Diszkrét Momentum Problémák Boros Endre Rutgers University XXXII. MOK 2017. Június 14.
Prékopa András (1929-2016) emlékére
Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Lehetséges ez? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
Egy fontos speciális eset Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) Probléma: Talaljunk alsó és felő korlátokat ezen n esemény uniójának a valószínűségére: ( ) LB (p I I V, I m) P rob A i UB (p I I V, I m) i V
Egy fontos speciális eset Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) Probléma: Talaljunk alsó és felő korlátokat ezen n esemény uniójának a valószínűségére: ( ) LB (p I I V, I m) P rob A i UB (p I I V, I m) i V
Egy fontos speciális eset Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) Probléma: Talaljunk alsó és felő korlátokat ezen n esemény uniójának a valószínűségére: ( ) LB (p I I V, I m) P rob A i UB (p I I V, I m) i V
LP model (Hailperin, 1965) Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) ( ) Változók: x J = P rob A i A i J V i J i J Ezzel a jelöléssel a céfüggvény és a feltételek így írhatók: ( ) P rob A i = i V =J V x J és p I = V J I x J I V, I m
LP model (Hailperin, 1965) Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) ( ) Változók: x J = P rob A i A i J V i J i J Ezzel a jelöléssel a céfüggvény és a feltételek így írhatók: ( ) P rob A i = i V =J V x J és p I = V J I x J I V, I m
LP model (Hailperin, 1965) LBm = min x J és UBm = max =J V =J V x J x J = p I V J I x J 0 I V, I m J V Megoldhatóság: NP-nehéz. (Georgakopoulos, Kavvadias és Papadimitriou 1988) Oszlop generálás: NP-nehéz (már m = 2-re is). (Jaumard, Hansen és Poggi de Aragão 1991)
LP model (Hailperin, 1965) LBm = min x J és UBm = max =J V =J V x J x J = p I V J I x J 0 I V, I m J V Megoldhatóság: NP-nehéz. (Georgakopoulos, Kavvadias és Papadimitriou 1988) Oszlop generálás: NP-nehéz (már m = 2-re is). (Jaumard, Hansen és Poggi de Aragão 1991)
LP model (Hailperin, 1965) LBm = min x J és UBm = max =J V =J V x J x J = p I V J I x J 0 I V, I m J V Megoldhatóság: NP-nehéz. (Georgakopoulos, Kavvadias és Papadimitriou 1988) Oszlop generálás: NP-nehéz (már m = 2-re is). (Jaumard, Hansen és Poggi de Aragão 1991)
Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) S k = I V I =k p I a k-dik binomiális momentuma az n eseménynek. Ha ξ jelöli az előforduló események számát, akkor [ (ξ ) ] S k = Exp. k
Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) S k = I V I =k p I a k-dik binomiális momentuma az n eseménynek. Ha ξ jelöli az előforduló események számát, akkor [ (ξ ) ] S k = Exp. k
Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) { LB m min{1, ŨBm} } = { min max } n y j j=1 n ( j y j = S k k) j=1 k = 1,..., m y j 0 j = 1,..., n Theorem 1 (Prékopa (1988)) Egy m elemű részhalmaz I {1, 2,..., n} egy duálisan megengedett bázist definiál akkor és csak akkor ha a struktúrája a követkeő: m even m odd min {i, i + 1,..., t, t + 1} {i, i + 1,..., t, t + 1, n} max {1, i, i + 1,..., t, t + 1, n} {1, i, i + 1,..., t, t + 1}
Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) { LB m min{1, ŨBm} } = { min max } n y j j=1 n ( j y j = S k k) j=1 k = 1,..., m y j 0 j = 1,..., n Theorem 1 (Prékopa (1988)) Egy m elemű részhalmaz I {1, 2,..., n} egy duálisan megengedett bázist definiál akkor és csak akkor ha a struktúrája a követkeő: m even m odd min {i, i + 1,..., t, t + 1} {i, i + 1,..., t, t + 1, n} max {1, i, i + 1,..., t, t + 1, n} {1, i, i + 1,..., t, t + 1}
Binomiális momentumokon alapuló korlátok S 1 S 2 + S 2s LB 2s and ŨB 2s+1 S 1 S 2 + + S 2s+1 (Bonferroni 1937) LB 2 = 2 i+1 S 1 2 i(i+1) S 2, i = 1 + 2S2 S 1 (Dawson és Sankoff 1967; Kwerel 1975; Galambos 1977) ŨB 2 = S 1 2 n S 2 (Kwerel 1975; Sathe, Pradhan és Shah 1980; Platz 1985)
Binomiális momentumokon alapuló korlátok S 1 S 2 + S 2s LB 2s and ŨB 2s+1 S 1 S 2 + + S 2s+1 (Bonferroni 1937) LB 2 = 2 i+1 S 1 2 i(i+1) S 2, i = 1 + 2S2 S 1 (Dawson és Sankoff 1967; Kwerel 1975; Galambos 1977) ŨB 2 = S 1 2 n S 2 (Kwerel 1975; Sathe, Pradhan és Shah 1980; Platz 1985)
Binomiális momentumokon alapuló korlátok S 1 S 2 + S 2s LB 2s and ŨB 2s+1 S 1 S 2 + + S 2s+1 (Bonferroni 1937) LB 2 = 2 i+1 S 1 2 i(i+1) S 2, i = 1 + 2S2 S 1 (Dawson és Sankoff 1967; Kwerel 1975; Galambos 1977) ŨB 2 = S 1 2 n S 2 (Kwerel 1975; Sathe, Pradhan és Shah 1980; Platz 1985)
Binomiális momentumokon alapuló korlátok LB 3 = i+2n 1 (i+1)n S 1 2(2i+n 2) i(i+1)n S 2 + 6 i(i+1)n S 3, ŨB 3 = S 1 2(2i 1) i(i+1) S 2 + 6 i(i+1) S 3, where i = 1 + 2(n 2)S2 6S3 (n 1)S 1 2S 2, where i = 1 + 3S3 S 2 (Kwerel 1975; B és Prékopa 1989) ŨB 4 = S 1 2((i 1)(i 2)+(2i 1)n) i(i+1)n S 2 + 6(2i+n 4) i(i+1)n S 3 24 i(i+1)n S 4, where i = 1 + 2(n 2)S2+3(n 5)S3 12S4 (n 2)S 2 3S 3 (B és Prékopa 1989)
Binomiális momentumokon alapuló korlátok LB 3 = i+2n 1 (i+1)n S 1 2(2i+n 2) i(i+1)n S 2 + 6 i(i+1)n S 3, ŨB 3 = S 1 2(2i 1) i(i+1) S 2 + 6 i(i+1) S 3, where i = 1 + 2(n 2)S2 6S3 (n 1)S 1 2S 2, where i = 1 + 3S3 S 2 (Kwerel 1975; B és Prékopa 1989) ŨB 4 = S 1 2((i 1)(i 2)+(2i 1)n) i(i+1)n S 2 + 6(2i+n 4) i(i+1)n S 3 24 i(i+1)n S 4, where i = 1 + 2(n 2)S2+3(n 5)S3 12S4 (n 2)S 2 3S 3 (B és Prékopa 1989)
Binomiális momentumokon alapuló korlátok LB 3 = i+2n 1 (i+1)n S 1 2(2i+n 2) i(i+1)n S 2 + 6 i(i+1)n S 3, ŨB 3 = S 1 2(2i 1) i(i+1) S 2 + 6 i(i+1) S 3, where i = 1 + 2(n 2)S2 6S3 (n 1)S 1 2S 2, where i = 1 + 3S3 S 2 (Kwerel 1975; B és Prékopa 1989) ŨB 4 = S 1 2((i 1)(i 2)+(2i 1)n) i(i+1)n S 2 + 6(2i+n 4) i(i+1)n S 3 24 i(i+1)n S 4, where i = 1 + 2(n 2)S2+3(n 5)S3 12S4 (n 2)S 2 3S 3 (B és Prékopa 1989)
Erősebb korlátok LB m=2 LB 2(GK) = n α i p i, ahol p i = P (A i ), p i,j = P (A i A j ) és i=1 α j p i,j = (1 α i )p i for i = 1,..., n. (Gallot 1966; Kounias 1968) j i LB 2 LB 2(dC) = LB 2 LB 2 (KAT ) = LB 2, where θ i = i V p 2 i p i + j i p LB 2, (de Caen 1997) i,j ( ) θ i p 2 i (2 θ i V i )p i + (1 θ i )p 2 i j i p + i,j (1 θ i )p i + j i p i,j j i p i,j j i p i,j (Kuai, Alajai és Takahara 2000) p i p i
Erősebb korlátok LB m=2 LB 2(GK) = n α i p i, ahol p i = P (A i ), p i,j = P (A i A j ) és i=1 α j p i,j = (1 α i )p i for i = 1,..., n. (Gallot 1966; Kounias 1968) j i LB 2 LB 2(dC) = LB 2 LB 2 (KAT ) = LB 2, where θ i = i V p 2 i p i + j i p LB 2, (de Caen 1997) i,j ( ) θ i p 2 i (2 θ i V i )p i + (1 θ i )p 2 i j i p + i,j (1 θ i )p i + j i p i,j j i p i,j j i p i,j (Kuai, Alajai és Takahara 2000) p i p i
Erősebb korlátok LB m=2 LB 2(GK) = n α i p i, ahol p i = P (A i ), p i,j = P (A i A j ) és i=1 α j p i,j = (1 α i )p i for i = 1,..., n. (Gallot 1966; Kounias 1968) j i LB 2 LB 2(dC) = LB 2 LB 2 (KAT ) = LB 2, where θ i = i V p 2 i p i + j i p LB 2, (de Caen 1997) i,j ( ) θ i p 2 i (2 θ i V i )p i + (1 θ i )p 2 i j i p + i,j (1 θ i )p i + j i p i,j j i p i,j j i p i,j (Kuai, Alajai és Takahara 2000) p i p i
Erősebb korlátok UB 2 UB 2 (Ko) = S 1 i k p i,k (k adott) (Kounias 1968) UB 2 UB 2 (HW ) = S 1 UB 3 UB 3 (BP ) = S 1 (i,j) T p i,j ŨB 2, ahol T egy feszítő fa (Hunter 1976; Worsley 1982) a legjobb feszítő fa polinom időben meghatározható (i,j) E p i,j + (i,j,k) C p {i,j,k} ŨB 3, ahol (E, C) egy cseresznye fa (Bukszár és Prékopa 2001) a legjobb cseresznye fa meghatározása NP-nehéz (Scozzari és Tardella, 2017)
Erősebb korlátok UB 2 UB 2 (Ko) = S 1 i k p i,k (k adott) (Kounias 1968) UB 2 UB 2 (HW ) = S 1 UB 3 UB 3 (BP ) = S 1 (i,j) T p i,j ŨB 2, ahol T egy feszítő fa (Hunter 1976; Worsley 1982) a legjobb feszítő fa polinom időben meghatározható (i,j) E p i,j + (i,j,k) C p {i,j,k} ŨB 3, ahol (E, C) egy cseresznye fa (Bukszár és Prékopa 2001) a legjobb cseresznye fa meghatározása NP-nehéz (Scozzari és Tardella, 2017)
Erősebb korlátok UB 2 UB 2 (Ko) = S 1 i k p i,k (k adott) (Kounias 1968) UB 2 UB 2 (HW ) = S 1 UB 3 UB 3 (BP ) = S 1 (i,j) T p i,j ŨB 2, ahol T egy feszítő fa (Hunter 1976; Worsley 1982) a legjobb feszítő fa polinom időben meghatározható (i,j) E p i,j + (i,j,k) C p {i,j,k} ŨB 3, ahol (E, C) egy cseresznye fa (Bukszár és Prékopa 2001) a legjobb cseresznye fa meghatározása NP-nehéz (Scozzari és Tardella, 2017)
Részleges aggregáció (Prékopa és Gao, 2005) Legyen S ik = 1 k I V, I =k i I p I. Tekintsük a következő részlegesen aggregált LP-t: { } { } LBm (P G) min = = y UB m (P G) max ij i V j V j V ( ) j y ij = S ik i V, és k = 1,..., m. k Theorem 2 (Prékopa és Gao, 2005) LB 2 (P G) = LB 2 (KAT ) és UB 2 (P G) = UB 2 (KW ) = ŨB 2.
Részleges aggregáció (Prékopa és Gao, 2005) Legyen S ik = 1 k I V, I =k i I p I. Tekintsük a következő részlegesen aggregált LP-t: { } { } LBm (P G) min = = y UB m (P G) max ij i V j V j V ( ) j y ij = S ik i V, és k = 1,..., m. k Theorem 2 (Prékopa és Gao, 2005) LB 2 (P G) = LB 2 (KAT ) és UB 2 (P G) = UB 2 (KW ) = ŨB 2.
Részleges aggregáció (Prékopa és Gao, 2005) Legyen S ik = 1 k I V, I =k i I p I. Tekintsük a következő részlegesen aggregált LP-t: { } { } LBm (P G) min = = y UB m (P G) max ij i V j V j V ( ) j y ij = S ik i V, és k = 1,..., m. k Theorem 2 (Prékopa és Gao, 2005) LB 2 (P G) = LB 2 (KAT ) és UB 2 (P G) = UB 2 (KW ) = ŨB 2.
A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
A duális feladat megszorítása Theorem 3 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) Az LP (F N ) és LP (F D ) problémák polinomiális időben megoldhatók, és az ebből eredő korlátok legalább olyan jók, mint bármely más jelenleg ismert polinom időben kiszámítható korlát. Például a következő relációk teljesülnek: UB 2 (F N ) = UB 2 (HW ) UB 2 (F D ) = UB 2 (K0), UB m (F D ) UB m (P G), és LB m (F D ) LB m (P G).
LP (F N ) felső korlát max P rob( n i=1 A i) P rob(a i ) = p i i = 1,..., n P rob( i I A i) p I I V, I m Ennek a feladatnak az optimuma egybeesik az LP (F N ) felső korláttal. Polinomiális időben meghatározható.
LP (F N ) felső korlát max P rob( n i=1 A i) P rob(a i ) = p i i = 1,..., n P rob( i I A i) p I I V, I m Ennek a feladatnak az optimuma egybeesik az LP (F N ) felső korláttal. Polinomiális időben meghatározható.
LP (F N ) felső korlát max P rob( n i=1 A i) P rob(a i ) = p i i = 1,..., n P rob( i I A i) p I I V, I m Ennek a feladatnak az optimuma egybeesik az LP (F N ) felső korláttal. Polinomiális időben meghatározható.
LP (F N ) felső korlát az m = 2 esetben min i V p i w 1 i + i,j V p i,j w 2 i,j wi 1 + wi,j 2 1 S V, S i S i,j S w 2 i,j 0 i, j V Theorem 4 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) A megengedett megoldások poliéderének csúcsai pontosan a következő (w 1, w 2 ) vektor párok: ahol T egy feszítő fa. Érdekes, nem intuitív tény: w 1 = (1,..., 1) és w 2 = χ(t ) Az eredeti, nem megszorított, duális feladat optimumában a w 2 vektornak lehetnek pozitív komponensei!
LP (F N ) felső korlát az m = 2 esetben min i V p i w 1 i + i,j V p i,j w 2 i,j wi 1 + wi,j 2 1 S V, S i S i,j S w 2 i,j 0 i, j V Theorem 4 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) A megengedett megoldások poliéderének csúcsai pontosan a következő (w 1, w 2 ) vektor párok: ahol T egy feszítő fa. Érdekes, nem intuitív tény: w 1 = (1,..., 1) és w 2 = χ(t ) Az eredeti, nem megszorított, duális feladat optimumában a w 2 vektornak lehetnek pozitív komponensei!
LP (F N ) felső korlát az m = 2 esetben min i V p i w 1 i + i,j V p i,j w 2 i,j wi 1 + wi,j 2 1 S V, S i S i,j S w 2 i,j 0 i, j V Theorem 4 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) A megengedett megoldások poliéderének csúcsai pontosan a következő (w 1, w 2 ) vektor párok: ahol T egy feszítő fa. Érdekes, nem intuitív tény: w 1 = (1,..., 1) és w 2 = χ(t ) Az eredeti, nem megszorított, duális feladat optimumában a w 2 vektornak lehetnek pozitív komponensei!
Köszönöm szépen a figyelmüket!