Konzevatív eőteek A fizikában kiemelt szeepet játszanak az úgynevezett konzevatív eőteek. Ezek a klasszikus mechanikában fontosak, bá ott inkább csak kivételt képeznek. iszont az elektomágnesesség, illetve az atomfizika szempontjából ezek válnak alapvetővé. Az anyagok építőköveiként számon tatott elemi észecskék fizikájában, és így az anyagtudomány megannyi teületén kiemelt szeepet kapnak azok az effektív modellek, amelyek a észecskék közötti kölcsönhatásokat potenciál-tében töténő mozgásokként ételmeznek. Mint az ebből a kis jegyzetből is kideül, a konzevatív eőteek, illetve azok potenciálja úja és úja előkeülő fogalmak, és azok számáa, akik nem akanak teljes mélységében belemátózni a kvantummechanika, vagy a kvantumtéelmélet mélységeiben, azok számáa az atomi folyamatok, illetve az anyag szekezetének kialakulásának megétésében kiemelten fontosak. Jelölések, ábák Az összefüggések egyszeűsítése édekében az egyes paciális deivált jelölések helyett ú jelöléseket vezetünk be az alábbi módon:,,, x y z t x y z t Fontos kiemelni továbbá, hogy az ábák egy észe inkább szemléltető jellegű, nem pontosak. Ennek oka az, hogy ezekkel elsősoban szemléltetni szeettük volna az egyes fizikai endszeek működését. A vállalt pontatlanságok a lényegi tatalmat nem befolyásolják. Definíció Első lépésként azonnal kizájuk az időfüggő eőteeket, vagyis olyan eőhatásokkal foglalkozunk, amelyek expliciten (vagyis fomálisan) nem függnek az időtől (temészetesen a mozgás koodinátáin, vagy a sebességeken keesztül függhet tőle) F(, v, t) F(, v) Ezen túl a Konzevatív eőté meghatáozása többféleképpen is lehetséges. Az általános definíció, amelyet mi is tanítunk a következő: Meghatáozás1: a konzevatív eőté olyan eőté, amely esetén igaz, hogy az általa végzett munka csak a pálya két végpontjától függ (a köztük megtett pályától nem) B WAB F d (A) (B) A Paktikus szempontból ez a meghatáozás a legfontosabb. Azonban annak eldöntésée, hogy egy meghatáozott eőté konzevatív, vagy sem, mást kell alkalmaznunk. Az alábbi háom állítás egyenétékű a fentivel, és egymással is: Meghatáozás2: a konzevatív eőté olyan eőté, amelynek a zát göbe mentén az integálja minden göbée zéus Fd 0 Meghatáozás3: a konzevatív eőté olyan eőté, amelyhez található olyan (, v) potenciális enegia, amelynek az eőté negatív gadiense, vagyis : F gad
Meghatáozás4: a konzevatív eőté otációmentes ot F 0 Bebizonyítható, hogy a négy meghatáozás egyenétékű egymással. A bizonyítás hosszadalmas, és egyes lépései eléggé technikásak, néhány egyszeűbb bizonyítást azonban itt bemutatunk, bá azoknak nem minde technikai észletét. Bizonyítás1: Ha egy eőtée a második meghatáozás igaz, akko automatikusan a hamadik is igaz lesz: - Legyen az F eőté potenciálja, vagyis x F gad y z ekko yfz zf y yz zy 0 ot F zfx xfz zx xz 0 xfy yf x xy yx 0 ahol az utolsó lépésben felhasználtuk a tényt, hogy a paciális deiváltak egymással felcseéhetőek. Bizonyítás2: Ha az 1. meghatáozás igaz, abból automatikusan következik a 2. megfogalmazás: A Fd W Fd (A) (A) 0 AA A Bizonyítás3: Ha a 2. meghatáozás igaz, akko a negyedik abból kiszámolható a Stokes-tétel segítségével (ezt az első egyenlőségnél fogjuk alkalmazni): egy tetszőleges v vektoa igaz, hogy ha azt egy g göbe mentén köbeintegáljuk, akko az integál átíható egy, a g göbe által köülfogott F felülete vett felületi integállá az alábbi fomában: vd otvda. g F Ha ezt az F eőe tekintjük, akko Fd otfda 0, és mivel minden göbée a köintegál zéus, ezét ot F 0. És így tovább. Potenciális enegia, potenciál, enegia-megmaadás A konzevatív eőteek egy fontos tulajdonsága, hogy definiálható hozzájuk egy potenciális enegia, amely az eőté enegiaviszonyait egyételműen jellemzi. Sőt, mivel ennek gadiense meghatáozza az eő vektoát minden helyen és időpillanatban, ezét ennek segítségével minden megmondható az eőté viselkedéséől. Megjegyzendő, hogy a különböző kölcsönhatásokhoz meghatáozható egy potenciál nevű mennyiség is, amelyben a póbateste ható eők hatását vizsgáljuk. Ekko a gavitációs eőté potenciálja felíható, mint a potenciális enegia és a póbatest tömegének hányadosa, de például elektosztatikában a töltéssel kell osztanunk, hogy a potenciál fogalmát meghatáozhassuk. Ezen fogalmak egyik poblémája (bá nagy előnyük, hogy nem kell a póbatest tulajdonságait is ismenünk), hogy minden kölcsönhatás esetén más és más mennyiséget kapunk, más és más métékegységgel. A gavitáció esetén ez J/kg, míg az elektosztatikában J/C. Éppen ezét mi mindenhol a potenciális enegiát fogjuk vizsgálni, aminek további előnye, hogy a mindennapi tapasztalatokhoz is közelebb áll. Többfajta konzevatív eőtéel találkoztunk má a koábbi tanulmányok soán, ezek konkétan: - súlyeő
- gavitációs eő - ugóeő - Coulomb-eő illetve a Lenad-Jones potenciál mögött is egy konzevatív eőté áll. Nagyon fontos továbbá a konzevatív eőteek esetén az enegia-megmaadásnak a kifejeződése, a mechanikai enegia-megmaadás, mely szeint konzevatív eőtében a mozgási és potenciális enegiák összege a mozgás soán állandó. Ez a munkatételből egyszeűen kiszámolható, a mozgás kiindulópontját A- val, végpontját pedig B-vel jelölve: 1 1 2 2 1 1 B 2 2 WAB F d (A) (B) A 2 2 WAB Ek mv (B) mv (A) vagyis 1 1 2 2 2 2 mv (B) (B) mv (A) (A) 2 2 mv (B) mv (A) (A) (B) A kinetikus és potenciális enegiák összegét nevezzük mechanikai enegiának, vagyis 1. 2 2 EM mv A mechanikai enegia, a kinetikus és potenciális enegiák olyan fogalmi köt adnak, amelyek segítségével a konzevatív eőtében töténő mozgás nagyon sok sajátossága megéthető, sőt, nagyon sok tulajdonság konkétan számolhatóvá is válik anélkül, hogy az eőhatásokat, vagy azokból integálva a testek pályáját ismenünk kellene. Súlyeő Bevezető példaként nézzük meg a legegyszeűbb példát, a súlyeőt! együnk egy Descateskoodinátaendszet a tében, a súlyeő mutasson függőlegesen lefelé! Ehhez a mgz potenciális enegia x 0 tatozik. A fentiek alapján az eőhatás: F gad y 0, ahogy azt vájuk. z mg együk most ennek a otációját! yfz zf y yfz 0 ot F zfx xfz xfz 0 xfy yf x 0 0 Tekintsük a munkavégzést az A és B pontok között, ahol az A pont koodinátái (x A, y A, z A ), a B pont koodinátái (x B, y B, z B ): B xb yb zb z B B W Fd (F dx F dy F dz) F dx F dy F dz 0 0 mg dz mg(z z ) AB x y z x y z A B A A xa ya za za Ebből jól látszik, hogy az integál étéke csak a két végpont koodinátáitól függ, ahogy az is látszik, hogy a potenciális enegia =mgz, és W AB =(A)-(B). És pesze ebből tiviálisan adódik, hogy a köintegál étéke zéus.
Rajzoljuk most fel a potenciális enegiát a z koodináta függvényében! () z mgz z Az ába lehetőséget ad aa, hogy egy mechanikai enegiával endelkező test mozgását megvizsgáljuk, és kideítsük, milyen magasa juthat, vagy éppen adott magasságban mekkoa a mozgási enegiája, lévén 1 2 2 EM Ek mv mgz Továbbá, fontos megjegyezni, hogy mivel a tömeg étéke pozitív, és a sebesség négyzete is az, az E k mozgási enegia mindenképpen nem-negatív kell legyen. () z mgz () z mgz E k (z max ) (z ) z z z max z Tekintsünk egy olyan tömegpontot, amely meghatáozott mechanikai enegiával endelkezik. A (z) potenciál ábájába ezt beítuk, és ezzel a mozgás több fontos tulajdonságát is fel tudjuk táni. A legáltalánosabb esetben tekintsük a z magasságot, és nézzük meg, hogy milyenek itt az enegiaviszonyok! Jól látható, hogy a potenciális enegiát bemutató göbe és a vízszintes tengely közötti szakasz mutatja meg a potenciális enegia konkét étékét az adott magasságon, a felette lévő ész pedig az E k = -(z ) étékű mozgási enegiát. Mivel a mozgási enegia nem lehet negatív, ezét a fenti módsze ki is jelöli a maximális magasságát ennek a mozgásnak, ez látható a jobb oldali képen. Itt a mozgási enegia étéke zéus, az összes mechanikai enegia a maximális magassághoz tatozó helyzeti enegiával egyenlő, mint azt a feladatok esetén láthatjuk. Továbbá, jól látszik a mozgás legalacsonyabb pontjának sajátossága is, itt (z=0) az összes mechanikai enegia a mozgási enegiával egyenlő. Bá a súlyeő esetében ezek tiviális eedmények, fontos őket ilyen módon is bemutatni, met hasonló módszet fogunk alkalmazni a többi eőté megvizsgálása esetében is, hogy meghatáozzuk a mozgás néhány jellemző tulajdonságát. És ezen eőteek esetén nem mindig egyszeűek a konkét számolások, míg egy ilyen vizualizáció segítségével sokat megtudhatunk a kiszemelt potenciáltében töténő mozgás tulajdonságaiól.
Centális eőteek A fizikában ahogy a most bemutatása keülő eőteek esetében is gyakan találkozunk olyan eőhatásokkal, amelyeknél az eővekto mindig egy meghatáozott centum felé (vagy onnantól elfelé) mutat. Ezeket nevezzük centális eőteeknek. Ezek közé tatoznak a gavitáció, a Coulomb-eő és a észecskék közötti kölcsönhatásokat effektíven leíó modellek eőhatásai is. Gavitációs eőté Első példaként vizsgáljuk meg a gavitációs eőteet! Ennek előnye, hogy alakilag nagyon hasonít a legtöbb centális, konzevatív eőtée, viszonyt csak vonzó eőhatás. Emellett a csillagászati méések pontossága lehetővé teszi, hogy nagyon nagy pontossággal étékeljük ki a gavitációs eőtében való mozgás tulajdonságait. A gavitációs eő a szokásos newton-i gavitációs eőtövénnyel íható le (ahol az vekto a két testet összekötő vekto, iánya a vonzást kifejtő test felől mutat): mm F =- 2 Az ehhez tatozó potenciális enegia kifejezése a következő: ( ) =- mm A fenti tételek bizonyítása eléggé technikás ebben az esetben, met a számolásokat nem az (x, y, z) Descates-féle koodinátaendszeben alkalmas elvégezni (tudván, hogy 2 = x 2 +y 2 +z 2 ), hanem gömbi koodinátaendszeben, ez azonban az anyagban nem szeepel. Azonban belátható, hogy a gavitációs eőté konzevatív, és az eő alakjából is látható, hogy centális. Rajzoljuk fel ennek az eőtének a potenciális enegiáját az távolság függvényében! Megjegyzendő, hogy a =0 étéket a végtelen távoli pontba vettük fel, itt jól látható, hogy milyen megfontolásból. ( ) =- mm Ismét vizsgáljuk meg egy mechanikai enegiával endelkező test mozgását, figyelembe véve, hogy az E k mozgási enegia mindenképpen nem-negatív. Most azonban a mechanikai enegia étéke negatív is lehet, vagy pozitív, illetve zéus.
izsgáljuk meg előszö a negatív mechanikai enegiájú esetet! R max ( max ) ( ) =- mm ( ) E k () mg Ismét igaz, hogy tekintve a pálya egy helyzetű pontját könnyedén felméhetőek az enegia-viszonyok. Láthatóan ebben a pontban negatív az összes mechanikai enegia, ahogy a potenciális enegia étéke is. iszont az is látható, hogy a E k = -( ) mozgási enegia ez esetben pozitív lesz, vagyis ténylegesen eljut ee a ponta a tömegpontunk. Az ábán jól látható, hogy konkét étéke meghatáozza a pálya legmagasabb pontját ( max ), azt a pontot, ahol a mozgási enegia nullává válik. Ennél magasabba a test nem juthat (negatív lenne a mozgási enegiája), ezét kötött pályán mozog. Centális eőtében, ha keingésől van szó, ez ellipszispályát jelent, vagy elfajult esetben köpályát. Egyébként pedig különféle hajításokként íhatóak le a mozgások, a testek távolodnak a vonzócentumtól, majd visszafelé kezdenek esni. A mozgás többi pontjában pedig mindig felméhető, hogy a test milyen magasan van, és ahhoz milyen sebesség tatozik. Fontos kiemelni egy-két dolgot az ába alapján. Ha a Földől beszélünk, annak a gavitációs vonzását vizsgáljuk, fontos megjegyezni, hogy a felajzolt potenciálfüggvény csak a Föld felszínéig pontos (ennek helyzetét R sugáal jellemezhetjük), az alatt (mivel a vizsgált tömeg is csökken) másképpen néz ki (valójában ez minden kitejedt teste így igaz). Ez azonban a vizsgálódásainkat nem befolyásolja, a felszín feletti tatománya szoítkozunk. Egy másik megjegyzés a súlyeőe vonatkozik. Az ábán a Föld felszínének közelében a potenciális enegiát egy egyenessel közelítjük (lásd kiegészítő ába). Ez lényegében kis magasságban megfelel a súlyeőhöz tatozó potenciális enegia mgz kifejezésének. Jól látható azonban, hogy ez csak egy nagyon kis tatományon lesz igazán jó közelítés. Fontos kiemelni egy itt fellépő alapfogalmat. Ha egy test nem képes egy vonzó centumtól tetszőleges távolságba elmenni, akko azt kötött állapotban lévőnek tekintjük.
Nézzük most azokat a mozgásokat, ahol étéke pozitív! R E k ( ) ( ) =- mm Az ábán jól látható, hogy a test mozgási enegiája sehol sem nulla, ezét ő nyílt pályán mozog, és bizony, el is távolodik a Földtől (amíg a gavitáción kívül más eő nem kezd hatni á). Az ilyen testek, ha kívülől ékeznek a gavitációs centum közelébe, hipebolikus pályán mozognak el köülötte. A nyílt pályák speciális esete az, amiko =0. Ebben az esetben is nyílt pályán mozog a test, és csak egy elképzelt végtelen távoli pontban lesz a mozgási enegiája zéus. Ezek a testek paabolikus pályán mozognak a centum köül, ha kívülől ékeznek annak közelébe. Mivel a pozitív mechanikai enegiával endelkező észecskék tetszőleges távolságba elmehetnek a vonzócentumtól, azokat nem tekinthetjük kötöttnek, szabad észecskéknek hívjuk őket. Ide tatozó megjegyzésként fontos kiemelni, hogy a fentiek alapján jól látható, hogy ha a gavitáció helyett a súlyeőt vesszük figyelembe, ott mindenképpen csak kötött állapotokat találhatunk. Ez a potenciális enegia kifejezésének köszönhető, és azt is megmutatja, miét nem jó ez a modell, ha nagy magasságokban akajuk étékelni a gavitációs tében töténő mozgást. égezetül ajzoljuk fel, hogy a potenciális enegia kifejezése hogyan változik, ha egye nagyobb vonzó centumokat feltételezünk, de ugyanahhoz a póbatesthez!
A Coulomb-eő Két, egymástól adott távolsága elhelyezkedő ponttöltés közötti eőhatást a Coulomb-eő í le (ahol az vekto a két testet összekötő vekto): FC = k, 2 az ehhez tatozó potenciális enegia kifejezése pedig ( ) = k. A konzevatív eőteeke vonatkozó tételek alkalmazásától itt is eltekintünk, a lényegi elem az, hogy a fenti potenciális enegia kifejezés jól definiált, az eőté konzevatív, és má a Coulomb-eő kifejezéséből is jól láthatóan centális. A fenti kifejezés nagyban hasonlít a gavitációs eőtövénynél tágyaltaka. Új mozzanat ebben az esetben, hogy a töltések lehetnek pozitívak vagy negatívak, és ettől függően a kölcsönhatás lehet vonzó (ellentétes előjelű töltések esetén), vagy taszító (megegyező előjelű töltések között). Ezt a két esetet külön fogjuk tágyalni. Emiatt a kettősség miatt fontos kiemelni még egy dolgot. A potenciál kifejezése csak az egyik töltés előjelétől függ, de a potenciális enegia kifejezésében mindkét töltés szeepel, és mivel a kiétékelés soán mi a potenciális enegiát választottuk, így annak az előjelével fogunk foglalkozni. Rajzoljuk fel a ponttöltés elektosztatikus mezejének a potenciális enegiáját az távolság függvényében, abban az esetben, amiko a két töltés ellentétes előjelű, vagyis közöttük a kölcsönhatás vonzó, és a potenciális enegia kifejezése ( ) =- k. Megjegyzendő, hogy ebben az esetben is a =0 étéket a végtelen távoli pontba vettük fel. ( ) =- k A gavitációs kölcsönhatás esetében elvégzett vizsgálatokat megismételve ugyanazoka a következtetéseke jutunk, ugyanazokat a sajátosságokat tapasztaljuk, mint ott. Ha a mechanikai enegia negatív, kötött állapotot kapunk, a vizsgált töltés nem képes tetszőleges távolságba távolodni a vonzó centumtól. Létezik egy maximális távolság, ahol a mozgási enegia zéussá válik. Pozitív (illetve zéus) összenegia esetén a észecske szabadon eltávolodhat a másik töltéstől, mozgási enegiája sehol sem zéus (vagy csak egy végtelen távoli pontban válik azzá). Nézzük a koábbi két ábát a jelen helyzete vonatkoztatva!
Negatív enegia esetén: R max ( max ) ( ) =- k ( ) E k Pozitív enegia esetén: R E k ( ) ( ) =- k Az ábákon ebben az esetben is fel lett tüntetve egy hatávonal, egy minimális sugá, amely alatt má nem évényes a Coulomb-eő, pontosabban fogalmazva azt má hatások is befolyásolják. Ha két töltés nagyon közel keül egymáshoz, akko a közöttük lévő elektosztatikus vonzás mellett fellépnek olyan kvantummechanikai hatások is, amelyek taszító jellegűek, és ezek egyfajta kitejedést adnak a észecskéknek, azok nem eshetnek egymásba. Később ezt a mondatot pontosítani fogjuk, jelenleg az elegendő, hogy az R-el jelölt sugá a potenciális enegia fenti kifejezésének évényességi hatáa.
Rajzoljuk fel a potenciális enegiát úja, most azonos előjelű töltések esetében! Ekko a potenciális enegia kifejezése ( ) = k lesz. A potenciál =0 étékét ismét a végtelen távoli pontba választottuk. ( ) = k Nézzük meg, hogy egy negatív enegiával endelkező töltés hogyan mozogna ebben a potenciáltében. ( ) ( ) = k E k Jól látható, hogy egy ilyen potenciáltében nincs negatív enegiájú állapot, az enegia mindenképpen pozitív. Mivel a potenciális enegia mindenhol pozitív, az enegia csak akko lehet negatív, vagy zéus, ha a mozgási enegia negatív. Ez azonban nem lehetséges, így csak a pozitív enegiájú esettel édemes foglalkozni.
( min ) E k ( ) = k ( ) min Ebben az esetben má követhetjük a szokásos menetendet, és a vonzócentumtól távolságban lévő észecske enegiaviszonyait meg tudjuk vizsgálni, ki tudjuk számolni a sebességét. Jól látható, hogy ezesetben minden pozitív enegiájú észecske szabad, bámilyen távola elmozoghat a centumtól. Ez pesze aa gondolva, hogy taszító kölcsönhatásól van szó, könnyedén megéthető. iszont az ábán is látszik, hogy van egy olyan min távolság, amelynél közelebb nem keülhet az enegiával endelkező töltés a másikhoz, met akko a mozgási enegiája negatívvá válna. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az min távolság a másik töltés által ézékelt sugaa a centumban elhelyezett töltésnek. Jól láthatóan ez függ az összenegiától, de soha nem zéus. agyis egyik töltés nem közelítheti meg tetszőlegesen a másikat, előbb-utóbb lepattan annak elektosztatikus mezejéől. égezetül ajzoljuk fel, hogy a potenciális enegia kifejezése hogyan változik, ha egye nagyobb vonzó centumokat feltételezünk, de ugyanahhoz a póbatesthez (a taszító és a vonzó potenciálokat ugyanazon az ábán szemléltetjük)!
A Coulomb-eő vizsgálatának haszna kettős. Egyészt ez íja le az anyagtudományok egyik legfontosabb jelenségét, a két töltés közötti eőhatást. Másészt az ennél bonyolultabb kölcsönhatások kiétékeléséhez is megadja a szükséges kulcsokat. Az anyagtudomány legfontosabb elemi kölcsönhatásai mind olyan potenciálokkal íhatóak le, amelyek 1/ n jellegűek, vagy ilyenek összegei/különbségei attól függően, hogy vonzó és/vagy taszító komponenseik milyenek. Ezen potenciálok konkét matematikai leíása sokszo nagyban különbözhet egymástól, de a göbék jellege mindenhol a fenti két göbééhez hasonló (még ha némely tulajdonságuk nagyon más is). A fentiekben bevezetett fogalmak azok, amelyek segítségével egy összetettebb potenciáltében töténő mozgást is meg tudunk vizsgálni. Ennek alapja az, hogy a konzevatív eőteek potenciáljai (egy-egy észecske potenciális enegiái) összeadódnak. Rugóeő Mielőtt azonban ezeke áténénk, nézzük meg egy, a tanulmányok soán endszeesen előkeülő eőté viselkedését, a ugóeőét. Ez különösen fontos, met a hamonikus ezgések mind hasonló potenciáltében töténő mozgásként ételmezhetőek, ételmezendőek. A ezgőmozgás egy egy dimenziós mozgás, amelyben a ugóeő aányos az egyensúlyi állapottól (a ugó nyújtatlan) való kitééssel, vagyis F =-Dx, R és az ehhez tatozó potenciális enegia kifejezés ( x) 1 2 2 = Dx. A konzevatív eőteeke vonatkozó feltételek ellenőzését az olvasóa bízzuk. Fontos viszont ennek a potenciálnak a kiétékelése. A potenciális enegia egy pozitív iányítású paabola, melynek csúcspontja az oigó. Ebből adódóan nincs negatív mechanikai enegiájú állapot, másészt minden állapot kötött, a ugó végée eősített észecske semmiképpen sem hagyhatja el a potenciál által hatáolt teet. Temészetesen ez is közelítés, lévén egy konkét ugó esetén nem teljesül, hogy végtelenül megnyújtható, vagy összenyomható, ahogy az sem igaz, hogy a diekciós állandója tényleg állandó. Fontos azonban, hogy az ilyen, négyzetes potenciálteekben hamonikus ezgőmozgást végeznek a testek és ez a ugóa akasztott test modelljétől függetlenül is így van. Lenad-Jones potenciál A Fizika tágy anyagában a eális gázoknál tanultunk a Lenad-Jones potenciálól. Ott éintőlegesen szeepelt csak, hátté-infomációként aa vonatkozóan, hogy az ideális gáz egyenletéhez képest bevezetett koekcióknak mi a foása. Ezt most észletesebben is megvizsgáljuk, egyészt az ott tanultak alátámasztásáa, másészt azét, met nagyon sok kölcsönhatás viselkedik hasonlóan ehhez a potenciáltéhez. Olyannyia, hogy a molekulák és a nemesgázok kölcsönhatásait is ezzel a potenciállal íhatjuk le. Maga a potenciál egy 1/ 6 jellegű vonzó és egy 1/ 12 jellegű taszító potenciál összege, vagyis beíva a megfelelő együtthatókat a potenciál alakja A B ( ) =- 6 12 +. Azonban, ha ennél pontosabbak akaunk lenni, illetve a göbénket pontosabban szeetnénk kiétékelni, a fenti potenciált ebben az alakban kell vizsgálnunk: æ 6 12 æ ö æ ö ö ( ) = 4 - + ç ç è ø ç è ø. è ø
A potenciális enegia kifejezésének alakja (jelölve a két különálló tag hatásait is) a következő: 6 12 Csak a potenciál ( ) 4 æ æ ö æ ö = ö - + ç ç è ø ç è ø göbéjét ábázolva: è ø ε σ ε Jól látható a potenciál szekezete. Az =σ sugá alatt taszító kölcsönhatás működik, felette vonzó (egyébként σ nem más, mint a ()=0 egyenlet megoldása. A legmélyebb pontja a potenciálnak ε =σ 6 2 sugánál található, mélysége ε. Megjegyzendő, hogy az ε és σ étékek különféle anyagoka méhetőek, ezek közül sok megtalálható a szakiodalomban. Az alábbiakban az ebben a potenciáltében való mozgás észleteit fogjuk megvizsgálni minden jól elkülöníthető esetben, illetve megvizsgáljuk, hogy az ezzel modellezett anyagok viselkedése hogyan íható le ennek a segítségével. Amit külön vizsgálni nem fogunk, az a < ε eset. Ebben az esetben az összenegia kisebb, mint a potenciálgödö legmélyebb enegiaszintje. Itt mindenképpen negatív lenne a mozgási enegia étéke, így kizáható ez az eset a vizsgálódásokból. izuálisan ez úgy azonosítható be, hogy az enegiát képviselő vízszintes egyenes mindig a potenciális enegia göbéje alatt található. Speciális hatáeset az, amiko = ε. Ebben az esetben a mozgási enegia mindenképpen nulla, vagyis az ekkoa enegiával endelkező észecske nem mozog a másik teében, a lehető legkötöttebb állapotban van. Temészetesen ez az állapot a valóságban nem igazán valósul meg, a molekula (vagy nemesgáz-atom) a könyezetétől mindenképpen kap némi enegiát, így az enegiája valójában soha nem lesz ilyen alacsony. Az említett pont megfeleltethető az abszolút nulla hőmésékletnek, aminek eléését a temodinamika második főtétele lehetetlenné teszi. an még egy fontos tulajdonsága a potenciálnak. A potenciál minimuma könyékén egy paabolával közelíthető, amelynek következtében a minimum könyékén a észecske közelítőleg hamonikus ezgést
végez. Azonban az ettől való eltéés má kis enegián is megjelenik, ami a észecskék viselkedését alapvetően meghatáozza. min max σ ( min ) ( max ) ( ) E k ε Negatív enegia esetén jól láthatóan a észecske min és max távolságok között mozoghat, vagyis kötött állapotban van. Édekessége viszont ennek az esetnek, hogy a másik észecskét sem közelítheti meg tetszőlegesen, van egy olyan távolság, aminél közelebb nem juthat. Általánosságban az enegia-viszonyokat az távolságon mutatjuk be. ( min ) σ min E k ( ) ε Pozitív enegia esetén a észecske szabad, de ebben az esetben is van egy olyan minimális min távolság, amelynél közelebb nem juthat egyik észecske a másikhoz. Megjegyzendő, hogy a nulla enegiájú esetben ez a távolság nem más, mint a potenciál σ paamétee.
A fenti két eset vizsgálata egészen összetett fizikai folyamatok bemutatásáa is alkalmas. A temodinamikában tanultak alapján az egy észecskée jutó átlagos enegia időátlagban a belső enegiának a észecskée jutó szegmense. Ez az ekvipatíció tétele alapján egyételműen kapcsolatban áll a hőméséklettel. Ha a észecskék átlagos viselkedését vizsgáljuk, akko a különböző enegiák egyételműen megfeleltethetőek különböző T hőmésékleteknek. A potenciál minimuma könyékén, ahol jó közelítéssel paabola alakúnak tekinthető, a hőméséklet növekedése egye nagyobb amplitúdójú hamonikus (vagy ahhoz közeli) ezgést végeznek. Azonban má igen koán fontossá válik a potenciál aszimmetiája a paabolához képest. Emiatt a hőméséklet emelkedésével nem csak a ezgés amplitúdója változik, hanem a észecske helyzetének középétéke is a másikhoz képest növekedni fog. Így a hőméséklet növekedésével a észecskék átlagosan egye távolabb keülnek egymástól, ami a hőtágulás jelensége. Egy másik jelenségkö ahhoz az átmenethez tatozik, amelyben a észecske kötött állapotból szabad állapotba keül. Bá a konkét átmenet leíása sokkal bonyolultabb is lehet, az átmenet előtti és utáni állapotok összehasonlítása a fenti potenciál vizsgálatával is töténhet. A hőméséklet növelésével eléhető, hogy a kötött állapotú észecske szabad állapotba keüljön, és fodítva: a hőméséklet csökkenése a szabad észecskét kötött állapotba viheti. Ez megfeleltethető a páolgás, foás, lecsapódás, vagy éppen a szublimálás jelenségköe. A potenciálgöbe ismeetében visszatéünk a an de Waals-féle eális gázmodelle. Ennek az állapotegyenlete æ a ö p ç + 2 ( v- b) = RT è v ø. A szozat második tagja az egy mól anyaga vonatkoztatott téfogat. A hőmésékletet azonban valójában nem a gáz téfogata hatáozza meg, hanem az egyes gázészecskék ún. átlagos szabad úthossza (vagyis az ütközések között megtett út átlagos étéke). Nyilvánvalóan a gáz teljes téfogatából ehhez ki kell vonni az egyes észecskék saját téfogatát. Ez utóbbit a Coulomb-eőnél tágyalt módon ételmezzük, vagyis meghatáozzuk, hogy egy adott átlagos enegiához milyen min hatátávolság tatozik (ahol a mozgási enegia nullának adódik), amelynél közelebb a észecske nem keülhet a másikhoz. A b konstans az ehhez tatozó téfogatjáulékot jelöli. A szozat első tagja a nyomás koekcióját tatalmazza. A gáz nyomása mögötti fizikai folyamat a észecskék egymással, vagy a táolóedény falával való ütközése. Ennek nyilvánvalóan fontos eleme az egyes észecskék átlagos sebessége. Mivel egy adott távolságon túl a vonzó potenciál dominálja a kölcsönhatást, jól láthatóan a nulla potenciálhoz tatozó mozgási enegiánál az egyes észecskéknek nagyobb a mozgási enegiája ezen a távolságon. Így a nyomás étékét ki kell egészítenünk a vonzó potenciál ezen hatásával is, így jelenik meg az a/v 2 tag a hőméséklet kiszámításako. A Lenad-Jones potenciál (és a hasonlóak) a temodinamikai folyamatok modellezésében és az anyagtudomány effektív elméleteiben kiemelt szeepet foglal el. Bá annak mélyén sokkal összetettebb kölcsönhatások és jelenségek állnak, a legtöbb folyamat leíásának ez egy nagyon effektív módja. A jegyzet azonban ezekhez az elméletekhez csupán övid bevezetőt, egyfajta ézékeltetést tudott felvállalni. Magfizikai vonatkozások Az atommag működésében nem elegendő a Fizika kuzus soán észletesen tanult kölcsönhatásokat figyelembe venni, mivel ezesetben nem tudnánk stabil atommagot leíni: a potonok közötti taszító elektosztatikus eő szétvetné a magokat. Be kell vezetnünk, vagy legalábbis figyelembe kell vennünk olyan mageőket, amelyek legyőzik az elektosztatikus taszítást, és stabilan kötik egymáshoz a nukleonokat az atommagban. Ennek hátteével itt nem foglalkozunk, viszont az ehhez tatozó (effektív) potenciál kiétékelése több fontos jelenség bemutatását is lehetővé teszi. A potenciálban megjelenik egy taszító Coulomb-potenciál, ami a mag hatáán túl a magok elektosztatikus taszításáét felel, illetve kis távolságon egy olyan potenciál, amely a nukleonok kötöttségét íja le.
max A koábbiak alapján má látható, hogy a maximális potenciálnál nagyobb enegiával endelkező észecskék mindenképpen szabad észecskéknek tekinthetőek azonban az ilyen enegiájú nukleonok nagyon itkák. Ahogy az is látszik, hogy negatív enegia esetén mindenképpen kötött a észecske, a magon belül található meg. Ezeknél sokkal édekesebb az ábán jelölt enegiaszint. Ilyen enegián ugyanis a észecske lehet kötött és szabad is, attól függően, hogy a mag hatáán belül, vagy azon kívül található. Az előbbi esetben a észecske nem juthat át a potenciálgáton, a későbbi esetben pedig úgy viselkedik, mint egy pozitív töltésű észecske egy másik pozitív töltésű észecske teében, vagyis szabad állapotban van, de egy adott távolságnál közelebb nem keülhet a maghoz. Ami viszont a magon belül található, az nem juthat ki a potenciálgát mögül, csak ha akkoa enegiát kap, hogy az összes enegiája meghaladja a potenciális enegia maximumát. Ennek ellentmond a tapasztalat, mivel a adioaktív folyamatok közül az α-bomlás soán a magból egy két potonból és két neutonból álló kötött endsze, az úgynevezett α-észecske kiszabadul pedig az enegiája a szükséges alatt van, kötöttnek kellene maadnia. Ennek magyaázata a jegyzet klasszikus leíásán túlmutat, csak a moden fizika, konkétan a kvantumelmélet segítségével magyaázható meg. Röviden összefoglalva, a kvantumelméletben a potenciál nem egy észecske helyét és sebességét hatáozza meg, hanem ezeknek a mennyiségeknek egy valószínűségeloszlását. A hely esetében például a kvantummechanika egyenleteiből nem egy észecske helyét, hanem a megtalálhatósági valószínűség-eloszlását tudjuk kiszámolni (ez a Ψ() hullámfüggvényből számolható). Ψ
A fenti potenciál esetén az α-észecske megtalálhatósági valószínűsége a mag hatáán belül a legnagyobb, azon kívül nagyon kicsi viszont nem nulla. Így adott valószínűséggel az α-észecske kívül keül a potenciálgáton, és szabad észecskeként viselkedik az α-sugázás észeként. Ezt nevezzük alagúteffektusnak (amiko egy kötött észecske a véges magasságú potenciálgáton kívül jelenik meg, met a megtalálhatósági valószínűsége ott sem nulla). A jelenség konkét leíása láthatóan túlmutat ezen jegyzet keetein. (A potenciál-gáton belüli, exponenciálisan csökkenő hullámfüggvény nem fizikai állapotot í le, az α-észecske nem lehet a potenciálgát belsejében.) Megjegyzendő, hogy a hullámfüggvényt is ábázoló ábán szeeplő potenciálgöbe csak közelítőleg évényes, az α-észecske alagúteffektusának minél egyszeűbb matematikai leíásához, szemléltetéséhez ezt szokták használni. A fentiekben tágyalt konzevatív eőteek és potenciáljaik adják a fizika legalapvetőbb kölcsönhatásainak effektív leíását. Azonban ezek csupán az alapokat képesek leíni, elegendő csupán néhány észecske együttes hatását vizsgálni, és a konkét számolások oppantmód elbonyolódnak. Ehhez képest 1 mólnyi anyag (6 10 23 db) leíása más megközelítéseket kell alkalmazzon. Ilyen skálákon a fenti, az enegiamegmaadása nagyban építő leíási mód má nem alkalmazható hatékonyan, még ha az ezekből következő alapelvek továbba is évényesek maadnak (például a temodinamika első főtétele). Még távolabból tekintve a fizikai endszeeke látható, hogy aligha vannak zát endszeek, amelyeke az enegia-megmaadás egzakt fomái igazak lennének innen adódik egy valóságos endsze leíásában megannyi számolható, vagy csak becsülhető disszipáció. A moden fizikában pedig mindezt még tovább nehezíti a miko-endszeek kvantumos (vagyis eőteljesen valószínűségi) viselkedése. Mégis a potenciális enegia, illetve potenciáltében töténő mozgások vizsgálata alapozhatja meg a valós fizikai endszeek leíását. Ee a tanultak közül a legjellemzőbb példa a Lenad-Jones potenciál, ami nélkül a legegyszeűbb eális gáz modell (a an de Waals kölcsönhatáson alapuló) aligha lenne ételmezhető. Így válnak ezek a potenciálok a fizikai leíás szeves észévé, így alapozzák meg az anyagtudomány alkalmazásoientált módszeeit. Egyensúly és stabilitás-vizsgálat A potenciálteek témaköéhez szoosan kapcsolódik még egy fogalmi kö, amelyet most kitekintésként bevezetünk az egyensúlyi helyzetek vizsgálata. A tanulmányok soán endszeesen foglalkozunk egyensúlyi helyzetekkel, aká kifejezetten az egyensúlyi állapotot keessük (pl. meev testek egyensúlya), aká az alkalmazott módszeek hátteében húzódik meg (pl. elektosztatika, vagy a kvázisztatikus temodinamikai leíásmód). A potenciálok vizsgálatával ez is jól kezelhető, illetve jól vizualizálható a különféle egyensúlyi állapotok viselkedése, amelyek alapvetően különböző fizikai viselkedése vezetnek. Fontos: nem mindenhol, hanem csak egy pontban! (, v) : F gad x F gad y z - Egyensúlyi helyzetek - stabil - instabil - metastabil - neutal