Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q háyados r maradé Például: mide természetes szám felírható: ) vagy + alaba ), +, + alaba, ) 4, 4+, 4+, 4+ alaba és így tovább Az oszthatóság értelmezése Ha a feti ijeletésbe Jelölés: r, aor a b q Eor b-t az a osztójáa evezzü b a b osztja a-t, vagy a b a osztható b-vel, vagy b Da b eleme az a osztói halmazáa A feti értelmezést úgy is olvashatju, hogy a többszöröse b-e Jelölés: Azt a téyt, hogy a többszöröse b-e, így is jelöli: a = M b A b szám többszöröseie halmazát M b -vel jelöljü Tehát ha a és b eseté q úgy, hogy : a b q, aor b osztója a-a, illetve a többszöröse b-e ( a, b, q N, b ) Az oszthatóság tulajdoságai ) Az oszthatósági reláció redezési reláció, mégpedig reflexív redezési reláció a N, a a Ha a b és b a a b Ha a b és b c a c A feti tulajdoságo redre: reflexivitás, atiszimmetria, trazitivitás ) A -a mide emulla természetes szám osztója ( a, a N ) ) a, a N eseté 4) (additív tulajdoság) Ha a b és a c a ( b c) 5) Ha c a és c b c ( ax by), ahol x és y tetszleges természetes számo (additív és multipliatív tulajdoság együttese)
4 Oszthatósági ritériumo (szabályo) Megjegyzés: Az oszthatósági ritériumo igazolásáál a övetez (elbe már felsorolt) tulajdoságora alapozu: -Ha egy összeg mide tagja osztható egy számmal, aor az összeg is osztható a számmal -Ha egy szorzat egyi téyezje osztható egy számmal, aor a szorzat is osztható a számmal -Ha egy szám osztható egy másial, aor a szám az utóbbi szám mide osztójával osztható () A -zel való oszthatóság ritériuma a ha az a szám legalább db ullába végzdi ( )A -vel, ill 5-tel való oszthatóság ritériuma a ha az a szám utolsó számjegye osztható -vel, ill 5-tel a5 Bizoyítás Az a szám felírható összeg-alaba hatváyai szerit: a a a a a a A felírásból látható, hogy az összeg az utolsó tagig osztható -zel, vagyis -vel is és 5- tel is Tehát ha az a is osztható -vel, illetve 5-tel, aor az a szám is osztható lesz () A 4-gyel, illetve5-tel való oszthatóság ritériuma Egy szám aor és csais aor osztható 4-gyel, illetve 5-tel, ha az utolsó ét számjegyébl alotott étjegy szám osztható 4-gyel, ill 5-tel Bizoyítás a a a a a a a 4, 5 az utolsó ét szj böl alotott sz Tehát, ha a a, továbbá a a 5, aor az a is osztható 4-gyel, ill 5-tel 4 (4)A 8-cal, ill 5-tel való oszthatóság ritériuma Egy szám aor és csais aor osztható 8-cal, illetve 5-tel, ha az utolsó három számjegyébl alotott háromjegy szám osztható 8-cal, ill 5-tel (A bizoyítása az elhöz hasoló) (5)A -mal, ill 9-cel való oszthatóság ritériuma Ha egy számba a számjegye összege osztható -mal, ill 9-cel, aor a szám is osztható -mal, ill 9-cel
Bizoyítás 999 Az a szám felbotásába hatváyait ilye formába írju: a a db (999 ) a db (999 ) a db a 999 a 999 a 999 a 99 a 9 a a a a a a, 9 (999 ) a a Tehát ha a számjegye összege, ill 9 a9 (99 ) a (9 ) a a számjegye összege (6) A -gyel való oszthatóság ritériuma Egy szám aor és csais aor osztható -gyel, ha váltaozó eljellel vett számjegyeie összege osztható -gyel, az összeg felírását az egyesetl ell ezdei Bizoyítás általáosítva : Tehát a a 9 M, ha 9 M, ha páros a ( M) a páratla ( M) a 99 ( M) a ( M ( ) ) M ( a a a a a ) A zárójelbe tehát a számjegye váltaozó eljellel vett összege va Ez az összeg az egyese számjegyével ezddi, amely midig pozitívét szerepel 5 osztható -gyel, mert +5 + =, ami osztható -gyel () A -tel, -gyel, -mal való oszthatóság ritériuma A ritériumot elször magyarázzu, majd példá mutatju be A megfogalmazása elég örülméyes A bizoyításhoz tudi ell, hogy Az a számot így írju: a a a a a a a a a a a a a a a a a,, a aa a a a a a () a Tehát, ha a a a a aaa algebrai összeg osztható -tel, -gyel, -mal, aor maga a szám is osztható ezeel a 5 esetébe + 5 = 45, 45 osztható -gyel, tehát a 5 szám is osztható -gyel (mit azt az el esetbe is láttu) 45 em osztható sem -tel, sem -mal, tehát a 5 sem osztható ezeel a a
59 488 488 59 = 49 49, 49, 49 59488, 59488, 59488 5Prímszámo -Mide, ullától ülöböz természetes szám osztható -gyel és ömagával Ezeet a szám em valódi (triviális) osztóia evezzü Mide, ezetl ülöböz osztót, valódi osztóa evezü - D a jelöli az a természetes szám természetes osztóia halmazát -Ha egy a, a N eseté a b c, aor b-t és c-t az a szám társosztóia evezzü Megjegyzés Ha meg ell határozi D a elemeit, érdemes éttét: a társosztóat felsoraoztati, amíg találoza D 4 {,,,4, 6,8,,4} Tehát így töltjü i a halmazt: és 4, és, és 8, 4 és 6 Értelmezés - Azoat a -tól és -tl ülöböz számoat, amelyee ics valódi osztóju, prímszámoa (törzsszámoa) evezzü Értelmezés - Az összes olya -tól és -tl ülöböz számot, amely em prímszám, összetett száma evezzü Tehát a természetes számo az osztói száma szerit lehete: - csa db osztója va: - végtele so osztója va: - csa ét osztója va: az és ömaga = prímszám (,, 5,,,,, 9,, 9,,, 4, 4, 4, ) - ettél több osztóju va: összetett számo Fotos tulajdoság: Ha egy szorzat osztható egy prímszámmal, aor a szorzat egyi téyezje legalább osztható ezzel a prímszámmal (A tulajdoság em érvéyes, ha az osztó em prímszám) 8, 8, vagy Az utóbbi igaz de : 68, mégis 8 6 és 6 mert a 6 em prím Tétel (a számelmélet alaptétele) Mide összetett szám, a téyez sorredjétl elteitve, felbotható egyértelme véges so prímszám szorzatára, vagyis léteze olya p, p,, p ülöböz prímszámo és,,, hatváyitev amelyere p p p 4
Tétel (Eulidész, ie ) Végtele so prímszám va Bizoyítás Feltételezzü az elleezjét, hogy csa véges darab prímszám va, eze: p, p,, p Képezzü a p pp p számot Ez em osztható p, p,, p egyiével sem (más prímszám ics), tehát ez egy újabb prímszám lee, ami elletmodás Érdeesség: Bár végtele so prímszám va, mégis, igazolható, hogy megadható tetszlegese so egymásutái szám, melye mideie összetett Vagyis a prímszámo özött tetszlegese agy lyua is vaa (Igazolás! 4 szám soha em prím (>) De ( )! összetett, mert osztható -vel ( )! összetett, mert osztható -mal ( )! 4 összetett, mert osztható 4-gyel és így tovább ( )! is összetett Ilyeformá potosa db egymásutái összetett számot soroltu föl) Példa prímtéyezre való botásra: 5 6 5 Egy szám összes osztóia a száma: s s s Ha p p p, aor az osztó száma: ( ) ( s ) ( s ) ( s ) Az összes osztó megeresése a) társosztó fölírásával Az osztó száma: 4 5 4 4 (4) 5 D 4 {,,,4,5,6,,,,4,5,, b) a téyezre botásból, ipárosítva: ( ) ( ) ( ) ( ) 4,8,,5,4,6,,84,5,4,,4} 5
4 5,,,5,,, 5,, 5,,5, 5,, 5,, 5, 5 5,, 5, 5 5 5 db db dbö 4 db 4 db db 6Közös osztó Legagyobb özös osztó Két, vagy több szám özös osztóia halmaza egyel az osztói halmazáa metszetével D {,,,4,6,8,,4} D D 4 6 4 {,,,4,6,9,,8,6} {,,,6,,4,,4} 4 és 6 özös osztói: D D {,,,4,6,} 4 6 4 D4 4 6 4 4 és 4 özös osztói: D {,,,6 } 4, 6 és 4 özös osztói: D D D {,,,6 } A özös osztó halmaza véges, mert maga az osztó száma is véges Tehát ebbe a halmazba va legagyobb elem, ez a lo Potosa: Két, a és b szám lo-ja az a d szám, amellyel mid a ét szám osztható, és az a és b számo mide más osztója osztja a lo-t Jelöléssel: Ha d = (a, b), aor () d a és d b () ha d N, d a és d b d d Tehát a feti példáál: (4, 6) =, (4, 4) = 6, (4, 6, 4) = 6 A lo meghatározása prímtéyezre botással: -csa a özös téyez és azo a legisebb hatváyo 4 (4,6) 6 (4,4) 6 4 (4,6,4) 6 A lo meghatározása (ét szám eseté) Eulideszi-algoritmussal: Legye a> b, a maradéos osztás tétele szerit redre felírható, hogy: a bq r, brq r, r rq r,, r r q r, r rq Eor ( a, b) r Az algoritmus szavaba: a agyobbi számot osztju a isebbiel, aztá az osztó osztva az el osztás maradéával, míg a maradé lesz Az utolsó -tól ülöböz maradé lesz a lo 6
4 : 4 4 :8 8 6 Itt a lo= (6, 4) = 6 8: 6 Pl (,5)? Törzstéyezre botással: 5 5 5 5 5 6 5 5 8 9 5 (,5) 4 5 5 5 Eulideszi-algoritmussal: : 5 5: 6 : 6 4 6 : 4 4 : Megjegyzés Ha több szám lo-ját aarju meghatározi Eulideszi-algoritmussal, aor a ét szám lo-ját visszü be az algoritmusba a harmadi számmal, és így tovább Értelmezés Ha ét szám lo-ja, aor a számoat relatív prím számoa (viszoylagos törzsszámoa) evezzü 5 és De 5, és 9 is relatív príme Eze pároét is relatív príme, mert (5, ) =, (5, 9) =, (, 9) =, míg ülö-ülö egyi sem prím (5 = 5, =, 9 = ) Közös többszörösö Lt Két szám özös többszöröseie a halmaza egyel a többszörösö halmazáa a metszetével M {6,,8,4,,6,4,48,54,6,66,} M 6 8 {8,6,4,,4,48,56,64,,} M 6 M 8 {4,48,,} A özös többszörösö halmaza végtele Va legisebb eleme Ez a lt Jele esetbe [6, 8] = 4 (a 6 és a 8 legisebb özös többszöröse a 4) Tehát a lt a özös többszörösö özül a legisebb
Potosabba: A lt mid a ét száma a többszöröse és a száma mide többszöröse a lt- e is többszöröse Jelöléssel: Ha m = [a,b], aor: () ma és mb () ha pedig m a, m b m m A lt meghatározása téyezre botással: [6,8] 4, mert 6 8 [6, 8] 4 A ltmeghatározása a lo segítségével: Számelméleti tétel: ( a, b) [ a, b] a b a b [ a, b] ( a, b) 68 48 A tétel szerit: [ 6,8] 4, (6,8) (6,8) Más pl 4 5 5 5 4 [5] 5 8 8 5 A tétel alapjá: [,5] 8 Diofatius egyelete megoldása Az ax by c egyelet megoldása a Z Z halmazo Tétel: Az ax by c egyelete ha va megoldása a Z Z halmazo, aor ( ab, ) dc Bizoyítás: Ha x, y megoldás, aor ax by c De da és db, ezért d ax by c vagyis dc Tétel: Legye ( ab, ) Az ax by c egyelet összes egész megoldása x x bt és y y at y, ahol t Z és x, y Z az egyelet egy partiuláris megoldása 8
Bizoyítás: ) Igazolju, hogy x x bt és y y at megoldás Valóba, ax by a( x bt) b( y at) ax by c ) Igazolju, hogy mide egész megoldás x x bt és y y at alaú Mivel ax by c és ax by c, ezért a( xx) b( y y) ahoa a( xx ) b( y y ), tehát b a( x x) és a b( y y) De ( ab, ), ezért b ( x x) és a ( y y), ezért létezi olya t Z amelyre x x bt és így y y at, tehát x x bt és y y at Pl: Oldju meg az egész számo halmazá a xy egyeletet Megoldás: Kifejezzü a isebbi együtthatójú ismeretlet: x y ahoa x y 6 y 6 y y Z ell legye, ezért y és így x6 tehát x6 ahol Z Tehát végtele so megoldás va! Megoldás: Észrevehet, hogy x és y megoldása az egyelete A tétel értelmébe x x bt t és y y at t ahol t Z Megjegyzése: ) Bár a megoldáso ülöböz alaúa, mégis ugyaazoaz a számoat származtatjá ) A természetes megoldáso csa: x=, y= ; x=, y= 4; x=6, y= 9