +... + b 1 s + b 0, akkor az (A c,b c,c T c ) állapottér reprezentációban az A c mátrix legelső sorát az a(s) polinom együtthatóiból (negatív előjellel véve!), a c T c vektort pedig a b(s) polinom együtthatóiból képezzük. és 2018 21
Irányítható alak Az A c mátrix speciális struktúrájából következően egyszerűen megmutatható, hogy a(s) = det(si A c ), ahol I az n dimenziós egységmátrix. 2018 22
Irányítható alak 1. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az átviteli függvény nevezőjének fokszáma megegyezik az x(t) állapotvektor dimenziójával, azaz deg{a(s)} = dim{x(t)}! A példában a dim{x(t)} = 2, amit az állapottér reprezentáció dimenziójának nevezünk és erre a dim{x(t)} = n jelölést használjuk. 2018 23
Irányítható alak 2. Megjegyzés: Ha a(s) = a n s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0 alakú, akkor le kell osztani a G(s) átviteli függvény számlálóját és nevezőjét is a n -nel, hogy a szükséges a n = 1 alakhoz (főegyütthatós) jussunk. A főegyütthatós a(s) polinom tehát: a(s) = s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0 2018 24
Megfigyelhetőségi alak A megfigyelhetőségi alak közvetlenül képezhető az irányíthatósági alakból az alábbiak szerint: A o = A c T, b o = ( c T c ) T, c T o = b T c Így az előző kétdimenziós esetre (lásd 2. Példa): A o = a 1 1, b o = b [ ] 1, c T o = 1 0. a 0 0 b 0 2018 25
Diagonális alak 3. Példa (Diagonális alak): Induljunk ki a G(s) átviteli függvény parciális tört alakban való felírásából: Y (s) = b(s) a(s) U(s) = b 1s + b 0 U(s) = s 2 + a 1 s + a [ 0 r1 = + r ] 2 U(s), s λ 1 s λ 2 ahol λ 1, λ 2 az s 2 +a 1 s+a 0 = 0 karakterisztikus egyenlet gyökei, 2018 26
Diagonális alak r 1, r 2 pedig a λ 1, λ 2 gyökökhöz (a G(s) = b(s) a(s) átviteli függvény pólusaihoz) tartozó reziduumok: b 1 s + b 0 r 1 = lim (s λ 1 ) s λ1 (s λ 1 )(s λ 2 ) = b 1λ 1 + b 0, λ 1 λ 2 b 1 s + b 0 r 2 = lim (s λ 2 ) s λ2 (s λ 1 )(s λ 2 ) = b 1λ 2 + b 0. λ 2 λ 1 2018 27
Diagonális alak Vezessük be új változóként az X 1 (s), X 2 (s) változókat, ahol amiből X 1 (s) = r 1 s λ 1 U(s) X 2 (s) = r 2 s λ 2 U(s) Y (s) = X 1 (s) + X 2 (s) (s λ i )X i (s) = r i U(s) sx i (s) = λ i X i (s) + r i U(s), i = 1,2. 2018 28
Diagonális alak Ekkor időtartományban a következő elsőrendű differenciálegyenleteket kapjuk: ẋ1 ẋ 2 ẋ i = λ i x i + r i u, i = 1,2 = λ 1 0 x 1 + r 1 0 λ 2 x 2 r 2 [ ] y = 1 1 x 1 x 2 u 2018 29
Diagonális alak Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ d = A d x d + b d u y = c T d x d, ahol az (A d,b d,c T d ) jelölésben a d index az A d mátrix diagonális alakjára utal, A d = λ 1 0, b d = 0 λ 2 r 1 r 2, c T d = [ 1 1 ]. 2018 30
Diagonális alak Az előző két példában egy adott rendszer átviteli függvényéből kétféle módon írtuk fel az állapotegyenleteket. Ebből látható, hogy egy dinamikus rendszer adott dimenziójú állapottér reprezentációja nem egyértelmű. 2018 31
Állapottér transzformáció Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egy adott x állapotvektorból egy új x állapotvektort képezünk az alábbi módon: x = T x ahol T R n n egy n n méretű nemszinguláris transzformációs mátrix, és x R n, x R n. 2018 32
Állapottér transzformáció Tegyük fel, hogy az x állapotvektor az (A,b,c T ) állapottér reprezentációhoz tartozik: ẋ = Ax + bu y = c T x, Határozzuk meg az x állapotvektorhoz tartozó x = Ā x + bu y = c T x egyenletekben szereplő (Ā, b, c T ) mátrixokat. 2018 33
Állapottér transzformáció Mivel x = T 1 x, ezt behelyettesítve az állapotegyenletbe kapjuk, hogy azaz tehát T 1 x = AT 1 x + bu y = c T T 1 x, x = T AT 1 x + T bu y = c T T 1 x, Ā = T AT 1, b = T b, c T = c T T 1. 2018 34
Állapottér transzformáció Az A és Ā mátrixok közötti fenti kapcsolatot hasonlósági transzformációnak nevezzük. Egy rendszer adott dimenziós állapottér reprezentációi egymásból hasonlósági transzformációval alakíthatók át. 2018 35