A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab

Hasonló dokumentumok
Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

Statisztika. Eloszlásjellemzők

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

? közgazdasági statisztika

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Változók függőségi viszonyainak vizsgálata

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

Kényszereknek alávetett rendszerek

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

10.M ALGEBRA < <

Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat

Backtrack módszer (1.49)

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I o)

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

Regresszió és korreláció

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Regresszió és korreláció

Intelligens adatelemzés ea. vázlat 1. rész

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

Matematika B4 I. gyakorlat

2.10. Az elegyek termodinamikája

7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).

MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

Irányításelmélet és technika II.

A szerkezetszintézis matematikai módszerei

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Szoldatics József, Dunakeszi

? közgazdasági statisztika

Méréstani összefoglaló

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

1. Gyökvonás komplex számból

Matematikai statisztika

A maximum likelihood becslésről

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. útmutatások. x arányt, vagy

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

FIZIKA I. KATEGÓRIA 2015-ben, a Fény Évében

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

Korreláció- és regressziószámítás

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorbanállási modellek

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

Matematikai statisztika

A matematikai statisztika elemei

Wilcoxon-féle előjel-próba. A rangok. Ismert eloszlás. A nullhipotézis megfogalmazása H 1 : m 0 0. A medián 0! Az eltérés csak véletlen!

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

Befektetett munka. Pontosság. Intuícióra, tapasztalatra épít. Intuitív Analóg Parametrikus Analitikus MI alapú

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

A Sturm-módszer és alkalmazása

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Tanszék

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Geostatisztika c. tárgy a BSc földrajz alapszak hallgatóinak

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Hanka László. Fejezetek a matematikából

6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

Átírás:

öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést végezek, darab y f(,a +b +e,,..., (. egyelet adódk, ahol f(,a az -edk ksérletbe beállított j ksérlet feltételekek, (vagy azok valamely függvéyéek és az a paraméterekek leárs vagy emleárs kfejezése. A feladat aak a számított â paramétervektorak meghatározása, amely az (, aˆ 0, y f,..., (. kfejezést kelégít. Ha a potosság érdekébe több mérést végezek, mt amey a meghatározadó paraméterek p száma, azaz > p, az darab egyeletből álló y f(x,a+b+e (.3 egyeletredszer több egyeletet tartalmaz, mt az smeretleek száma, tehát túlhatározott lesz. A külöbözõ e és az esetleges b értékek matt azoba az egyeletek egymásak elletmodóak, kompatblsak, redszerük kozsztes.. A paraméterbecsléshez tehát lye tulajdoságú egyeletredszer megoldására alkalmas módszer kell. úlhatározott kozsztes egyeletekbõl több módo (pl. kozsztes egyeletek kválasztásával, egyeletek összeadásával állíthatók elõ kozsztesek. Ezek megoldása egymástól ylvávalóa külöbözek. Vozó lee az olya megoldás, amelyk potosa ugya em, de bzoyos szempotból optmálsa elégít k valamey, darab egyeletet.. Ikozsztes egyeletredszer megoldása Mvel a túlhatározott kozsztes egyeletredszer egyes egyeleteből számított â j paraméterek em elégítk k valamey egyeletet, a rezduáls maradékok ( X,aˆ d y yˆ y f (. vektora em zérusvektor, em csak 0 elemeket tartalmaz. Mél kevésbé jók a paraméterek, aál agyobbak a rezduáls maradékok. Kézefekvő olya paramétereket keres, amelyek a legrövdebb rezduáls vektort bztosítják, amelyekkel a rezduáls vektor hossza, (egyszerűség kedvéért aak égyzete, Q mmáls: d ( y f ( â Q d d m (.5 A godolatmeet a Q célfüggvéybe fellépő, égyzetre emelt külöbségek matt kapta a legksebb égyzetek elvéek evét. C:\O_MULIVARI\OLS_etc\_PARAMES.DOC

öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés- A (.5 követelméyek megfelelő â paraméterek azok, amelyekkel 0 értékűek a Q célfüggvéy paraméterek szert derváltja: Q a k a k ( y ( ˆ f a 0 k,,...,p (.6 A (.6 egyeletek száma természetese megegyezk a paraméterek számával, gy azokból a célfüggvéyt kelégítõ, optmáls paraméterek kszámíthatók. Ha az f(x,a modell leárs, az egyeletek leársak, ha em, a paramétereket valamely, többyre umerkus, emleárs egyeletredszer megoldó módszerrel kell meghatároz. Példa Nemleárs modell paramétereek becslése [ 0.5.5 ] függetle változó vektor mellett ksérletleg meghatározzuk az f (, a a + ep( a modellel leírható folyamatba megfgyelt y értékeket. Az y [3.. vektort kapjuk. A.9 ] mért-érték 3. a. a.9 a.0 a + ep(0.5* a + ep(.0 * a + ep(.5* a + ep(.0* a egyeletek egymásak elletmodaak. Mmál kell a Q ( y f (, a ( y a ep( a célfüggvéyt. A célfüggvéy paraméterek szert derváltja: Q da ( y a ep( a Q da ( y a ep( a ep( a A két megoldadó emleárs egyelet: ( y a ep( a 0 ( y a a ep( a 0 ep( C:\O_MULIVARI\OLS_etc\_PARAMES.DOC

öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-3 Az egyeletek teratív megoldása az a.066 és a 0.5 eredméyeket adta. Az llesztett paraméterekkel számított ŷ vektor: [.97.576.9 3.375], a rezduálsok vektora: [0.8053-0.76-0.0 0.655]. A rezduálsok égyzetösszege (Q.306. Feltéve, de meg em egedve, hogy a paramétereket két értékpárból számították vola k, természetese teljese eltérõ paraméterek adódtak vola. A legksebb égyzetek elvéek alapjá megfogalmazott (.5 célfüggvéy valamey y mért értéket egyeértékűkét kezel. Ha ksérlet okokból egyes y értékek potatlaabbak, vagy más, később tárgyalt okból em egyeértékűek, a célfüggvéybe az egyes rezduáls külöbségeket súlyoz lehet és a w d ( y f ( â Q wd wd w m (.7 követelméyt célszerű haszál. Szembe az eredet, em súlyozott legksebb égyzetes célfüggvéyel, utóbb a súlyozott legksebb égyzetes eljárás követelméye..3 Leárs modellek paraméterbecslése ektsük azt az esetet, amelybe a vzsgált redszert leárs modell ír le: f(x,a X.a (.8 (Bár ezt a jelölésekbe em emeljük k, emlékeztetük arra, hogy X mátr a függetle változók függvéyet s tartalmazhatja. Valójába paraméterekbe leárs modellek paraméterbecsléséről va szó. Redezzük az kísérletbe mért y értékeket méretû y oszlopvektorba. Redezzük a modell a k paraméteret p méretû a oszlopvektorba. Az kísérletbe beállított j függetle változókat redezzük mátrba. Ha a modell az a 0 álladó paramétert ( tegelymetszetet s tartalmazza, a mátr elsõ oszlopa egy csupa egyest tartalmazó oszlop. Ezzel az p méretû X mátr-szal a fetemlített többváltozós leárs modell tehát: y X a (.9 p p vagy részletesebbe: y..... y...... m m a. a. 0 p (.0 Mt smeretes, ez a túlhatározott egyeletredszer általába kozsztes, ezért megoldására célszerűe a. potba smertetett módszer alkalmazható. C:\O_MULIVARI\OLS_etc\_PARAMES.DOC

öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés- Mmáljuk Q d d ( Xa - y ( Xa - y ( a - y (. rezduáls égyzetösszeget! A kfejezést kfejtve d d ( Xa y ( Xa y ( a X y ( Xa y a X Xa a X y y Xa + y y a X Xa y Xa + y y (. összefüggés adódk. Q mmuma aál az a-ál va, amelyél d(d d/da 0. d (d d da X Xa + a X Xda - y Xda a X Xda - y Xda 0 Ez a követelméy tömöre: ( a X X y X da 0 (.3 ahoa a X X y X (.5 Ez az egyelet traszpoálás utá X Xa X y alakú. Lévé X X em szgulárs esetbe vertálható, a keresett paramétervektor: ( X X X y a (.6 Megjegyezhető, hogy ez a súlyozatla legksebb égyzetes megoldás úgy s megkapható, hogy az Xa y egyeletet balról szorozzuk X traszpoált mátr-szal: X Xa X y majd az egyeletet a égyzetes X X verzével szorozzuk: a (X X - X y Példa öbbváltozós leárs paraméterbecslés A vzsgált redszer leírására az y a 0 +a * +a * modellt választjuk. kísérletbe, [ 3 ] [ 3 ] és beállított függetle változó értékekél meghatároztuk az y [.3 8.7 6. 6.8] C:\O_MULIVARI\OLS_etc\_PARAMES.DOC

öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-5 az X X mátr: mért értékeket. A redszert leíró érvéyes egyeletredszer:.3 a o X.a 3 8.7. a y 3 6. a 6.8 0 7 0 30 7 7 7 5 X X mátr verze:.985-0.57-0.707-0.57 0.037 0.0370-0.707 0.0370 0.370 Az (X *X - X mátr:.6667-0.3889-0. -0.0556-0.3333-0.0556 0. 0.778-0.3333 0. 0. -0. Az (X *X - X y előírással számított a paraméterek: a 0 -.9500 a.6500 a.6000 A (.6 szert a becsült paraméterek: â [.95.65.6], a számított függõ változó vektor: ŷ [.3 8.5 6, 6.8]. A mért és számított függetle változók külöbsége: d y - ŷ (I - Hy [0 0.55 -. 0.55] A rezduálsok égyzetösszege: RSS d d.85 A mért és számított y értékek átlaga C:\O_MULIVARI\OLS_etc\_PARAMES.DOC

öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-6 y yˆ.85 A modell okozta változások égyzetösszege: ( yˆ y ( yˆ 7. 95 MSS y A teljes égyzetösszeg ( y y ( y 775 SS y 9. A modell okozta változások égyzetösszege MSS/RSS 5.-szer agyobb, mt a véletle hbákak tulajdoítható valtozások égyzetösszege. Néháy, a példába elõforduló mátr: X X 0 7 0 30 7 7 7 5 6 0 0 0 0 5 HA 6 0 0 5 A becsült paraméterekkel számított y értékek (3.7 és (3. egyeletekbõl: yˆ X aˆ X X y (3.8 p p p p p p Nevezetes az ebbe az egyeletbe szereplõ méretû H X X (3.9 p p p p hat matr -ak evezett szgulárs mátr, amely szmmetrkus és dempotes (égyzete ömaga. A mért és számított y értékek külöbségéek, a rezduálsokak vektora: d y- yˆ y X p p p X p y I X p p p X p y ( I Hy (3.0 C:\O_MULIVARI\OLS_etc\_PARAMES.DOC

öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-7 3.5 A legksebb égyzetek elve Ikozsztes egyeletredszert több módo s kozsztessé lehet te. Fölvetõdk a kérdés, mért éppe a (3.6 egyeletre vezetõ eljárást választották erre a célra? Más szavakkal az a kérdés. mlye tulajdoságú megoldást ad ez az egyeletredszer? Ez a megoldás egyezk a (3.7 összefüggéssel. Meg kell jegyez, hogy a (3.7 ll. (3.3 becslés akkor torzítatla, ha feáll az a körülméy, hogy az y vektor eleme, az y mért értékek függetleek és megegyezõ szórásúak. Az általáosabb esetekre a késõbbekbe még vsszatérük. C:\O_MULIVARI\OLS_etc\_PARAMES.DOC