Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25.
Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás többváltozós esetre
Emlékeztető Feladat Keressük meg egy f : R R nemlineáris függvény gyökét, avagy zérushelyét. (?, 1, több?) f(x ) = 0, x =?
Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás többváltozós esetre
A Newton-módszer levezetése Geometriai megközelítés: f, x k érintő zérushely (y=0) x k+1 y f(x k ) x k+1 x k x Az érintő egyenlete: y f(x k ) = f (x k ) (x x k ) f(x k ) = f (x k ) (x k+1 x k ) f(x k) f (x k ) = x k+1 x k x k+1 = x k f(x k) f (x k )
A Newton-módszer levezetése Analitikus megközelítés: f gyöke x k körüli Taylor-polinomának gyöke 0 = f(x) = f(x k )+f (x k ) (x x k )+... Definíció: Newton-módszer Adott f : R R differenciálható függvény és x 0 R kezdőpont esetén a Newton-módszer alakja: x k+1 = x k f(x k) f (x k ) (k = 0, 1, 2,...).
Newton-módszer Példa Írjuk fel a Newton-módszert a 2 értékének közelítésére, és számoljuk ki a közelítő sorozat első néhány elemét valamely kezdőpontból! Megj.: babiloni módszer ( n számítása). Általában másodrendben konvergens!
Newton-módszer monoton konvergencia Tétel: monoton konvergencia tétele Ha f C 2 [a, b] és 1 x [a, b] : f(x ) = 0, azaz van gyök, 2 f és f állandó előjelű, 3 x 0 [a, b] : f(x 0 ) f (x 0 ) > 0, akkor az x 0 pontból indított Newton-módszer (által adott (x k ) sorozat) monoton konvergál x -hoz. Megjegyzés: 4 eset van:
Newton-módszer monoton konvergencia Biz.: Csak az f > 0, f > 0 esetre, a többi hasonló. f(x 0 ) > 0. 1 Taylor-formula másodfokú maradéktaggal, x k középponttal: ξ k (x, x k ) vagy (x k, x): f(x) = f(x k )+f (x k ) (x x k )+ f (ξ k ) 2 Az x k+1 helyen: ξ k (x k+1, x k ) vagy (x k, x k+1 ) f(x k+1 ) = f(x k )+f (x k ) (x k+1 x k ) }{{} =0 (def. alapján) Tehát f(x k ) > 0 ( k N). + f (ξ k ) 2 }{{} >0 (x x k ) 2. (x k+1 x k ) 2. }{{} >0
Newton-módszer monoton konvergencia 2 Az (x k ) sorozat monoton fogyó, x k+1 = x k f(x k) f < x k ; (x k ) }{{} >0 valamint az (x k ) sorozat alulról korlátos, 0 = f(x ) < f(x k ), f szig. mon. nő = x < x k így az (x k ) sorozat konvergens, ˆx := lim k x k. 3 Kell: ˆx = x. Elég: f(ˆx) = 0. (f C[a, b], f szig. mon.) f(ˆx) = lim f(x k+1) = lim k k f (ξ k ) 2 }{{} korlátos (x k+1 x k ) 2 = 0. }{{} 0 (Cauchy)
Tétel: lokális konvergencia tétele Ha f C 2 [a, b] és Newton-módszer lokális konvergencia 1 x [a, b] : f(x ) = 0, azaz van gyök, 2 f állandó előjelű, 3 x 0 [a, b] : x 0 x < r := min { 1 M, x a, x b akkor az x 0 pontból indított Newton-módszer másodrendben konvergál a gyökhöz, és az hibabecslés érvényes, ahol x k+1 x M x k x 2 }, M = M 2 2 m 1, m 1 = inf f (x), x [a,b] M 2 = sup f (x). x [a,b]
Newton-módszer lokális konvergencia Röviden: Ha elég közelről indulunk, akkor gyorsan odatalálunk. Megj.: A monoton konvergencia feltételeinek esetén is másodrendű lesz a konvergencia, hiszen előbb-utóbb elég közel kerülünk a gyökhöz. { } x 0 x < r := min 1 M, x a, x b, azaz legyünk elég közel, de azért mindenesetre legyünk [a, b]-n belül is. Biz.: Táblán. Meggondoltuk.
Newton-módszer Megjegyzések: Néha a konvergencia csak elsőrendű (vagy instabillá válik). Például ha f (x ) = 0, azaz x többszörös gyök. (Hogyan lehetne orvosolni?) Néha akár harmadrendű is lehet (v.ö. aszimptotikus konvergencia tétel). Ha f (x k ) = 0, akkor x k+1 nincs értelmezve. Hívják Newton Raphson-, ill. Newton Fourier-módszernek is. A módszer nem biztos, hogy konvergál. Ciklusba is kerülhet. A gyökök vonzásterületein kívül kaotikus jelenségek...
Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás többváltozós esetre
Ismétlés Ismétlés: Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. y Az egyenes meredeksége: f(a) f(b). a b (b, f(b)) (a, f(a)) x Az egyenes egyenlete: y f(a) = f(a) f(b) a b Ennek zérushelye (y = 0): x = a f(a) (a b) f(a) f(b). (x a).
Húrmódszer y Definíció: húrmódszer Az f C[a, b] függvény esetén, ha f(a) f(b) < 0, akkor a húrmódszer alakja: x 0 := a, x 1 := b, x s x k+1 x k x x k+1 = x k f(x k) (x k x s ) f(x k ) f(x s ) (k = 0, 1, 2,...), ahol s a legnagyobb olyan index, amelyre f(x k ) f(x s ) < 0.
Húrmódszer Tétel: a húrmódszer konvergenciája Ha f C 2 [a, b] és 1 f(a) f(b) < 0, 2 M (b a) < 1, akkor a húrmódszer elsőrendben konvergál az x gyökhöz és x k x 1 M (M x 0 x ) k teljesül, ahol M = M 2 2 m 1 ugyanúgy, mint korábban. Biz.: nélkül.
Szelőmódszer y x k+1 x k x k 1 x Definíció: szelőmódszer Az f C[a, b] függvény esetén a szelőmódszer alakja: x 0, x 1 : [a, b], x k+1 = x k f(x k) (x k x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) (k = 0, 1, 2,...).
Szelőmódszer Tétel: a szelőmódszer konvergenciája Ha f C 2 [a, b] és 1 x [a, b] : f(x ) = 0, azaz van gyök, 2 f állandó előjelű, 3 x 0, x 1 [a, b] : x 0 x x 1 x } { } 1 < r := min M, x a, x b, akkor a szelőmódszer p = 1+ 5 2 gyökhöz. (M a szokásos.) rendben konvergál az x Biz.: nélkül.
Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás többváltozós esetre
Többváltozós nemlineáris egyenletrendszerek Feladat F: R n R n, F(x) = 0, x =?, (x R n ) Legtöbb módszerünk általánosítható többváltozós esetre. Egyszerű iteráció F(x) = 0 x = Φ(x) Banach-féle fixponttétel szerint...
Többváltozós Newton-módszer Többváltozós Newton-módszer Közelítsük F-et az elsőfokú Taylor-polinomjával. F(x) F(x (k) )+F (x (k) ) (x x (k) ), ( ) F (k (k) fi (x (k) n ) ) = R n n x j Ezen közelítés zérushelye lesz x (k+1) : i,j=1 1 F (x (k) ) (x (k+1) x (k) ) = F(x (k) ) LER megoldás ( y), }{{} y 2 x (k+1) = x (k) + y.
Többváltozós Newton-módszer Definíció: a többváltozós Newton-módszer képlete ( x (k+1) = x (k) F (x )) (k) 1 F(x (k) ) Megj.: A módszer javítható pl. úgy, hogy ne kelljen minden lépésben invertálni Broyden-módszer.
Példák Matlab-ban 1 A 2 értékének másodrendben konvergens közelítése. 2 Példák a Newton-módszer működésére: konvergencia, divergencia, ciklizálás, fraktálszerű jelenségek.