Császár Attila: Példatár (kezdeény) a Fizikai-kéiai száolások gyakorlatoz 015. ősz
Tartalojegyzék I. Isétlés (száok, űveletek, fizikai ennyiségek és értékegységek) II. III. IV. Valós függvénytan (atárérték, folytonosság, rend) Differenciálszáítás (differenciál, teljes differenciál) Integrálszáítás (integrálási tecnikák, ívossz, ívossz integrál, vonalintegrál, többszörös integrál) V. Vektoranalízis (skalárszorzat, vektoriális szorzat, nabla, áras szorzatok) VI. Differenciálegyenletek (elsőrendű, ásodrendű, közönséges, parciális) VII. Lineáris terek, lineáris algebra (vektorterek, függvényterek, deterinánsok, átrixok, ortogonalizáció, sajátérték egyenletek) VIII. Szélsőérték-száítás
I.1 Száok I. Isétlés Fogalak (a) valós száok, R egész száok, Z (pozitív, negatív, 0 (terészetes száok, N); páros, páratlan; prí) racionális száok, Q (r/s, s 0; véges, végtelen; inden x racionális szá egoldása egy lineáris egyenletnek, x = n, de ne inden valós szá racionális) irracionális száok, Q* (pl. (az x = nelineáris egyenlet egyik egoldása), e =,718 81 8... (ellenőrizető az az érdekes összefüggés, ogy 1 e = ) és π = n= 0 n! 3,141 59... (elyet a kör kerületének és átérőjének ányadosa definiál), a π-t Willia Jones (1675-1749) vezette be a ateatikába 1706-ban) (b) koplex száok, C z = a + ib, aol i = 1 a képzetes (iaginárius) egység, Re(z) = a, I(z) = b polárkoordinátás alak: z = r(cosθ + i sinθ ), Argand diagra Euler-féle (exponenciális) alak: z = z exp( iϕ) (c) száok (skalár ennyiségek) közötti viszonyok: nagyság, előjel sorrendbe állítás: <, =, >, <<, >>,,,,,, (d) tudoányos jelölés: (e) prefixuok p ± a 10, illetve ± a 10 deci (d) 10 1 deca (deka, da) 10 1 centi (c) 10 ecto (ekto, ) 10 illi () 10 3 kilo (k) 10 3 icro (ikro, μ) 10 6 ega (M) 10 6 nano (n) 10 9 giga (G) 10 9 pico (piko, p) 10 1 tera (T) 10 1 feto (f) 10 15 peta (P) 10 15 atto (a) 10 18 exa (E) 10 18 zepto (z) 10 1 zetta (Z) 10 1 yocto (y) 10 4 yotta (Y) 10 4 p Javasolt irodalo Sárközy András: Koplex száok, Műszaki Könyvkiadó, 1973. 3
I. Műveletek Fogalak (a) száok közötti aritetikai űveletek: összeadás (+), kivonás ( ), szorzás ( ) és osztás ( ) (b) az összegre és a szorzatra vonatkozó űveletek algebrája az alábbi szabályokon alapul: p + q = q + p (az összeadás koutatív) p q = q p (a szorzás koutatív) p + (q + r) = (p + q)+ r (az összeadás asszociatív) p (q r) = (p q) r (a szorzás asszociatív) p (q + r) = pq + pr (disztributivitás) (c) a racionális száokkal történő űveletekre az alábbi szabályok vonatkoznak: p q + np p p p q q + =, = és = = n q nq n q nq n q n p np (d) exponenciálisokra vonatkozó szabályok: x 0 = 1; x n n n / x = x (1/ x ) = x ; n / 1/ n x = ( x ) = x n n n n ( xy) = x y ; x / = x n x n+ = x ; n n ( x ) = x ; 1 x -edik gyöke; ; ezek a szabályok irracionális száokra is igazak. (e) a száítástecnikában az absztrakt adattípus egy olyan alaz, ely tartalazza az absztrakt adatokat (a vizsgálat tárgyát képező inforáció, forai egjelenés nélkül), valaint a rajtuk végezető űveleteket. Mintafeladatok Legyen z = 1 i. Határozzuk a zz* szorzat értékét. z = 1 i z* = 1+ i Megoldás: zz* = (1 i)(1 + i) = 1 i = Gyakorló feladatok 3 3 Adott a z = + i koplex szá. Mennyi (a) z 4 és (b) z? z Legyen z = + i és w = 1 i. Mennyi u = -nek az abszolut értéke? Írja át u-t z + w exponenciális alakba! 1 Legyen z = 1 i. Mennyi z, z *, zz *, és ln z értéke? Ábrázolja az eredényeket z a koplex szásíkon! Gázfázisú atook, illetve olekulák átlagos sebességére levezetető, ogy 3/ M 1 RT c = 4π. Mutassa eg, ogy πrt M 8RT c = πm 1/. 4
I.3 Fizikai ennyiségek és értékegységek Fogalak (a) A fizikai ennyiségek kifejezetők, int egy nuerikus érték és egy értékegység 7 szorzatai: fizikai ennyiség = nuerikus érték értékegység. Pl.: λ = 5,896 10 = 589, 6 n. (b) A fizikai ennyiségek között ét alapennyiséget különböztetünk eg: Fizikai ennyiség Jelölés SI értékegység ossz l éter, töeg kilogra, kg idő t ásodperc, s elektroos ára I aper, A terodinaikai őérséklet T kelvin, K anyagennyiség n ól, ol fényerősség Iv kandela, cd Minden további fizikai ennyiség ún. száraztatott ennyiség. (c) Minden (alap, illetve száraztatott) fizikai ennyiségnek létezik standard elnevezése, jelölése (szibólu), definíciója, valaint SI értékegysége: Elnevezés Jelölés Definíció SI értékegység Descartes koordináta x, y, z erő F töeg gyorsulás N = kg s ő q, Q erő távolság J = N unka w, W erő távolság J = N nyoás p erő egységnyi terület Pa = N szögsebesség ω ω = dφ / dt rad s 1, s 1 redukált töeg µ µ = 1 /( 1 + ) kg elektroos töltés q ára idő C = A s elektroos potenciál V unka egységnyi töltés V = J C 1 ágneses fluxus Φ unka egységnyi ára Wb = J A 1 kinetikus energia operátor Tˆ ˆ T = ( / ) J = N = kg s ionizációs energia Ei J = N kéiai eltolódás (NMR) δ 6 δ = 10 ( ν ν 0) / ν 0 1 ullászá (vákuban) ~ ν ~ ν = ν / c 1 belső energia U U = q + w J = N 5
A táblázatban szereplő ennyiségek kapcsán egjegyzendő, ogy (a) az elektroos ára az egységnyi idő alatt átfolyt elektroos töltés ennyisége; (b) a redukált töeg jelen forájában két töegpontra vonatkozik; (c) a fluxus általában egy adott A felületen átáraló anyag vagy energia ennyiségét jelenti, vagy egy erőtérnek a felületen történő átatolását jellezi; (d) a ágneses indukcióvektor (B) és a felület szorzatával is értelezetjük a ágneses fluxust int fizikai ennyiséget, értékegysége a weber (Wb). (d) Állandó (konstans): olyan fizikai ennyiség, elynek száértéke rögzített az adott feladat száításakor. A fizikai kéiában előforduló állandók döntő része adott értékkel és adott bizonytalansággal rendelkezik, az idők során, aogy a érések egyre pontosabbá válnak, az állandók értéke és bizonytalansága is változik. Nulla bizonytalansággal a fizikai állandók közül jelenleg csupán a fény vákubeli sebességét ruázták fel, ennek pontos értéke c = 99 79 458 s 1. (e) Változó: olyan ennyiség, ely adott értékek bárelyikét felveeti. A p, T, n ennyiségek a f ( p, T, n) = nrt / p függvény változói. Kétféle változót különböztetünk eg, a független változó az, elynek értéke a többi változó értékétől független ( p, T, n az előző egyenletben), íg a függő változó értéke a független f p, T, n az előző egyenletben). változókétól függ (int V = ( ) (f) Dienzióanalízis ( quantity calculus ): olyan algebrai rendszer, elyben a szibóluok ordozzák necsak nuerikus értéküket, ane értékegységüket is, azok szorzataival dolgozunk. (g) Egyes szavak jelentése világosan rögzített a fizikai kéiában: extenzív: olyan ennyiség, elynek nagysága az alrendszerekre nézve additív, például töeg (), térfogat (V), Gibbs-energia (G) intenzív: olyan ennyiség, elynek nagysága a rendszer éretétől független, például őérséklet (T), nyoás (p), kéiai potenciál (parciális oláris Gibbs-energia, μ) specifikus: egy extenzív ennyiség neve előtt jelzőként asználva azt jelenti, ogy azt a töeggel elosztottuk (pédául térfogat, V, specifikus térfogat v = V / = 1/ ρ, aol ρ a töegsűrűség, illetve izobár őkapacitás, Cp, és specifikus izobár őkapacitás, c p = C p / ) oláris: egy extenzív ennyiség neve előtt állva általában azt jelenti, ogy a ennyiséget osztottuk az anyagennyiséggel (például térfogat, V, oláris térfogat V = V / n, illetve entalpia, H, oláris entalpia H H / = n ) 6
() A kvantuecanikában a ozgásegyenletek egyszerűbb felírása érdekében bevezették az ún. atoi egységeket, ezek segítségével az egyenletek sokkal egyszerűbben felíratók (az alábbi táblázat a bizonytalanságokat ne indig tünteti fel): Fizikai ennyiség atoi egység SI értékegység és érték töeg e 9,109 38 15(45) 10 31 kg töltés e 1,60 176 487(40) 10 19 C ipulzusnyoaték (perdület) = / π 1,05457 10 34 Js ossz a = 4πε e 5,91 77 085 9(36) 10 11 0 0 / energia 4 E = ee / 16π ε 0 4,359 743 94() 10 18 J idő elektroos ára elektroos potenciál elektroos dipólusnyoaték ea 0 e / E,418 884 36 505(16) 10 17 s ee / 6,63 617 63(17) 10 3 A E /,7114 10 1 V 8,478 35 81(1) 10 30 C 7
Mintafeladatok 7 A nátriu sárga vonalának λ ulláossza λ = 5,896 10, vagyis 7 λ / = 5,896 10. Hány Å-nél jelenik eg a színképben ez a vonal? Megoldás: Az atoi dienziókban asználatos ångstö értékegység definíciója: 1 Å = Å = 10 10, vagy /Å = 10 10 A két egyenlet egyásba elyettesítésével 7 λ / Å = (λ / )( / Å) = ( 5,896 10 )(10 10 ) = 5896, vagyis λ = 5896 Å. Egy régi tankönyvben azt találjuk, ogy a vízgőz nyoása 0 C-on p(ho, 0 C) = 17,5 torr. Adjuk eg ás értékegységekben a nyoásértéket! Megoldás: A nyoás értékegységeinek szokásos átszáítási faktorai: 1 torr 133,3 Pa (760 torr = 760 Hg = 101 35 Pa) 1 bar = 10 5 Pa 1 at = 101 35 Pa. Így p(ho, 0 C) = 17,5 torr 133,3 (Pa/torr) =,33 kpa =,33 (10 3 /10 5 ) bar = 3,3 bar = (,33 10 3 ) Pa (1/10135) (at/pa) =,30 10 at Egy elektrolit Λ oláris vezetőképességére fennáll, ogy Λ = κ / c, aol κ az elektrolit oldat vezetőképességének és a tiszta oldat vezetőképességének a különbsége és c az elektrolit koncentrációja. Az elektrolit oldatok vezetőképességét többnyire S c 1 -ben (S = sieens), íg a koncentrációt ol d 3 -ban szokás kifejezni. Például c(kcl) = 0,000 500 ol d 3 esetén κ(kcl) = 7,39 10 5 S c 1. Azaz a oláris vezetőképességet a következőképpen kapjuk eg: Λ = (7,39 10 5 S c 1 )/(0,000 500 ol d 3 ) = = 0,1478 S ol 1 c 1 d 3 = 147,8 S ol 1 c Mindenképpen kerülni kell az olyan kifejezések asználatát, elyek csak valailyen értékegységrendszer esetében teljesülnek, pl. a sajnos gyakran előforduló Λ = 1000κ / c kifejezést, aely csak akkor igaz, a a oláris vezetőképességet S ol 1 c -ben, a vezetőképességet S c 1 -ben, íg a koncentrációt ol d 3 -ben írjuk fel. (Jelen példában a oláris jelző ne a egszokott érteleben szerepel, ane az anyagennyiség koncentrációval történő osztásra utal, ez a elyzet a oláris abszorpciós koefficiens esetében is.) 8
Gyakorló feladatok 4 ee Száítsa ki E-t, aennyiben E = és e = 9,109 10 31 kg, e = 1,60 10 19 C, 8 ε 0 = 6,66 10 34 Js és ε0 = 8,854 10 1 CV 1 1. 4πε 0 Az ún. Bor-sugár definíciója a0 =, aol e az elektron töege. Száítsa ki ee ezt az értéket a H-ato elektron alapállapotára. Adja eg az energia atoi egységben felírt 1E = összefüggés alapján (E neve ea0 artree) az E és a kj ol 1 értékegységek közötti átváltószáot, aennyiben = 6,66 10 34 Js, e = 9,109 10 31 kg és a0 = 5,91 10 9 c. Bárely töegű, v sebességgel ozgó részecskéez ozzárendelető annak ún. de Broglie ulláossza, λ =, aol a Planck-állandó ( = 6,66 10 34 Js). v Száolja ki egy e = 9,109 10 31 8 kg nyugali töegű, a fénysebesség ( c = 3.00 10 s 1 ) 0,1 részével ozgó elektron ulláosszát. Mely részébe esik az elektroágneses színképnek a száolt érték? Mekkora felületet foglal el egy c 3 benzol, a egy olekulányi vastagságban ( onolayer ) terül el a felületen? Becsülje eg, ajd száítsa ki az eredényt. A száításoz szükséges adatok: sűrűség, ρ = 879 kg/ 3, egy olekula felülete,5 10 19, valaint a benzol olekulatöege 78,1 g ol 1. kt 8kT A kinetikus gázelélet tárgyalása kapcsán isert, ogy v * =, v = π 3kT és v =, aol v a sebesség, v* a sebességeloszlási görbe axiua, íg átlagértéket jelöl. Vesse össze a N-gáz esetében ezeket az értékeket T = 98 K-en. Az FM rádiók az elektroágneses spektru 100 MHz körüli tartoányában sugároznak ( rádióulláok ). Száítsa ki a ν = 89.8 MHz-en sugárzó adó esetén a ulláosszt ( λ ), a ullászáot (ν ~ ), illetve a sugárzás E energiáját. De Broglie javasolta, ogy a λ = képlet szerinti ulláosszt rendeletjük v töegű, v sebességű részecskékez, aol a Planck-állandó. Száítsa ki a ulláosszakat 1 ev energiájú proton, illetve elektron, valaint egy 0,1 kg töegű, 10 k/ sebességgel ozgó teniszlabda esetében. Az ideális gáz állapotegyenlete pv = nrt, aol p a gáz nyoása, V a térfogata, T a őérséklet, n az anyagennyiség, íg R = 8,314 51 J K 1 ol 1 az egyetees gázállandó. Határozza eg 0,1 ól gáz térfogatát 98 K őérsékleten és p = 10 5 Pa nyoáson. Milyen frekvenciájú (GHz-ben) egy 0.04 c 1 ullászáal jelleezető elektroágneses sugárzás? 1/ 1/ 9
Hány százaléka a neézségi gyorsulásnak a Föld forgása iatt fellépő centrifugális erőből adódó gyorsulás, ω R, aennyiben a Föld sugara R = 6371 k és a szögsebesség ω = π nap 1? Határozza eg a van der Waals egyenletben találató a, b és R állandók dienzióját: pp + aa VV (VV bb) = RRRR (egoldás: [a] = 5 kkkk 3 ss ol, [b] =, [R] = kkkk ) ol ss KK ol Határozza eg az alábbi egyenletben előforduló együttató dienzióját SI rendszerben: aol [K] = JJ ss KK, [A] = és τ = s. (egoldás: [] = JJ KK 1 ) TT = TT 0 ee Határozza eg az alábbi egyenletben egjelenő δ együttató értékegységét SI értékegységrendszerben: δδ pp EE uu = ρρ VV aol p nyoás, ρ sűrűség és V térfogat dienziójú valaint, Eu dienzióentes. (egoldás: [δ]= 4 ss ) A Bor-féle atoodellben a pályasugár együttatója εε 0 ππ e ee Mi az együttató dienziója, a [εε 0 ] = A s/v, [] = Js, [e] = kg és [e] = C? (egoldás: ) Mi az RR ún. Rydberg-állandó dienziója, a RR = eee 4 8εε 0 3 cc, és [εε 0 ] = A s/v, [] = Js, [e] = kg, [c] = s 1 és [e] = C? (egoldás: dienzióentes) Javasolt irodalo IUPAC s Green Book: Quantities, units and sybols in pysical ceistry, 3rd edition 10